Centralna Komisja Egzaminacyjna
EGZAMIN MATURALNY 2012
MATEMATYKA
POZIOM PODSTAWOWY
Kryteria oceniania odpowiedzi
MAJ 2012
2 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadanie 1. (0 1)
Poprawna
odpowiedz
(1 p.)
Obszar standardów Opis wymagań
Wersja Wersja
arkusza arkusza
A B
Modelowanie matematyczne Wykonanie obliczeń procentowych
A D
(III.1.d)
Zadanie 2. (0 1)
Wykorzystanie Zastosowanie praw działań na potęgach
i interpretowanie reprezentacji o wykładnikach wymiernych, obliczenie B C
potęgi o wykładniku wymiernym (II.1.g)
Zadanie 3. (0 1)
Wykonanie obliczeń na liczbach
Wykorzystanie
rzeczywistych z wykorzystaniem wzorów A A
i interpretowanie reprezentacji
skróconego mnożenia (II.1.a; 1.g; 2.a)
Zadanie 4. (0 1)
Wykorzystanie Obliczenie wartości logarytmu (II.1.h)
B C
i interpretowanie reprezentacji
Zadanie 5. (0 1)
Wykorzystanie Wykorzystanie pojęcia wartości
i interpretowanie reprezentacji bezwzględnej do rozwiązania równania
B A
typu x - a = b (II.1.f)
Zadanie 6. (0 1)
Wykorzystanie Obliczenie sumy rozwiązań równania
C B
i interpretowanie reprezentacji kwadratowego (II.3.a)
Zadanie 7. (0 1)
Wykorzystanie Odczytanie z postaci iloczynowej funkcji
A B
i interpretowanie informacji kwadratowej jej miejsc zerowych (I.4.j)
Zadanie 8. (0 1)
Wykorzystanie Wykorzystanie interpretacji
i interpretowanie reprezentacji współczynników we wzorze funkcji A D
liniowej (I.4.g)
Egzamin maturalny z matematyki 3
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadanie 9. (0 1)
Wykorzystanie Odczytanie z wykresu funkcji jej miejsc
C D
i interpretowanie informacji zerowych (I.4.b)
Zadanie 10. (0 1)
Wykorzystanie Planowanie i wykonanie obliczeń na
D B
i interpretowanie informacji liczbach rzeczywistych (I.1.a; 6.a)
Zadanie 11. (0 1)
Wykorzystanie Wykorzystanie definicji do wyznaczenia
i interpretowanie reprezentacji wartości funkcji trygonometrycznych B A
danego kąta ostrego (II.6.a)
Zadanie 12. (0 1)
Wykorzystanie Znalezienie związków miarowych
i interpretowanie reprezentacji w figurach płaskich. Zastosowanie B C
twierdzenia Pitagorasa (II.7.c)
Zadanie 13. (0 1)
Wykorzystanie Znalezienie związków miarowych
i interpretowanie reprezentacji w figurach płaskich. Zastosowanie D A
twierdzenia Pitagorasa (II.7.c)
Zadanie 14. (0 1)
Wykorzystanie Posłużenie się własnościami figur
i interpretowanie informacji podobnych do obliczania długości D C
odcinków (I.7.b)
Zadanie 15. (0 1)
Wykorzystanie Wykorzystanie związku między
i interpretowanie reprezentacji promieniem koła opisanego na kwadracie B C
i długością jego boku (II.7.c)
Zadanie 16. (0 1)
Wykorzystanie Wykorzystanie związków między kątem
i interpretowanie informacji wpisanym i środkowym do obliczenia C B
miary kąta (I.7.a)
4 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadanie 17. (0 1)
Modelowanie matematyczne Obliczenie wyrazów ciągu
C B
arytmetycznego (III.5.a)
Zadanie 18. (0 1)
Wykorzystanie Obliczenie wyrazu ciągu określonego
B D
i interpretowanie informacji wzorem ogólnym (I.5.a)
Zadanie 19. (0 1)
Wykorzystanie Obliczenie objętości sześcianu
i interpretowanie reprezentacji z wykorzystaniem związków miarowych B C
w sześcianie (II.9.b)
Zadanie 20. (0 1)
Wykorzystanie Wyznaczenie wysokości stożka
i interpretowanie reprezentacji z wykorzystaniem funkcji
A C
trygonometrycznych lub własności
kwadratu (II.9.b)
Zadanie 21. (0 1)
Wykorzystanie Wskazanie równania prostej równoległej
A B
i interpretowanie informacji do danej (I.8.c)
Zadanie 22. (0 1)
Wykorzystanie Wykorzystanie pojęcia układu
A D
i interpretowanie reprezentacji współrzędnych na płaszczyznie (II.8.a)
Zadanie 23. (0 1)
Wykorzystanie Zbadanie czy dany punkt spełnia
B D
i interpretowanie reprezentacji równanie okręgu (II.8.g)
Zadanie 24. (0 1)
