Część 2 8. METODA CROSSA 1
8. Ł
8. METODA CROSSA
8.1. Wprowadzenie
Metoda Crossa pozwala w łatwy sposób określić wartości sił wewnętrznych w układach
niewyznaczalnych, jednak dokładność obliczeń zależy od liczby przeprowadzonych iteracji. W odróżnieniu od
metody sił oraz metody przemieszczeń nie wymaga ona rozwiązania układu równań, ale pozwala na
bezpośrednie obliczenie szukanych wielkości. Stosowanie metody iteracyjnej jest szczególnie korzystne przy
rozwiązywaniu belek ciągłych i ram nieprzesuwnych, lub ram o niewielkiej liczbie niezależnych przesuwów.
Podstawowe założenia tej metody są identyczne z założeniami klasycznej metody przemieszczeń.
Poszukiwanymi wielkościami są przęsłowe momenty przywęzłowe, a schemat podstawowy przyjmuje się
identyczny jak w metodzie przemieszczeń. Układ prętowy po zastąpieniu go układem podstawowym będzie
składał się z pojedynczych elementów, które można przedstawić jako oddzielne belki.
Rozpatrzmy najpierw zadanie, które pomoże zrozumieć istotę tej metody (rys. 8.1). W węzle i zbiega
się kilka prętów. Na węzeł środkowy i działa moment zewnętrzny Mi, jest to jedyne obciążenie w układzie.
Mi
i
Rys. 8.1. Schemat ramy
Moment zewnętrzny będzie przenoszony przez wszystkie pręty. Rozkład obciążenia na poszczególne pręty
będzie proporcjonalny do wielkości charakteryzujących sztywności tych prętów. Sztywność pręta w metodzie
Crossa określamy jako wartość momentu M (przęsłowego momentu przywęzłowego), jaki powstanie przy
ik
obrocie przekroju i o kąt jednostkowy. Umowna sztywność pręta s , zależy od sposobu podparcia węzła, co
ik
obrazują rysunki 8.2, 8.3 i 8.4.
Ći=1
Mik
EJ
k i
Mki
l
Rys. 8.2. Belka obustronnie utwierdzona
Dla belki obustronnie utwierdzonej sztywność s pręta wyznaczamy ze wzoru transformacyjnego:
ik
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 8. METODA CROSSA 2
2 EJ
M = "śą2ąiąąk-3ąik źą
ik
l
dla Ć =1 (Ć = = 0)
i k ik
4 EJ
sik=M = =4 i (8.1)
ik
l
EJ
i=
gdzie i, to sztywność bieżąca pręta . Belka jest symetryczna, wobec tego:
l
ski=M śąąk=1źą=4 i
(8.1)
ki
Natomiast dla belki utwierdzonej jednostronnie (rys. 8.3):
Ći=1
EJ
Mik
k
i
l
Rys. 8.3. Belka utwierdzona jednostronnie
wzór transformacyjny
3 EJ
M = "śąąi-ąik źą
ik
l
pozwala określić sztywność
3 EJ
sik=M śąąi=1źą= =3i
(8.2)
ik
l
W przegubie moment jest zerowy s = 0
ki
W belce z podporą ślizgową
Ći=1
EJ
i k
l
Rys. 8.4. Belka utwierdzona obustronnie z przesuwem
ze wzorów transformacyjnych:
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 8. METODA CROSSA 3
EJ EJ
M = "śąąi-ąkźą M = "śąąk-ąiźą
ik ki
l l
wyznaczamy sztywności
EJ EJ
sik=M śąąi=1źą= =i ski=M śąąki=1źą= =i (8.3)
ik ki
l l
Sztywność węzła S , w którym zbiega się kilka prętów jest sumą sztywności poszczególnych prętów.
i
Si= sik
"
(8.4)
k
Moment obciążający węzeł rozkłada się na poszczególne pręty proporcjonalnie do współczynnika rozdziału r ,
ik
który dla każdego pręta liczymy ze wzoru:
sik
rik= (8.5)
Si
Suma współczynników rozdziału dla węzła wynosi 1:
rik=1
"
(8.6)
k
Współczynnik rozdziału wyraża procentowy udział pręta w przeniesieniu momentu przyłożonego do węzła, do
którego ten pręt dochodzi.
