Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151
Wydział Elektroniki, rok akad. 2009/10, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 8: Zbieżność według rozkładu. Centralne
twierdzenie graniczne.
Zbieżności ciągu zmiennych losowych według rozkładu.
Definicja.
Niech Xn ma rozkład o dystrybuancie Fn(x), a X - rozkład o dystrybuancie F (x).
Ciąg zmiennych losowych X1, X2, . . . jest zbieżny według rozkładu
(in. słabo zbieżny) do zmiennej losowej X, jeżeli
-
Fn(x) F (x)
n "
dla każdego takiego x, w którym F (x) jest ciągła.
d d
Oznaczenie: Xn - X, Fn - F .
n " n "
Fakt.
d
(a) Jeżeli Xn -P X, to Xn - X.
n " n "
d
(b) Gdy Xn - X, gdzie P (X = a) = 1 dla pewnej stałej a, to Xn -P X.
n " n "
z pr.1
d
(c) Jeżeli Xn - X, to Xn - X.
n " n "
Uwaga:
W zbieżnościach z prawdopodobieństwem 1, stochastycznej, w przestrzeni Lr graniczna
zmienna losowa X jest określona z prawdopodobieństwem 1, tzn. jeżeli X i X są grani-
cami ciÄ…gu Xn, to P (X = X ) = 1.
W zbieżności słabej określony jest tylko rozkład graniczny danego ciagu i każda zmienna
losowa X o takim rozkładzie może reprezentować słabą granicę tego ciągu.
1
Twierdzenie de Moivre a-Laplace a. Centralne twierdze-
nie graniczne.
Sn
-0 dla dowolnego > 0,
Z PWL Bernoulliego wiemy, że P - p >
n "
n
gdzie Sn to ilość sukcesów w n próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p.
Pytanie:
Sn
Jaka jest szybkość zbieżnoÅ›ci, tzn. dla jakiego n mamy P - p > < ´, gdzie ´ > 0
n
jest ustalone? Innymi słowy, dla jakiego n prawdopodobieństwo, że popełnimy błąd rzędu
przyjmując częstość otrzymaną z n prób jako prawdopodobieństwo sukcesu p, było małe
rzÄ™du ´?
Twierdzenie de Moivre a-Laplace a. (XVIII w.)
Niech Sn będzie liczbą sukcesów w n próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem suk-
cesu p. Wtedy
Sn - np Sn - ESn
d
-
"
= Y
n "
D2Sn
np(1 - p)
gdzie Y ma standardowy rozkład normalny N (0, 1).
Inaczej mówiąc, dla dowolnego x " R
ëÅ‚ öÅ‚
Sn - np
íÅ‚
P < xłł - Ś(x)
n "
np(1 - p)
x
1 t2
2
"
gdzie Ś(x) = e- dt to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego N (0, 1).
2Ä„
- "
Uwaga:
Twierdzenie de Moivre a-Laplace a mówi o tym, że liczba sukcesów w n próbach Bernoul-
liego z prawdopodobieństwem sukcesu p po standardyzacji (tzn. unormowaniu do zmiennej
losowej o średniej 0 i wariancji 1) dąży według rozkładu do standardowego rozkładu nor-
malnego, gdy n ".
Zatem dla dużych n liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem
sukcesu p ma asymptotycznie rozkład normalny N (np, np(1 - p)). Równoważnie, czę-
Sn
p(1-p)
stość występowania sukcesów ma asymptotycznie rozkład normalny N p, .
n
n
Oszacowanie dokładności przybliżenia w twierdzeniu de Moivre a-Laplace a:
ëÅ‚ öÅ‚
Sn - np p2 + (1 - p)2
íÅ‚
sup P < xÅ‚Å‚ - Åš(x) C ·
x"R
np(1 - p) np(1 - p)
"1
dla pewnej stałej C < 0, 8.
2Ä„
2
Zastosowanie twierdzenia de Moivre a-Laplace a
1. Oszacowanie prawdopodobieństwa błędu w PWL Bernoulliego:
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚öÅ‚
"
- np
Sn Sn n n
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚Å‚Å‚
P - p > = P > H" 2 1 - Åš
n
np(1 - p) np(1 - p) p(1 - p)
dla n dostatecznie dużych.
p2 + (1 - p)2
BÅ‚Ä…d oszacowania nie przekracza 1, 6 .
np(1 - p)
2. Przybliżony sposób obliczania P (Sn < k)
Z twierdzenia de Moivre a-Laplace a można w przybliżony sposób szybko obliczyć praw-
dopodobieństwa wystąpienia k sukcesów w n próbach Bernoulliego dla dużych n i p z
wnętrza przedziału (0, 1), odległych od 0 i od 1.