Wykorzystanie Zliczenie obiektów w prostych sytuacjach
i interpretowanie reprezentacji kombinatorycznych, stosowanie zasady C B
mnożenia (II.10.b)
Zadanie 25. (0 1)
Wykorzystanie Obliczenie średniej arytmetycznej
i interpretowanie reprezentacji i interpretowanie tego parametru D A
w kontekście praktycznym (II.10.a)
Egzamin maturalny z matematyki 5
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadanie 26. (0 2)
Wykorzystanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej (II.3.a)
i interpretowanie reprezentacji
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy:
prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x1 = -5, x2 = -3 i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błędy
albo
rozłoży trójmian kwadratowy x2 + 8x +15 na czynniki liniowe i zapisze nierówność
x + 3 x + 5 > 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy
( )( )
albo
popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego
i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność,
np. x1 = 3, x2 = 5, x -Ą,3 5,Ą
( ) ( )
albo
2
doprowadzi nierówność do postaci x + 4 > 1 (na przykład z postaci x + 4 -1 > 0
( )
2
otrzymuje x + 4 > 1, a następnie x + 4 > 1) i na tym poprzestanie lub dalej popełni
( )
błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci:
-Ą, -5 -3,Ą
( ) ( )
albo
x <-5 lub x >-3
albo
x <-5, x >-3
albo
w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x1 = -5, x2 = -3 i zapisze,
np. x -Ą, -5 3,Ą popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego
( ) ( )
z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.
2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań
nierówności w postaci -Ą, -3 -5,Ą , to przyznajemy 2 punkty.
( ) ( )
6 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadania 27. (0 2)
Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej
Rozumowanie i argumentacja
(V.2.b)
I sposób rozwiązania
Aby wykazać prawdziwość podanej nierówności, przekształcimy ją najpierw do prostszej
postaci równoważnej. Rozpoczynamy od podanej nierówności:
a + b + c a + b
>
32
Mnożymy obie strony tej nierówności przez 6:
2 a + b + c > 3 a + b
() ( )
Redukujemy wyrazy podobne:
2c > a + b
Uzyskana nierówność jest równoważna nierówności wyjściowej, zatem wystarczy wykazać
.
jej prawdziwość. Z założenia wiemy, że c > a oraz c > b Wobec tego
2c = c + c > a + b
Co należało wykazać.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
jeśli przekształci podaną nierówność do postaci 2c > a + b lub c - a + c - b > 0 ,
( ) ( )
-a - b + 2c
lub > 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
6
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
jeśli przedstawi kompletny dowód podanej nierówności.
II sposób rozwiązania
Zdający prowadzi ciąg nierówności, wychodząc od jednej ze stron podanej nierówności i na
końcu dochodząc do drugiej.
Założenie: 0 < a < b < c
a + b + c 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 a + b
= a + b + c > a + b + b = a + b = a + b + b > a + a + b = a + b =
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 2 3 6 2 2 2 2
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
jeśli co najmniej jedna z nierówności występująca w zapisanym ciągu nierówności wynika
w sposób poprawny z podanych założeń, ale zdający nie podaje kompletnego dowodu
wyjściowej nierówności.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
jeśli poda kompletny dowód podanej nierówności.
Egzamin maturalny z matematyki 7
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadanie 28. (0 2)
Wykorzystanie Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu
i interpretowanie na czynniki (II.3.d)
reprezentacji
Uwaga
Gdy zdający poda poprawną odpowiedz (trzeci pierwiastek wielomianu: x =-3) nie
wykonując żadnych obliczeń, to otrzymuje 1 punkt.
I sposób rozwiązania
Przedstawiamy wielomian W (x) w postaci W x = x + 4 x - 3 x - a , gdzie a oznacza
( ) ( )( )( )
trzeci pierwiastek wielomianu.
Stąd W (x) = x3 + x2 - ax2 -12x - ax +12a = x3 + 1- a x2 + -12 - a x +12a ,
( ) ( )
Porównując współczynniki wielomianu W (x) otrzymujemy
1- a = 4
-12 - a = -9
12a =-36
Stąd a =-3.
Trzecim pierwiastkiem wielomianu W (x) jest liczba x = -3.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy przedstawi wielomian W (x) w postaci W x = x + 4 x - 3 x - a i na tym
( ) ( )( )( )
poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x = -3.
II sposób rozwiązania
Przedstawiamy wielomian W (x) w postaci iloczynu:
W (x) = x3 + 4x2 - 9x - 36 = x2 x + 4 - 9 x + 4 = x + 4 x - 3 x + 3 .
( ) ( ) ( )( )( )
Pierwiastkami wielomianu W x są zatem
( )
x1 =- 4 , x2 = 3 oraz x3 = -3.
Odpowiedz: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba x = -3.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy przedstawi wielomian w postaci iloczynu, np.:
W (x) = x2 - 9 x + 4 lub W (x) = x + 4 x - 3 x + 3 lub W (x) = x2 + x -12 x + 3
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ()
lub W (x) = x2 + 7x +12 x - 3 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
( )
()
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x = -3.
8 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
III sposób rozwiązania
Liczba - 4 jest pierwiastkiem wielomianu Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu
W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny
W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny
przez dwumian x - 3 .
( )
przez dwumian x + 4 .
( )
Dzielimy wielomian W(x) przez dwumian
Dzielimy wielomian W(x) przez dwumian
x - 3
( )
x + 4
( )
x2 + 7x +12
x2 -9
: x -3
( )
: x+4 x3 + 4x2 -9x -36
( )
x3 +4x2 -9x-36 ()
()
- x3 +3x2
-x3 -4x2
7x2 -9x
-9x-36
9x+36 -7x2 + 21x
= = 12x -36
Wielomian W(x) zapisujemy w postaci -12x + 36
= =
W x = x + 4 x2 - 9 ,
( ) ( )
( )
Wielomian W(x) zapisujemy w postaci
stąd W x = x + 4 x - 3 x + 3 .
( ) ( )( )( )
W x = x2 + 7x +12 x - 3 .
( ) ( )
( )
Wyznaczamy pierwiastki trójmianu
x2 + 7x +12: x = - 4 i x = -3.
Liczby 3 i -4 są pierwiastkami wielomianu
W(x), więc wielomian W(x) jest podzielny
przez x - 3 x + 4 = (x2 + x -12).
( )( )
Dzielimy wielomian W(x) przez
(x2 + x -12)
x + 3
: x2 + x -12
x3 + 4x2 - 9x - 36 ()
()
x3 - x2 +12x
3x2 + 3x - 36
-3x2 -3x + 36
= = =
Zatem
W x = x2 + x -12 x+3 = x-3 x+4 x+3 .
( ) ( ) ( )( )( )
()
Zatem pierwiastkami wielomianu są: x1 = - 4 , x2 = 3 oraz x3 = -3.
Odpowiedz: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba x = -3.
Egzamin maturalny z matematyki 9
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy:
wykona dzielenie wielomianu przez dwumian x + 4 , otrzyma iloraz x2 - 9 i na
( )
( )
tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy
albo
wykona dzielenie wielomianu przez dwumian x - 3 , otrzyma iloraz x2 + 7x +12
( )
()
i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy
albo
wykona dzielenie wielomianu przez (x2 + x -12), otrzyma iloraz x + 3 i na tym
( )
poprzestanie lub dalej popełnia błędy
albo
wykona dzielenie wielomianu przez x + 4 lub x - 3 , lub przez (x2 + x -12)
( ) ( )
popełniając błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu wyznacza
pierwiastki otrzymanego ilorazu.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x = -3 .
Uwaga
Dzieląc wielomian W(x) przez dwumian x - p zdający może posłużyć się schematem
( )
Hornera, np. przy dzieleniu przez x + 4 otrzymuje
( )
1 4 9 36
4 1 0 9 0
IV sposób rozwiązania
Korzystamy z jednego ze wzorów ViŁte a dla wielomianu stopnia trzeciego
i otrzymujemy
- 36
(- 4)3 x3 = - , stąd x3 = -3
1
lub
4
(- 4)+ 3 + x3 = - , stąd x3 = -3,
1
lub
- 9
(- 4)3 + (- 4) x3 + 3 x3 = .
1
Proste sprawdzenie pokazuje, że rzeczywiście W(- 3) = 0
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy poprawnie zastosuje jeden ze wzorów ViŁte a dla wielomianu stopnia trzeciego i na
tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy poprawnie obliczy trzeci pierwiastek: x = -3 .
10 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadania 29. (0 2)
Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie własności symetralnej odcinka do
wyznaczenia jej równania (IV.8.b, 8.c, 8.e)
I sposób rozwiązania
10 - 2
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB: = 2 . Zatem współczynnik
2 - -2
( )
1
ć
kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB jest równy - . Symetralna odcinka AB
2
Ł ł
1 -2 + 2 2 +10
ć
ma równanie y =- x + b . Punkt S == 0,6 jest środkiem odcinka AB .
,
( )
2 2 2
Łł
1
Symetralna tego odcinka przechodzi przez punkt S, więc 6 = - 0 + b . Stąd b = 6, a więc
2
1
symetralna odcinka AB ma równanie y = - x + 6 .
2
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy poprawnie wyznaczy lub poda współrzędne środka odcinka AB: S = (0,6) oraz
współczynnik kierunkowy prostej AB: a = 2 i na tym poprzestanie lub dalej popełni
błędy
albo
gdy popełni błędy rachunkowe przy wyznaczaniu współrzędnych środka odcinka
albo współczynnika kierunkowego prostej AB i konsekwentnie wyznaczy
równanie symetralnej
albo
gdy obliczy współczynnik kierunkowy prostej AB: a = 2 oraz współczynnik
1
kierunkowy prostej do niej prostopadłej a1 = - i na tym zakończy lub dalej
2
popełni błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
1
gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: y = - x + 6 lub x + 2y -12 = 0 .
2
II sposób rozwiązania
Obliczamy współrzędne środka odcinka AB: S = (0,6). Obliczamy współrzędne wektora
uuur
AB = [4,8]. Ponieważ symetralna odcinka AB jest prostopadła do wektora AB i przechodzi
przez punkt S, więc jej równanie ma postać 4 x - 0 + 8 y - 6 = 0 , czyli x + 2y -12 = 0 .
( ) ( )
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy wyznaczy współrzędne wektora AB : AB = [4,8] oraz środek odcinka AB: S = (0,6) i na tym
poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Egzamin maturalny z matematyki 11
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy poprawnie wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: x + 2y -12 = 0 lub
1
y =- x + 6 .
2
III sposób rozwiązania
Z rysunku w układzie współrzędnych
y
y=2x+6
11
10 B
9
8
7
6
S
5
4
3
A
2
1
x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
odczytujemy współrzędne punktu S = (0,6), współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka
1 1
AB: a =- i zapisujemy równanie symetralnej odcinka AB : y = - x + 6 .
2 2
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy odczyta, z dokładnie sporządzonego rysunku w układzie współrzędnych, współrzędne
środka odcinka AB i współczynnik kierunkowy symetralnej prostej AB i na tym poprzestanie
lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
1
gdy zapisze równanie symetralnej odcinka AB: x + 2y -12 = 0 lub y = - x + 6 .
2
IV sposób rozwiązania
Korzystamy z tego, że symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo
oddalonych od jego końców. Jeśli punkt P = x, y leży na symetralnej, to AP = BP .
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
Zatem (x + 2) +(y -2) = (x -2) +(y -10) , czyli (x + 2) +(y - 2) = (x - 2) +(y -10) .
Po uporządkowaniu równania i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy x + 2y -12 = 0 .
Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
2 2 2 2
gdy zapisze równanie (x + 2) + (y - 2) = (x - 2) + (y -10) i na tym poprzestanie lub
dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
1
gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: x + 2y -12 = 0 lub y =- x + 6 .
2
12 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów i wyznaczy konsekwentnie równanie
symetralnej odcinka AB, to za takie rozwiązanie przyznajemy 2 punkty.
Zadanie 30. (0 2)
Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu geometrycznego (V.7.c)
I sposób rozwiązania
Niech SBAC = 2a , SABC = 2b , SACB = g , SAPB = d .
C
g
P
d
a b
a b
A
B
Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie równa jest 180o , więc w trójkącie ABC
mamy 2a + 2b + g = 180o .
Ponieważ g > 0 , więc 2a + 2b < 180o , stąd a + b < 90o .
W trójkącie ABP mamy a + b + d = 180o .
Stąd i z otrzymanej nierówności a + b < 90o wynika, że d > 90o .
Oznacza to, że kąt APB jest kątem rozwartym.
Co należało uzasadnić.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt APB jest kątem rozwartym.
II sposób rozwiązania
Niech SBAC = 2a , SABC = 2b , SACB = g , SAPB = d .
C
g
P
j
d
a b
a
b
A
B
Egzamin maturalny z matematyki 13
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Ponieważ d + j = 180o oraz suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie ABP jest równa
180o , więc otrzymujemy
1 1 1
j = 180o - d = a + b = (2a + 2b )< (2a + 2b + g ) = 180o = 90o .
2 2 2
Ponieważ j < 90o , więc j jest kątem ostrym, zatem d jest kątem rozwartym.
Oznacza to, że kąt APB jest kątem rozwartym. Co należało uzasadnić.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt APB jest rozwarty.
Zadanie 31. (0 2)
Modelowanie matematyczne Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia
z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa
(III.10.b;10.d)
I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane (x, y) dwóch liczb ze zbioru
1, 2,3, 4,5,6,7 .
{ }
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa W = 7 7 = 49 .
Iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6, gdy:
jedna z tych liczb jest równa 6 (wówczas druga jest dowolna)
albo
jedną z liczb jest 3, a drugą jest 2 lub 4.
Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa
A = 27 -1 + 2 2 = 17 .
( )
17
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe: P A = .
( )
49
II sposób rozwiązania (metoda tabeli)
1 2 3 4 5 6 7
1 J
2 J J
3 J J J
Symbole w tabeli oznaczają odpowiednio:
4 J J
J - zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A
5 J
17
W = 7 7 = 49 i A = 17 , zatem P A = .
6 J J J J J J J ( )
49
7 J
14 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy
obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: W = 72 = 49
albo
obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu A : A = 17 .
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
17
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = .
49
Uwaga
Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P(A) >1, to otrzymuje za całe rozwiązanie
0 punktów.
III sposób rozwiązania (metoda drzewa)
Drzewo z istotnymi gałęziami:
1 3
2
1
7 7
7
7
6 2, 4 3 1, 5, 7
3
2 1
7
7
7 7
7
Dowolna z siedmiu
3, 6 2, 4, 6
6
Prawdopodobieństwo zdarzenia A (iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6)
1 7 2 2 1 3 3 1 17
jest więc równe: P A = + + + = .
( )
7 7 7 7 7 7 7 7 49
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt
gdy:
narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo
albo
narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt
17
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = .
49
Uwaga
Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P(A) >1, to otrzymuje za całe rozwiązanie
0 punktów.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek,
17 1
np. P(A) = = , to otrzymuje 2 punkty.
49 3
Egzamin maturalny z matematyki 15
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Zadanie 32. (0 4)
Modelowanie matematyczne Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego
i geometrycznego (III.5.c)
I sposób rozwiązania
Ciąg 9, x,19 jest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów
( )
9 +19
sąsiednich: x = =14.
2
42
Wiemy, że ciąg 14, 42, y, z jest geometryczny, zatem jego iloraz jest równy q = = 3.
()
14
Wobec tego y = 342 =126 i z = 1263 = 378 .
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt
9 +19
wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np. x = lub
2
2x = 9 +19 lub x = 14
albo
wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np. 422 = xy lub
y2 = 42z .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt
Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego q = 3.
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt
Obliczenie x = 14 , y =126 , z = 378 .
II sposób rozwiązania
Ciąg 9, x,19 jest arytmetyczny, zatem 2x = 9 +19 , x = 14 .
( )
Ciąg 14, 42, y, z jest geometryczny, zatem 422 =14 y i y2 = 42 z ,
()
1764
y = = 126 i 1262 = 42 z , stąd z = 378 .
14
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt
9 +19
wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np. x = lub
2
2x = 9 +19 , lub x = 14
albo
wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np. 422 = xy lub
y2 = 42z .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt
Obliczenie x = 14 i zapisanie równania 422 =14y lub 1764 =14y .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt
Obliczenie y =126 i zapisanie równania y2 = 42z lub 1262 = 42z .
16 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 4 pkt
Obliczenie x = 14 , y =126 , z = 378 .
Uwaga
Jeśli zdający pomyli własności ciągów, to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów.
Zadanie 33. (0 4)
Użycie i tworzenie strategii Obliczenie objętości wielościanu (IV.9.b)
Strategia rozwiązania tego zadania sprowadza się do realizacji następujących etapów:
a) obliczenie wysokości AE ostrosłupa,
b) obliczenie pola podstawy tego ostrosłupa,
c) obliczenie objętości ostrosłupa.
Rozwiązanie
a) Obliczenie pola podstawy ostrosłupa
Podstawa ABCD ostrosłupa jest kwadratem o boku AB. Stosując wzór na przekątną kwadratu,
4
mamy: 4 = AB 2 , stąd AB = = 2 2 .
2
2
Obliczamy pole P podstawy ostrosłupa: P = 2 2 = 8 .
( )
b) Obliczenie wysokości AE ostrosłupa
Rysujemy trójkąt EAC.
8 3
AE = = 4 3 .
2
c) Obliczenie objętości ostrosłupa
132
Objętość ostrosłupa jest równa V = 84 3 = 3 .
33
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ......................................................................................................................... 1 pkt
Obliczenie wysokości AE ostrosłupa: AE = 4 3 albo obliczenie pola P podstawy ostrosłupa:
2
P = 2 2 = 8 .
( )
Pokonanie zasadniczych trudności zadania..................................................................... 3 pkt
Obliczenie pola podstawy i wysokości ostrosłupa.
Egzamin maturalny z matematyki 17
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Uwaga
Jeśli zdający obliczy jedną z tych wielkości z błędem rachunkowym, to otrzymuje 2 punkty.
Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt
32
Obliczenie objętości ostrosłupa: V = 3 .
3
Uwaga
1
Jeśli zdający pominie współczynnik we wzorze na objętość ostrosłupa, ale rozwiązanie
3
doprowadzi konsekwentnie do końca z tym jednym błędem, to za takie rozwiązanie otrzymuje
3 punkty.
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Nie obniżamy punktacji zadania za błędy nieuwagi, np. gdy zdający poprawnie obliczył
wysokość ostrosłupa, ale przy obliczaniu objętości ostrosłupa podstawił błędna wartość.
Zadanie 34. (0 5)
Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście
praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego
(III.3.b)
I sposób rozwiązania
Przyjmujemy oznaczenia np.: t czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg
osobowy, v średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę.
Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla
pociągu pospiesznego: t -1 v + 24 = 210
( ) ( )
t v = 210
Następnie zapisujemy układ równań
t -1 v + 24 = 210
( ) ( )
Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:
210
ć
(t -1) + 24 = 210
t
Ł ł
210
210 + 24t - - 24 = 210
t
24t2 - 24t - 210 = 0
4t2 - 4t - 35 = 0
D= 16 + 560 = 242
4 - 24 5 4 + 24 7
t1 == - , t2 == = 3,5
8 2 8 2
t1
jest sprzeczne z warunkami zadania.
Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny:3,5 -1 = 2,5 .
Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.
18 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
II sposób rozwiązania
Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla
pociągu pospiesznego: t -1 v + 24 = 210
( ) ( )
t v = 210
Następnie zapisujemy układ równań
t -1 v + 24 = 210
( ) ( )
Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:
210
ć
-1 (v + 24) = 210
v
Ł ł
5040
210 + - v - 24 = 210
v
5040
- v - 24 = 0
v
-v2 - 24v + 5040 = 0
D= 576 + 20160 = 1442
24 -144 24 +144
v1 == 60 , v2 = =-84 ,
-2 -2
v2 jest sprzeczne z warunkami zadania.
