Temat wykładu:
Macierze. Układy równań liniowych
Kody kolorów:
\ółty nowe pojęcie
pomarańczowy uwaga
kursywa komentarz
" materiał nadobowiązkowy
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1
Zagadnienia Macierze
1. Pojęcia
2. Działania na macierzach
3. Wyznacznik macierzy
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 2
Pojęcie macierzy
Macierz to prostokątna tablica, w której
mo\na wyró\nić wiersze i kolumny.
Przykład zapisu macierzy:
îÅ‚2 -1 - 3Å‚Å‚
2 wiersze
ïÅ‚ śł
1 0,5ûÅ‚
ðÅ‚0
Macierze zapisuje
siÄ™ w nawiasach
kwadratowych.
3 kolumny
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 3
Pojęcie macierzy cd.
Na przecięciu wiersza i kolumny zapisany
jest element macierzy.
Przykład:
îÅ‚2 -1 - 3Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
1 0,5ûÅ‚
ðÅ‚0
Elementami macierzy mogą być np.: liczby, funkcje,
inne macierze.
Na ka\dym przecięciu wiersza i kolumny zapisany
jest pewien element macierzy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 4
Wymiar macierzy
Jeśli macierz ma m wierszy i n kolumn, to
mówimy, \e jest wymiaru m x n (czyt.: m
na n).
Przykład:
-1 10
îÅ‚ Å‚Å‚
4 wiersze, 2 kolumny
ïÅ‚
2 3śł
wymiar macierzy: 4 x 2
ïÅ‚ śł
(czyt.: cztery na dwa)
ïÅ‚ śł
- 0,3 Ä„
ïÅ‚
4,5 - 5,2śł
ðÅ‚ ûÅ‚
4 x 2
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 5
Przykład
Zapisz wymiary danych macierzy.
5
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚-1,7śł
ïÅ‚ śł
3 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
13
ïÅ‚2
ïÅ‚ śł
1śł
ïÅ‚ śł
2,5śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
1ûÅ‚
ðÅ‚0
ïÅ‚
8śł
ðÅ‚ ûÅ‚
3 x 2
5 x 1 (wektor kolumnowy)
[2 - 4 0,2 - 3] [- 11]
1 x 1
1 x 4 (wektor wierszowy)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 6
Oznaczenia macierzy
Macierze oznacza siÄ™ du\ymi literami:
A, B, ... lub A1, A2, ...
lub
[aij], i = 1, ..., m, j = 1, ..., n
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 7
Identyfikowanie elementów macierzy
A macierz wymiaru m x n,
aij element macierzy A le\Ä…cy na
przecięciu i-tego wiersza z j-tą kolumną,
gdzie i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.
aij
numer numer
wiersza kolumny
Przykłady na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 8
Wybrane postacie macierzy
Jeśli w macierzy Am x n liczba wierszy m
jest równa liczbie kolumn n, to macierz A
nazywamy kwadratowÄ… stopnia n;
ozn.: An
Przykłady macierzy kwadratowych:
-1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
2 1
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 -1śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 -1śł
ïÅ‚ śł
1 0 2ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚
stopnia 2 stopnia 3
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 9
Przykład
Zapisz macierz kwadratowÄ… An.
Zapis macierzy An na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 10
PrzekÄ…tna macierzy kwadratowej
W macierzy kwadratowej stopnia n
elementy aii , i = 1, & , n tworzą główną
przekÄ…tnÄ….
a11 a12 K a1n
îÅ‚ Å‚Å‚
przekątna (główna)
ïÅ‚a
a22 K a2n śł macierzy An
21
ïÅ‚ śł
An =
ïÅ‚ śł
M M O M
ïÅ‚ śł
an2 K ann ûÅ‚
n1
ðÅ‚a
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 11
* Postacie macierzy kwadratowych
Macierz trójkątna górna:
a11 a12 K a1n
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
wszystkie elementy pod przekÄ…tnÄ…
0 a22 K a2n śł
ïÅ‚ śł
An =
główną są zerami,
ïÅ‚ śł
M M M
ïÅ‚ śł
0 0 K ann ûÅ‚
ðÅ‚
aij = 0 dla i > j.