ëÅ‚ öÅ‚
k - 0, 5 - np
íÅ‚ Å‚Å‚
P (Sn < k) = P (Sn < k - 0, 5) H" Åš
np(1 - p)
ëÅ‚ öÅ‚
k + 0, 5 - np
íÅ‚ Å‚Å‚
P (Sn k) = P (Sn < k + 0, 5) H" Åš
np(1 - p)
ëÅ‚ öÅ‚
k - 0, 5 - np
íÅ‚ Å‚Å‚
P (Sn k) = P (Sn > k - 0, 5) H" 1 - Åš
np(1 - p)
ëÅ‚ öÅ‚
k + 0, 5 - np
íÅ‚ Å‚Å‚
P (Sn > k) = P (Sn > k + 0, 5) H" 1 - Åš
np(1 - p)
0, 8(p2 + (1 - p)2)
z błędem, który nie przekracza .
np(1 - p)
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
k + 0, 5 - np k - 0, 5 - np
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
P (Sn = k) = P (k - 0, 5 < Sn < k + 0, 5) H" Åš - Åš
np(1 - p) np(1 - p)
1, 6(p2 + (1 - p)2)
z błędem, który nie przekracza .
np(1 - p)
Przykłady do zad. 6.1
3
Centralne Twierdzenie Graniczne
PWL Bernoulliego (tw. Borela) to szczególny przypadek PWL dla ciągu niezależnych
zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie o skończonej średniej (gdy rozkład ten jest
zerojedynkowy B(1, p)). Podobnie, twierdzenie de Moivre a-Laplace a jest szczególnym
przypadkiem ogólniejszego Centralnego Twierdzenia Granicznego (CTG)
Lindeberga-Lévy ego:
Centralne Twierdzenie Graniczne Lindeberga-Lévy ego.
Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie,
przy czym 0 < D2Xn = Ã2 < ". Oznaczmy m = EXn (ta wartość oczekiwana istnieje na
mocy założenia, że istnieje wariancja). Wówczas
Sn - nm
d
" -
Y,
n "
à n
gdzie Y ma standardowy rozkład normalny N (0, 1).
Inaczej mówiąc, dla dowolnego x " R
Sn - nm
-
P " < x Åš(x)
n "
à n
x
1 t2
2
"
gdzie Ś(x) = e- dt to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego N (0, 1).
2Ä„
- "
Oszacowanie dokładności przybliżenia
w CTG Lindeberga-Lévy ego:
Nierówność Berry-Essena
Niech (Xn) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie,
przy czym E|Xn|3 < ". Ponadto niech m = EXn, Ã2 = D2Xn > 0 (ta wartość oczekiwana
i wariancja istnieją na mocy założenia o rozkładzie). Wówczas
Sn - nm E|X1 - m|3
sup P " < x - Åš(x) C " ,
à n Ã3 n
x"R
"1
dla pewnej stałej C, która spełnia nierówność C < 0, 8.
2Ä„
4
Uwagi:
1. Jeżeli zmienne losowe Xn maja niezerową skończoną wariancję, to do szacowa-
nia szybkości zbieżności w PWL Kołmogorowa można stosować metody analogicz-
ne do tych dotyczacych PWL Bernoulliego, opartych na twierdzeniu de Moivre a-
Laplace a.
2. Twierdzenie de Moivre a-Laplace a, CTG Lindeberga-Lévy ego to przykÅ‚ady central-
nych twierdzeń granicznych. CTG dla zmiennych o różnych rozkładach to np. twier-
dzenie Lindeberga-Fellera, twierdzenie Lapunowa.
3. CTG Lindeberga-Lévy ego to wynikanie:
istnieje niezerowa wariancja =Ò! zbieżność unormowanych sum do standardowego
rozkładu normalnego.
Interpretacja CTG Lindeberga-Lévy ego:
Jeżeli wielkość fizyczna jest opisana zmienną losową i jest wynikiem sumowania wielu
niezależnych jednakowych statystycznie efektów, przy czym rozkład efektu ma skończoną
wariancję, to wielkość ta ma asymptotycznie rozkład normalny.
Przykłady do zad. 6.2
5
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
R Pr MAP1151 wyklad8 CTGR Pr MAP1151 wyklad8 CTGR Pr MAP1151 wyklad4 rozklady dyskretneR Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probabR Pr MAP1151 wyklad4 rozklady dyskretneR Pr MAP1151 wyklad5 rozklady ciagleR Pr MAP1151 wyklad7 wektory losoweR Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probabR Pr MAP1151 wyklad6 sredniaR Pr MAP1151 przyklady CTG lista6R Pr MAP1151 wyklad3 zmienna los dystrybuantaR Pr MAP1151 wyklad1 przestrzen probab(1)R Pr MAP1151 wyklad6 srednia(1)R Pr MAP1151 wyklad6 sredniaR Pr MAP1151 wyklad2 prawdop warunkowe(1)R Pr MAP1151 wyklad4 rozklady dyskretne(1)R Pr MAP1151 wyklad2 prawdop warunkowewięcej podobnych podstron