Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Przykłady do listy 1: Całki podwójne
Przykłady do zadania 1.1 :
Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach
Ä„ Ä„ Ä„
(a) sin(x + y) dxdy, R = - , × 0,
4 4 4
R
Ä„ Ä„
4 4
" sin(x + y) dxdy = dx sin(x + y)dy =
Ä„
R - 0
4
Ä„ Ä„
y= Ä„
4 4
4
Ä„
" = (- cos(x + y) dx = (- cos(x + ) + cos x)dx =
4
Ä„ y=0 Ä„
- -
4 4
x= Ä„
4
"
Ä„ Ä„ Ä„
" = (- sin(x + ) + sin x = - sin + sin + sin 0 - sin -Ä„ = 2 - 1
4 2 4 4
Ä„
x=-
4
(b) (x2 + y2x) dxdy, R = [-1, 1] × [2, 4]
R
4 1
" (x2 + y2x) dxdy = dy (x2 + y2x)dx =
R 2 -1
x=1
4 4
x3 x2 2
" = + y2 · dy = + 0 dy =
3 2 3
x=-1
2 2
2 4
" = · 2 =
3 3
(c) ex+y dxdy, R = [0, 1] × [0, 1]
R
" ex+y dxdy = exey dxdy =
R R
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚2
1 1 1
íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚
" = exdxÅ‚Å‚ · eydyÅ‚Å‚ = exdxÅ‚Å‚ =
0 0 0
ëÅ‚
x=1öÅ‚2
íÅ‚
" = ex Å‚Å‚ = (e - 1)2
x=0
(d) xy(x + y) dxdy, R = [-1, 1] × [-1, 1]
R
" xy(x + y) dxdy = x2y dxdy + xy2 dxdy =
R R R
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1 1 1
íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚
" = x2dxÅ‚Å‚ · ydyÅ‚Å‚ + xdxÅ‚Å‚ · y2dyÅ‚Å‚ = 2 x2dxÅ‚Å‚ · ydyÅ‚Å‚ = 0,
-1 -1 -1 -1 -1 -1
bo druga całka w iloczynie równa jest 0 jako całka z funkcji nieparzystej po przedziale
symetrycznym względem 0.
1
Przykłady do zadania 1.2 :
Podane całki podwójne zamienić na całki iterowane i obliczyć. Narysować obszar całkowania.
1
x
(a) dxdy, gdzie D = (x, y) : 0 x 2, y 2x
2
(1 + x + y)2
D
4.5
" rysunek
y
4
3.5
3
2.5
y=2x
2
1.5
1
0.5
y=x/2
0
0
2 x
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
ëÅ‚
y=2xöÅ‚
2x
2 2
1 dy 1
íÅ‚ Å‚Å‚
" dxdy = dx = - dx =
(1 + x + y)2 (1 + x + y)2 1 + x + y
x
x y=
D 0 0
2
2
ëÅ‚
x=2
2
1 1 1 2 3 1 2
íÅ‚
= - + dx = - ln |1 + 3x| + ln 1 + x = - ln 7 + ln 4
3
1 + 3x 1 + x 3 3 2 3 3
2 x=0
0
1
(b) exydxdy, gdzie D = (x, y) : 1 x e, 0 y
x
D
1.5
" rysunek
y
1
y=1/x
0.5
0
e
x
1 y=0
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
ëÅ‚ öÅ‚
e x e y= 1 e
x
1 1 1
íÅ‚
" exydxdy = dx exydy = exy Å‚Å‚ dx = e - dx =
x x x
y=0
D 1 0 1 1
x=e
= (e - 1) ln |x| = e - 1
x=1
2
"
(c) x dxdy, gdzie D = (x, y) : 0 x 1, 0 y 1 - x2 .
D
1.5
" rysunek
y
1
y=(1-x2)1/2
0.5
0
0
1 x
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5
îÅ‚ Å‚Å‚
"
y = 1 - x2
ëÅ‚ öÅ‚
1-x2
1 1 y="1-x2 1
ïÅ‚ śł
"
dy = -2xdx
ïÅ‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚
" x dxdy = dx xdy = xy dx = x 1 - x2dx = ïÅ‚ śł =
ðÅ‚ ûÅ‚
x 0 1
y=0
D 0 0 0 0
y 1 0
ëÅ‚
y=0
0
1 " 1 y3/2 1
íÅ‚
= - ydy = - · =
2 2 3/2 3
y=1
1
Przykłady do zadania 1.3 :
Obszar D ograniczony jest krzywymi o podanych równaniach. Całke podwójną f(x, y) dxdy
D
(gdzie f(x, y) jest ciągła na D) zamienić na dwa rodzaje całek iterowanych.
