Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III Wpływ czasu na własności wytrzymałościowe materiałów WYKAAD 21 Literatura Rozdz. XVI, str. 281, BIELEWICZ E.: Wytrzymałość materiałów. PG, Gdańsk 1992 (lub inne wydania). str. 32, CHRÓŚCIELEWSKI J.: Materiały pomocnicze do wykładu z Wytrzymałości Materiałów. Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/1 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Własności wytrzymałościowe wielu materiałów w długich okresach wykazują zależność: % od czasu t (reologia dział mechaniki technicznej), % & . WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/2 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Własności wytrzymałościowe wielu materiałów w długich okresach wykazują zależność: % od czasu t (reologia dział mechaniki technicznej), % innych czynników środowiskowych np.:
% & WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/3 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Własności wytrzymałościowe wielu materiałów w długich okresach wykazują zależność: % od czasu t (reologia dział mechaniki technicznej), % innych czynników środowiskowych np.: temperatury, % & WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/4 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Własności wytrzymałościowe wielu materiałów w długich okresach wykazują zależność: % od czasu t (reologia dział mechaniki technicznej), % innych czynników środowiskowych np.: temperatury, % & wykresy rozciągania w podwyższonej temp. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/5 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Własności wytrzymałościowe wielu materiałów w długich okresach wykazują zależność: % od czasu t (reologia dział mechaniki technicznej), % innych czynników środowiskowych np.: temperatury, wilgotności, zanieczyszczeń, oddziaływań chemicznych, napromieniowania, wysokiego natężenia pól elektromagnetycznych, & % długotrwałego wysokiego stanu wytężenia, % & wykresy rozciągania w podwyższonej temp. Materiał z czasem podlega tzw. degradacji eksploatacyjnej konstrukcji. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/6 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Własności wytrzymałościowe wielu materiałów w długich okresach wykazują zależność: % od czasu t (reologia dział mechaniki technicznej), % innych czynników środowiskowych np.: temperatury, wilgotności, zanieczyszczeń, oddziaływań chemicznych, napromieniowania, wysokiego natężenia pól elektromagnetycznych, & % długotrwałego wysokiego stanu wytężenia, % & wykresy rozciągania w podwyższonej temp. Materiał z czasem podlega tzw. degradacji eksploatacyjnej konstrukcji. Długotrwałość i cykliczność obciążenia konstrukcji wymaga zbadania wpływu czasu t " R+ na opis podstawowych charakterystyk materiałów, oraz potrzebę jego uwzględnienia na poziomie projektowania i eksploatacji, WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/7 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Model materiału lepko sprężystego wykazuje cechy: sprężyna 1. materiału sprężystego, WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/8 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Model materiału lepko sprężystego wykazuje cechy: sprężyna 1. materiału sprężystego, tłumik lepki 2. cieczy lepkiej. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/9 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Model materiału lepko sprężystego wykazuje cechy: sprężyna 1. materiału sprężystego, tłumik lepki 2. cieczy lepkiej. Różne modele fizyczny materiału lepko sprężystego są kombinacjami (układami) połączeń równoległych lub/i szeregowych sprężyn i tłumików. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/10 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Model materiału lepko sprężystego wykazuje cechy: sprężyna 1. materiału sprężystego, tłumik lepki 2. cieczy lepkiej. Różne modele fizyczny materiału lepko sprężystego są kombinacjami (układami) połączeń równoległych lub/i szeregowych sprężyn i tłumików. Model materiału lepko sprężystego jest dobrym opis zależności od czasu wielu materiałów konstrukcyjnych, w których nie dopuszcza się osiągnięcia granicy plastyczności np.: beton, tworzywa sztuczne, w stali w podwyższonej temperaturze, itp. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/11 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Model materiału lepko sprężystego wykazuje cechy: sprężyna 1. materiału sprężystego, tłumik lepki 2. cieczy lepkiej. Różne modele fizyczny materiału lepko sprężystego są kombinacjami (układami) połączeń równoległych lub/i szeregowych sprężyn i tłumików. Model materiału lepko sprężystego jest dobrym opis zależności od czasu wielu materiałów konstrukcyjnych, w których nie dopuszcza się osiągnięcia granicy plastyczności np.: beton, tworzywa sztuczne, w stali w podwyższonej temperaturze, itp. W przypadku dopuszczenia deformacji plastycznych np.: badań stanów granicznych, przyczyn awarii, katastrof itp., stosowane są bardziej złożone koncepcje nieliniowych modeli materiału np. typu sprężysto lepko plastycznego. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/12 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Relaksacja jest to zjawisko spadku wartości naprężeń, przy narzuconym stałym odkształceniu. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/13 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Relaksacja jest to zjawisko spadku wartości naprężeń, przy narzuconym stałym odkształceniu. próba statyczna ( = const ) WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/14 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Relaksacja jest to zjawisko spadku wartości naprężeń, przy narzuconym stałym odkształceniu. próba statyczna ( = const ) "l = const WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/15 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Relaksacja jest to zjawisko spadku wartości naprężeń, przy narzuconym stałym odkształceniu. próba statyczna ( = const ) "l = const krzywa relaksacji = (t) dla = const WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/16 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Pełzanie jest to zjawisko narastania trwałych odkształceń przy narzuconym stałym naprężeniu. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/17 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Pełzanie jest to zjawisko narastania trwałych odkształceń przy narzuconym stałym naprężeniu. próba statyczna WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/18 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Pełzanie jest to zjawisko narastania trwałych odkształceń przy narzuconym stałym naprężeniu. próba statyczna P = const WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/19 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Pełzanie jest to zjawisko narastania trwałych odkształceń przy narzuconym stałym naprężeniu. próba statyczna P = const krzywa pełzania = (t) przy = const WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/20 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Pełzanie jest to zjawisko narastania trwałych odkształceń przy narzuconym stałym naprężeniu. próba statyczna P = const krzywa pełzania = (t) przy = const Ocena zjawiska pełzania jest szczególnie ważna w konstrukcjach sprężonych np.: śruby sprężające, kablobetony, strunobetony itp. bowiem z czasem efekt pełzania obniża wartość siły sprężającej. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/21 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Zmęczenie materiału pojęcie występujące przy obciążeniu cyklicznym ze zmienną charakterystyką. Próba zmęczeniowa polega na badaniu wytrzymałość przy harmonicznej zmienności naprężeń (t) = m + a sin t , m średnie naprężenie, a amplitudą naprężeń, 2Ą rad Ą# ń# = częstość kołowa wymuszenia, ó# Ą# T s Ł# Ś# T okres cyklu obciążenia, m = współczynnik stałości obciążenia, a max m + a r == współczynnik asymetrii cyklu. min m - a WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/22 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Próba zmęczeniowa pulsator rezonansowy zginarka cykliczna WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/23 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Próba zmęczeniowa pulsator rezonansowy zginarka cykliczna krzywa Whlera (zmęczeniowa) = (N), N liczna cykli do chwili zniszczenia, z wytrzymałość zmęczeniowa. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/24 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Zniszczenie zmęczeniowe nagłe, ma charakter kruchy, występuje szczególnie w obszarach koncentracji naprężeń karb. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/25 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Zniszczenie zmęczeniowe nagłe, ma charakter kruchy, występuje szczególnie w obszarach koncentracji naprężeń karb. Wytrzymałość trwała największe naprężenie, przy którym zniszczenie następuje dopiero po upływie określonego czasu (teoretycznie nieskończenie długiemu czasowi obciążania, proces zniszczenia poprzedzony jest stopniowym rozwojem pełzania),. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/26 Wytrzymałość Materiałów cechy materiałów wpływ czasu Zniszczenie zmęczeniowe nagłe, ma charakter kruchy, występuje szczególnie w obszarach koncentracji naprężeń karb. Wytrzymałość trwała największe naprężenie, przy którym zniszczenie następuje dopiero po upływie określonego czasu (teoretycznie nieskończenie długiemu czasowi obciążania, proces zniszczenia poprzedzony jest stopniowym rozwojem pełzania),. Starzenie się materiału niekorzystne zmiany cech wytrzymałościowych bez udziału obciążeń zewnętrznych (wynika z nieustabilizowana budowy wewnętrznej ciał). WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21A/27 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów symbole mechaniczne cech materiału Sprężystość sprężyna sprężyna związek liniowy między siłą P i przemieszczeniem u P = Ku !
S = ES , S = E-1S , gdzie K sztywność na rozciąganie, E moduł sprężystości (stała). WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/1 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów symbole mechaniczne cech materiału Sprężystość sprężyna sprężyna związek liniowy między siłą P i przemieszczeniem u P = Ku !
