( ) ({ ( ) })
= : < , "
Uwaga!
( ) ({ ( ) })
A) Można wykazać, że funkcja F(x) określona na prostej R wzorem = : < ma
następujące własności:
a) jest niemalejÄ…ca: ( ) d" ( ), gdy <
(- " ( ) ( )
)
b) = lim ( ) = 0, " = lim = 1
( )
c) jest lewostronnie ciągła dla każdego " : lim = ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ponadto dystrybuanta F(x) ma własności: d" d" = - ; = = - ( ).
B) Funkcję F określoną na prostej R spełniającą warunki a), b), c) nazywamy dystrybuantą
( ) ( )
jednowymiarową. Mówimy, że dystrybuanta F(x) ma skok w punkcie , gdy - > 0.
C) Prawdziwe jest następujące twierdzenie:
-ð każdej dystrybuancie jednowymiarowej F na prostej odpowiada tylko jeden rozkÅ‚ad
) ( )
prawdopodobieÅ„stwa P na prostej taki, że prawdopodobieÅ„stwo (- ", = [FÄ…ðP]
-ð jeżeli P jest rozkÅ‚adem prawdopodobieÅ„stwa na prostej, to funkcja F okreÅ›lona wzorem:
( ) ) jest dystrybuantÄ… jednowymiarowÄ… [PÄ…ðF]
= (- ",
Wniosek:
F jednoznacznie wyznacza rozkład i odwrotnie.
"! - są to pojęcia równoważne.
( ) )
Jeżeli P jest rozkładem prawdopodobieństwa na prostej, to funkcję F(x) określoną wzorem = (- ",
nazywamy dystrybuantą rozkładu P.
( ) ( )
Rozkład prawdopodobieństwa na prostej wyznaczony przez dystrybuantę = zmiennej losowej X
nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
Zmienna losowa X jest typu dyskretnego (skokowego), jeżeli suma wszystkich skoków tej dystrybuanty F(X) jest
równa 1. Wtedy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nazywamy rozkładem dyskretnym. Inaczej:
zmienną losową typu dyskretnego (skokowego) nazywamy taką zmienną losową X, dla której istnieje funkcja
( ) ( ) " ,
= = ( = 1,2,3 & ) taka, że dla każdego " mamy, że = ( = ), gdzie F(X) jest
dystrybuantÄ… zmiennej losowej X.
Terminologia:
( )
= , ( = 1,2,3 & ) - funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
, ( = 1,2,3 & ) - punkty skokowe (wartości zmiennej losowej X)
, ( = 1,2,3 & ) - wielkości skoków
"
Oczywiście = 1.
( ) ( ) ( )
Zauważmy, że dla zmiennej losowej X typu dyskretnego zachodzi równość: d" d" = - +
( = ), gdy b jest wartością (punktem skokowym) zmiennej losowej X.
Zmienną losową typu ciągłego nazywamy zmienną losową X, dla której istnieje taka nieujemna funkcja f(x), że
( ) ( )
dla każdego " zachodzi równość: = +" , gdzie F(X) jest dystrybuantą zmiennej losowej X.
Funkcję f(x) nazywamy funkcją gęstości lub gęstością zmiennej losowej X.
( )
Oczywiście +" = 1.
( ) ( )
Z własności całki wynika, że dla zmiennej losowej X typu ciągłego zachodzi równość: d" d" = -
( ) ( )
= +" .
( )
Jeżeli gęstość f(x) jest funkcją ciągłą w punkcie x, to zachodzi równość: = ( ), czyli
( )
( )
= lim" " ( ) = lim" ( " ) ( d" , + " ) H" ( ) " " dla małych " .
" "
FUNKCJE ZMIENNEJ LOSOWEJ
Zagadnienie: niech dana jest zmienna losowa X o dystrybuancie F1 oraz funkcja g: RÄ…ðR. Dla jakich funkcji g
funkcja Y=g(X) jest zmiennÄ… losowÄ… i jakÄ… ma dystrybuantÄ™?
Z poznanego wcześniej twierdzenia wynika, że wystarczy, aby g była funkcją borelowską, a więc np. ciągłą albo
przedziałami ciągłą.
Rozpatrzymy oddzielnie zmienne losowe typu dyskretnego i zmienne losowe typu ciągłego.
I. Zmienna losowa X jest typu dyskretnego.
Przykład: zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa określony za pomocą funkcji
prawdopodobieństwa przedstawionej w postaci tabeli:
-2 -1 1 2 3
1 1 1 1 2
( = )
5 5 10 10 5
Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X oraz funkcję prawdopodobieństwa i dystrybuantę
zmiennej losowej Y=X2.
RozwiÄ…zanie:
( ) ( ) ( )
= < = = , "
,
( ) ( )
Dla d" -2, = < = 0
( ) ( ) ( )
Dla -2 < d" -1, = < = = -2 =
( ) ( ) ( )
Dla -1 < d" 1, = = -2 + = -1 = + =
( ) ( ) ( ) ( )
Dla 1 < d" 2, = = -2 + = -1 + = 1 = + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Dla 2 < d" 3, = = -2 + = -1 + = 1 + = 2 = + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Dla 3 < , = = -2 + = -1 + = 1 + = 2 + = 3 = + = 1
0 d" -2
ż#1
ª# - 2 < d" -1
ª#5
2
ª#
- 1 < d" 1
5
( )
=
1
¨#
1 < d" 2
ª# 2
ª# 3
2 < d" 3
ª#
5
©#
1 3 <
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2010 03, str 166 1692010 03 032010 03 042010 03, str 058 064program seminarium 2010 03 112010 03, str 035 0392010 03 16id 1152010 03, str 090 0942010 03, str 182 1872010 03 29 sql sintaksa?o 12010 03, str 096 1002010 03 11 0152010 03 Tworzenie kopii obiektów [Programowanie C C ]2010 03 102010 03, str 150 1532010 03, str 050 0522010 03, str 126 1322010 03 082010 03, str 134 137więcej podobnych podstron