Stosunek momentu powstającego w przeciwległym węzle do momentu w przekroju przy węzle doznającym
obrotu o kąt jednostkowy nazywamy współczynnikiem przeniesienia p ..
ik
M
ki
pik= (8.7)
M
ik
Na podstawie wzorów transformacyjnych można określić momenty przy obu węzłach belki, gdy jeden z
przekrojów dozna jednostkowego obrotu.
Współczynniki przeniesienia (przekazniki) zależą od sposobu podparcia belki:
" belka obustronnie utwierdzona p = 0,5, bo
ik
M
4 EJ 2 EJ 1
ki
M śąąi=1źą= M śąąi=1źą= pik= =
ik ki
l l M 2
ik
" belka jednostronnie utwierdzona z przegubem p = 0
ik
" belka obustronnie utwierdzona z przesuwem p = 1,0
ik
" wspornik p = 0
ik
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 8. METODA CROSSA 4
Wyznaczmy omówione powyżej parametry dla poszczególnych prętów w ramie z węzłami oznaczonymi jak na
rys. 8.5.
2
3
M
0 1 4
3
3
4 4
[m]
Rys. 8.5. Schemat ramy
Dla prętów obustronnie utwierdzonych mamy:
2 EJ 4 EJ
s10 śąą1=1źą= śą2 "1źą= =EJ
l 4
4 EJ
s14 = =EJ
4
Dla prętów utwierdzonych jednostronnie:
3 EJ 3 EJ
s12śąą1=1źą= "1= =EJ
l 3
3 EJ
s13 = =EJ
3
Wobec tego sztywność węzła 1 wynosi:
S1 =s12ąs13 ąs14 ąs10
S1 =EJ ąEJ ąEJ ąEJ =4 EJ
współczynniki rozdziału dla poszczególnych prętów są takie same
EJ
r10 =r14 =r12 =r13 = =0,25 (8.4)
4 EJ
Teraz na podstawie wyznaczonych współczynników rozdzielamy moment M obciążający węzeł 1 na każdy
pręt. Wartości momentów M i M wyznaczamy korzystając ze współczynników przeniesienia, które dla
41 01
prętów obustronnie utwierdzonych wynoszą 0,5. Ponieważ tylko jeden węzeł jest obciążony wystarczy
wykonać jeden krok iteracyjny
M =r1 k"M
1 k
M = pk1"M
k1 1 k
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 8. METODA CROSSA 5
Wyniki zestawiono w tabeli 8.1.
Tabela 8.1. Obliczanie momentów zginających
pręt 10 12 13 14 41 01
r 0,25 0,25 0,25 0,25
1k
M 0,25M 0,25M 0,25M 0,25M 0,125M 0,125M
ik
Jeżeli dane obciążenie jest obciążeniem węzłowym, to przy rozdzielaniu go nie zmieniamy znaku (patrz
tabela 8.1). Natomiast gdy działające obciążenie, to obciążenie przęsłowe, wtedy w celu zrównoważenia węzła
trzeba zmienić znak (rys. 8.8).
2
M
4
M
M
4
M
8
M M
4
0
4
M
1 4
M
M
4
M
8
4
4
M
3
4
Rys. 8.6. Znakowanie momentów
Rys. 8.7. Wykres momentów
Dodatnie znaki momentów przywęzłowych na prętach podano na rys 8.6. Ostateczne rozwiązanie
analizowanej ramy przedstawiono na rys. 8.7. Powyższe zadania miało na celu pokazanie jedynie sposobu
obliczania poszczególnych współczynników w metodzie Crossa.
8.2. Algorytm postępowania w metodzie kolejnych przybliżeń
W metodzie Crossa możemy stosować różne rodzaje zapisu. Jednak niezależnie od sposobu notowania
obliczeń należy przejść następujące etapy:
" obliczenie sztywności prętów s ,
ik
Si= sik
"
" obliczenie sztywności węzłów ,
k
sik
rik=
" obliczenie współczynników rozdziału ,
Si
" obliczenie współczynników przeniesienia p ,
ik
" obliczenie momentów przywęzłowych od obciążeń przęsłowych, zewnętrznych w układzie podstawowym
takim jak w klasycznej metodzie przemieszczeń. Do ich wyznaczenia można skorzystać z tabeli 1.2.
Po wymienionych wstępnych obliczeniach możemy przystąpić do iteracji, czyli do kolejnego
wyrównywania momentów w węzłach konstrukcji.
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 8. METODA CROSSA 6
8.3. Zapis bezpośredni belka ciągła
W celu zobrazowania prostoty i automatyzmu postępowania w przypadku obliczeń dowolnie
skomplikowanych ram metodą Crossa posłużymy się przykładem nieprzesuwnej belki ciągłej jednokrotnie
kinematycznie niewyznaczalnej. Będziemy stosować zapis bezpośredni.
16kN
4kN/m
1 2 3
EJ EJ
2 2 6
[m]
Rys. 8.8. Schemat belki
Obliczenia wstępne:
" wyznaczenie sztywności prętów
4 EJ
s12 =s21 = =EJ
4
3 EJ EJ
s23 = =
6 2
" wyznaczenie sztywności węzłów
S1 =EJ
EJ 3 EJ
S2 =EJ ą =
2 2
S3 =0
" wyznaczenie współczynników rozdziału
s12 2
r12 = =
S2 3
s23
r23 = =1
S2 3
" wyznaczenie momentów przywęzłowych od obciążeń przęsłowych
Pl Pl
ql2
8 8
8
3
1 2
16 "4
M =-16 "4 =-8 kNm M = =8 kNm
12 21
8 8
4 "62
M =0
M =- =-18 kNm
32
23
8
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 8. METODA CROSSA 7
Otrzymane wartości porządkujemy w tabeli:
16kN
4kN/m
3
1 2
EJ EJ
2 2 6
[m]
Tabela 8.2. Zapis bezpośredni metody Crossa
1 l 4m 6m
EJ EJ
2 i
4 6
EJ
3 s EJ
2
3EJ EJ
4 S=Łs EJ
2 2
2 1
5 r 1 1
3 3
p
6 0 0,5 0 0,5
Mo -8
7 8 -18 0
-"M2=10
1 2 1
8 I 10 10 10 0
3 3 3
9 Ł= -14 -44 -44
0
3 3 3
Po zsumowaniu okazuje się, że w węzle 2 występuje różnica momentów "M = -10 (wiersz 7). Aby węzeł był
2
w równowadze trzeba dodać moment o wartości -"M .
2
Rozdzielamy niezrównoważony moment zginający w węzle 2 o wartości 10 kNm na pręty 1-2 i 2-3 (wiersz 8).
Współczynniki przeniesienia pozwalają nam obliczyć wartości momentów w punktach 1 i 3 wywołane
momentem -"M . Na koniec obliczamy momenty na prętach (wiersz 9) przez sumowanie wartości wyjściowej
2
(wiersz 7) i rozdzielonej wartości "M (wiersz 8). Został wykonany jeden krok iteracyjny. W bardziej
2
skomplikowanych zadaniach iterację należy przeprowadzić więcej razy. Końcowy wykres momentów został
przedstawiony na rys. 8.9.
44
[kNm]
M
3
14
3
3
1 2
Rys. 8.9. Wykres momentów w układzie niewyznaczalnym
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 8. METODA CROSSA 8
8.4. Zapis tabelaryczny rama nieprzesuwna
Zapis tabelaryczny jest wygodniejszy dla ram, w których w jednym węzle zbiega się więcej niż dwa
pręty, gdyż nie jest bezpośrednio związany ze schematem konstrukcji.
6kN
4kN/m
EJ B 1,5EJ C
A
3
16kN
2EJ 2EJ
3
E
D
2 2 6
[m]
Rys. 8.10. Schemat ramy
Określenie potrzebnych parametrów:
" obliczenie sztywności prętów
4 EJ
sAB=sBA= =EJ
4
4 "1,5 EJ
sBC=sCB= =EJ
6
3 "2 EJ
sBE= =EJ
6
3 "2 EJ
sCD= =EJ
6
" obliczenie sztywności węzłów
S =sAB=EJ
A
S =sBAąsBCąsBE=3 EJ
B
SC=sCBąsCD=2 EJ
" obliczenie współczynników rozdziału
rAB=1
1
rBA=rBC=rBE=
3
1
rCB=rCD=
2
" obliczenie momentów przywęzłowych od obciążeń przęsłowych
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 8. METODA CROSSA 9
12
12
3
3
C
18
A B
E
D
M =-6 "4 =-3 kNm M =6 "4 =3 kNm
AB BA
8 8
2
4 "62
M =- =-12 kNm M =-4 "6 =12 kNm
BC CB
12 12
M =-3 "16 "6 =-18 kNm
CD
16
Układamy tablicę, w której dla każdego węzła wydzielamy dodatkową kolumnę oznaczoną symbolem
sumy. Oprócz tej kolumny dla każdego węzła tworzymy jeszcze tyle kolumn, ile zbiega się w nim prętów.