Przykłady:
-1 2 1 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
0 4 - 3
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0 - 2 1śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 2
-1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
1śł
ïÅ‚ śł
0 0 1 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ïÅ‚
0 2śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚0 0 - 2ûÅ‚
0 0 0 - 2śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 12
* Postacie macierzy kwadratowych cd.
Macierz trójkątna dolna:
a11 0 K 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a
wszystkie elementy nad przekÄ…tnÄ…
a22 K 0śł
21
ïÅ‚ śł
An =
główną są zerami,
ïÅ‚ śł
M M M
ïÅ‚ śł
an2 K ann ûÅ‚
n1
ðÅ‚a
aij = 0 dla i < j.
Przykłady:
1 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 2 0 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚2 0 0śł
-1 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0 3 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ïÅ‚5 2 1 0śł
3 2śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚4 5 0ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 13
Postacie macierzy kwadratowych cd.
Macierz diagonalna:
a11 0 K 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
wszystkie elementy poza przekÄ…tnÄ…
0 a22 K 0śł
ïÅ‚ śł
An =
główną są zerami,
ïÅ‚ śł
M M M
ïÅ‚ śł
0 0 K ann ûÅ‚
ðÅ‚
aij = 0 dla i `" j.
Przykłady:
2 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 0
0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
0 0śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 2 0śł
1 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0 0 -1 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚0 - 2śł
ïÅ‚0 0
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚0 0 1ûÅ‚
0 4śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 14
Postacie macierzy kwadratowych cd.
Macierz jednostkowa stopnia n, ozn. In:
1 0 K 0
îÅ‚ Å‚Å‚
macierz diagonalna z jedynkami na
ïÅ‚0 1 K 0śł
przekątnej głównej,
ïÅ‚ śł
An =
ïÅ‚ śł
aii = 1 dla i = 1, 2, ..., n, M M O M
ïÅ‚ śł
aij = 0 dla i `" j.
ðÅ‚0 0 K 1ûÅ‚
Przykłady na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 15
Równość macierzy
Macierze A m x n oraz B p x q są równe, gdy
ich wymiary sÄ… jednakowe oraz
odpowiadające elementy są równe, czyli
m = p i n = q oraz aij = bij dla i = 1, ..., m,
j = 1, ..., n.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 16
Przykład
Dane sÄ… macierze A, B, C, D. Podaj
warunki, przy których zachodzą równości:
A = B, C = D.
2 -1 0 x -1 y
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
A = B =
ïÅ‚0 ïÅ‚0
1 0,5śł z 0,5śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
x1
- 3 îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x śł
ïÅ‚
4śł
2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
D =
C =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł x3
0
ïÅ‚x śł
ïÅ‚ śł
1ûÅ‚
ðÅ‚ 4 ûÅ‚
ðÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 17
Działania na macierzach
Dodawanie, odejmowanie
Mno\enie macierzy przez liczbÄ™
Transponowanie
Mno\enie macierzy przez macierz
Przykłady na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 18
Dodawanie macierzy
A m x n + B m x n = C m x n
cij = aij + bij i = 1, & , m, j = 1, & , n
krótszy zapis:
[aij] + [bij] = [aij + bij]
i = 1, & , m, j = 1, & , n
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 19
Odejmowanie macierzy
A m x n B m x n = C m x n
cij = aij - bij i = 1, & , m, j = 1, & , n
krótszy zapis:
[aij] - [bij] = [aij - bij]
i = 1, & , m, j = 1, & , n
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 20
Mno\enie macierzy przez liczbÄ™
k · A m x n = C m x n
cij = k · aij i = 1, & , m, j = 1, & , n
krótszy zapis:
k · [aij] = [k · aij]
i = 1, & , m, j = 1, & , n
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 21
Transponowanie macierzy
(A m x n )T= C n x m
cij = aTij = aji i = 1, & , n, j = 1, & , m
krótszy zapis:
[aij]T = [ aTji]
i = 1, & , m, j = 1, & , n
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 22
Mno\enie macierzy przez macierz
A m x n · B n x p = C m x p
n
cij =
i = 1, & , m, j = 1, & , p
"a Å" bkj
ik
k =1
krótszy zapis:
n
[aij] · [bij] = [
"a Å" bkj ]
ik
k =1
i = 1, & , m, j = 1, & , p
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 23
Własność macierzy I
Dla dowolnej macierzy Am x n zachodzÄ…
równości:
Am x n·In = Am x n
Im·Am x n =Am x n
Zatem macierz I jest elementem obojętnym
mno\enia macierzy.