S = ES , S = E-1S , gdzie K sztywność na rozciąganie, E moduł sprężystości (stała). Lepkość tłumik lepki tłumik lepki
związek liniowy między siłą P i prędkością przemieszczeń u
P = Cu !
T = T , T = -1T , gdzie współczynnik tłumienia (stała), T odkształcenie tłumika. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/2 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów model Maxwella Model Maxwella połączenie szeregowe: (1) sprężyny S = ES ,
S = E-1S ,
(2) tłumika lepkiego T = T ,
T = -1T . WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/3 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów model Maxwella Model Maxwella połączenie szeregowe: Połączenie szeregowe obowiązuje dla: naprężeń . S = T a" , odkształceń = S + T . (1) sprężyny S = ES ,
S = E-1S ,
(2) tłumika lepkiego T = T ,
T = -1T . WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/4 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów model Maxwella Model Maxwella połączenie szeregowe: Połączenie szeregowe obowiązuje dla: naprężeń S = T a" , odkształceń = S + T . (1) sprężyny S = ES ,
S = E-1S , Różniczkując po czasie mamy
= S + T
(2) tłumika lepkiego T = T ,
T = -1T .
podstawiając S = E-1 i T = -1 WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/5 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów model Maxwella Model Maxwella połączenie szeregowe: Połączenie szeregowe obowiązuje dla: naprężeń S = T a" , odkształceń = S + T . (1) sprężyny S = ES ,
S = E-1S , Różniczkując po czasie mamy
= S + T
(2) tłumika lepkiego T = T ,
T = -1T .
podstawiając S = E-1 i T = -1 otrzymuje się
= + E liniowe równanie różniczkowe między i . WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/6 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów model Kelvina Voighta Model Kelvina Voighta połączenie równoległe: (1) sprężyny, (2) tłumika lepkiego
S = ES , T = T . WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/7 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów model Kelvina Voighta Model Kelvina Voighta połączenie równoległe: (1) sprężyny, (2) tłumika lepkiego
S = ES , T = T . Połączenie równoległe obowiązuje dla: naprężeń = + T , S odkształceń . S = T a" . WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/8 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów model Kelvina Voighta Model Kelvina Voighta połączenie równoległe: (1) sprężyny, (2) tłumika lepkiego
S = ES , T = T . Połączenie równoległe obowiązuje dla: naprężeń = + T , S odkształceń S = T a" .
Podstawiając do zależności S = ES i T = T WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/9 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów model Kelvina Voighta Model Kelvina Voighta połączenie równoległe: (1) sprężyny, (2) tłumika lepkiego
S = ES , T = T . Połączenie równoległe obowiązuje dla: naprężeń = + T , S odkształceń S = T a" .
Podstawiając do zależności S = ES i T = T mamy
= E + liniowe równanie różniczkowe między i . WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/10 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów model standardowy Model standardowy połączenie równoległe: (S) sprężyny S = ES , (S) (1)
S = E-1S , (1) układu szeregowego: (S1) sprężyny = E1S1 S1 -1
S1 = E1 S1,
(T1) tłumika lepkiego T1 = 1T1, -1
T1 = 1 T1. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/11 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów model standardowy Model standardowy połączenie równoległe: Połączenie równoległe sprężyny (S) z układem (1), (1) układ szeregowy = sprężyny (S1) + tłumika (T1), (S) sprężyny S = ES , (S) (1) obowiązuje dla:
S = E-1S , naprężeń = S + 1 , gdzie S1 = T1 a" 1 odkształceń . S = 1 a" , gdzie 1 = S1+ T1 . (1) układu szeregowego: (S1) sprężyny = E1S1 S1 -1
S1 = E1 S1,
(T1) tłumika lepkiego T1 = 1T1, -1
T1 = 1 T1. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/12 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów model standardowy Model standardowy połączenie równoległe: Połączenie równoległe sprężyny (S) z układem (1), (1) układ szeregowy = sprężyny (S1) + tłumika (T1), (S) sprężyny S = ES , (S) (1) obowiązuje dla:
S = E-1S , naprężeń = S + 1 , gdzie S1 = T1 a" 1 odkształceń . S = 1 a" , gdzie 1 = S1+ T1 . (1) układu szeregowego: Różniczkując po czasie otrzymuje się (S1) sprężyny = E1S1 S1
1 1 E1 -1
S1 = E1 S1, a" 1 = S1+ T1 = + ! 1 = E1 - 1 E1 1 1
(T1) tłumika lepkiego T1 = 1T1, -1
T1 = 1 T1. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/13 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów model standardowy Model standardowy połączenie równoległe: Połączenie równoległe sprężyny (S) z układem (1), (1) układ szeregowy = sprężyny (S1) + tłumika (T1), (S) sprężyny S = ES , (S) (1) obowiązuje dla:
S = E-1S , naprężeń = S + 1 , gdzie S1 = T1 a" 1 odkształceń . S = 1 a" , gdzie 1 = S1+ T1 . (1) układu szeregowego: Różniczkując po czasie otrzymuje się (S1) sprężyny = E1S1 S1
1 1 E1 -1
S1 = E1 S1, a" 1 = S1+ T1 = + ! 1 = E1 - 1 E1 1 1
(T1) tłumika lepkiego T1 = 1T1,
oraz różniczkując po czasie (tj. = S + 1) -1
T1 = 1 T1. E1
i podstawiając 1 = E1 - 1 i 1= - E mamy 1 E1 E1 E1 EE1
= S + 1 = E + E1 - 1 = E + E1 - ( - E) ! + = (E + E1) + 1 1 1 1 WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/14 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów model standardowy Model standardowy połączenie równoległe: Połączenie równoległe sprężyny (S) z układem (1), (1) układ szeregowy = sprężyny (S1) + tłumika (T1), (S) sprężyny S = ES , (S) (1) obowiązuje dla:
S = E-1S , naprężeń = S + 1 , gdzie S1 = T1 a" 1 odkształceń . S = 1 a" , gdzie 1 = S1+ T1 . (1) układu szeregowego: Różniczkując po czasie otrzymuje się (S1) sprężyny = E1S1 S1
1 1 E1 -1
S1 = E1 S1, a" 1 = S1+ T1 = + ! 1 = E1 - 1 E1 1 1
(T1) tłumika lepkiego T1 = 1T1,
oraz różniczkując po czasie (tj. = S + 1) -1
T1 = 1 T1. E1
i podstawiając 1 = E1 - 1 i 1= - E mamy 1 #ś# E1 E1 E1 EE1 1
= S + 1 = E + E1 - 1 = E + E1 - ( - E) ! + = (E + E1) + !ś#ł = 1 1 1 1E1 ź# # #
+ ł = E + c , -1 liniowe równanie różniczkowe między i , gdzie ł = 1E1 i c = ł (E + E1). WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/15 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów pełzanie w modelach reologicznych materiałów Pełzanie problem: funkcja naprężenia (t) a" 0 = const ! a" 0 = 0, poszukuje się rozwiązania (t) . WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/16 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów pełzanie w modelach reologicznych materiałów Pełzanie problem: funkcja naprężenia (t) a" 0 = const ! a" 0 = 0, poszukuje się rozwiązania (t) . model Maxwella Równanie problemu: a" 0= const # 0
= + pełzanie ! = . Ź#
E a" 0= 0 # WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/17 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów pełzanie w modelach reologicznych materiałów Pełzanie problem: funkcja naprężenia (t) a" 0 = const ! a" 0 = 0, poszukuje się rozwiązania (t) . model Maxwella Równanie problemu: a" 0= const # 0
= + pełzanie ! = . Ź#
E a" 0= 0 # . 0 Całka (t) = t + C1,
0 warunek początkowy |t =0= , E rozwiązanie 0 0 (t) = t + . E WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/18 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów pełzanie w modelach reologicznych materiałów Pełzanie problem: funkcja naprężenia (t) a" 0 = const ! a" 0 = 0, poszukuje się rozwiązania (t) . model Maxwella Równanie problemu: a" 0= const # 0
= + pełzanie ! = . Ź#
E a" 0= 0 # 0 Całka (t) = t + C1,
0 warunek początkowy |t =0= , E rozwiązanie 0 0 (t) = t + . E Rozwiązanie jest liniową zależność między odkształceniem i czasem. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/19 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów pełzanie w modelach reologicznych materiałów Pełzanie problem: funkcja naprężenia (t) a" 0 = const ! a" 0 = 0, poszukuje się rozwiązania (t) . model Kelvina Voighta
Równanie problemu: = E + pełzanie a" 0= const ! E 1
+ = 0.
WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/20 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów pełzanie w modelach reologicznych materiałów Pełzanie problem: funkcja naprężenia (t) a" 0 = const ! a" 0 = 0, poszukuje się rozwiązania (t) . model Kelvina Voighta
Równanie problemu: = E + pełzanie a" 0= const ! E 1
+ = 0.