(a) x = 0, y = 1, y = x
1.5
y
" rysunek
y=1
1 1
x=0
0.5
y=x
0
0 x
1
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5
" D to obszar normalny względem osi 0x, bo
D = {(x, y) : 0 x 1, x y 1}
1 1
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy
x
D 0
" D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : 0 y 1, 0 x y}
1 y
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
D 0 0
3
"
2.5
(b) y = x2, y = x
y
2
" rysunek
1.5
1 1
y=x1/2
0.5
y=x2
0
0 1 x
-0.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
" szukamy punktów wspólnych podanych krzywych:
"
x2 = x
x4 = x, x 0
,
x(x3 - 1) = 0, x 0
x = 0 (" x = 1
dla x = 0 mamy y = 02 = 0, dla x = 1 mamy y = 12 = 1
" D to obszar normalny względem osi 0x, bo
"
D = {(x, y) : 0 x 1, x2 y x}
"
x
1
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy
D 0
x2
2.5
" rysunek
y
2
1.5
1 1
x=y2
0.5
x=y1/2
0
0 1 x
-0.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
" D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
"
D = {(x, y) : 0 y 1, y2 x y}
"
y
1
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
D 0
y2
4
(c) (x - 1)2 + (y + 2)2 = 4
" krzywa to okrąg o środku (1, -2) i promieniu 2
" wyznaczenie dolnej i górnej funkcji:
(x - 1)2 + (y + 2)2 = 4
y + 2 = Ä… 4 - (x - 1)2
y = -2 Ä… 4 - (x - 1)2, -1 x 3
d(x) = -2 - 4 - (x - 1)2, g(x) = -2 + 4 - (x - 1)2, -1 x 3
0.5
y
" rysunek
y=-2+(4-(x-1)2)1/2
0
-1 0 3 x
-0.5
-1
-1.5
-2
(1,-2)
-2.5
-3
-3.5
-4
y=-2-(4-(x-1)2)1/2
-4.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
" D to obszar normalny względem osi 0x, bo
D = (x, y) : -1 x 3, -2 - 4 - (x - 1)2 y -2 + 4 - (x - 1)2
"
4-(x-1)2
3 -2+
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy
"
D -1
-2- 4-(x-1)2
" wyznaczenie lewej i prawej funkcji:
(x - 1)2 + (y + 2)2 = 4
x - 1 = Ä… 4 - (y + 2)2
x = 1 Ä… 4 - (y + 2)2, -4 y 0
l(y) = 1 - 4 - (y + 2)2, p(y) = 1 + 4 - (y + 2)2, -4 y 0
0.5
" rysunek
y
0
x
-0.5
-1.5
(1,-2)
-2.5
x=1-(4-(y+2)2)1/2
-3.5
x=1+(4-(y+2)2)1/2
-4
-4.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
" D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
D = (x, y) : -4 y 0, 1 - 4 - (y + 2)2 x 1 + 4 - (y + 2)2
"
0 1+ 4-(y+2)2
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
"
D -4
1- 4-(y+2)2
5
" "
(d) y = -1, y = 1, x = 2 - 1 - y2, x = -1 + 1 - y2
" dwie ostatnie krzywe to półokręgi:
"
x = 2 - 1 y2
"-
x - 2 = - 1 - y2
(x - 2)2 = 1 - y2
(x - 2)2 + y2 = 1, x 2
lewy półokrąg o środku (2, 0) i promieniu 1
"
x = -1 + 1 - y2
"
x + 1 = 1 - y2
(x + 1)2 = 1 - y2
(x + 1)2 + y2 = 1, x 1
prawy półokrąg o środku (-1, 0) i promieniu 1
2
y
" rysunek
1.5
1
1
0.5
x=2-(1-y2)1/2
x=-1+(1-y2)1/2
0
x
(-1,0) (2,0)
-0.5
-1
-1
-1.5
-2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
" D to obszar normalny względem osi 0y, bo
" "
D = (x, y) : -1 y 1, -1 + 1 - y2 x 2 - 1 - y2
"
1-y2
1 2-
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
"
D -1
-1+ 1-y2
6
