12 M1 KazimierczukS NarazińskiM ZAD12


Zadanie 12
Obustronnie przytwierdzona belka jest obciążona równomiernie rozłożonym
obciążeniem ciągłym na odcinku CB. Wyznacz wielkości podporowe i wykonaj wykresy Mg
i T z wykorzystaniem zasady najmniejszej pracy (wg. Tw. Menabre a).
a)
1.Równania statyki:
5Ø9Ü5ØfÜ = 0: 5ØEÜ5Ø4Ü - 25Ø^Ü5ØNÜ + 5ØEÜ5Ø5Ü = 0
5Ø@Ü5Ø4Ü = 0: - 5Ø@Ü5Ø4Ü + 25ØNÜ " 25Ø^Ü5ØNÜ - 5ØEÜ5Ø5Ü " 35ØNÜ + 5Ø@Ü5Ø5Ü = 0
-5Ø@Ü5Ø4Ü + 45Ø^Ü5ØNÜ2 - 35ØEÜ5Ø5Ü " 5ØNÜ + 5Ø@Ü5Ø5Ü = 0
I przedziaÅ‚: 0 d" 5ØeÜ1 d" 5ØNÜ
M(5ØeÜ1) = 5ØEÜ5Ø4Ü " 5ØeÜ1 - 5Ø@Ü5Ø4Ü
II przedziaÅ‚: ad" 5ØeÜ2 d" 3a
1
2
5Ø@Ü 5ØeÜ2 = 5Ø^Ü5ØNÜ2 + 5Ø@Ü5Ø5Ü - 5ØEÜ5Ø5Ü " 5ØeÜ2
2
1
2
5Ø@Ü 5ØeÜ2 = 5Ø^Ü5ØeÜ2 + 5Ø@Ü5Ø4Ü - 45Ø^Ü5ØNÜ2 + 65Ø^Ü5ØNÜ - 35ØEÜ5Ø4Ü - 25Ø^Ü5ØNÜ5ØeÜ2 + 5ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ2
2
Obieram 5ØEÜ5Ø4Ü, 5Ø@Ü5Ø4Ü
1) 5Øß5Øß5ØIÜ = 0
5Ø@Ü5Ø4Ü
5Øß5ØIÜ
2) = 0
5Øß5ØEÜ5Ø4Ü
5Øß5ØIÜ 1 5ØNÜ 25ØNÜ 5Øß5Ø@Ü 5ØeÜ2
1) = 5Ø@Ü 5ØeÜ1 5Øß5Ø@Ü 5ØeÜ1 5ØQÜ5ØeÜ1 + 5Ø@Ü 5ØeÜ2 " 5ØQÜ 5ØeÜ2 = 0
0 0
5Øß5Ø@Ü5Ø4Ü 5Ø8Ü5Ø<Ü 5Øß5Ø@Ü5Ø4Ü 5Øß5Ø@Ü5Ø4Ü
5ØNÜ 25ØNÜ
5Øß5ØIÜ 1 1 2
= 5ØEÜ5Ø4Ü " 5ØeÜ1 - 5Ø@Ü5Ø4Ü " -1 5ØQÜ5ØeÜ1 + ( 5Ø^Ü5ØeÜ2 + 5Ø@Ü5Ø4Ü - 45Ø^Ü5ØNÜ2 + 65Ø^Ü5ØNÜ - 35ØEÜ5Ø4Ü - 25Ø^Ü5ØNÜ5ØeÜ2
5Øß5Ø@Ü5Ø4Ü 5Ø8Ü5Ø<Ü 2
0 0
+ 5ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ2)5ØQÜ5ØeÜ2
5ØNÜ 25ØNÜ
1
2
= -5ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ1 + 5Ø@Ü5Ø4Ü 5ØQÜ5ØeÜ1 + ( 5Ø^Ü5ØeÜ2 + 5Ø@Ü5Ø4Ü - 45Ø^Ü5ØNÜ2 + 65Ø^Ü5ØNÜ - 35ØEÜ5Ø4Ü - 25Ø^Ü5ØNÜ5ØeÜ2 + 5ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ2)5ØQÜ5ØeÜ2
2
0 0
1 5ØNÜ 1 1 25ØNÜ
2 3 2 2
