uklady rownan liniowych

Józef Szymczak
UKAADY RÓWNAC LINIOWYCH
(notatki z wykładu)
I. Ogólna postać układu równań liniowych.
Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x1, x2 ,..., xn , gdzie m, n " N , nazywamy układ
równań następującej postaci:
a11x1 + a12x2 + ...+ a1n xn = b1
ńł
�ła x1 + a22x2 + ...+ a2n xn = b2
�ł
21
(I) ,
�ł
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�łam1x1 + am2x2 + ...+ amn xn = bm
ół
w którym współczynniki aij , bi są liczbami rzeczywistymi. Wszystkie niewiadome (zmienne)
występują w takim układzie w pierwszej potędze.
Rozwiązaniem układu (I) nazywamy ciąg (x1, x2 ,..., xn ) liczb rzeczywistych, które spełniają ten
układ. Jeśli rozwiązanie jest tylko jedno (jeden taki ciąg), to mówimy, że układ jest oznaczony; jeśli
rozwiązań jest więcej, to mówimy że układ jest nieoznaczony; jeżeli nie ma rozwiązania, to mówimy,
że układ jest sprzeczny.
Uwaga. Układ równań liniowych (I) możemy w prosty sposób zapisać w postaci macierzowej.
A�" X = B ,
gdzie
x1 b1
�ł łł �ł łł
a11 a12 ... a1n
�ł łł
�łx śł �łb śł
�ł śł
a21 a22 ... a2 n
2 2
A =
�ł śł, X = �ł śł, B = �ł śł .
. . ... .
�ł śł �ł śł
M M
�ł śł
�ł śł �ł śł
am ... amn
�ł śł
�łam1 2 �ł
�łxn �ł �łbm �ł
Macierz A nazywamy macierzą główną układu równań liniowych (I), macierz X to kolumnowa
macierz niewiadomych, macierz B to kolumnowa macierz wyrazów wolnych.
Jeżeli układ równań ma niedużą ilość niewiadomych, to będziemy je najczęściej oznaczać
literami x, y, z, t,& .
2x + y
ńł - 3z = 1
�łx
Przykładowo układ równań: - 4 y + z - t = 2 zapiszemy w następującej postaci macierzowej
�ł
�ł2 y + z + t = -1
ół
x
�ł łł
2 1 - 3 0
�ł łł �ł śł
1
�ł łł
y
�ł1 - 4 1 - 1śł �ł śł = �ł 2 śł .
�"
�ł śł
�ł0 2 1 1 śł z
�ł- 1śł
�ł �ł
�ł �ł
�ł śł
�łt �ł
II. Układ równań liniowych Cramera.
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych A�" X = B , w którym macierz główna A
jest macierzą kwadratową nieosobliwą.
W takim układzie mamy zatem tyle samo równań i tyle samo niewiadomych. Układ Cramera ma
dokładnie jedno rozwiązanie. Określone ono jest wzorami Cramera:
det A1 det A2 det An
x1 = , x2 = , ... , xn = ,
det A det A det A
gdzie Aj dla j = 1,2,...,n oznacza macierz otrzymaną z macierzy A przez zamianę j - tej kolumny na
kolumnę wyrazów wolnych.
---------------------------------------------------------------------------
Układ Cramera postaci A�" X = B możemy też rozwiązać wykorzystując macierz odwrotną do
macierzy głównej A, co określa wzór:
X = A-1 �" B
---------------------------------------------------------------------------
Przykład 1. Stosując wzory Cramera rozwiązać układ równań:
2x + y + 3z = 1
ńł
2 1 3
�łx - 4 y + z = 2 . Zauważmy, że A = �ł - 4 1łł , det A = -8 + 6 -1- 4 = -7 ;
�ł1 śł
�ł
�ł0 2 1śł
�ł2 y + z = 0
�ł �ł
ół
1 1 3
det A1 = det Ax = 2 - 4 1 = -4 + 12 - 2 - 2 = 4 ,
0 2 1
2 1 3 2 1 1
det A2 = det Ay = 1 2 1 = 4 - 1 = 3, det A3 = det Az = 1 - 4 2 = 2 - 8 = -6 .
0 0 1 0 2 0
det Ay 3 3
det Ax 4 4 det Az -6 6
Stąd x = = = - , y = = = - , z = = = ,
det A -7 7
det A -7 7
det A -7 7
2x + y = 1
ńł
Zadanie. Wykorzystując macierz odwrotną, rozwiązać układ równań
�łx + 3y = 2
ół
III. Twierdzenie Kroneckera-Capelli ego
Oznaczmy symbolem A B rozszerzoną (uzupełnioną) macierz, która powstaje z macierzy A
układu równań liniowych (I) przez dopisanie do niej kolumny wyrazów wolnych (macierz A B ma
więc wymiar m � (n +1) ):
�ł a11 a12 ... a1n b1 łł
�ł śł
a21 a22 ... a2 n b2
.
A B =
�ł śł
. . ... . .
�ł śł
�ł
m1 2
�ła am ... amn bm śł
�ł
Twierdzenie. Warunkiem koniecznym i wystarczającym rozwiązalności układu równań
liniowych (I) jest równość rzędów macierzy A i macierzy A B , czyli spełnienie warunku
r(A) = r(A B) = r .
Z powyższego twierdzenia od razu wynika, że jeżeli r(A) `" r(A B) , to układ (I) jest sprzeczny
(nie ma rozwiązania).
Przy spełnionym warunku r(A) = r(A B) = r , mogą jeszcze zachodzić dwa przypadki:
a) r = n (rząd jest równy liczbie niewiadomych) wtedy układ jest oznaczony, czyli ma dokładnie
jedno rozwiązanie,
b) r < n (rząd jest mniejszy niż liczba niewiadomych) wtedy układ jest nieoznaczony, czyli ma
nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą od n - r parametrów.
Uwaga 1. Zawsze jest r(A) d" n .
Uwaga 2. Jeżeli wszystkie wyrazy wolne w układzie (I) są równe zero, to taki układ nazywamy
jednorodnym układem równań liniowych.
Układ jednorodny jest zawsze rozwiązalny i może być oznaczony lub nieoznaczony.
W przypadku, gdy jest oznaczony, to ma rozwiązanie zerowe ( x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0 ).
IV. Metoda eliminacji
Metodę eliminacji rozwiązywania układów równań liniowych (metodę eliminacji Gaussa)
omówimy na kilku przykładach. Stosując tę metodę wypisujemy dla danego układu równań liniowych
jego macierz uzupełnioną A B i przy pomocy przekształceń elementarnych wykonywanych tylko na
wierszach przekształcamy ją tak długo, aż otrzymamy w macierzy A pewien maksymalny minor
jednostkowy. Po wykonaniu tych przekształceń otrzymana macierz reprezentuje układ równań
równoważny układowi wyjściowemu i możemy z jej postaci odczytać rozwiązanie lub stwierdzić, że
dany układ jest sprzeczny.
2x
ńł - 3y + z + 2u = 1
�łx
Przykład 2. Rozwiązać metodą eliminacji następujący układ równań: + 2 y - 3z + u = 2 .
�ł
�ł3x - y - z + 2u = 4
ół
Wypisujemy macierz uzupełnioną tego układu i będziemy ją przekształcać, stosując
przekształcenia elementarne wykonywane na wierszach.
�ł2 - 3 1 2 1łł �ł1 - 5 4 1 -1łł �ł1 - 5 4 1 -1łł �ł1 - 5 4 1 -1łł
�ł1 2 - 3 1 2śł H" �ł1 2 - 3 1 2 śł H" �ł0 7 - 7 0 3 śł H" �ł0 7 - 7 0 3 śł H"
�ł3 -1 -1 2 4śł �ł3 -1 -1 2 4 śł �ł0 14 -13 -1 7 śł �ł0 0 1 -1 1 śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1
(w1 - w ) (w - w1 , w3 + w1(-3)) (w3 + w (-2)) (w �" )
2 2 2 2
7
8 15
�ł1 - 5 4 1 -1łł �ł1 0 -1 1 łł �ł1 0 0 0 łł
7 7
3 3 10
�ł0 1 -1 0 7 śł H" �ł0 1 -1 0 7śł H" �ł0 1 0 -1 7 śł
�ł0 0 1 -1 1 śł �ł0 0 1 -1 1śł �ł0 0 1 -1 1 śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
(w1 + w �" 5) (w1 + w3 , w + w )
2 2 3
W tej ostatniej macierzy mamy już pewien minor jednostkowy (tworzą go pierwsze trzy
kolumny), więc na tym przekształcanie kończymy. Ale jednocześnie widzimy, że rząd macierzy
głównej A jest równy 3, rząd macierzy uzupełnionej A B jest też równy 3, zatem omawiany układ
równań jest rozwiązalny. Ma on 4 niewiadome, a więc jest układem nieoznaczonym mającym
nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru (tutaj n - r = 1).
Zauważmy, że ostatnia macierz, jako równoważna poprzednim, reprezentuje następujący układ
równań liniowych
15
x =
ńł
7
�ł
�ły - u = 10 ,
7
�łz - u = 1
ół
który jest równoważny układowi wyjściowemu, czyli ma taki sam zbiór rozwiązań. Mamy tutaj jedną
nadmiarową niewiadomą, której współczynniki nie wchodzą w skład minora jednostkowego jest nią
niewiadoma u. Oznaczymy ją symbolem ą , który będzie stanowił rzeczywisty parametr. Możemy
zatem napisać zbiór rozwiązań w następującej postaci:
15
x =
ńł
15
7
x
�ł łł �ł łł
7
�ły = 10 + ą
10
�łyśł �ł śł
�ł + ą
7
7
lub też w postaci: X = =
�ł �łzśł �ł śł, gdzie ą " R.
1 + ą
�łz = 1 + ą �ł śł �ł śł
�ł �ł ą śł
�łu = ą, ą " R, �łuśł �ł �ł
�ł
ół
Jest tych rozwiązań nieskończenie wiele i zależą one od jednego parametru ą . Sprawdzić poprawność
obliczeń podstawiając otrzymane rozwiązania do wyjściowego układu równań.
x
ńł - 3y + z = 3
�łx
Przykład 3. Rozwiązać metodą eliminacji następujący układ równań: + 2 y - 3z = 2 .
�ł
�ł2x - y - 2z = 5
ół
Po wypisaniu macierzy uzupełnionej i przekształceniach elementarnych na niej wykonanych,
otrzymamy:
�ł1 - 3 1 3łł �ł1 - 3 1 3 łł �ł1 - 3 1 3 łł
-7 11
3
4 4
�ł1 śł H" �ł0 5 - 4 -1 śł H" �ł0 5 - 4 -1 śł H" �ł1 --5 1 3 łł �ł1 -5 0 1 łł
2 - 3 2
1
�ł0 4 1 4śł H" �ł0 1 śł
�ł2 -1 - 2 5śł �ł0 5 - 4 -1śł �ł0 0 0 0 śł
4 4
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
-1
w - w1 , w + w1 (-2) w3 - w w �" ( ) w1 - w
2 3 2 2 2
4
W ostatniej macierzy mamy minor jednostkowy stopnia drugiego (pierwsza i trzecia kolumna)
skąd wynika, że r(A) = r(A B) = 2 . Ponieważ są 3 niewiadome w rozwiązywanym układzie, więc ma
on nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru (układ nieoznaczony).
Nadmiarową zmienną jest tutaj y, więc oznaczymy ją symbolem ą określającym parametr
rzeczywisty. Mamy więc zbiór rozwiązań odczytanych z ostatniej przekształconej macierzy:
11 7
x = + ą
ńł
4 4
�ły = ą
�ł
�łz = + ą, ą " R.
1 5
ół 4 4
x
ńł - 2y + z = 0
�ł
Przykład 4. Rozwiązać jednorodny układ równań liniowych: + y + 3z = 0 .
�ł2x
�łx + 3y + 2z = 0
ół
1
�ł - 2 1
łł
�ł śł
Zauważmy, że macierz główna tego układu A = 2 1 3 ma wyznacznik równy 0. Układ
�ł1 3 2śł
�ł �ł
równań jest zatem nieoznaczony czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań (gdyby wyznacznik
macierzy głównej był niezerowy, układ byłby oznaczony i miałby tylko jedno rozwiązanie zerowe).
Po wypisaniu macierzy rozszerzonej i przekształceniach elementarnych na niej wykonanych,
otrzymamy:
1 łł 1 łł �ł łł
�ł - 2 1 0 �ł - 2 1 0 1 - 2 1 0
�ł2 śł H" �ł0 5 1 0śł H" �ł0 5 1 0śł H" �ł1 - 7 0 0łł
1 3 0
�ł0 5 1 0śł
�ł1 3 2 0śł �ł0 5 1 0śł �ł0 0 0 0śł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
w2 + w1(-2), w3 - w1 w3 - w2 w1 - w2
i z kształtu ostatniej macierzy możemy odczytać rozwiązania, przyjmując jako parametr ą
nadmiarową niewiadomą y:
x = 7ą
ńł
�ły = ą
�ł
�łz = -5ą, ą " R
ół
(wśród tych nieskończenie wielu rozwiązań jest też rozwiązanie zerowe).
Zadanie. Zbadać rozwiązalność układu równań w zależności od parametru p.
x
ńł - y - 2z = 0
�łpx + y + z = 2
�ł
�łx + py = 2 p
ół
1 - 1 - 2
Zauważmy, że det A = p 1 1 = -1 - 2 p2 + 2 - p = -2 p2 - p + 1.
1 p 0
1
det A = 0 jeżeli - 2 p2 - p + 1 = 0 czyli jeśli p = -1 lub p = . Zatem w przypadku, gdy p `" -1 i
2
1
p `" , układ jest układem Cramera czyli ma dokładnie jedno rozwiązanie.
2
Sprawdzmy rozwiązalność tego układu w przypadku, gdy p = -1. Mamy wtedy
1 1 łł �ł łł
�ł - 1 - 2 0 łł �ł - 1 - 2 0 1 - 1 - 2 0
�ł- śł H" �ł0 0 -1 2 śł H" �ł0 0 -1 2śł
1 1 1 2
�ł śł �ł0 0 2 - 2śł �ł0 0 0 2śł
1 - 1 0 - 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
w2 + w1, w3 - w1 w3 + w2 �" 2
Ponieważ trzeci wiersz końcowej przekształconej macierzy reprezentuje równanie sprzeczne, zatem w
przypadku gdy p = -1, układ równań jest sprzeczny.
1
Sprawdzmy rozwiązalność tego układu w przypadku, gdy p = . Mamy wtedy
2
�ł - 1 - 2 0 �ł1 - 1 - 2 0łł �ł1 - 1 - 2 0łł �ł1 - 1 - 2 0 łł
łł
1
1
�ł2 śł H" �ł1 2 2 4śł H" �ł0 3 4 4śł H" �ł0 3 4 4 śł
1 1 2
�ł1 1 0 1śł
�ł2 1 0 2śł �ł0 3 4 2śł �ł0 0 0 - 2śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
2
�ł �ł
w2 �" 2, w3 �" 2 w2 - w1, w3 - 2w1 w3 - w2
1
Ostatni wiersz końcowej macierzy znów nas informuje, że układ równań przy p = jest sprzeczny.
2

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
4 uklady rownan liniowych
t5 uklady rownan liniowych
BOiE układy równań liniowych
wykład 11 układy równań liniowych
układy rownań liniowych
110 Układy równań liniowych
7 Układy równań liniowych
Zestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowych
lab8 2 uklady rownan liniowych
lab7 uklady rownan liniowych
Zestaw układy równań liniowych(1)
zadania agebra, macierze, wielomiany, układy równań liniowych
zadania agebra, macierze, wielomiany, układy równań liniowych
Układy równań liniowych zadania

więcej podobnych podstron