Całka ogólna równania jednorodnego = Cert ! 1 pierwiastek równania charakterystycznego r =-E -1, całka szczególna równania niejednorodnego = E-10 . WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/21 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów pełzanie w modelach reologicznych materiałów Pełzanie problem: funkcja naprężenia (t) a" 0 = const ! a" 0 = 0, poszukuje się rozwiązania (t) . model Kelvina Voighta
Równanie problemu: = E + pełzanie a" 0= const ! E 1
+ = 0.
Całka ogólna równania jednorodnego = Cert ! 1 pierwiastek równania charakterystycznego r =-E -1, całka szczególna równania niejednorodnego = E-10 . E - t 1
Całka równania (t) = C1 e + 0 E warunek początkowy |t =0= 0, rozwiązanie E - t 0
(t) = (1- e ). E WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/22 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów pełzanie w modelach reologicznych materiałów Pełzanie problem: funkcja naprężenia (t) a" 0 = const ! a" 0 = 0, poszukuje się rozwiązania (t) . model Kelvina Voighta
Równanie problemu: = E + pełzanie a" 0= const ! E 1
+ = 0.
Całka ogólna równania jednorodnego = Cert ! 1 pierwiastek równania charakterystycznego r =-E -1, całka szczególna równania niejednorodnego = E-10 . E - t 1
Całka równania (t) = C1 e + 0 E warunek początkowy |t =0= 0, rozwiązanie E - t 0
(t) = (1- e ). Rozwiązanie dąży E asymptotycznie do wartości 0 = E-10. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/23 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów pełzanie w modelach reologicznych materiałów Pełzanie problem: funkcja naprężenia (t) a" 0 = const ! a" 0 = 0, poszukuje się rozwiązania (t) . model standardowy a" 0= const #
Równanie problemu: + ł = E + c , pełzanie ! Ź#
a" 0= 0 # E 1
+ = 0, c c gdzie c =ł(E + E1), ł =1E1-1. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/24 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów pełzanie w modelach reologicznych materiałów Pełzanie problem: funkcja naprężenia (t) a" 0 = const ! a" 0 = 0, poszukuje się rozwiązania (t) . model standardowy a" 0= const #
Równanie problemu: + ł = E + c , pełzanie ! Ź#
a" 0= 0 # E 1
+ = 0, c c gdzie c =ł(E + E1), ł =1E1-1.
Analog do modelu Kelvina Voighta ( = E + ), różnica tylko w c , E - t 1 c stąd całka równania (t) = C1 e + 0 , E 0 ł0 zaś warunek początkowy |t =0== , ES + E1 c rozwiązanie E - t 0 #ś# łE (t) = . ś#1- (1- )e c ź# E c # # WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/25 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów pełzanie w modelach reologicznych materiałów Pełzanie problem: funkcja naprężenia (t) a" 0 = const ! a" 0 = 0, poszukuje się rozwiązania (t) . model standardowy a" 0= const #
Równanie problemu: + ł = E + c , pełzanie ! Ź#
a" 0= 0 # E 1
+ = 0, c c gdzie c =ł(E + E1), ł =1E1-1.