Przykłady na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 24
Oznaczenia
W odniesieniu do macierzy kwadratowej A
stosuje siÄ™ oznaczenia:
A · A = A2 , A · A · A = A3,
A · A· ... · A = An
n czynników
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 25
Kolejność działań
Mno\enie przed dodawaniem i odejmowaniem
Transponowanie przed innymi działaniami
Najpierw działania w nawiasach
Przykład na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 26
Prawa działań na macierzach
Ozn.: A, B, C, D macierze, k liczba rzeczywista.
Prawo łączności dodawania:
(A + B) + C = A + (B + C)
Prawo łączności mno\enia:
(A · B) · C = A · (B · C)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 27
Prawa działań na macierzach cd.
Prawo przemienności dodawania:
A +B = B + A
Uwaga. Mno\enie macierzy nie jest przemienne.
Mno\enie iloczynu macierzy przez liczbÄ™:
k · (A · B) = (k · A) · B = A · (k · B)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 28
Prawa działań na macierzach cd.
Prawa rozdzielności mno\enia względem
dodawania:
k · (A + B) = k · A + k · B
C · (A + B) = C · A + C · B
(A + B) · D = A · D + B · D
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 29
Prawa działań na macierzach cd.
Prawo transponowania sumy:
(A + B)T = AT + BT
Prawo transponowania iloczynu:
(A · B)T = BT · AT
Prawo podwójnej transpozycji:
(AT) T = A
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 30
Zadania
Zadania w pliku
Zadania_macierze_dzialania.pdf
Uwaga
Do działań na macierzach mo\na
wykorzystać funkcję arkusza EXCEL:
MACIERZ.ILOCZYN
oraz opcjÄ™
MENU Edycja - Wklej specjalnie - Transpozycja
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 31
Wyznacznik macierzy kwadratowej An
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A
jest pewna liczba jednoznacznie
przyporzÄ…dkowana tej macierzy;
ozn.: det A (ang. determinant), |A|.
LiczbÄ™ tÄ… definiuje siÄ™ podajÄ…c metodÄ™ jej
obliczenia dla macierzy kwadratowej
stopnia n, przy n = 1, 2, ...
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 32
Obliczanie wyznacznika metoda Laplace'a
Dla n = 1, 2, ... wyznacznik macierzy An
oblicza siÄ™ metodÄ… Laplace a rozwijania
wyznacznika względem wiersza lub
kolumny macierzy An.
Dla n = 2 oraz n = 3 metodÄ™ Laplace a
mo\na przedstawić w postaci uproszczonej.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 33
Obliczanie det A1
Dla n = 1:
det [a11] = a11
Przykłady:
det [-3] = -3
det [12] = 12
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 34
Obliczanie det A2
Dla n = 2:
a11 a12
îÅ‚ Å‚Å‚
det = a11 Å" a22 - a12 Å" a21
ïÅ‚a
a22śł
ðÅ‚ 21 ûÅ‚
Przykład:
1 2
îÅ‚ Å‚Å‚
det
ïÅ‚3 8śł =1Å"8 - 2 Å"3 = 8 - 6 = 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 35
Obliczanie det A3 - schemat Sarrusa
Dla n = 3 wyznacznik mo\na obliczyć
stosujÄ…c schemat Sarrusa:
a11 a12 a13
1. Pod trzecim wierszem
îÅ‚ Å‚Å‚
przepisać pierwszy wiersz,
ïÅ‚a
det a22 a23śł =
21
a pod nim drugi.