" D nie jest obszarem normalnym względem osi 0x, ale jest sumą takich obszarów o roz-
łącznych wnętrzach
D = D1 *" D2 *" D3 *" D4 *" D5
gdzie D1 = (x, y) : -1 x 0, -1 y - 1 - (x + 1)2
D2 = (x, y) : -1 x 0, 1 - (x + 1)2 y 1
D3 = [0, 1] × [-1, 1]
D4 = (x, y) : 1 x 2, -1 y - 1 - (x - 2)2
D5 = (x, y) : 1 x 2, 1 - (x - 2)2 y 1
2
" rysunek y
1.5
y=1
1
0.5
y=(1-(x-2)2)1/2
y=(1-(x+2)2)1/2
0
2
-1 0 1 x
-0.5
y=-(1-(x+2)2)1/2
y=-(1-(x-2)2)1/2
-1
y=-1
-1.5
-2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
"
0 - 1-(x+1)2 0 1
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy+
"
D -1 -1 -1
1-(x+1)2
"
1 1 2 - 1-(x-2)2 2 1
+ dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy
"
0 -1 1 -1 1
1-(x-2)2
7
(e) x = y2, y = x - 2
" D to obszar między parabolą x = y2 a prostą x = y + 2
2.5
y
" rysunek
2
1.5
x=y2
0.5
x=y+2
x
-0.5
-1
-1.5
-2.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
" szukamy punktów wspólnych tych krzywych:
y2 = y + 2
y2 - y - 2 = 0
" = 9
1-3 1+3
y1 = = -1, y2 = = 2
2 2
" D to obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : -1 y 2, y2 x y + 2 }
2 y+2
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
D -1
y2
" D jest też obszarem normalnym względem osi 0x, wygodniej przedstawić go jako sumę
takich obszarów o rozłącznych wnętrzach
D = D1 *" D2
" "
gdzie D1 = {(x, y) : 0 x 1, - x y x }
"
D2 = {(x, y) : 1 x 4, x - 2 y x }
2.5
y
" rysunek
1.5
y=x1/2
0.5
y=x-2
4
0 1
x
-0.5
y=-x1/2
-1.5
-2.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
" "
x x
1 4
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy
"
D 0 1 x-2
- x
8
(f) x = 0, y = e2, y = ex
8
y y=e2
" rysunek
e2
7
6
5
x=0
4
3
x=ln(y)
y=ex
2
1 1
0
x
0 2
-1
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
" D to obszar normalny względem osi 0x, bo
D = {(x, y) : 1 y e2, 0 x ln y}
ln y
e2
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
D 1 0
" x = ln y Ð!Ò! y = ex
" Zatem D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : 0 x 2, ex y e2}
2 e2
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy
D 0 ex
9
(g) y = 0, y = sin x, przy czym 0 x Ä„
1.5
" rysunek
y
y=sin(x)
1
0.5
0
0 Ä„ x
y=0
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
" D to obszar normalny względem osi 0x, bo
D = {(x, y) : 0 x Ä„, 0 y sin x}
Ä„ sin x
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy
D 0 0
Ä„
" y = sin x, 0 x Ð!Ò! x = arc sin y, 0 y 1
2
Ä„
y = sin x, x Ä„ Ð!Ò! x = Ä„ - arc sin y, 0 y 1
2
1.5
" rysunek y
1
1
x=arcsin(x) x=Ä„-arcsin(x)
0.5
0
x
0
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
" Zatem D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : 0 y 1, arc sin y x Ä„ - arc sin y}
1 Ä„-arc sin y
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
D 0 arc sin y
10
Przykłady do zadania 1.4 :
Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
2
(a) e-(x +y2) dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywÄ… x2 + y2 = 2
D
"
" D = {(x, y) : x2 + y2 2} - koło o środku (0, 0) i promieniu 2
