Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
10. PROSTE ZGINANIE
10.1. Naprężenia i odkształcenia
Proste zginanie pręta pryzmatycznego występuje wówczas gdy układ sił zewnętrznych po
jednej stronie jego przekroju poprzecznego redukuje się do momentu (pary sił), którego
płaszczyzna działania jest prostopadła do płaszczyzny przekroju, a wektor jest równoległy do
jednej z głównych centralnych osi bezwładności przekroju poprzecznego. Moment ten M
nazywamy momentem zginającym. Naszym zadaniem będzie wyznaczenie macierzy
naprężeń i odkształceń oraz współrzędnych wektora przemieszczenia w dowolnym punkcie
takiego pręta.
Rozważmy więc, pokazany na rys. 10.1 pręt pryzmatyczny o polu przekroju poprzecznego A
określony w układzie osi (X, Y ,Z) w którym oś X jest osią pręta a osie (Y, Z) są głównymi
centralnymi osiami bezwładności jego przekroju poprzecznego. W rozważanym przypadku
występuje proste zginanie w płaszczyznie (X, Z) a wektor momentu zginającego jest
równoległy do osi Y i dlatego na rysunku moment ten jest nazwany My. Materiał pręta jest
izotropowy, liniowo sprężysty o staÅ‚ych materiaÅ‚owych E oraz ½.
Z
Z
v(1,0,0)
Y
Ä
Y xz
Ä
xy
My
Ã
x
X X
My
My
II
I I
A
A
x x
Rys. 10.1
Postawione zadanie rozwiążemy postępując analogicznie jak w przypadku osiowego
rozciągania. Po dokonaniu myślowego przekroju pręta na dwie części, odrzuceniu części II i
przyłożeniu do części I układu sił wewnętrznych rozważymy trzy komplety równań, tzn.
równania równowagi, geometryczne i fizyczne.
Równania równowagi wynikające z twierdzenia o równoważności odpowiednich układu sił
wewnętrznych i zewnętrznych w tym przypadku przyjmą postać:
Å„Å‚
à dA = 0, Ä dA = 0, Ä dA = 0,
x xy xz
+"+" +"+" +"+"
ôÅ‚
ôÅ‚
A A A
(9.1)
òÅ‚
(-Ä z +Ä y)dA = 0, Ã z dA = M , Ã y dA = 0.
ôÅ‚
xy xz x y x
+"+" +"+" +"+"-
ôÅ‚
ół A A A
Równania geometryczne będą wynikiem analizy deformacji pręta po przyłożeniu obciążeń.
Obraz deformacji zginanego pręta przypuszczony w oparciu o przyjęte założenia odnośnie
własności jego materiału i hipotezę płaskich przekrojów Bernoulliego pokazuje rys. 10.2.
108
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
konfiguracja konfiguracja
poczÄ…tkowa aktualna
Z Z
X
X
warstwa obojętna
x dx
Rys. 10.2
Analizując przypuszczony obraz deformacji pręta po przyłożeniu obciążeń przyjmiemy, że:
" przekroje płaskie i prostopadłe do osi pręta przed przyłożeniem obciążenia pozostały
płaskie i prostopadłe do osi pręta po deformacji,
" odkształcenia kątowe włókien równoległych do osi układu odniesienia są równe zero,
" odksztaÅ‚cenia liniowe zwiÄ…zane sÄ… zależnoÅ›ciÄ…: µ =µ = -½ µ ,
y z x
" górne włókna uległy wydłużeniu, a dolne skróceniu, istnieje warstwa włókien - warstwa
obojętna, których długość nie uległa zmianie, choć przyjęły formę krzywoliniową o
staÅ‚ym promieniu krzywizny Á , i w konfiguracji poczÄ…tkowej włókna te leżaÅ‚y na
płaszczyznie (X, Y).
