Zestaw nr 6
Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej.
Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
November 12, 2009
Przyk azaniami
ladowe zadania z rozwi¸
Zadanie 1. Oblicz pochodne nast¸ ¸ funkcji:
epujacych
a) f(x) = x4 + 3x3 + 2x2 + x
Rozwiazanie: Korzystajac z wzoru na pochodn¸ sumy otrzymujemy
¸ ¸ a
(x4 + 3x3 + 2x2 + x) = (x4) + (3x3) + (2x2) + (x) = 4x3 + 3 · 3x2 + 2 · 2x + 1 = 4x3 + 9x2 + 4x + 1.
b)f(x) = x1/2 + 1/x
" "
Rozwiazanie: Korzystajac z wzoru na pochodn¸ sumy otrzymujemy ( x + 1/x) = ( x) +
¸ ¸ a
"
1 1 1 1
" "
(1/x) = - gdyż ( x) = oraz (1/x) = - .
2· x x2 2· x x2
c) f(x) = 3x · log x. Przypominamy, że logx oznacza logarytm naturalny z liczby x.
Rozwiazanie: Korzystajac z wzoru na pochodn¸ iloczynu funkcji otrzymujemy (3x · log x) =
¸ ¸ a
1
(3x) · (logx) + (3x) · logx = 3x · + 3logx, gdyż (logx) = 1/x oraz (3x) = 3.
x
d) f(x) = 3x · ex
Rozwiazanie: Korzystajac z wzoru na pochodn¸ iloczynu funkcji otrzymujemy (3x · ex) = 3x ·
¸ ¸ a
(ex) + (3x) · ex = 3xex + 3 · ex, ponieważ (ex) = ex.
3
e) f(x) =
x-3
Rozwiazanie: Korzystajac z wzoru na pochodn¸ ilorazu funkcji otrzymujemy
¸ ¸ a
(3) ·(x-3)-3·(x-3) -3
3
(x-3) = =
(x-3)2 (x-3)2
x2-1
f) f(x) =
2x2+1
x2
Rozwiazanie: Korzystajac z wzoru na pochodn¸ ilorazu funkcji otrzymujemy (2x2-1 ) =
¸ ¸ a
+1
(x2 - 1) · (2x2 + 1) - (x2 - 1)(2x2 + 1) 2x(2x2 + 1) - 4x(x2 - 1) 6x
= = =
(2x2 + 1)2 (2x2 + 1)2 (2x2 + 1)2
1
g) f(x) = (x2 + 1)1/2
Rozwiazanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸ funkcji z (g(h(x))) = g (h(x)) · h (x).
¸ a lożonej
" "
1
"
Niech g(x) = x oraz h(x) = x2 + 1 Wiadomo, że ( x) = oraz (x2 + 1) = 2x. Wówczas
2 x
1
"
f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) = · 2x.
2 x2+1
h) f(x) = ln(3x2 + x - 4)
Rozwiazanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸ funkcji z (g(h(x))) = g (h(x)) · h (x)
¸ a lożonej
1
Niech g(x) = log x oraz h(x) = 3x2 + x - 4 Wiadomo, że (log x) = oraz (3x2 + x - 4) = 6x + 1.
x
1
Wówczas f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) = · (6x + 1).
3x2+x-4
i) f(x) = log3(x2 + x + 1)
Rozwiazanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸ funkcji z (g(h(x))) = g (h(x)) · h (x)
¸ a lożonej
1
Niech g(x) = log3 x oraz h(x) = x2 + x + 1 Wiadomo, że (ln3 x) = oraz (x2 + x + 1) = 2x + 1.
x·log3
1
Wówczas f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) = · (2x + 1).
(x2+x+1)·log3
2
j) f(x) = (2/3)1-3x
Rozwiazanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸ funkcji z (g(h(x))) = g (h(x)) · h (x)
¸ a lożonej
Niech g(x) = (2/3)x oraz h(x) = 1-3x2 Wiadomo, że ((2/3)x) = (2/3)x ·log(2/3) oraz (1-3x2) =
2
-6x. Wówczas f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) = (2/3)1-3x · (-6x) · log(2/3).
k) f(x) = (3x4 + x3 + x)5
Rozwiazanie: Korzystamy z wzoru na pochodn¸ funkcji z (g(h(x))) = g (h(x)) · h (x)
¸ a lożonej
Niech g(x) = x5 oraz h(x) = 3x4 + x3 + x Wiadomo, że (x5) = 5x4 oraz (3x4 + x3 + x) =
12x3 + 3x2 + 1. Wówczas f(x) = g(h(x)) oraz (g(h(x))) = 5(3x4 + x3 + x)4 · (12x3 + 3x2 + 1).
Zadanie 2. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) jeśli f(x) =
x2 - 3x + 2 oraz x0 = 2
Rozwiazanie: Rownanie prostej l ma postac
y = ax + b
Jeśli prosta l jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) to z geometrycznej interpre-
tacji pochodnej otrzymujemy, że a = f (x0). Styczna oraz wykres funkcji f maja wspólny punkt
¸
(x0, f(x0)) co daje
f(x0) = a · x0 + b
czyli
b = f(x0) - a · x0.
Podstawiajac wartoÅ›ci liczbowe otrzymujemy: f (x) = 2x - 3 czyli f (2) = 1 oraz b = f(2) - 1 · 2 =
-2. Równanie stycznej ma postać
y = x - 2.
2
Zadanie 3. Jaki k¸ z osia Ox tworzy styczna do paraboli f(x) = x2 - 3x + 8 w punkcie (2, 6) ?
at ¸
Rozwiazanie: Z geometrycznej interpretacji pochodnej otrzymujemy, że tangens k¸ Ä… mi¸
ata edzy
styczn¸ a osia Ox wynosi f (2) czyli f (x) = 2x - 3 oraz f (2) = 1 co daje Ä… = 450.
a ¸
Zadanie 4. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 2 jest równoleg
la
do osi Ox?