Analog do modelu Kelvina Voighta ( = E + ), różnica tylko w c , E - t 1 c stąd całka równania (t) = C1 e + 0 , E 0 ł0 zaś warunek początkowy |t = 0== , E + E1 c rozwiązanie E - t 0 #ś# łE Rozwiązanie od 0łc-1=0(E + E1)-1 dąży (t) = . ś#1- (1- )e c ź# E c asymptotycznie do wartości 0 = E-10. # # WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/26 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów relaksacja w modelach reologicznych materiałów
Relaksacja problem: funkcja odkształcenia (t) a" 0 = const ! a"0=0, poszukuje się rozwiązania (t). WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/27 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów relaksacja w modelach reologicznych materiałów
Relaksacja problem: funkcja odkształcenia (t) a" 0 = const ! a"0=0, poszukuje się rozwiązania (t). model Maxwella Równanie problemu: a" 0= const # E
= + relaksacja ! + = 0. Ź#
E a" 0=0 # WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/28 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów relaksacja w modelach reologicznych materiałów
Relaksacja problem: funkcja odkształcenia (t) a" 0 = const ! a"0=0, poszukuje się rozwiązania (t). model Maxwella Równanie problemu: a" 0= const # E
= + relaksacja ! + = 0. Ź#
E a" 0=0 # Całka ogólna równania jednorodnego = Cert ! 1 pierwiastek równania charakterystycznego r =-E -1, warunek początkowy |t =0= E0 , rozwiązanie E - t
(t) = E0e . WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/29 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów relaksacja w modelach reologicznych materiałów
Relaksacja problem: funkcja odkształcenia (t) a" 0 = const ! a"0=0, poszukuje się rozwiązania (t). model Maxwella Równanie problemu: a" 0= const # E
= + relaksacja ! + = 0. Ź#
E a" 0=0 # Całka ogólna równania jednorodnego = Cert ! 1 pierwiastek równania charakterystycznego r =-E -1, warunek początkowy |t =0= E0 , rozwiązanie E - t
(t) = E0e . Rozwiązanie od wartości 0= E0 dąży asymptotycznie do 0. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/30 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów relaksacja w modelach reologicznych materiałów
Relaksacja problem: funkcja odkształcenia (t) a" 0 = const ! a"0=0, poszukuje się rozwiązania (t). model Kelvina Voighta Równanie problemu: a" 0= const #
= E + relaksacja ! Ź#
a" 0=0 # WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/31 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów relaksacja w modelach reologicznych materiałów
Relaksacja problem: funkcja odkształcenia (t) a" 0 = const ! a"0=0, poszukuje się rozwiązania (t). model Kelvina Voighta Równanie problemu: a" 0= const #
= E + relaksacja ! Ź#
a" 0=0 # wymuszenie początkowe realizujemy poprzez funkcję impulsową (t) (deltę Diraca), stad rozwiązanie = E0 + 0(0) = 0[E + (0)]. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/32 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów relaksacja w modelach reologicznych materiałów
Relaksacja problem: funkcja odkształcenia (t) a" 0 = const ! a"0=0, poszukuje się rozwiązania (t). model Kelvina Voighta Równanie problemu: a" 0= const #
= E + relaksacja ! Ź#
a" 0=0 # wymuszenie początkowe realizujemy poprzez funkcję impulsową (t) (deltę Diraca), stad rozwiązanie Rozwiązanie poza zaburzeniem początkowym |t =0 jest stałe = E0 . = E0 + 0(0) = 0[E + (0)]. 0 WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/33 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów relaksacja w modelach reologicznych materiałów
Relaksacja problem: funkcja odkształcenia (t) a" 0 = const ! a"0=0, poszukuje się rozwiązania (t). model standardowy a" 0= const #
Równanie problemu: + ł = E + c , relaksacja ! Ź#
a" 0=0 # 1 E
+ = 0 , ł ł gdzie c =ł(E + E1), ł =1E1-1. WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/34 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów relaksacja w modelach reologicznych materiałów
Relaksacja problem: funkcja odkształcenia (t) a" 0 = const ! a"0=0, poszukuje się rozwiązania (t). model standardowy a" 0= const #
Równanie problemu: + ł = E + c , relaksacja ! Ź#
a" 0=0 # 1 E
+ = 0 , ł ł gdzie c =ł(E + E1), ł =1E1-1. E 1 #
Analog do rozwiązania dotyczącego pełzania + = 0 ś# , ś#ź# c c # # rozwiązanie ma postać 1 - t #ś# c ł (t) = E0 ś#1- (1- )e ś#ź# ź#. łE # # WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/35 Wytrzymałość Materiałów reologiczne modele materiałów relaksacja w modelach reologicznych materiałów
Relaksacja problem: funkcja odkształcenia (t) a" 0 = const ! a"0=0, poszukuje się rozwiązania (t). model standardowy a" 0= const #
Równanie problemu: + ł = E + c , relaksacja ! Ź#
a" 0=0 # 1 E
+ = 0 , ł ł gdzie c =ł(E + E1), ł =1E1-1. E 1 #
Analog do rozwiązania dotyczącego pełzania + = 0 ś# ś#ź# c c # # rozwiązanie 1 - t #ś# c ł (t) = E0 ś#1- (1- )e ś#ź# ź#. łE # # Rozwiązanie od wartości 0c ł-1 = (E + E1)0 dąży asymptotycznie do 0 = E0 . WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W21B/36 Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III Dziękuję za uwagę WILiŚ Politechnika Gdańska Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów