Egzamin z Analizy 1, 7 II 2007 godz. 12.00
1. Wyznaczyć m tak, aby funkcja
Å„Å‚
ôÅ‚ e-2x dla x 0
òÅ‚
f(x) = 1 dla 0 < x 1
ôÅ‚
ół
ln x + m dla x > 1
była ciągła. Po wyznaczeniu m naszkicować tę funkcję.
RozwiÄ…zanie:
Funkcja jest ciągła na zbiorze(-", 0) *" (0, 1) *" (1, "). Pozostaje sprawdzić ciągłość
dla x = 0 i dla x = 1
Dla x = 0
f(0) = e0 = 1
lim f(x) = lim e-2x = 1
x0- x0-
lim f(x) = lim 1 = 1
x0+ x0+
Ponieważ 1 = 1 = 1 więc funkcja jest ciągła w x = 0
Dla x = 1
f(1) = 1
lim f(x) = lim 1 = 1
x1- x1-
lim f(x) = lim ln x + m = m
x1+ x1+
A więc funkcja jest ciągła w x = 1 gdy 1 = 1 = m a więc dla m = 1
x - 1
2. Dla funkcji f(x) = wyznaczyć wzór Maclaurina, n = 4
x + 1
RozwiÄ…zanie:
Wzór Maclaurina dla n=4:
f (0)x f (0)x2 f (0)x3
f(x) = f(0) + + + + R4
1! 2! 3!
fIV (¸x)x4
R4 = , gdzie 0 < ¸ < 1
4!
f(0) = -1
x + 1 - x + 1 2
f (x) = = = 2(x + 1)-2 , f (0) = 2
(x + 1)2 (x + 1)2
f (x) = -4(x + 1)-3 , f (0) = -4
f (x) = 12(x + 1)-4 , f (0) = 12
fIV (x) = -48(x + 1)-5
StÄ…d:
x x2 x3
y(x) = -1 + 2 - 4 + 12 + R4 = -1 + 2x - 2x2 + 2x3 + R4
1! 2! 3!
gdzie
x4
R4 = -48(1 + ¸x)-5 = -2(1 + ¸x)-5x4
4!
3. Sformułować jedną z wersji twierdzenia de l Hospitala i obliczyć granicę
e3x + e-3x - 2
lim
x0
x2
RozwiÄ…zanie
e3x + e-3x - 2 0
lim =
x0
x2 0
Stosujemy regułę de l Hospitala 2 razy
e3x + e-3x - 2 3e3x - 3e-3x 9e3x + 9e-3x
lim = lim = lim = 9
x0 x0 x0
x2 2x 2
x2 + x - 2
4. Wyznaczyć asymptoty i ekstrema funkcji f(x) =
x - 2
RozwiÄ…zanie:
Szukamy dziedziny f(x)
D = (-", 2) *" (2, ")
Asymptota pionowa może być w punkcie x = 2. Sprawdzamy:
x2 + x - 2 4
lim = = -"
x2- x - 2 0-
x2 + x - 2 4
lim = = +"
x2+ - 2 0+
x
Funkcja ma więc asymptotę pionową obustronną w x = 2
Sprawdzamy, czy jest asympota ukośna y = ax + b w +"
1 2
x2 + x - 2 1 + -
f(x)
x x2
a = lim = lim = lim = 1
2
x
x" x" x"
x2 - 2x 1 -
x
2
x2 + x - 2 3x - 2 3 -
x
b = lim (f(x) - ax) = lim ( - x) = lim = lim = 3
2
x" x" x" x"
x - 2 x - 2 1 -
x
A więc funkcja ma w +" asymptotę ukośną o równaniu y = x + 3
Sprawdzamy, czy jest asympota ukośna y = ax + b w -"
1 2
x2 + x - 2 1 + -
f(x)
x x2
a = lim = lim = lim = 1
2
x
x-" x-" x-"
x2 - 2x 1 -
x
2
x2 + x - 2 3x - 2 3 -
x
b = lim (f(x) - ax) = lim ( - x) = lim = lim = 3
2
x-" x-" x-" x-"
x - 2 x - 2 1 -
x
A więc funkcja ma w +" asymptotę ukośną o równaniu y = x + 3
Szukamy ekstremów:
Badamy znak pierwszej pochodnej:
(2x + 1)(x - 2) - (x2 + x - 2) x2 - 4x
f (x) = =
(x - 2)2 (x - 2)2
x2 - 4x
> 0
(x - 2)2
x2 - 4x > 0
x(x - 4) > 0
x1 = 0 , x2 = 4
A więc
f (x) > 0 dla x " (-", 0) *" (4, ")
f (x) < 0 dla x " (0, 4) )" D
Czyli funkcja ma minimum lokalne w x = 4 i maksimum lokalne w x = 0
5. Wymienić 4 własności całki oznaczonej. Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzy-
wymi y = 4 - x2 , y = x2 - 2x . Sporządzić rysunek obszaru D .
RozwiÄ…zanie:
Szukamy punktów przecięcia krzywych:
4 - x2 = x2 - 2x
2x2 - 2x - 4 = 0
x2 - x - 2 = 0
" = 9
x1 = -1 , x2 = 2
Na przedziale < -1, 2 > krzywa y = 4 - x2 leży nad krzywą y = x2 - 2x . Pole obszaru
jest więc równe:
2 2 2
2 16
S = 4 - x2 - (x2 - 2x) dx = -2x2 + 2x + 4 dx = - x3 + x2 + 4x = - +
3 3
-1
-1 -1
2
4 + 8 - ( + 1 - 4) = 9
3
"
8
6. Obliczyć długość łuku krzywej y = x x między punktami (0, 0) , (4, )
9 27
RozwiÄ…zanie:
Długość łuku jest równa:
4
9

l = 1 + (y )2 dx
0
"
3
3
2
y = (x ) = x
2
4
9
9
l = 1 + x dx
4
0
Całkujemy przez podstawienie:
Å„Å‚ üÅ‚
9
t = 1 + x
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 4 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ 9 żł
dt = dx
4
ôÅ‚ ôÅ‚
t = 1 dla x = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
4
t = 2 dla x =
9
2 2
" "
4 4 2 3 8
2
l = t dt = t = (2 2 - 1)
9 9 3 27
1
1


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
SIMR AN1 EGZ 2013 02 04b rozw
SIMR AN1 EGZ 2013 02 12b rozw
SIMR ALG1 EGZ 2007 02 08b rozw
SIMR ALG1 EGZ 2014 02 07b rozw 1
SIMR AN1 EGZ 2013 02 12a rozw
SIMR AN1 EGZ 2013 02 04a rozw
SIMR MAT1 EGZ 2006 02 08a rozw
SIMR MAT1 EGZ 2006 02 01b rozw
SIMR ALG1 EGZ 2008 02 07a rozw
SIMR ALG1 EGZ 2012 02 10b rozw
SIMR ALG1 EGZ 2014 02 07a rozw 1
SIMR AN1 EGZ 2013 09 05 rozw
SIMR ALG1 EGZ 2013 02 05b rozw
SIMR ALG1 EGZ 2012 02 03b rozw
SIMR ALG1 EGZ 2007 01 30a rozw
SIMR ALG1 EGZ 2013 02 05a rozw 1
SIMR ALG1 EGZ 2012 02 10a rozw
SIMR ALG1 EGZ 2012 02 03a rozw
SIMR ALG1 EGZ 2013 02 11b rozw

więcej podobnych podstron