W celu wyznaczenia odksztaÅ‚cenia liniowego µ
dx+" dx x
D
rozważmy deformację odcinka pręta o dowolnie
C
C
D z
z X
małej długości dx przed przyłożeniem obciążeń
(rys. 10.3). Po przyłożeniu obciążenia przekroje
A
B
skrajne obrócÄ… siÄ™ i utworzÄ… dowolnie maÅ‚y kÄ…t dÕ.
JeÅ›li Á jest promieniem krzywizny warstwy
dx
obojÄ™tnej to odksztaÅ‚cenia liniowe µ włókien
warstwa
x
Á
obojętna
odległych o z od warstwy obojętnej wynoszą:
dÕ
z
lim lim
" dx (Á + z)dÕ - Á dÕ z
µ = = =
x
dx 0 dx dÕ 0 Á dÕ Á
Rys. 9.3
Tak więc równania geometryczne mają postać:
z z
µ = , µ =µ = -½ µ = -½ ,
x y y x
Á Á
Å‚ = 0, Å‚ = 0, Å‚ = 0 .
xy yz zx
Naprężenia wyznaczymy korzystając z równań Hooke a.
109
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
E îÅ‚ ½
à = (µ +µ +µ )Å‚Å‚ à = E µ
x ïÅ‚µ + x y z śł x x
x
1+½ 1- 2½
ðÅ‚ ûÅ‚
E îÅ‚ ½
à = (µ +µ +µ )Å‚Å‚ à =0
y ïÅ‚µ + x y z śł y
y
1+½ 1- 2½
ðÅ‚ ûÅ‚
E îÅ‚ ½
à = (µ +µ +µ )Å‚Å‚ à =0
z ïÅ‚µ + x y z śł z
z
1+½ 1- 2½
ðÅ‚ ûÅ‚
Ä =GÅ‚ Ä = 0 ; Ä =GÅ‚ Ä = 0 ; Ä =GÅ‚ Ä =0
xy xy xy yz yz yz zx zx zx
Należy teraz sprawdzić czy wyprowadzone w oparciu o obserwacje deformacji pręta
naprężenia spełniają równania równowagi (10.1) i związać naprężenia z obciążeniami, które
redukujÄ… siÄ™ tylko do momentu zginajÄ…cego.
Zerowanie się naprężeń stycznych powoduje, że równania drugie, trzecie i czwarte są
spełnione. Sprawdzamy pierwsze równanie:
E
x x
+"+"Ã dA= 0 +"+"E µ dA = 0 +"+"z dA=0
Á
A A A
jest ono spełnione bo całka przedstawia moment statyczny względem osi Y przekroju
poprzecznego, a oÅ› ta jest jego osiÄ… centralnÄ….
Równanie szóste:
E
y z dA =0
x
+"+"-Ã y dA=0 - +"+"
Á
A A
jest spełnione bo osie (Y, Z) są głównymi osiami bezwładności przekroju poprzecznego, więc
całka w powyższym równaniu, przedstawiająca moment dewiacji przekroju względem tych
osi jest równa zero.
Sprawdzenie równania piątego:
E E
2 2
z dA = M
x y y y
+"+"Ã z dA = M +"+" +"+"z dA = M
Á Á
A A A
daje zależność między krzywizną osi zdeformowanego pręta i momentem zginającym:
M
1
y
= , (10.2)
Á E J
y
co pozwala napisać związki wiążące moment zginający z odkształceniem liniowym i
naprężeniem normalnym:
M
y
µ = z (10.3)
x
E J
y
110
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
M
y
à = z (10.4)
x
J
y
Ostatecznie więc macierze naprężeń i odkształceń przy prostym zginaniu w płaszczyznie
(X, Z) lub, inaczej mówiąc przy prostym zginaniu względem osi Y mają postać:
ëÅ‚ M öÅ‚
y
ìÅ‚ ÷Å‚
M z 0 0
ëÅ‚ öÅ‚
y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ E J ÷Å‚
z 0 0
y
J
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
y
M
y
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
Tà = 0 0 0÷Å‚ Tµ = 0 -½ z 0 (10.5)
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
E J
y
0 0 0÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
M
y
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
0 0 -½ z÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
E J
y
íÅ‚ Å‚Å‚
9.2. Analiza stanu naprężenia i odkształcenia
W pręcie poddanym prostemu zginaniu występuje jednoosiowy niejednorodny stan
naprężenia scharakteryzowany jednym tylko naprężeniem normalnym à , które zależy
x
liniowo od współrzędnej z punktu, w którym obliczamy naprężenia.