= - 5ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ1 + 5Ø@Ü5Ø4Ü5ØeÜ + 5Ø^Ü5ØeÜ2 + 5Ø@Ü5Ø4Ü5ØeÜ2 Ä… -45Ø^Ü5ØNÜ2 + 65Ø^Ü5ØNÜ5ØeÜ2 - 35ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ2 - 5Ø^Ü5ØNÜ5ØeÜ2 + 5ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ2
2 0 6 2 0
1 4
- 5ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ2 + 5Ø@Ü5Ø4Ü5ØNÜ + 5Ø^Ü5ØNÜ3 + 25ØNÜ5Ø@Ü5Ø4Ü + 45Ø^Ü5ØNÜ3 - 65ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ - 45Ø^Ü5ØNÜ3 + 25ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ = 0
2 3
1 1
2 2
5Ø@Ü 5ØeÜ2 = 5Ø^Ü5ØNÜ2 + 5Ø@Ü5Ø5Ü - 5ØEÜ5Ø5Ü " 5ØeÜ2 = 5Ø^Ü5ØNÜ2 + 5Ø@Ü5Ø4Ü - 45Ø^Ü5ØNÜ2 + 65Ø^Ü5ØNÜ2 - 35ØEÜ5Ø4Ü " 5ØNÜ - (25Ø^Ü5ØNÜ - 5ØEÜ5Ø4Ü)5ØeÜ2
2 2
1
2
= 5Ø^Ü5ØNÜ2 + 5Ø@Ü5Ø4Ü + 25Ø^Ü5ØNÜ2 - 35ØEÜ5Ø4Ü " 5ØNÜ - 25Ø^Ü5ØNÜ5ØeÜ2 + 5ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ2
2
5ØNÜ
25ØNÜ
5Øß5ØIÜ 1 1
2
= 5ØEÜ5Ø4Ü " 5ØeÜ1 - 5Ø@Ü5Ø4Ü -1 5ØQÜ5ØeÜ1 + ( 5Ø^Ü5ØeÜ2 + 5Ø@Ü5Ø4Ü + 25Ø^Ü5ØNÜ2 - 35ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ - 25Ø^Ü5ØNÜ5ØeÜ2
5Øß5Ø@Ü5Ø4Ü 5Ø8Ü5Ø<Ü 2
0
0
+ 5ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ2)5ØQÜ5ØeÜ2 = 0
1 1 1
- 5ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ2 + 5Ø@Ü5Ø4Ü5ØNÜ + " 85Ø^Ü5ØNÜ2 + 25ØNÜ5Ø@Ü5ØNÜ + 25Ø^Ü5ØNÜ " 25ØNÜ - 3 " 25ØNÜ25ØEÜ5Ø4Ü - 5Ø^Ü5ØNÜ " 45ØNÜ + 5ØEÜ5Ø4Ü " 45ØNÜ2 = 0
2 6 2
9 4
- 5ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ + 35Ø@Ü5Ø4Ü + 5Ø^Ü5ØNÜ = 0
2 3
5Øß5ØIÜ
2) = 0;
5Øß5ØEÜ5Ø4Ü
5ØNÜ 25ØNÜ
5Øß5ØIÜ 1 5Øß5Ø@Ü(5ØeÜ1) 5Øß5Ø@Ü 5ØeÜ2
= 5Ø@Ü(5ØeÜ1) 5ØQÜ5ØeÜ1 + 5Ø@Ü 5ØeÜ2 " 5ØQÜ 5ØeÜ2 = 0
5Øß5ØEÜ5Ø4Ü 5Ø8Ü5Ø<Ü 5Øß5ØEÜ5Ø4Ü 5Øß5ØEÜ5Ø4Ü
0 0
5Øß5Ø@Ü(5ØeÜ1) 5Øß5Ø@Ü(5ØeÜ2)