Tytułami kolumn są oznaczenia prętów. Ważna jest kolejność liter, gdyż pierwsza wskazuje punkt, w którym
znajduje się analizowany przekrój. Mówiąc o przekroju np. BA mamy na myśli przekrój przy węzle B na
pręcie AB.
Następnie zapisujemy w kolumnach odpowiadających poszczególnym przekrojom przywęzłowym obliczone
sztywności prętów s, współczynniki rozdziału r i przekazniki p. Wszystkie te wielkości stanowią nagłówek
tablicy. Następnie we właściwej części tablicy wpiszemy momenty zginające przywęzłowe i przeprowadzimy
iterację. Sposób prowadzenia iteracji w tablicy omówimy na przykładzie analizowanej ramy.
Tabela 8.3. Wyznaczenie momentów zginających metodą Crossa
Węzeł A B C
Pręt AB " BA BC BE " CB CD
s EJ 3EJ EJ EJ EJ 2EJ EJ EJ
r 1 1 S! S! S! 1
p 0 0,5 0,5 0 0,5 0
Mo -3 -9 3 -12 0 12 -18
I równoważenie 1,5 9 3 3 3 -4,5 1,5
II równoważenie 1,125 1,125 4,5 2,25 2,25
III równoważenie -0,1875 -1,125 -0,375 -0,375 -0,375 -0,1875 -0,1875
IV równoważenie 0,046875 0,046875 0,1875 0,09375 0,09375
V równoważenie -0,0078 -0,046875 -0,015625 -0,015625 -0,015625 -0,007813 -0,007813
VI równoważenie 0,001953 0,001953 0,007813 0,003906 0,003906
VII równoważenie -0,0003 -0,001953 -0,000651 -0,000651 -0,000651
wynik końcowy -1,70 0 5,61 -8,22 2,61 0 15,65 -15,65
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 8. METODA CROSSA 10
W pierwszym wierszu wpisujemy momenty wyjściowe Mo (wyznaczone w układzie kinematycznie
wyznaczalnym), które obliczyliśmy już wcześniej. Następnie w każdym węzle sprawdzamy sumę momentów.
Okazuje się, że największy co do wartości bezwzględnej niezrównoważony moment występuje w węzle B.
Wynosi on "M = -9 kNm. Zapisujemy go w rubryce sum węzła B. Zwalniamy teraz fikcyjne utwierdzenie
B
węzła B i dokonujemy obrotu równoznacznego z przyłożeniem do tego węzła momentu -"M = 9 kNm, aby
B
uzyskać równowagę węzła B. Moment równoważący 9 kNm rozdzielamy na przekroje przywęzłowe schodzące
się w punkcie B według współczynników rozdziału, czyli:
M =M =M =1"9 =3 kNm
BA BC BE
3
Obliczone momenty przekazujemy według przekazników p odpowiednio na węzły A i C (na przekroje AB i
CB):
M =0,5 "3 =1,5 kNm M =0,5 "3 =1,5 kNm
CB AB
Po zrównoważeniu węzła, rozdzieleniu i przekazaniu momentów podkreślamy kolumny danego węzła i
przechodzimy do węzła następnego, w tym przypadku węzła C (węzeł B jest w równowadze). Suma
momentów w tym węzle wynosi "M = -4,5 kNm. Dla zrównoważenia przykładamy moment -"M = 4,5 kNm
C C
i rozdzielamy go na przekroje przywęzłowe według współczynników rozdziału tego węzła:
1"4,5 =2,25 kNm 1"4,5 =2,25 kNm
M = M =
CB CD
2 2
Z przekroju CB połowa momentu przekazywana jest na przekrój BC zgodnie ze współczynnikiem przekazu:
M =0,5 "2,25 =1,125 kNm
BC
Po przekazaniu tego momentu podkreślamy węzeł C, który już jest zrównoważony w tym kroku iteracyjnym.
Teraz ponownie mamy brak równowagi w węzle B, "M = 1,125 kNm. Równoważmy węzeł przyłożeniem
B
momentu -1,125 kNm i dalej przeprowadzamy iterację, aż do otrzymania niezrównoważonych momentów "M
o wartościach równych założonej dokładności obliczeń.