Wzór (10.4) dowodzi, że końce wektorów naprężenia à leżą na płaszczyznie, którą możemy
x
nazwać płaszczyzną naprężenia. Krawędz przecięcia się płaszczyzny naprężenia z
płaszczyzną przekroju poprzecznego nazywać będziemy osią obojętną, gdyż jest ona
miejscem geometrycznym punktów, w których wartości naprężeń normalnych spełniają
równanie:
à = 0
x
Podstawienie do niego zależności (10.4) daje równanie osi obojętnej dla przypadku prostego
zginania w płaszczyznie (X, Z):
z = 0,
co pokazuje, że w rozważanym przypadku naprężenia zerują się w punktach leżących na osi
Y, to jest tej głównej centralnej osi bezwładności przekroju poprzecznego do której
równoległy jest wektor momentu zginającego. Zatem oś obojętna przy prostym zginaniu
pokrywa się z kierunkiem wektora momentu zginającego i jej położenie nie zależy od
wartości momentu zginającego.
Największe co do bezwzględnej wartości naprężenia wystąpią w punktach najodleglejszych
od osi obojętnej i mają wartość:
M M
y y
max à = max z = , (10.6)
x
J Wy
y
J
y
gdzie: Wy = - wskaznik wytrzymałości przy zginaniu względem osi Y.
max z
Układ (rozkład) sił wewnętrznych w przekroju poprzecznym pręta pokazuje rys. 10.4.
111
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
M
y
Z
à = hg
x
J
y
oś obojętna
Y
My
hg
X
M
hd
y
à = hd
x
J
y
X
Rys. 10.4
Ponieważ wartości naprężeń normalnych w tym przypadku nie zależą od współrzędnej y to
ich rozkład można rysować w płaszczyznie y = 0, jak to zostało pokazane na rys. 10.5.
Z
Z Z
M
M
y
y
à = hg
à = hg
x
x
J
J
y
y
hg
Y X
X
My
hd
M
y M
y
à = hd
x à = hd
x
J
y J
y
Rys. 9.5
Naprężenie normalne à jest równocześnie naprężeniem głównym w danym punkcie, a dwa
x
pozostałe naprężenia główne są równe zeru i ich kierunki to jakiekolwiek dwa prostopadłe do
siebie i równocześnie prostopadłe do osi pręta.
Ekstremalne naprężenia styczne wystÄ™pujÄ… w przekrojach nachylonych pod kÄ…tem 45° do osi
pręta i równają się połowie naprężeń normalnych w danym punkcie przekroju poprzecznego.
Stan odkształcenia jest też niejednorodny ale trójosiowy. Odkształcenia liniowe w kierunku
równoległym do osi pręta są odkształceniami głównymi. Pozostałe dwa odkształcenia główne
są sobie równe a ich kierunki to jakiekolwiek dwa prostopadłe do siebie i równocześnie
prostopadłe do osi pręta.
Na zakończenie warto zwrócić uwagę, że znaki w wyprowadzonych wzorach obowiązują
przy przyjętych zwrotach osi układu odniesienia i wektora momentu gnącego. W przypadku
innych zwrotów należy we wzorach uwzględnić korektę znaków.