= 5ØeÜ1 ; = -35ØNÜ + 5ØeÜ2
5Øß5ØEÜ5Ø4Ü 5Øß5ØEÜ5Ø4Ü
5ØNÜ
5ØEÜ5Ø4Ü " 5ØeÜ1 - 5Ø@Ü5Ø4Ü 5ØeÜ1 5ØQÜ5ØeÜ1
0
25ØNÜ
1
2
+ 5Ø^Ü5ØeÜ2 + 5Ø@Ü5Ø4Ü + 25Ø^Ü5ØNÜ2 - 35ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ - 25Ø^Ü5ØNÜ5ØeÜ2 + 5ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ2 (-35ØNÜ + 5ØeÜ2)
2
0
5ØNÜ 25ØNÜ
3
2 2
= (5ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ1 - 5Ø@Ü5Ø4Ü5ØeÜ1)5ØQÜ5ØeÜ1 + (- 5Ø^Ü5ØNÜ5ØeÜ2 - 35Ø@Ü5Ø4Ü5ØNÜ - 65Ø^Ü5ØNÜ3 + 95ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ2 + 65Ø^Ü5ØNÜ25ØeÜ2 - 35ØNÜ5ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ2
2
0 0
1
3 2 2
+ 5Ø^Ü5ØeÜ2 + 5Ø@Ü5Ø4Ü5ØeÜ2 + 25Ø^Ü5ØNÜ25ØeÜ2 - 35ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ " 5ØeÜ2 - 25Ø^Ü5ØNÜ5ØeÜ2 + 5ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ2 )5ØQÜ5ØeÜ2
2
1 1 3
= 5ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ3 - 5Ø@Ü5Ø4Ü5ØNÜ2 - 5Ø^Ü5ØNÜ " 85ØNÜ3 - 35Ø@Ü5Ø4Ü " 25ØNÜ - 65Ø^Ü5ØNÜ3 " 25ØNÜ + 95ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ2 " 25ØNÜ + 35Ø^Ü5ØNÜ2 " (25ØNÜ)2
3 2 6
3 1 1 1 1
- 5ØNÜ " 5ØEÜ5Ø4Ü " 45ØNÜ2 + 5Ø^Ü " 165ØNÜ4 + 5Ø@Ü5Ø4Ü " 45ØNÜ2 + " 25Ø^Ü5ØNÜ2 " 45ØNÜ2 - " 35ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ " 45ØNÜ2
2 8 2 2 2
1 1
- " 25Ø^Ü5ØNÜ " 85ØNÜ3 + 5ØEÜ5Ø4Ü " 85ØNÜ3
3 3
9 10
95ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ - 5Ø@Ü5Ø4Ü - 5Ø^Ü5ØNÜ2 = 0
2 3
Rozwiązujemy układ równań  3 i 4
9 4
- 5ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ + 35Ø@Ü5Ø4Ü + 5Ø^Ü5ØNÜ2 = 0/5ØeÜ2
2 3
9 10
95ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ - 5Ø@Ü5Ø4Ü - 5Ø^Ü5ØNÜ2 = 0
2 3
8
-95ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ + 65Ø@Ü5Ø4Ü + 5Ø^Ü5ØNÜ2 = 0
3
9 10
95ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ - 5Ø@Ü5Ø4Ü - 5Ø^Ü5ØNÜ2 = 0
2 3
3 2
5Ø@Ü5Ø4Ü - 5Ø^Ü5ØNÜ2 = 0
2 3
4
5Ø@Ü5Ø4Ü = 5Ø^Ü5ØNÜ2
9
8
-95ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ + 65Ø@Ü5Ø4Ü + 5Ø^Ü5ØNÜ2 = 0
3
8
-95ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ = -65Ø@Ü5Ø4Ü - 5Ø^Ü5ØNÜ2
3
16
5ØEÜ5Ø4Ü = 5Ø^Ü5ØNÜ
27
Rozwiązujemy układ równań  1 i 2
5ØEÜ5Ø4Ü - 25Ø^Ü5ØNÜ + 5ØEÜ5Ø5Ü = 0
38
5ØEÜ5Ø5Ü = 5Ø^Ü5ØNÜ
27
-5Ø@Ü5Ø4Ü + 45Ø^Ü5ØNÜ2 - 35ØNÜ5ØEÜ5Ø5Ü + 5Ø@Ü5Ø5Ü = 0
2
5Ø@Ü5Ø5Ü = 5Ø^Ü5ØNÜ2
3
T(x1)=RA=16 5Ø^Ü5ØNÜ
27
T(5ØeÜ2) = 5ØeÜ2 - 5Ø^Ü(5ØeÜ2 - 5ØNÜ)
16
T(a)=5ØEÜ5Ø4Ü - 0 = 5Ø^Ü5ØNÜ
27
38
T(3a)=(16 - 2)5Ø^Ü5ØNÜ = - 5Ø^Ü5ØNÜ
27 27
Max Mg dla T=0:
5ØEÜ5Ø4Ü - 5Ø^Ü 5ØeÜ2 - 5ØNÜ = 0
16
-5Ø^Ü 5ØeÜ2 - 5ØNÜ = - 5Ø^Ü5ØNÜ
27
43
5ØeÜ2 = 5ØNÜ
27
16 4
M(5ØeÜ1) = 5ØEÜ5Ø4Ü " 5ØeÜ1 - 5Ø@Ü5Ø4Ü = 5Ø^Ü5ØNÜ " 5ØeÜ1 - 5Ø^Ü5ØNÜ2
27 9
4
M(0)= - 5Ø^Ü5ØNÜ2
9
4 4
M(a)=16 5Ø^Ü5ØNÜ2 - 5Ø^Ü5ØNÜ2 = 5Ø^Ü5ØNÜ2
27 9 27
1
5Ø@Ü 5ØeÜ2 = 5ØEÜ5Ø4Ü " 5ØeÜ2 - 5Ø@Ü5Ø4Ü - 5Ø^Ü(5ØeÜ2 - 5ØNÜ)2
2
16 4 1
5Ø@Ü 5ØeÜ2 = 5Ø^Ü5ØNÜ " 5ØeÜ2 - 5Ø^Ü5ØNÜ2 - 5Ø^Ü(5ØeÜ2 - 5ØNÜ)2
27 9 2
16 4 4
5Ø@Ü 5ØNÜ = 5Ø^Ü5ØNÜ2 - 5Ø^Ü5ØNÜ2 = 5Ø^Ü5ØNÜ2
27 9 27
16 4 1 2
5Ø@Ü 35ØNÜ = " 35Ø^Ü5ØNÜ2 - 5Ø^Ü5ØNÜ2 - " 45Ø^Ü5ØNÜ2 = - 5Ø^Ü5ØNÜ2
27 9 2 3
43 16 43 4 1 43 236
5Ø@Ü 5ØNÜ = " 5Ø^Ü5ØNÜ2 - 5Ø^Ü5ØNÜ2 - 5Ø^Ü( 5ØNÜ - 5ØNÜ)2 = 5Ø^Ü5ØNÜ2
27 27 27 9 2 27 729
Wykresy momentów i sił tnących:
b)
1. Równania statyki:
5Ø9Ü5ØfÜ = 0: 5ØEÜ5Ø4Ü - 25Ø^Ü5ØNÜ + 5ØEÜ5Ø5Ü + 5ØEÜ5Ø6Ü = 0
5Ø@Ü5ØPÜ = 0: 5ØEÜ5Ø4Ü " 35ØNÜ - 25Ø^Ü5ØNÜ " 25ØNÜ + 5Ø@Ü + 5ØEÜ5Ø5Ü " 5ØNÜ = 0
35ØEÜ5Ø4Ü " 5ØNÜ - 45Ø^Ü5ØNÜ2 + 5Ø@Ü + 5ØEÜ5Ø5Ü " 5ØNÜ = 0
Układ jednokrotnie niewyznaczalny
I przedziaÅ‚: 0 d" 5ØeÜ1 d" 25ØNÜ
1
2
M(x1)=RA"x1 - 5Ø^Ü5ØeÜ1
2
II przedział: 2a d" x2 d" 3a
M(x2)= RA"x2 -2qa"(x2-a)+ RB(x2-2a)+ M
Równanie Menabre a:
5Øß5ØIÜ
= 0
5Øß5ØEÜ5Ø4Ü
5Øß5ØIÜ 1 25ØNÜ 35ØNÜ 5Øß5Ø@Ü (5ØeÜ2)
= 5Ø@Ü(5ØeÜ1 " 5Øß5Ø@Ü (5ØeÜ1) 5ØQÜ5ØeÜ1 + 5Ø@Ü(5ØeÜ2) " 5ØQÜ 5ØeÜ2 =0
0 25ØNÜ
5Øß5ØEÜ5Ø4Ü 5Ø8Ü5Ø<Ü 5Øß5ØEÜ5Ø4Ü 5Øß5ØEÜ5Ø4Ü
5Øß5Ø@Ü(5ØeÜ1)
= 5ØeÜ1 ; 5Øß5Ø@Ü(5ØeÜ2) = 5ØeÜ2
5Øß5ØEÜ5Ø4Ü 5Øß5ØEÜ5Ø4Ü
25ØNÜ 35ØNÜ
5Øß5ØIÜ 1 1 2
= [( 5ØEÜ5Ø4Ü " 5ØeÜ1 - 5Ø^Ü5ØeÜ1 ) " 5ØeÜ1]5ØQÜ5ØeÜ1 + [(5ØEÜ5Ø4Ü " 5ØeÜ2 - 25Ø^Ü5ØNÜ " 5ØeÜ2 - 5ØNÜ + 5ØEÜ5Ø5Ü 5ØeÜ2 - 25ØNÜ
5Øß5ØEÜ5Ø4Ü 5Ø8Ü5Ø<Ü 2
0 25ØNÜ
+ 5Ø@Ü) " 5ØeÜ2]5ØQÜ5ØeÜ2
25ØNÜ 35ØNÜ
1 1 3
2 2
= (5ØEÜ5Ø4Ü " 5ØeÜ1 - 5Ø^Ü5ØeÜ1 )5ØQÜ5ØeÜ1 + (5ØEÜ5Ø4Ü " 5ØeÜ2 - 25Ø^Ü5ØNÜ " 5ØeÜ2 - 5ØNÜ 5ØeÜ2 + 5ØEÜ5Ø5Ü(5ØeÜ2 - 25ØNÜ)5ØeÜ2
5Ø8Ü5Ø<Ü 2
0 25ØNÜ
+ 5Ø@Ü5ØeÜ2
1 1 1 25ØNÜ
3 4
= 5ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ1 - 5Ø^Ü5ØeÜ1 )
5Ø8Ü5Ø<Ü 3 8 0
1 2 1 1 35ØNÜ
3 3 2 3 2 2
+ 5ØEÜ5Ø4Ü5ØeÜ2 - 5Ø^Ü5ØNÜ5ØeÜ2 + 5Ø^Ü5ØNÜ25ØeÜ2 + 5ØEÜ5Ø5Ü5ØeÜ2 - 5ØEÜ5Ø5Ü5ØNÜ5ØeÜ2 + 5Ø@Ü5ØeÜ2 )
3 3 3 2 25ØNÜ
1 1 1 2 1
= " 85ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ3 - " 165Ø^Ü5ØNÜ4 + " 195ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ3 - 5Ø^Ü5ØNÜ " 195ØNÜ3 + 5Ø^Ü5ØNÜ2 " 55ØNÜ2 + 5ØEÜ5Ø5Ü " 195ØNÜ3 - 5ØEÜ5Ø5Ü " 5ØNÜ
3 8 3 3 3
1 5Ø^Ü5ØNÜ2
" 55ØNÜ2 + " 55ØNÜ2
2 4
4 217
95ØEÜ5Ø4Ü5ØNÜ3 + 5ØEÜ5Ø5Ü " 5ØNÜ3 - 5Ø^Ü5ØNÜ4 = 0
3 24
4 217
95ØEÜ5Ø4Ü + 5ØEÜ5Ø5Ü - 5Ø^Ü5ØNÜ = 0