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a32 a33ûÅ‚
31
ðÅ‚a
a11 a12 a13
a21 a22 a23
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 36
Obliczanie det A3 - schemat Sarrusa cd.
a11 a12 a13
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a
det a22 a23śł =
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a32 a33ûÅ‚
31
ðÅ‚a
a11 a12 a13
a11·a22·a33
a21 a22 a23
a21·a32·a13
2. Obliczyć iloczyny elementów
na przekątnej głównej i dwóch
a31·a12·a23
przekątnych równoległych do
niej; niech Sg oznacza sumÄ™
suma Sg = ...
tych iloczynów.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 37
Obliczanie det A3 - schemat Sarrusa cd.
a11 a12 a13
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a
det a22 a23śł =
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a32 a33ûÅ‚
31
ðÅ‚a
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a13·a22·a31
3. Obliczyć iloczyny elementów
a23·a32·a11
na drugiej przekątnej i dwóch
a33·a12·a21
przekątnych równoległych do
niej; niech Sd oznacza sumÄ™
suma Sd = ...
tych iloczynów.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 38
Obliczanie det A3 - schemat Sarrusa cd.
4. det A = Sg Sd
Uwaga
Zamiast dopisywać dwa pierwsze wiersze pod
trzecim, mo\na dopisać dwie pierwsze
kolumny za trzecią lub wyznaczyć pewne
trójkąty w macierzy. Wszystkie te graficzne
sposoby słu\ą ułatwieniu zapamiętania
i stosowania podanego dalej wzoru:
Przykłady na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 39
Obliczanie det A3
Wzór na det A3:
a11 a12 a13
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a
det a22 a23śł = Sg - Sd ,
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a32 a33ûÅ‚
31
ðÅ‚a
gdzie:
Sg = a11 Å" a22 Å" a33 + a21 Å" a32 Å" a13 + a31 Å" a12 Å" a23
Sd = a31 Å" a22 Å" a13 + a21 Å" a12 Å" a33 + a11 Å" a32 Å" a23
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 40
Przykład
Oblicz wyznacznik danej macierzy.
1 2 3
îÅ‚ Å‚Å‚
detïÅ‚-1 0 4śł =11-(- 6)=17
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 -1 1ûÅ‚
ðÅ‚
1 2 3
0 0
0
-1 0 4
3
- 4
+
+ 8
- 2
Sd = - 6 Sg = 11
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 41
Obliczanie wyznacznika macierzy An*
Metoda Laplace a rozwijania wyznacznika
względem i-tego (dowolnego) wiersza macierzy An
a11 a12 K a1n
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
M M M
ïÅ‚ śł
i+1
ïÅ‚ śł
det ai1 ai2 K ain = ai1 Å"(-1) Å" det Ai1 +
ïÅ‚ śł
M M M
ïÅ‚ śł
ïÅ‚an1 an2 K annśł
ðÅ‚ ûÅ‚
i+2 i+n
+ ai2 Å"(-1) Å" det Ai2 +K+ ain Å"(-1) Å" det Ain
gdzie Aij jest macierzą, która powstaje po wykreśleniu
z macierzy A i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 42
* Przykład
Oblicz wyznacznik danej macierzy A.
Polecenie mo\na wykonać wybierając
rozwinięcie względem np. drugiego
wiersza.