Sumy momentów w poszczególnych rubrykach są już gotowymi wartościami momentów przywęzłowych w
ramie niewyznaczalnej. Suma momentów, w każdym węzle musi być równa zeru: M = 0, co jest warunkiem
i
koniecznym (ale niewystarczającym) poprawności rozwiązania zadania.
15,65
8,22
5,61
1,70
15,65
2,61
MP(n)
[kNm]
Rys. 8.11. Wykres momentów w ramie niewyznaczalnej
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 8. METODA CROSSA 11
8.5. Ramy o węzłach przesuwnych
Rozwiązywanie ram o węzłach przesuwnych jest bardziej pracochłonne niż ram o węzłach
nieprzesuwnych. Zajmiemy się sposobem dwuetapowego rozwiązywania takich ram, opartym na umiejętności
rozwiązywania ram o węzłach nieprzesuwnych. W I etapie uwzględniamy wpływ obciążenia zewnętrznego
działającego na ramę o węzłach pozbawionych swobody przesuwu, natomiast w etapie drugim uwzględniamy
wpływ przesuwów. Etap II dzielimy na tyle podetapów, ile jest niezależnych przesuwów. Ostateczne
rozwiązanie danego układu jest sumą rozwiązań poszczególnych etapów.
Dla zobrazowania zagadnienia rozwiążemy przykład podobny do poprzedniego (rys. 8.11). Różnica
polega na tym, że podporę D zamienimy na przesuwną (rys. 8.12). Dzięki temu będziemy mogli wykorzystać
wyniki z poprzedniego zadania.
Etap I. Wprowadzamy zamocowania uniemożliwiające obroty węzłów B i C oraz podporę w punkcie D
pozbawiającą ramę możliwości przesuwu. Otrzymaliśmy w ten sposób układ podstawowy (rys. 8.13).
6kN
4kN/m
EJ B 1,5EJ C
A
3
16kN
2EJ 2EJ
3
E
D
2 2 6
[m]
Rys. 8.12. Schemat ramy z podporą przesuwną
6kN
4kN/m
EJ B 1,5EJ C
A
3
16kN
2EJ 2EJ
3
RD
E
D
2 2 6
[m]
Rys. 8.13. Układ podstawowy (podpora nieprzesuwna w punkcie D)
Po wyznaczeniu momentów wyjściowych dla tego układu (w układzie podstawowym) przeprowadzamy
obliczenia iteracyjne umożliwiając kolejno węzłom obroty aż do uzyskania równowagi węzłów. Całą iterację
przeprowadzamy dla układu nie mającego możliwości przesuwu. Jest to zatem takie zadanie jak
rozwiązaliśmy poprzednio. Wynikiem tych obliczeń jest uzyskanie wartości momentów w układzie
niewyznaczalnym, które w tym zadaniu są momentami z pierwszego etapu MI (rys. 8.11).
Biorąc pod uwagę pręt CD obciążony siłą zewnętrzną i momentem przywęzłowym z I etapu wyznaczamy
reakcję w fikcyjnej podporze poziomej w punkcie D (rys. 8.14)
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 8. METODA CROSSA 12
M =0 15,65ąRI "6 =16 "3
"
C D
RI =5,39 kN
D
Można stwierdzić, że jest to reakcja w układzie kinematycznie wyznaczalnym.
C
15,65
16kN
RDI
D
I
Rys. 8.14. Wyznaczenie reakcji R
D
Etap II. Ponieważ w rzeczywistości węzeł D może się przesunąć, usuwamy fikcyjną podporę w tym węzle
umożliwiając w ten sposób przemieszczenie. Nie wiemy, jaka będzie prawdziwa wartość tego
przemieszczenia, dlatego dokonujemy przesunięcia o wartość dowolną. Na skutek przesuwu o wartość "
podpory D w węzle C powstaje moment, którego wartości też nie znamy. Dla ułatwienia rachunków
o
przyjmujemy taką wartość przesunięcia, aby wyjściowe momenty drugiego etapu M przybierały wartości
II
wygodne liczbowo na przykład powyżej 100. Ponieważ wartość ta nie ma wpływu na ostateczny wynik, jest
dowolna, przyjmujemy:
o
M =180
II
EJ B 1,5EJ C
A
6
2EJ 2EJ
E
D
"
4 6
[m]
Rys. 8.15. Dowolne przesunięcie podpory D
Innymi słowy trzeba obliczyć wartość momentu, który przyłożony w węzle C zrównoważy reakcję poziomą w
węzle D. Jeżeli znajdziemy wartość tego momentu, przyłożymy go do konstrukcji i wyznaczymy rozkład sił
wewnętrznych od tego obciążenia. Będą to siły wewnętrzne II etapu po zsumowaniu ich z siłami etapu I
otrzymamy ostateczny wynik.