3 24
Rozwiązujemy układ równań:
4 217
5ØEÜ5Ø4Ü = - 5ØEÜ5Ø5Ü + 5Ø^Ü5ØNÜ = 0
27 216
4 217
- 5ØEÜ5Ø5Ü + 5Ø^Ü5ØNÜ - 25Ø^Ü5ØNÜ + 5ØEÜ5Ø5Ü + 5ØEÜ5Ø6Ü = 0
27 216
4 217
- 5ØEÜ5Ø5Ü + 5Ø^Ü 5ØNÜ " 35ØNÜ - 45Ø^Ü5ØNÜ2 + 5Ø@Ü + 5ØEÜ5Ø5Ü " 5ØNÜ = 0
27 216
4 217 5Ø^Ü5ØNÜ
- 5ØEÜ5Ø5Ü + 5Ø^Ü5ØNÜ - 45Ø^Ü5ØNÜ + + 5ØEÜ5Ø5Ü = 0
9 72 4
5 53
5ØEÜ5Ø5Ü = 5Ø^Ü5ØNÜ
9 72
53
5ØEÜ5Ø5Ü = 5Ø^Ü5ØNÜ = 1,3255Ø^Ü5ØNÜ
40
4 53 217 97
5ØEÜ5Ø4Ü = - " 5Ø^Ü5ØNÜ + 5Ø^Ü5ØNÜ = 5Ø^Ü5ØNÜ
27 40 216 120
4 53 217 53 2
5ØEÜ5Ø6Ü = " 5Ø^Ü5ØNÜ - 5Ø^Ü5ØNÜ + 25Ø^Ü5ØNÜ - 5Ø^Ü5ØNÜ = - 5Ø^Ü5ØNÜ
27 40 216 40 15
T(5ØeÜ1) = 5ØEÜ5Ø4Ü - 5Ø^Ü5ØeÜ1
97
T(0) = 5ØEÜ5Ø4Ü = 5Ø^Ü5ØNÜ
120
97 143
T(2a) = 120 5Ø^Ü5ØNÜ - 25Ø^Ü5ØNÜ = - 5Ø^Ü5ØNÜ
120
T(5ØeÜ2) = 5ØEÜ5Ø4Ü - 25Ø^Ü5ØNÜ + 5ØEÜ5Ø5Ü
97 53 2
T(2a) = 120 5Ø^Ü5ØNÜ - 25Ø^Ü5ØNÜ + 5Ø^Ü5ØNÜ = 5Ø^Ü5ØNÜ
40 15
2
T(3a) = 15 5Ø^Ü5ØNÜ
5ØEÜ5Ø4Ü - 5Ø^Ü5ØeÜ1 = 0
97
5ØeÜ1 = 5ØNÜ
120
1
2
5Ø@Ü 5ØeÜ1 = 5ØEÜ5Ø4Ü " 5ØeÜ1 - 5Ø^Ü5ØeÜ1
2
5Ø@Ü 0 = 0
97 1 23
5Ø@Ü 25ØNÜ = " 25ØNÜ2 - 5Ø^Ü " 45ØNÜ2 = - 5Ø^Ü5ØNÜ2
120 2 60
97 97 1 97 9409
5Ø@Ü 5ØNÜ = ( 5ØNÜ)2 - 5Ø^Ü " ( 5ØNÜ)2 = H" 0,3265Ø^Ü5ØNÜ2
120 120 2 120 28800
5Ø^Ü5ØNÜ4
5Ø@Ü 5ØeÜ2 = 5ØEÜ5Ø4Ü " 5ØeÜ2 - 25Ø^Ü5ØNÜ " 5ØeÜ2 - 5ØNÜ + 5ØEÜ5Ø5Ü 5ØeÜ2 - 25ØNÜ +
4
97 5Ø^Ü5ØNÜ2 2
5Ø@Ü 25ØNÜ = " 25ØNÜ2 - 25Ø^Ü5ØNÜ2 + = - 5Ø^Ü5ØNÜ2
120 4 15
97 53 5Ø^Ü5ØNÜ2
5Ø@Ü 35ØNÜ = " 35ØNÜ2 - 25Ø^Ü5ØNÜ " 25ØNÜ + 5Ø^Ü5ØNÜ2 + = 0
120 40 4


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
12 M2 DrogowskiJ MoskalikM ZAD12
poematy m1 komory 1 12
248 12
Biuletyn 01 12 2014
12 control statements
Rzym 5 w 12,14 CZY WIERZYSZ EWOLUCJI
12 2krl

więcej podobnych podstron