1 -1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚3 -1
1 0śł
ïÅ‚ śł
A =
ïÅ‚ śł
2 1 4 3
ïÅ‚ śł
3 -1 1ûÅ‚
ðÅ‚0
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 43
* Przykład
1 -1 0 2 1 -1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚3 -1 1 0śł ïÅ‚3 -1 1 0śł
2+1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
det = 3 Å"(-1) Å" det +
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 1 4 3 2 1 4 3
ïÅ‚0 3 -1 1śł ïÅ‚0 3 -1 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 -1 0 2 1 -1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚3 -1 1 0śł ïÅ‚3 -1 1 0śł
2+2 2+3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
+ (-1)Å"(-1) Å" det + 1Å"(-1) Å" det
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 1 4 3 2 1 4 3
ïÅ‚0 3 -1 1śł ïÅ‚0 3 -1 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 -1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚3 -1 1 0śł
2+4
ïÅ‚ śł
+ 0 Å"(-1) Å" det =
ïÅ‚ śł
2 1 4 3
ïÅ‚0 3 -1 1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 44
* Przykład
= - 33
= 3
-1 0 2 1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2+1 2+2
ïÅ‚ ïÅ‚2
= 3Å"(-1) Å" det 1 4 3śł + (-1)Å"(-1) Å" det 4 3śł +
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3 -1 1ûÅ‚
ðÅ‚ ðÅ‚0 -1 1ûÅ‚
= 6
1 -1 2
îÅ‚ Å‚Å‚
Wyznaczniki zakreślonych
2+3
ïÅ‚2
macierzy mo\na policzyć
+1Å"(-1) Å" det 1 3śł + 0 =
ïÅ‚ śł
wg schematu Sarrusa lub
ïÅ‚ śł
3 1ûÅ‚
ðÅ‚0
ogólną metodą Laplace'a.
= 3Å"(-1)Å"(- 33)+ (-1)Å" 3Å"(-1)+ 3Å"(-1)Å" 6 = 90
Odp.: det A = 90.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 45
* Własności wyznacznika
1. Wyznacznik macierzy trójkątnej górnej
(dolnej) jest równy iloczynowi elementów
na głównej przekątnej.
2. Je\eli macierz kwadratowa ma
w pewnym wierszu (lub kolumnie) same
zera, to jej wyznacznik jest równy zeru.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 46
* Własności wyznacznika cd.
3. Je\eli dwa wiersze (lub kolumny)
macierzy kwadratowej sÄ…
proporcjonalne, to jej wyznacznik jest
równy zeru.
4. Wyznacznik macierzy jednostkowej
dowolnego stopnia jest równy jeden.
det In = 1
5. Wyznaczniki macierzy A oraz AT sÄ…
równe.
det A = det AT
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 47
* Własności wyznacznika cd.
6. Dla macierzy A stopnia n:
det (k·A) = kn·det A,
k " R
7. Wyznacznik iloczynu macierzy
kwadratowych tego samego stopnia jest
równy iloczynowi wyznaczników tych
macierzy:
det (A·B) = det A · det B
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 48
Macierz osobliwa, nieosobliwa
Macierz kwadratowÄ… A nazywamy
osobliwÄ…, gdy det A = 0.
Macierz kwadratowÄ… A nazywamy
nieosobliwÄ…, gdy det A `" 0 .
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 49
Zadania
Zadania w pliku
Zadania_macierze_wyznacznik.pdf
Uwaga
Do obliczania wyznacznika macierzy
mo\na wykorzystać funkcję arkusza
EXCEL:
WYZNACZNIK.MACIERZY
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 50
Zagadnienia Układy równań liniowych
1. Zapis macierzowy
2. Układy Cramera
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 51
Wprowadzenie
Przykład 1.
Dla danych macierzy A, x, b wykonaj:
a) oblicz iloczyn A·x,
b) zapisz warunki, przy których zachodzi
równanie Ax = b.
x1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x śł
-1 0 2 - 2 - 5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ïÅ‚
A = 0 1 - 2 1śł x = ïÅ‚x3 śł b = 1śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 -1 1 -1ûÅ‚ 1ûÅ‚
ðÅ‚ ðÅ‚
ðÅ‚x4 ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 52
Przykład 1. cd.