2
y
1.5
1
0.5
21/2
0
x
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
"
" D we współrzÄ™dnych biegunowych odpowiada " = {(Õ, Á) : 0 Õ 2Ä„, 0 Á 2}
ëÅ‚ öÅ‚
" "
ëÅ‚ öÅ‚
2Ä„ 2 2Ä„ 2
2 2 2 2
ìÅ‚
íÅ‚
" e-(x +y2) dxdy = e-Á Á dÁdÕ = dÕ e-Á Á dÁ = dÕÅ‚Å‚ · e-Á Á dÁ÷Å‚ =
íÅ‚ Å‚Å‚
D " 0 0 0 0
ëÅ‚
"2
1 2
íÅ‚
= 2Ä„ · - e-Á = Ä„(1 - e-2)
2
0
dxdy
(b) , gdzie D to obszar ograniczony krzywymi x2 + y2 = 9 i x2 + y2 = 25
x2 + y2 - 1
D
" D = {(x, y) : 9 x2+y2 25} - pierścień kołowy o środku (0, 0) i promieniu wewnętrznym
3, zewnętrznym 5
6
y
4
2
3
5
0
x
-2
-4
-6
-6 -4 -2 0 2 4 6
" D we współrzÄ™dnych biegunowych odpowiada " = {(Õ, Á) : 0 Õ 2Ä„, 3 Á 5}
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2Ä„ 2Ä„
5 5
dxdy 1 Á Á
íÅ‚ íÅ‚
" = Á dÁdÕ = dÕ dÁ = dÕÅ‚Å‚ · dÁÅ‚Å‚ =
x2 + y2 - 1 Á2 - 1 Á2 - 1 Á2 - 1
D " 0 3 0 3
ëÅ‚
5
1
íÅ‚
= 2Ä„ · ln |Á2 - 1| = Ä„(ln 24 - ln 8) = Ä„ ln 3
2
3
11
(c) y dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = x, y = 0,
D
(x, y 0)
" D = {(x, y) : 1 x2 + y2 4, 0 y x} - wycinek pierścienia kołowego o środku (0, 0) i
promieniu wewnętrznym 1, zewnętrznym 2
3
y
2
y=x
1
1 2
0
y=0
x
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Ä„
" D we współrzÄ™dnych biegunowych odpowiada " = (Õ, Á) : 0 Õ , 1 Á 2
4
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„ Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
4 2 4 2
ìÅ‚
íÅ‚
" y dxdy = (Á sin Õ) Á dÁdÕ = dÕ Á2 sin Õ dÁ = sin Õ dÕ÷Å‚ · Á2 dÁÅ‚Å‚ =
íÅ‚ Å‚Å‚
D " 0 1 0 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
Õ= Ä„ Á=2öÅ‚ " "
4
Á3 2 8 1 7(2 - 2)
íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
= - cos Õ Å‚Å‚ · = - + 1 · - =
3 2 3 3 3
Õ=0 Á=1
(d) x dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi x2 + (y - 1)2 = 1, y = x, (x y)
D
" D = {(x, y) : x2 + (y - 1)2 1, 0 y x} - fragment koła o środku (0, 1) i promieniu 1
leżący poniżej prostej y = x
3
y
2.5
2
1.5
1
1
y=x
0.5
0
x
-0.5
-1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
" x2 + (y - 1)2 1 Ð!Ò! x2 + y2 2y Ð!Ò! Á2 2Á sin Õ Ð!Ò! Á 2 sin Õ
Ä„
Zatem D we współrzÄ™dnych biegunowych odpowiada " = (Õ, Á) : 0 Õ , 0 Á 2 sin Õ
4
Ä„ Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
sin Õ
4 2 4 Á=2
Á3 sin Õ
íÅ‚ Å‚Å‚
" x dxdy = (Á cos Õ) Á dÁdÕ = dÕ Á2 cos Õ dÁ = cos Õ dÕ =
3
Á=0
D " 0 0 0
Ä„
ëÅ‚
Ä„ 4
"
4
4
2 2 2 2 1
íÅ‚
= 4 sin3 Õ cos Õ dÕ = sin4 Õ = =
3 3 3 2 6
0
0
12
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
am2 przyklady?lki podwojne 2R Pr MAEW104 przyklady CTG lista12am przyklady ciagi lista1calki podwojne lista1am2 przyklady?lki podwojne 1am2 przyklady?lki podwojne 3R Pr MAEW104 przyklady PWL lista11am przyklady szeregi liczb lista11am przyklady szeregi potegowe lista12am przyklady styczna i ekstrema fun wielu zm lista14R Pr MAEW104 przyklady wektory losowe lista10cw6 arkusz obliczeniowy przykladprzykładowy test AprzykladowyJrkusz150UM[1] drukowOEiM AiR Przykladowy Egzaminwięcej podobnych podstron