Egzamin połówkowy z Analizy matematycznej II
WETI, AiR, 2 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchniami
x2 + y2 = z2 i x2 + y2 = 4x
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych uogólnionych
dowolnego typu.
2. [4p.] Obliczyć (x - y)dx - (x + y)dy, gdzie K jest łukiem krzywej o równaniu
K
4x2 + 9y2 = 36
od punktu A(-3, 0) do punktu B(0, -2).
3. [4p.] Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę
xye-xdx + e-2xy2dy
K
gdzie K jest zorientowanym dodatnio brzegiem obszaru ograniczonego krzywymi y = ex
oraz y = e2x i prostą x = 2. Wykonać odpowiedni rysunek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [4p.] Obliczyć (x2 + y2 + z)dS, gdzie S jest częścią powierzchni z = x + 2y leżącą nad
S
Ä„
obszarem D = {(x, y) " R2 : 0 x , 0 y sin x}.
2
5. [4p.] a) Sprawdzić, czy pole W = y2exy + (xy + 1)exy jest potencjalne. Jeśli tak, znalezć
i j
jego potencjał.
[2p.] b) Uzasadnić, że
grad(ÕÈ) = Õ gradÈ + È gradÕ
gdzie Õ , È sÄ… różniczkowalnymi polami skalarnymi.
6. [4p.] Zbadać zbieżność szeregów liczbowych
"
2
" "
3
n + 3 (n + 2)n
a) " b)
2
2n n + n - 1 6nnn
n=1 n=1
[2p.] c) Podać dwa przykłady szeregów rozbieżnych, z których jeden spełnia warunek
konieczny zbieżności, a drugi go nie spełnia. Odpowiedz uzasadnić.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wyznaczyć sumę szeregu
"
1 3
sin cos
2n 2n
n=2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
kol pol sem2 AiR 09kol pol sem2 AiR 10kol kon sem2 AiR 11kol pol sem2 IBM 11kol pol sem2 EiT 11kol pop sem2 ETI 11kol kon sem2 AiR 10kol pol sem2 EiT 10kol pol sem2 IBM 09kol kon sem2 IBM 11kol pol sem2 IBM 10kol zal sem2 AiR IBM 12 2013kol kon sem2 EiT 11kol zal sem2 AiR IBM 13 2014kol kon sem2 AiR 09kol pol sem2 EiT 09kol zal sem2 ETI AiR 11 2012egz pol ETI AiR IBM 11 12kol zal sem2 ETI IBM 11 2012więcej podobnych podstron