x1
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 2 - 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x śł
2
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
A3x4 Å" x = 0 1 - 2 1śł Å" =
4 x 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
x3
ïÅ‚ śł
2 -1 1 -1ûÅ‚ ïÅ‚ śł
ðÅ‚
ðÅ‚x4ûÅ‚
(-1)Å" x1 + 0 Å" x2 + 2 Å" x3 + (- 2)Å" x4 - x1 + 2x3 - 2x4
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚
0 Å" x1 +1Å" x2 + (- 2)Å" x3 +1Å" x4 śł = x2 - 2x3 + x4 śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł3x1 ïÅ‚ śł
2 Å" x1 + (-1)Å" x2 +1Å" x3 + (-1)Å" x4 ûÅ‚
1
ðÅ‚ ðÅ‚2x - x2 + x3 - x4ûÅ‚3x1
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 53
Przykład 1. cd.
- x1 + 2x3 - 2x4 - 5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚
Ax = x2 - 2x3 + x4 śł = 1śł = b
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1
ðÅ‚2x - x2 + x3 - x4 śł ïÅ‚ 1ûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚
- x1 + 2x3 - 2x4 = -5
Å„Å‚
Ax = b
ôÅ‚x - 2x3 + x4 = 1
òÅ‚
2 układ równań liniowych
ôÅ‚2x - x2 + x3 - x4 = 1
w zapisie macierzowym
1
ół
układ równań liniowych
w zapisie klasycznym
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 54
Przykład 2.
Dany układ równań zapisz w postaci
macierzowej.
- x1 + 2x3 - 2x4 = -5
Å„Å‚
ôÅ‚x - 2x3 + x4 = 1
òÅ‚
2
ôÅ‚2x - x2 + x3 - x4 = 1
1
ół
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 55
Przykład 2. cd.
Macierzowy zapis układu równań: Ax = b.
- x1 + 2x3 - 2x4 = -5
Å„Å‚
ôÅ‚x - 2x3 + x4 = 1
òÅ‚
2
ôÅ‚2x - x2 + x3 - x4 = 1
1
ół
Układ równań zapisany z wyszczególnieniem
współczynnika przy ka\dej niewiadomej:
(-1)Å" x1 + 0 Å" x2 + 2 Å" x3 + (- 2)Å" x4 = - 5
Å„Å‚
ôÅ‚
0 Å" x1 + 1Å" x2 + (- 2)Å" x3 + 1Å" x4 = 1
òÅ‚
ôÅ‚
2 Å" x1 + (-1)Å" x2 + 1Å" x3 + (-1)Å" x4 = 1
ół
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 56
Przykład 2. cd.
(-1)Å" x1 + 0 Å" x2 + 2 Å" x3 + (- 2)Å" x4 = - 5
Å„Å‚
ôÅ‚
0 Å" x1 + 1Å" x2 + (- 2)Å" x3 + 1Å" x4 = 1
òÅ‚
ôÅ‚
2 Å" x1 + (-1)Å" x2 + 1Å" x3 + (-1)Å" x4 = 1
ół
x1 x2 x3 x4
x1
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 2 - 2 - 5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚x śł
2
ïÅ‚ ïÅ‚
ïÅ‚ śł
x =
A = 0 1 - 2 1śł b = 1śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
x3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2 -1 1 -1ûÅ‚ 1ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ðÅ‚
ðÅ‚x4 ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 57
Zapis macierzowy układu równań liniowych
Układ równań liniowych:
a11x1 + a12x2 + K + a1nxn = b1
Å„Å‚
ôÅ‚a x1 + a22x2 + K + a2nxn = b2
ôÅ‚
21
òÅ‚
M M M
ôÅ‚
ôÅ‚am1x1 + am2x2 +
+ amn xn = bm
ół
mo\na zapisać w postaci Ax = b, gdzie:
a11 a12 K a1n x1 b1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚a ïÅ‚x śł ïÅ‚b śł
a22 K a2n śł
21 2 2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
x = b =
A =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
M M M M M
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
am2 am n śł
ïÅ‚a
n m
m1 ðÅ‚x ûÅ‚ ðÅ‚b ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 58
Zapis macierzowy układu równań liniowych cd.