210 210 7
Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg osobowy: t = = = = 3,5 .
v 60 2
Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny: 3,5 1 = 2,5.
Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.
III sposób rozwiązania
Przyjmujemy oznaczenia np.: t czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg
osobowy, v średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę.
v+24
v
t
t-1
Narysowane duże prostokąty reprezentują odległości przebyte przez obydwa pociągi, mają
zatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów są równe. Stąd równość
24 t -1 = 1v . Droga przebyta przez pociąg osobowy wyraża się wzorem v t = 24 t -1 t .
( ) ( )
Ponieważ trasa pociągu ma długość 210 km, otrzymujemy równanie 24 t -1 t = 210 .
( )
Stąd 24t2 - 24t - 210 = 0
4t2 - 4t - 35 = 0
D= 16 + 560 = 242
4 - 24 5 4 + 24 7
t1 == - , t2 == = 3,5
8 2 8 2
Egzamin maturalny z matematyki 19
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
t1
jest sprzeczne z warunkami zadania. Zatem pociąg osobowy jechał przez 3,5 godziny,
a pociąg pospieszny:3,5 -1 = 2,5 godziny.
Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny.
Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania zadania ........................................................................................................ 1 pkt
Zapisanie równania z dwiema niewiadomymi
t -1 v + 24 = 210
( )( )
gdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, a v średnią
prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę,
lub
t +1 v - 24 = 210
( )( )
gdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg pospieszny, a v średnią
prędkość pociągu pospiesznego w kilometrach na godzinę.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ................................................................... 2 pkt
Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np.:
t v = 210
t v = 210
lub
(t -1)(v + 24) = 210 t +1 v - 24 = 210
( ) ( )
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................. 3 pkt
Zapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.:
210 210
ć ć
(t -1) + 24 = 210 lub -1 v + 24 = 210 lub 24 t -1 t = 210
( ) ( )
t v
Ł ł Łł
Uwaga
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały
popełnione błędy rachunkowe lub usterki .................................................................... 2 pkt
Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają
poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ...................................................... 4 pkt
rozwiązanie równania z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne
obliczenie czasu pokonania drogi przez pociąg pospieszny
albo
obliczenie czasu jazdy pociągu osobowego: t = 3,5 i nie obliczenie czasu pokonania
tej drogi przez pociąg pospieszny.
Rozwiązanie pełne ........................................................................................................... 5 pkt
Obliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny: 2,5 godziny.
Uwagi
1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów.
2. Jeżeli zdający odgadnie czas jazdy pociągu pospiesznego i nie uzasadni, że jest to jedyne
rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt.
20 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi poziom podstawowy
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Przykład 1.
Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:
v - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg
osobowy
210
v + 24 =
t -1
210 = v t
210 = v + 24 t -1
( )
i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym
jest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie
210
ujął wyrażenia t -1 w nawias. Zapis równania v + 24 = wskazuje na poprawną
t -1
interpretację zależności między wielkościami.
Przykład 2.
Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:
v - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg
osobowy
210
v =
210 120 210
t
v + 24 = + 24 =
t -1
v + 24 = 210 tt -
t -1
i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych
120 210
trudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu + 24 = zdający
tt -
przestawił cyfry w zapisie liczby 210 i pominął liczbę 1 w mianowniku ułamka.
Przykład 3.
Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np. 4t2 + 4t - 35 = 0 zamiast równania
4t2 - 4t - 35 = 0 (np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak
rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik,
który może być realnym czasem jazdy pociągu pospiesznego, to takie rozwiązanie
kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2007 arkusz klucz ppCKE 06zima Oryginalny arkusz maturalny 1 PP Fizykaarkusz3r kluczOdpowiedzi CKE 06zima Oryginalny arkusz maturalny 1 PP Fizyka (2)Przykladowy arkusz Op PP WosOdpowiedzi CKE 10 Oryginalny arkusz maturalny PP MatematykaJęzyk niemiecki arkusz V kluczMatura biologia 2011 Próbna matura z 12 01 2011 Arkusz klucz ARKUSZEOdpowiedzi CKE 07 Oryginalny arkusz maturalny PP Fizyka (2)więcej podobnych podstron