Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Krzysztof Rębilas
DEFINICJA POCHODNEJ A
atwo sprawdzić, że znaleziony przez nas wynik na po-
chodną funkcji f(x) = x2 (wzór (4)) jest szczególnym
przypadkiem ogólnego wzoru (6), w którym należy pod-
Pochodna funkcji f(x) w punkcie x określona jest jako
stawić n = 2. Dla przykładu obliczmy jeszcze pochod-
granica:
nÄ… funkcji f(x) = x4. KorzystajÄ…c z wzoru (6), mamy:
f(x + "x) - f(x) (x4)2 = 4x3.
lim . (1)
Użyteczne są również wzory pozwalające obliczać po-
"x0 "x
chodne wyrażeń złożonych będących iloczynem stałej a
Oznaczamy jÄ… symbolami:
i funkcji f, sumą lub różnicą dwóch funkcji f i g oraz
iloczynem lub ilorazem funkcji f i g:
df
f2 (x) lub . (2)
dx
(a · f)2 =a · (f)2 (10)
Dla przykładu obliczmy pochodną funkcji f(x) = x2. Na
podstawie definicji (1) mamy:
(f Ä… g)2 =f2 Ä… g2 (11)
df (x + "x)2 - x2
= lim =
dx "x0 "x
(f · g)2 =f2 · g + f · g2 (12)
( )
x2 + 2x"x + ("x)2 - x2
( )2
= lim =
f f2 · g - f · g2
"x0 "x
= (13)
g g2
2x"x + ("x)2
= lim =
"x0 "x
Wzór (10) wykorzytujemy na przykład dla oblicznia
= lim (2x + "x) = 2x. (3)
pochodnej funkcji f(x) = 4x3:
"x0
Otrzymany wynik na pochodnÄ… funkcji f(x) = x2 zapi-
(4x3)2 = 4(x3)2 = 4 · 3x2 = 12x2. (14)
sujemy w postaci:
Wzór (11) jest użyteczny na przykład w następującym
(x2)2 = 2x (4)
przypadku:
W podobny sposób można na podstawie definicji (1)
(2x3 + 6x5)2 = (2x3)2 + (6x5)2 = 2 · 3x2 + 6 · 5x4. (15)
znalez
ć wzory na pochodne podstawowych fukcji mate-
matycznych. Poniżej przedstawiamy gotowe rezultaty ob-
Wzór (11) zastosowaliśmy identyfikując odpowiednie
liczeń dla wybranych funkcji (a oraz n oznaczają stałe):
funkcje jako: f = 2x3 oraz g = 6x5. Ostatnia równość
w powyższym równaniu wynika z wzorów (6) i (10).
Poniżej mamy przykład zastosowania wzoru (12):
(a)2 =0 (5)
(x3 · sin x)2 = (x3)2 · sin x + x3 · (sin x)2 =
(xn)2 =n · xn-1 (6)
= 3x2 · sin x + x3 · cos x, (16)
gdzie odpowiednie funkcje mają postać: f = x3 oraz g =
(sin x)2 = cos x (7)
sin x.
(cos x)2 = - sin x (8)
1
(ln x)2 = (9)
x
2
Wzór (13) należy zastosować w przypadku: RÓŻNICZKA FUNKCJI
( )2
2x4 - 7x
Różniczka funkcji df przy zmianie jej argumentu o "x
=
3x2 + x3
określona jest jako iloczyn pochodnej df/dx i zmiany "x,
czyli:
(2x4 - 7x)2 · (3x2 + x3) - (2x4 - 7x) · (3x2 + x3)2
df
= =
df = "x. (17)
(3x2 + x3)2
dx
Zauważmy, że różniczka funkcji df jest równa zmianie
(2 · 4x3 - 7) · (3x2 + x3) - (2x4 - 7x) · (3 · 2x + 3x2)
= = ...,
wartości stycznej w punckie x następującej na odcinku
(3x2 + x3)2
od x do x + "x (patrz Rys. (2)). Wynika to stąd, że
gdzie przyjęliśmy f = 2x4 - 7x oraz g = 3x2 + x3. zmiana wartości stycznej o równaniu y = ax + b wyno-
si "y = a"x, a współczynnik kierunkowy stycznej, jak
pokazano powyżej, ma wartość pochodnej: a = df/dx li-
GEOMETRYCZNA INTERPRETACJA
czonej w miejscu x.
POCHODNEJ
Na podstawie Rys. (2) można się przekonać, że dla ma-
W definicji pochodnej (1) występuje stosunek zmiany
f
wartości funkcji "f = f(x+"x)-f(x) do zmiany warto-
ści argumentu "x. Na Rys. (1) pokazano wykres funkcji
f
y=ax+b
f(x+ x)
f
y=ax+b
df
P
f(x)
R
f(x+ x)
P
x
x x+ x
f(x)
Rysunek 2. Graficzne przedstawienie różniczki funkcji df.
łych wartości "x różniczka funkcji df jest bardzo dobrym
x
x x+ x
przybliżeniem zmiany wartości funkcji "f:
Rysunek 1. Sieczna przechodzÄ…ca przez punkty P i R w gra-
<"
"f df. (18)
=
nicy "x 0 staje siÄ™ stycznÄ… do wykresu w punkcie x.
A zatem, stosując powyższe przybliżenie, zmianę warto-
f(x), na którym zaznaczono sieczną przecinającą funkcję
[ ] [ ]
ści funkcji "f przy zmianie argumentu o "x możemy
w punktach P = x, f(x) i R = x + "x, f(x + "x) .
obliczać z wzoru:
Sieczna jako prosta opisana jest równaniem postaci y =
ax + b, gdzie a to tzw. współczynnik kierunkowy prostej,
df
<"
"f "x. (19)
=
którego wartość dana jest przez stosunek a = "y/"x. Na
dx
podstawie Rys. (1) widzimy, że iloraz "f/"x to właśnie
współczynnik kierunkowy siecznej przecinającej wykres
PRZYKA
AD
funkcji w punktach P i R.
W granicy "x 0 punkty P i R zlewajÄ… siÄ™ i siecz-
Przybliżenie (19) wykorzystujemy przy obliczaniu błę-
na staje siÄ™ stycznÄ… do wykresu w punkcie P . Oznacza
dów pomiarowych wielkości mierzonych pośrednio. Na
to, że w granicy "x 0 stosunek "f/"x (czyli po-
przykład chcąc wyznaczyć objętość kuli mierzymy jej
chodna funkcji) staje się współczynnikiem kierunkowym
promień r i wstawiamy do wzoru:
stycznej. A zatem:
4
Pochodna funkcji df/dx w punkcie x ma wartość
V = Ä„r3. (20)
3
współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu
[ ]
funkcji f poprowadzonej w punkcie P = x, f(x) .
3
W ten sposób pomiar objętości kuli jest pomiarem po- podanych wzorów (wzór (6)) i otrzymujemy:
średnim, a wielkością mierzoną bezpośrednio jest promień
( )2
r. Załóżmy, że znamy maksymalny błąd pomiaru bezpo- dV 4 4
= Ä„r3 = Ä„ · 3 · r2 = 4Ä„r2. (24)
średniego, czyli znamy "r. Pamiętamy, że oznacza to, iż
dr 3 3
prawdziwa wartość promienia r mieści się gdzieś w prze-
( )
WstawiajÄ…c ten wynik do wzoru (21), mamy::
dziale r -"r, r +"r . Stawiamy pytanie: w jakim prze-
dziale dopuszczalnych wartości znajduje się prawdziwa
wartość objÄ™toÅ›ci kuli? "V = 4Ä„r2 · "r, (25)
Jak pokazuje Rys. 3, przedziałowi możliwych warto-
co po podstawieniu wartości liczbowych daje "V = 0, 88
cm3. Ostatecznie zatem po zaokrÄ…gleniu wyniku (23):
V
V = (24, 53 Ä… 0, 88) cm3. (26)
V=4/3 r3
POCHODNA CZ
STKOWA
Dla funkcji wielu zmiennych f(x, y, z), jako uogólnienie
dV r
pojęcia pochodnej, określona jest tzw. pochodna cząst-
V
dr
kowa. Pochodna czÄ…stkowa po zmiennej x (ozn. "f/"x)
V
zdefiniowana jest jako granica:
V
"f f(x + "x, y, z) - f(x, y, z)
= lim . (27)
"x "x0 "x
Analogicznie określona jest pochodna cząstkowa po
r r
zmniennej y i po zmniennej z:
r
r
"f f(x, y + "y, z) - f(x, y, z)
Rysunek 3. Przedziałowi możliwych wartości promienia kuli
( ) = lim , (28)
"y "y0 "y
r - "r, r + "r , odpowiada pewien przedział możliwych
wartości objętości (V - "V, V + "V ). Wielkość "V moż-
na z bardzo dobrym przybliżeniem uznać za równą różniczce
"f f(x, y, z + "z) - f(x, y, z)
funkcji V (r), czyli "V = dV/dr · "r.
= lim . (29)
"z "z0 "z
ści r odpowiada pewien przedział (V - "V, V + "V ), w
Z definicji pochodnej cząstkowej wynika, że obliczanie
którym może się znajdować prawdziwa wartość objętości.
pochodnej cząstkowej po jakiejś zmiennej nie różni się
Podczas dobrze zaplanowanych pomiarów, błędy pomia-
od obliczania zwykłej pochodnej, przy czym pozostałe
rowe są zwykle niewielkie. Zakładamy więc, że błąd "r
zmienne należy w trakcie obliczania pochodnej trakto-
jest nieduży i stosując wzór (19) wielkość "V przybliża-
wać jako wielkości stałe.
my przez różniczkę funkcji V (r), czyli:
Na przykład, jeśli wykonujemy pochodną po zmien-
nej x, wówczas y i z uznajemy za stałe, czyli funkcja
dV
f(x, y, z) na czas liczenia pochodnej staje siÄ™ jakby funk-
"V = "r. (21)
dr
cją tylko jednej zmennej x. Wszystkie podane wcześniej
wzory (5)-(13) na pochodne funkcji jednej zmiennej majÄ…
Tak określona wartość "V wyznacza nam tzw. błąd mak-
zatem zastosowanie również przy obliczaniu pochodnych
symalny pomiaru objętości.
czÄ…stkowych.
Wykonajmy obliczenia dla przykładowych wartości
Podajmy kilka przykładów obliczania pochodnej
liczbowych. Niech w wyniku pomiaru uzyskana wartość
czÄ…stkowej.
promienia i błąd pomiaru wynoszą:
r = 2, 64 cm, "r = 0, 01 cm. (22)
Ze wzoru (20) otrzymujemy wtedy:
V = 24, 53299 cm3. (23)
Aby oszacować błąd "V najpierw znajdujemy wzór na
pochodną dV/dr. W tym celu korzystamy z tabeli wyżej
4
Przykład 1: Przykład 3:
xy
f = x2 + y3 + z4
f =
x + y
"f " " "
= (x2) + (y3) + (z4) = " "
(xy) · (x + y) - (xy) · (x + y)
"f
"x "x "x "x "x "x
= =
"x (x + y)2
= 2x + 0 + 0 = 2x,
(y) · (x + y) - (xy) · (1 + 0) y2
= = ,
(x + y)2 (x + y)2
"f " " "
= (x2) + (y3) + (z4) =
"y "y "y "y
" "
(xy) · (x + y) - (xy) · (x + y)
"f
"y "y
= =
= 0 + 3y2 + 0 = 3y2,
"y (x + y)2
"f " " "
(x) · (x + y) - (xy) · (0 + 1) x2
= (x2) + (y3) + (z4) =
= = .
"z "z "z "z
(x + y)2 (x + y)2
"
Przy liczeniu pochodnej (xy) skorzystaliśmy z wzoru
"x
= 0 + 0 + 4z3 = 4z3.
(6). Dzięki temu, pamiętając że y jest traktowane teraz
" "
WykorzystaliÅ›my tu wÅ‚asność (11), że pochodna sumy jak staÅ‚a, mamy: (xy) = y · (x) = y · 1 = y. Analo-
"x "x
"
jest sumą pochodnych, oraz fakt, że pochodna ze stałej
gicznie postąpiliśmy licząc pochodną cząstkową (xy),
"y
wynosi zero. " "
co daÅ‚o nam w wyniku: (xy) = x · (y) = x · 1 = x.
"y "y
Przykład 2:
RÓŻNICZKA ZUPEA
NA FUNKCJI
x2 + y3
f =
y4 + z5
Różniczką zupełną df funkcji f(x, y, z) nazywamy wy-
rażenie:
( ) ( )
"f " x2 " y3
= + =
"f "f "f
"x "x y4 + z5 "x y4 + z5
df = "x + "y + "z. (30)
"x "y "z
1 " 2x Jak widać jest to uogólniennie pojęcia różniczki funkcji
= (x2) + 0 = ,
dla funkcji wielu zmiennych.
y4 + z5 "x y4 + z5
Jeżeli zmiana argumentów funkcji "x, "y, "z jest nie-
wielka, wówczas różniczka zupełna funkcji df jest bardzo
" "
(x2 + y3) · (y4 + z5) - (x2 + y3) · (y4 + z5)
"f
"y "y dobrym przybliżeniem zmiany wartości funkcji "f wy-
= =
"y (y4 + z5)2 wołanej zmianą wartości jej argumentów, czyli:
"f "f "f
<"
"f "x + "y + "z. (31)
=
(3y2) · (y4 + z5) - (x2 + y3) · (4y3)
"x "y "z
= ,
(y4 + z5)2
ZASTOSOWANIE RÓŻNICZKI ZUPEA
NEJ W
" "
(x2 + y3) · (y4 + z5) - (x2 + y3) · (y4 + z5)
"f
"z "z RACHUNKU BA

DÓW POMIAROWYCH
= =
"z (y4 + z5)2
Przybliżenie (31) wykorzystywane jest w rachunku błę-
dów pomiarowych. Niech jakaś wielkość fizyczna dana
0 · (y4 + z5) - (x2 + y3) · (5z4) -(x2 + y3) · (5z4)
= = .
(y4 + z5)2 (y4 + z5)2 jest poprzez wyrażenie funkcyjne od wielkości mierzo-
nych bezpośrednio. Na przykład, używając wahadła ma-
tematycznego można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie
Przy liczeniu pochodnej czÄ…stkowej po y i z zastosowali-
g, mierząc bezpośrednio jego długość l oraz okres T i
śmy wzór na pochodną ilorazu (13).
wstawiajÄ…c do wzoru:
4Ä„2l
g = (32)
2
T
5
Powiedzmy, że znamy maksymalne błędy pomiarowe dłu- do którego należy podstawić zmierzone wartości l i T oraz
gości "l oraz okresu "T . Jak obliczyć maksymalny błąd wartości błędów "l i "T .
wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego "g? Odwołując Ogólnie, jeśli jakaś wielkość fizyczna wyraża się w for-
się do przykładu z wyznaczaniem objętości poprzez po- mie zależności funkcyjnej f(x, y, z) od mierzonych bez-
miar promienia, wydawać by się mogło, że należy, na pośrednio wielkości x, y, z, które znamy z błędem mak-
zasadzie uogólnienia wzoru (21), zastosować teraz wzór symalnym, odpowiednio "x, "y, "z, wówczas błąd mak-
(31), czyli: symalny "f określamy wzorem:
"g "g
"g = "l + "T wzór błędny! (33)