W odniesieniu do układu równań liniowych
w postaci Ax = b, stosowane są określenia:
A - macierz układu (wymiar m x n)
x - wektor niewiadomych (wymiar n x 1)
b - wektor prawych stron (wymiar m x 1)
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 59
Układ równań liniowych Cramera
Układ równań liniowych
Ax = b
nazywa się układem Cramera, jeśli
macierz układu A jest kwadratowa
i nieosobliwa.
Układ Cramera posiada dokładnie jedno
rozwiÄ…zanie.
Uwaga na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 60
Metody rozwiązywania układu Cramera
wzory Cramera
metoda macierzy odwrotnej *
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 61
Wzory Cramera
Rozwiązanie układu równań Cramera Ax = b,
gdzie:
A macierz stopnia n,
x = [x1, x2, ..., xn]T, b = [b1, b2, ..., bn]T,
podajÄ… wzory Cramera:
det A
i
xi = , i = 1, 2, ..., n
det A
gdzie: Ai - macierz powstała po zastąpieniu
i-tej kolumny macierzy A kolumnÄ…
prawych stron b.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 62
Przykład
Wyznacz rozwiązanie układu równań przy
u\yciu wzorów Cramera.
2x1 + 2x3 = -1
Å„Å‚
ôÅ‚x - 2x3 = 1
òÅ‚
2
ôÅ‚- x1 - x2 + 3x3 = 0
ół
2 0 2 x1 -1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚x śł ïÅ‚
A = 0 1 - 2śł x = b = 1śł
2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3ûÅ‚ 0ûÅ‚
3
ðÅ‚-1 -1 ðÅ‚x ûÅ‚ ðÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 63
Przykład cd.
Czy dany układ jest układem Cramera?
2 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
det A = det 0 1 - 2śł =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
3ûÅ‚
ðÅ‚-1 -1
2 0 2
0 1 - 2
= [6 + 0 + 0] -[(-2) + 4 + 0] = 6 - 2 = 4
Dany układ jest układem Cramera.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 64
Przykład cd.
Macierz A1:
2 0 2 -1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚
A = 0 1 - 2śł b = 1śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3ûÅ‚ 0ûÅ‚
ðÅ‚-1 -1 ðÅ‚
-1 0 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
det A1 = det 1 1 - 2śł = -3
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 -1 3ûÅ‚
ðÅ‚
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 65
Przykład cd.
Macierz A2:
2 0 2 -1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚
A = 0 1 - 2śł b = 1śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3ûÅ‚ 0ûÅ‚
ðÅ‚-1 -1 ðÅ‚
2 -1 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
det A2 = det 0 1 - 2śł = 6
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 3ûÅ‚
ðÅ‚-1
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 66
Przykład cd.
Macierz A3:
2 0 2 -1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚
A = 0 1 - 2śł b = 1śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
3ûÅ‚ 0ûÅ‚
ðÅ‚-1 -1 ðÅ‚
2 0 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
det A3 = det 0 1 1śł = 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0ûÅ‚
ðÅ‚-1 -1
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 67
Przykład cd.
Po podstawieniu do wzorów Cramera:
det A1 - 3 3
x1 = = = -
det A 4 4
det A 6 1
2
x2 = = =1
det A 4 2
det A3 1
x3 = =
det A 4
Uwaga na tablicy.
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 68
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Macierze, wyznaczniki, układy równańZestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowychzadania agebra, macierze, wielomiany, układy równań liniowychzadania agebra, macierze, wielomiany, układy równań liniowychMN MiBM zaoczne wyklad 1 uklady rownanMacierze i układy równań przykładymacierze i wyznaczniki notatki z wykladuwykład 11 układy równań liniowychmacierze i uklady rownanMacierze wyznaczniki Wykład 35 Zadania do wykladu Uklady rownan liniowychukłady równań liniowych, wykładuklady rownan (1)uklady rownan liniowychwięcej podobnych podstron