Rozwiazanie: Styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) jest równoleg do osi Ox gdy
la
f (x0) = 0. Zatem f (x0) = 3x2 - 6x0 - 9 = 0. Rozwiazujac to równanie kwadratowe otrzymujemy
¸ ¸
0
odpowiednio " = 144 oraz pierwiastki x1 = 3 lub x2 = -1. W punktach (3, f(3)) oraz (-1, f(-1))
styczne s¸ równoleg do osi Ox.
a le
Zadanie 5. Wyznaczyć elastyczność funkcji f(x) = x2 + 5x + 3 dla x0 = 3.
f (x)
Rozwiazanie: Z definicji elastyczność Exf funkcji f w punkcie x dana jest wzorem Exf = · x.
f(x)
11
Zatem f (x) = 2x + 5, f (3) = 11 oraz f(3) = 27, co daje E3f = · 3 = 11/9.
27
Zadanie 6. Korzystajac z regu de l Hospitala oblicz granice:
¸ ly
a) limx1 x3-1
x2-1
b) limx0 ex-1
x
Rozwiazanie: a) Funkcje f(x) = x3 - 1 oraz g(x) = x2 - 1 s¸ okreÅ›lone na R oraz różniczkowalne
a
w dowolnym punkcie x " R, zatem z regu de l Hospitala otrzymujemy:
ly
x3 - 1 (x3 - 1) 3x2
lim = lim = lim = 3/2.
x1 - 1 x1 - 1) x1 2x
x2 (x2
b) Funkcje f(x) = ex - 1 oraz g(x) = x spe ¸ za tw. de l Hospitala, mamy wi¸
lniaja lożenia ec:
ex - 1 (ex - 1) ex
lim = lim = lim = 1.
x0 x0 x0
x (x) 1
1 Dodatkowe zadania z odpowiedziami
Zadanie 1.1. Oblicz pochodne nastepujacych funkcji:
¸
a) f(x) = x4 + 6x3 + 8x2 + x
Odp. f (x) = 4x3 + 18x2 + 16x + 1
b)f(x) = x1/3
3
Odp. f (x) =
3·(x)2/3
c) f(x) = 3x · log(x - 1)
3x
Odp. f (x) = + 3 log(x - 1)
x-1
3
d) f(x) = 3(x + 2) · ex-2
Odp. f (x) = 3(x + 2) · ex-2 + 3 · ex-2
x+3
e) f(x) =
x-3
-6
Odp. f (x) =
(x-3)2
x2-3
f) f(x) =
x2+2
10x
Odp. f (x) =
(x2+2)2
g) f(x) = (x2 + x + 1)1/2
"2x+1
Odp. f (x) =
2 x2+x+1
h) f(x) = log(3x2 + 8)
6x
Odp. f (x) =
3x2+8
i) f(x) = log3(x2 + 4x + 7)
2x+4
Odp. f (x) =
(x2+4x+7)log3
4
j) f(x) = 3x
4
Odp. f (x) = 4x3 · 3x · log3
3
k) f(x) = 5x -7x+2
3
Odp. f (x) = 5x -7x+2 · (3x2 - 7) · log5
l) f(x) = (2x2 + 2x)(3x4 + x)
Odp. f (x) = (2x2 + 2x)(12x3 + 1) + (4x + 2)(3x4 + x)
m) f(x) = (3x3 + x2 + x)5
Odp. f (x) = 5(3x3 + x2 + x)4 · (9x2 + 2x + 1)
Zadanie 2. Napisz równanie stycznych do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)) jeśli
a) f(x) = x2 - x + 2 oraz x0 = 2
b) f(x) = x3 - x2 + 2 oraz x0 = 1
Odpowiedz: a) y = 3x - 2 b) y=x+1
Zadanie 3. Jaki k¸ z osi¸ Ox tworzy styczna do paraboli f(x) = x2 - 3x + 8 w punkcie x = 1.5 ?
at a
Odpowiedz: K¸ 00
at
Zadanie 4. W jakim punkcie styczna do wykresu funkcji f(x) = x3 - 9x + 2 jest równoleg do
la
osi Ox?
" "
Odpowiedz: Dla x0 = 3 lub x0 = - 3.
Zadanie 5. Wyznaczyć elastyczność funkcji
4
a) f(x) = x2 + 5x + 3 dla x0 = 3.
b) f(x) = ex + 1 dla x0 = 2
2e2
Odpowiedz: a) 27/17 b)
e2+1
Zadanie 6. Korzystajac z regu de l Hospitala oblicz granice:
¸ ly
a) limx1 x9-1
x2-1
b) limx " ex
x
c) limx " log(x+1)
x
d) limx0 ex-x-1
x2
e) limx " 5x-1
x2
Odpowiedz: a) 9/2, b) ", c) 0, d) 1/2, e) ".
5
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Zestaw 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej Punkty przegięcia wykresu Asymptoty10 Pochodna funkcji jednej zmiennejWykład 1 Pochodna funkcji jednej zmiennejPochodna funkcji jednej zmiennejcalki nieoznaczone funkcji jednej zmiennejCałka Riemanna funkcji jednej zmiennej,analiza matematyczna 1, rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej11 Własności funkcji jednej zmiennej4 Funkcje jednej zmiennejAnaliza Matematyczna Rachunek Różniczkowy Funkcji Jednej Zmiennej 02Funkcje jednej zmiennejKonspekt wykładu r różniczkowy funkcji jednej zmiennej(1)5 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennejZestaw Pochodne funkcjiwięcej podobnych podstron