10.3. Energia sprężysta pręta zginanego
Podstawienie wyrażeń określających elementy macierzy naprężeń do wzorów (8.18) pozwala
na wyznaczenie gęstości energii sprężystej i energii sprężystej dla rozważanego przypadku
zginania prostego pręta w płaszczyznie (X, Z):
2
ëÅ‚ öÅ‚
M
1
y
ìÅ‚
Åš = z÷Å‚ ,
ìÅ‚ ÷Å‚
2E J
y
íÅ‚ Å‚Å‚
112
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
i stąd energia sprężysta takiego pręta o długości l wynosi:
2 2
2 2
l l
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
M M M M l
1 1
y y y y
ìÅ‚
U = Åš dV = z÷Å‚ dV = dx = . (10.7)
+"+"+" +"+"+" +"dx+"+"2E ìÅ‚ z÷Å‚ dA = +"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2E J J 2EJ 2EJ
y y y y
V V íÅ‚ Å‚Å‚ 0 A íÅ‚ Å‚Å‚ 0
10.4. Wymiarowanie prętów zginanych
Ograniczymy się teraz tylko do wymiarowania ze względu na stan graniczny nośności
przyjmując, że będzie on osiągnięty jeśli przynajmniej w jednym punkcie wartość naprężeń
normalnych będzie równa wytrzymałości obliczeniowej.
Jeśli materiał pręta ma różną wytrzymałość obliczeniową przy rozciąganiu Rr i ściskaniu Rc ,
to warunki wymiarowania przyjmą postać:
M M
y y
max à = max z d" Rr i max à = max z d" Rc ,
x r r x c c
J J
y y
gdzie:
max à i max à - największe naprężenia rozciągające i ściskające w przekroju
x r x c
poprzecznym,
max zr i max zc - odległości od osi obojętnej skrajnych punktów przekroju
poprzecznego, odpowiednio, rozciąganych i ściskanych.
W przypadku materiału o tej samej wytrzymałości obliczeniowej przy rozciąganiu i ściskaniu
równej R (materiał izonomiczny) , warunek wymiarowania będzie jeden:
M
y
max à = d" R ,
x
Wy
J
y
gdzie: Wy = - wskaznik wytrzymałości przy zginaniu względem osi Y.
max z
10.5. Proste zginanie w płaszczyznie (X, Y)
Ten przypadek prostego zginania pokazany został na rys. 10.6.
Z
Y
Mz
X
Mz
Rys. 10.6
Postępując analogicznie jak w przypadku prostego zginania w płaszczyznie (X, Z) otrzymamy
następujące macierze naprężeń i odkształceń:
113
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
ëÅ‚ M öÅ‚
z
ìÅ‚ ÷Å‚
M y 0 0
ëÅ‚ öÅ‚
z
y 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
E J
ìÅ‚ ÷Å‚
z
J
ìÅ‚ z ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
M
z
Tµ ìÅ‚
Tà = ìÅ‚ 0 0 0÷Å‚ = 0 -½ y 0 . (10.8)
÷Å‚
E J
ìÅ‚
z
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ M
ìÅ‚
z
0 0 -½ y÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
E J
íÅ‚ z Å‚Å‚
Zależność wiążąca krzywiznę osi pręta po deformacji z momentem zginającym, geometrią
pręta i jego modułem Younga ma postać:
1 M
z
= . (10.9)
Á E J
z
Osią obojętną w tym przypadku jest oś Z, a największe co do bezwzględnej wartości
naprężenia, które wystąpią we włóknach najodleglejszych od osi obojętnej, mają wielkość:
M M
z z
max à = max y = (10.10)
x
J Wz
z
J
z
gdzie: Wz = - wskaznik wytrzymałości przy zginaniu względem osi Z.
max y
Rozkład naprężeń normalnych à w przekroju poprzecznym pokazuje rys. 10.7.
x
oś obojętna
Z
Y
Mz
X
Rys. 10.7
10.6. Przykłady
PrzykÅ‚ad 10.6.1. Wyznaczyć rozkÅ‚ad naprężeÅ„ normalnych à w przekroju Ä…-Ä… i ²-²
x
belki prostokątnej o wymiarach przekroju bxh = 0.12x0.24 m obciążonej momentami jak na
rysunku.
114
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
RozwiÄ…zanie
Z
Z
Momenty działają w
M2 = 50 kNm
Y
Y płaszczyznie (X, Z), można więc
Ä…
²
0.24 m
powiedzieć, że występuje
X
ą zginanie względem osi Y.
²
M1 = 30 kNm
M3 = 20 kNm
Wyznaczenie jej położenia jest
łatwe, przechodzi przez środek
0.12 m
ciężkości prostokąta i jest
prostopadła do osi Z. Wykonanie
wykresu momentów zginających
My
pozwala na wyznaczenie
kNm
wartości momentów zginających
w zadanych przekrojach Ä…-Ä… i
²-².
Rzędne wykresu momentów umieszczone są po stronie włókien rozciąganych.
Wartości charakterystyk geometrycznych przekroju poprzecznego belki są równe:
bh3 12* 243
bh2 12 * 242
J = = = 13824 cm4, Wy = = =1152 cm3
y
6 6
12 12
Rozkład naprężeń normalnych à w przekroju ą-ą
x
Wykres momentów pokazuje, że w tym przekroju rozciągane są włókna dolne i moment
zginający w rozważanym przekroju ma zwrot pokazany na poniższym rysunku.
Z
Z
26.04
X
Y
à x
MPa
MyÄ…-Ä… = 30 kNm
MyÄ…-Ä…
26.04
Przy takim momencie zginającym i przyjętych zwrotach układu współrzędnych w punktach
przekroju poprzecznego o dodatnich współrzędnych z (włókna górne) występują naprężenia
ściskające i stąd rozkład naprężeń normalnych w tym przekroju określa wzór:
Ä… -Ä…
M
y
à = - z .
x
J
y
Wartości naprężeń we włóknach górnych i dolnych wynoszą:
30*103 30*103
à = - 0.12 = -26.04 MPa, à =- (- 0.12) = 26.04 MPa.
xg xd
13824*10-8 13824*10-8
Ponieważ są to włókna skrajne to licząc w nich naprężenia możemy wykorzystać wskaznik
wytrzymałości:
Ä… -Ä… Ä… -Ä…
M M
30 *103 30 *103
y y
à = - = - = -26.04 MPa, à = = = 26.04 MPa.
xg xd
Wy 1152 *10-6 Wy 1152 *10-6
Rozkład naprężeń pokazuje rysunek wyżej.
115
30
20
30
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
RozkÅ‚ad naprężeÅ„ normalnych à w przekroju ²-²
x
W tym przekroju rozciągane są włókna górne i moment zginający ma zwrot pokazany na
poniższym rysunku.
Z Z
17.36
Y X
à x
MPa
My ²-²= 20 kNm
My²-²
17.36
W tym przypadku w punktach przekroju poprzecznego o dodatnich współrzędnych z (włókna
górne) występują naprężenia rozciągające (dodatnie wg umowy znakowania naprężeń
normalnych) i dlatego rozkład naprężeń normalnych w przekroju wyznacza zależność:
² -²
M
y
à = z .
x
J
y
Wartości naprężeń we włóknach górnych i dolnych są równe:
20 *103 20 *103
à = 0.12 =17.36 MPa, à = (- 0.12)= -17.36 MPa,
xg xd
13824 *10-8 13824 *10-8
lub
² -² ² -²
M M
20 *103 20 *103
y y
à = = =17.36 MPa, à = = - = -17.36 MPa.
xg xd
Wy 1152 *10-6 Wy 1152 *10-6
Rozkład naprężeń pokazuje rysunek wyżej.
Przykład 10.6.2. Wyznaczyć wymiar a przekroju podanej belki z warunku granicznego
nośności jeśli wytrzymałość obliczeniowa materiału przy rozciąganiu Rr = 60 MPa, a przy
ściskaniu Rc = 180 MPa. Po określeniu przekroju wyznaczyć rozkład naprężeń normalnych
à .
x
Z
2a
Y
Z
M = 120 kNm
Y
4a
X
Yo
1.5a
a 1.5a
RozwiÄ…zanie
Występuje przypadek prostego zginania w płaszczyznie (X, Z). Należy zacząć od
wyznaczenia położenia osi zginania i zarazem osi obojętnej; będzie to główna centralna oś
bezwładności przekroju poprzecznego do której równoległy jest wektor momentu
zginającego. W rozważanym przypadku będzie to oś Y.
Wyznaczenie osi obojętnej:
pole przekroju: A = 12a2 ,
116
20
30
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
moment statyczny względem osi Y0: S = 4a2 * 2a + 8a2 * 5a = 48a3 ,
yo
S
48a3
yo
położenie osi zginania: z0 = = = 4a .
A
12 a2
4a* (2a)3 a* (4a)3
Moment bezwładności względem osi zginania: J = + =32 a4
y
3 3
Górne włókna belki są rozciągane a dolne ściskane.
Potrzebny wymiar a ze względu na:
M
120*103
y
" rozciÄ…ganie 2a d" Rr 2a d" 60*106 ar e"5.0*10-2 m
J
32a4
y
M
120*103
y
" ściskanie 4a d" Rc 4a d"180*106 ac e" 4.4*10-2 m
J
32a4
y
należy przyjąć a e" max( ac ,ar ) . Przyjęto do wykonania a = 5.0 cm.
J = 32* 54 = 2*104 cm4
y
Wartości naprężeń normalnych wynoszą:
M
120* 103 120* 103
y
à = z à = 0.10 = 60.0MPa, à = (- 0.20) = -120.0 MPa,
x xg xd
J
2*10-4 2*10-4
y
ich rozkład pokazano niżej.
Z
Z
60
10 Y
X
à x
My = 120 kNm
20
MPa
My = 120 kNm
120
7.5
5 7.5
wymiary w cm
Przykład 10.6.3. Zmierzone tensometrem elektrooporowym odkształcenia liniowe dolnych
włókien belki zginanej jak na rysunku wynoszÄ…: µ = 0.0004 . Wyznaczyć wartość momentu
xd
zginającego M oraz rozkład naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym belki jeśli moduł
Younga jej materiału E = 205 GPa.
Z
Z
M
12
Y
Y
wymiary w cm
µ
X xd
9
3
3 9
3
RozwiÄ…zanie
117
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
Belka jest zginana w płaszczyznie (X, Z). Jej górne włókna są ściskane, więc w przyjętym
układzie współrzędnych, rozkład naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym określa
zależność :
M
y
à =- z . (a)
x
J
y
Z
Wyznaczenie położenia osi zginania Y:
pole przekroju:
A = 15* 24 - 9*9*6 = 319.50 cm2,
11.239
12
moment statyczny względem osi Y0:
Y
S = 15* 24*12 - 0.5* 9* 9* 6 = 4077.00 cm3,
yo
9
położenie osi zginania: 12.761
S Yo
4077.0
yo
3
z0 = = =12.761cm.
A 319.5
3 9
3
Moment bezwładności względem osi zginania:
îÅ‚4.5* 93 Å‚Å‚
15* 243
2
J = +15* 24* 0.7612 - 2 + 0.5* 4.5* 9* (12.761- 6) =15454.933cm4.
y ïÅ‚ śł
12 36
ðÅ‚ ûÅ‚
Wyznaczone na podstawie zmierzonych odkształceń naprężenia normalne w dolnych
włóknach belki są równe:
à = Eµ = 205*109 * 0.0004 = 82.00MPa.
xd xd
Naprężenia normalne we włóknach dolnych obliczone ze wzoru (a) wynoszą:
M
à = - (-12.761*10-2),
xd
15454.933*10-8
i z porównania ich z wielkością naprężeń otrzymanych na podstawie pomiarów wyznaczamy
wartość momentu zginającego M:
M
- (-12.761*10-2)= 82.00*106 M = 99.311kNm.
15454.933*10-8
Naprężenia normalne we włóknach górnych wynoszą:
99.311*103
à =- 11.239*10-2 = -72.220 MPa.
xg
15454.933*10-8
Rozkład naprężeń normalnych jest niżej pokazany.
Z
72.22
11.239
M
Y
à x
MPa
12.761
82.00
3 9
3
wymiary w cm
118
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
Przykład 10.6.4. Dwie drewniane belki prostokątne o wymiarach przekroju 0.12x0.20 m i
0.12x0.10 m położone na sobie obciążono momentem M = 40 kNm. Wyznaczyć rozkłady
naprężeń normalnych à w obu belkach przy założeniu braku tarcia między nimi oraz w
x
przypadku ich połączenia.
Z
Z
Y2
10
Y
2
wymiary
M
M
X
w cm
20
1
Y1 15
12
RozwiÄ…zanie
Zadanie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne, bo do wyznaczenia momentów M1 oraz
M2 działających na poszczególne belki dysponujemy tylko jednym równaniem momentów.
Brakujące równanie, równanie geometryczne wynika z równości krzywizn obu belek.
Tak więc komplet równań przybiera postać:
M1 + M = M Å„Å‚
Å„Å‚
M1 + M = 40*103
2
2
ôÅ‚ ôÅ‚
M1 M
M1 M
2
òÅ‚ òÅ‚ 2
=
ôÅ‚ ôÅ‚
E J E J
y1 y2 (0.12* 0.203 12)= (0.12* 0.103 12)
ół
ół
W wyniku jego rozwiązania otrzymujemy wielkości momentów działających na poszczególne
belki:
M1 = 35.56 kNm, M = 4.44 kNm
2
Wartości naprężeń we włóknach skrajnych belek niepołączonych:
M1 35.56*103
à = m = m
x1
Wy1
(0.12* 0.202 6)= m 44.45 MPa
M 4.44*103
2
à = m = m = m 22.20 MPa
x2
Wy2
(0.12* 0.102 6)
Wartości naprężeń we włóknach skrajnych belek połączonych:
M 40.0* 103
= m 22.22 MPa.
à = m = m
x
Wy
( 0.12* 0.302 6 )
Rozkłady naprężeń normalnych pokazano niżej.
à x
MPa
22.20 22.22
M2
M
M1
44.45
22.22
belki
belki
niepołączone
połączone
119
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Proste zginanie
Przykład 10.6.5. Obliczyć zmianę objętości "V , zginanego momentem M , pręta o
y
dÅ‚ugoÅ›ci l i momencie bezwÅ‚adnoÅ›ci J , wykonanego z materiaÅ‚u o staÅ‚ych E oraz ½ .
y
RozwiÄ…zanie
Całkowitą zmianę objętości "V pręta zginanego otrzymamy całkując po jego objętości sumę
odkształceń liniowych na przekątnej głównej macierzy odkształceń:
l
M
(1- 2½ )
y
"V = (µ + µ + µ )dV =
x y z
+"+"+" +"dx+"+"z dA = 0 .
E J
y
V 0 A
Zmiana objętości jest równa zero, gdyż całka dA = 0 , w powyższym wyrażeniu bo to
+"+"z
A
moment statyczny względem osi centralnej Y.
120
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Przyklady zginanie prosteDruzga, wytrzymałość materiałów Ć, zginanie prosteZGINANIE PROSTE zadWM Zginanie proste czy Ukośnezginanie prostePrzyklad zginanie proste 1Przyklad zginanie proste 2Zadania zginanie prosteZginanie Proste Równomierne BelkiPrzyklad zginanie proste 3Przyklad zginanie proste 4więcej podobnych podstron