"l "T

"f "f "f

"f = "x + "y + "z. (36)

Z pewnych wzgledów powyższy wzór nie jest jednak po-
"x "y "z
prawnym wzorem na błąd maksymalny "g.
Otóż błędy "l i "T są z założenia wielkościami do-
datnimi. Wzór (33) jest poprawnym wzorem na zmianę
W stosunku do wzoru na różniczkę zupełną mamy tu-
funkcji g(l, T ) właśnie przy zmianie argumentów o +"l
taj wartości bezwzględne pochodnych cząstkowych, bo-
i +"T . Tymczasem zmierzone wartości l i T mogą się
wiem przy szacowaniu błędu maksymalnego "f zakła-
różnić od rzeczywistych wartości długości nici i okresu
damy sytuacjÄ™ najmniej korzystnÄ…, kiedy to przyczynki
o ą"l i ą"T . W zależności od wyboru znaku przy "l
pochodzące od błędów ą"x, ą"y, ą"z się kumulują.
i "T , uzyskujemy różne wyniki na zmianę funkcji "g.
Obliczanie błędu maksymalnego za pomoca wzoru
Niestety nie wiemy jaka jest wartość rzeczywista mierzo-
(36) nazywa sie metodą różniczki zupełnej.
nych wielkości fizycznych l i T , więc nie wiemy jaki znak
wybrać. Jednakże przy pewnym wyborze znaków przy "l
Uwaga:
i "T , odchyłka "g przybierze wartość maksymalną. Ta
Jeśli zależność funkcyjna jest postaci:
właśnie maksymalna wartość "g określa nam błąd mak-
symalny pomiaru przyspieszenia ziemskiego g.
f(x, y, z) = kxaybzc, (37)
Oczywiście "g będzie maksymalne, gdy oba wyrazy
po prawej stronie równania (33) będą dodatnie. W na-
"g "g
4Ä„2
szym przykładzie, ponieważ = > 0 oraz = gdzie a, b, c, k to stałe, wówczas po wyliczeniu pochod-
2
"l T "T
-8Ä„2l
nych, wstawieniu do wzoru (36) i podzieleniu obustron-
< 0, "g będzie maksymalne, gdy do wzoru (33)
3
T
nym równania przez f otrzymamy:
wstawimy +"l i -"T . Jednak by uniknąć dwukrotne-
go pisania znaku  minus (przy pochodnej i przy "T ),
wzór (33) zapisujemy dla przypadku maksymalnego "g

w następujący sposób:
"f "x "y "z

= |a| + |b| + |c| . (38)


f x y z

"g "g

"g = "l + "T. (34)

"l "T
Określona wzorem (34) maksymalna możliwa odchyłka
Jest to wygodny wzór do wyliczana błędu względnego
"g zmierzonej wartości g od wartości rzeczywistej spo-
"f/f dla wielkości danych wzorem (37).
wodowana błędami ą"l i ą"T jest poprawnym osza-
Ponieważ wzór (38) można uzyskać przez zlogarytmo-
cowaniem błędu maksymalnego pomiaru przyspieszenia
wanie wzoru (37) i obustronne zróżniczkowanie, oblicza-
ziemskiego g.
nie błędu maksymalnego przy użyciu wyrażenia (38) na-
Wstawiając do wzoru (34) znalezione wyrażenia na po-
zywane jest metodÄ… pochodnej logarytmicznej.
chodne cząstkowe, otrzymujemy jawny wzór na błąd "g:


4Ä„2 -8Ä„2l

"g = "l + "T, (35)

2 3
T T


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
,analiza matematyczna 1, rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek rozniczkowy funkcji dwoch zmiennych
Analiza Matematyczna Rachunek Różniczkowy Funkcji Jednej Zmiennej 02
Rachunek rozniczkowy funkcji wielu zmiennych
5 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Analiza Matematyczna Rachunek Różniczkowy Funkcji Jednej Zmiennej 01
Rachunek różniczkowy funkcji 2 i 3 zmiennych
18 Geosyntetyki – rodzaje i funkcje oraz wykonawstwo konstrukcji z zastosowaniem geosyntetyków
Konwencja o zastosowaniu do wojny morskiej założeń konwencji genewskiej
Analiza korespondecji i jej zastosowania w naukach społecznych
Microsoft Word W16 pochodne zlozone funkcji 2 zm
W16 Różniczkowanie funkcji
Różnice w funkcjach zapisu danych w wewnętrznej pamięci EEPROM mikrokontrolerów AT89S8252 i T89C51R
Wyprowadzenia pochodnych ważniejszych funkcji • Matematyka
Możliwości zastosowania do badania izolacji cieplnj budynków T Kruczekv

więcej podobnych podstron