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 8. METODA CROSSA 13
180
EJ B 1,5EJ C
A
6
2EJ 2EJ
E
D
4 6
[m]
o
Rys. 8.16. Momenty wyjściowe M (w układzie podstawowym)
II
Tabela 8.4. Obliczenia dla ramy z przesuwem
Węzeł A B C
Pręt AB " BA BC BE " CB CD
s EJ 3EJ EJ EJ EJ 2EJ EJ EJ
r 1 1 S! S! S! 1
p 0 0,5 0,5 0 0,5 0
MI -1,70 0 5,61 -8,22 2,61 0 15,65 -15,65
o
180 180
M
II
I równoważenie -45 -45 -180 -90 -90
II 7,5 45 15 15 15 7,5 7,5
III -1,875 -1,875 -7,5 -3,75 -3,75
IV 0,3125 1,875 0,625 0,625 0,625 0,3125 0,3125
V -0,078125 -0,078125 -0,3125 -0,15625 -0,15625
VI 0,0130 0,078125 0,026042 0,026042 0,026042
7,83 0 15,65 -31,30 15,65 0 -86,09 86,09
MII
-2,94 0 -5,88 11,76 -5,88 0 32,33 -32,33
mMII
M -4,64 0 -0,27 3,54 -3,27 0 47,98 -47,98
Po przeprowadzeniu sześciu kroków iteracyjnych uzyskaliśmy rozkład momentów MII w ramie
niewyznaczalnej obciążonej momentem 180 w węzle C (od przesuwu).
II
Następnie obliczamy wartość reakcji R fikcyjnej (rys. 8.17), która powstaje w ramie niewyznaczalnej
D
obciążonej momentem 180.
M =0 86,09=RII"6
"
C D
RII =14,35 kN
D
W podporze D w rzeczywistości nie ma reakcji poziomej. Wobec tego przesuw musi mieć taką wartość, aby
reakcja od niego powstająca zrównoważyła reakcje od obciążenia zewnętrznego. Suma reakcji R od
D
obciążenia i od przesuwu musi być równa zeru. W związku z tym należy skorygować dowolne, dokonane w II
etapie przesunięcie, mnożąc je przez wielkość m. Wtedy reakcja powstająca od przesuwu też będzie
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Część 2 8. METODA CROSSA 14
skorygowana współczynnikiem m:
RI ąm"RII =0
D D
C
86,09
RDII
D
II
8.17. Wyznaczenie reakcji R
D
Z zależności tej wyznaczamy wartość mnożnika m, który wyraża stosunek rzeczywistego przesunięcia węzłów
do przesunięcia dowolnego, dokonanego w drugim etapie, czyli także stosunek momentów powodowanych
przesunięciem rzeczywistym do momentów wywołanych dowolnym przesuwem ":
II
RI M
D rz
m=- =
II
RII M
D
Podstawiając obliczone w etapie I i II reakcje otrzymujemy:
5,39
m=- =-0,3756
14,35
Ostatecznie rzeczywiste momenty przywęzłowe zgodnie z zasadą superpozycji będą sumą momentów z ramy
nieprzesuwnej MI i momentów od przesuwu MII (") skorygowanych współczynnikiem m:
I II
M =M ąm"M
ik ik ik
Wyniki przedstawiono w tabeli 8.4 i na rys. 8.18.
47,98
4,64
3,27
0,27
47,98
3,54
M(n)
[kNm]
Rys. 8.18. Wykres momentów rzeczywistych w ramie z przesuwem
Dobra D., Dziakiewicz A., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
TI 99 08 19 B M pl(1)ei 05 08 s029Wyklad 2 PNOP 08 9 zaoczneEgzamin 08 zbior zadan i pytanniezbednik wychowawcy, pedagoga i psychologa 08 4 (1)Kallysten Po wyjęciu z pudełka 0808 Inflacjacan RENAULT CLIO III GRANDTOUR 08 XX PL 00108 studwięcej podobnych podstron