Wykład 6
Kinematyka ruchu obrotowego punktu materialnego
Ruch po okręgu
Rozważmy ruch punktu materialnego po okręgu. W tym przypadku położenie punktu
x, y, z
A na okręgu możemy również określić za pomocą współrzędnych w wybranym
dowolnie układzie kartezjańskim. Jednak dogodniej jest określić położenie punktu A na
okręgu za pomocą kąta � (rys.VI.1). Chwilową prędkością kątową albo kołową nazywa się
pochodną kąta � względem czasu t
" � d�
&�
� = lim0 a" a" �
. (VI.1)
" t
" t dt
� = � = const
Udowodnimy, że jeżeli , czyli prędkość kątowa jest stała wtedy
0
� (t) = � �" t + �
. (VI.2)
0 0
Tu � 0 - wartość kąta � w chwili początkowej t = t0 = 0 .
Istotnie po podstawieniu (VI.2) do wzoru (VI.1) otrzymujemy:
" � [� (t + " t) + � ]- [� t + � ] � �" " t
0 0 0
� = lim0 = lim0 0 = lim0 0 = � = const . (VI.3)
0
" t " t " t
" t " t " t
Ruch po okręgu ze stałą prędkością kątową
nazywamy ruchem jednostajnym obrotowym.
Czas, po upływie, którego punkt materialny
wykonuje jeden obrót nazywamy okresem ruchu
obrotowego. Okres ruchu obrotowego oznaczamy
dużą literą T . Korzystając z definicji okresu, ze
t0 = 0
wzoru (VI.2) otrzymujemy ( ):
� (t0 + T ) a" 2Ą + � = � �" T + �
.
0 0 0
Rys.VI.1. Ruch obrotowy
Skąd mamy
2Ą
T =
. (VI.4)
�
0
Wielkość odwrotna do okresu
55
1 �
0
� = a"
. (VI.5)
0
T 2Ą
nazywa się częstością ruchu obrotowego. A
atwo wyjaśnić sens fizyczny częstości � 0 . W
t = T
czasie równym okresowi punkt materialny wykonuje jeden obrót. A zatem w jednostce
T = 1 10 0
czasu punkt materialny wykonuje � 0 = 1/T obrotów. Na przykład, jeżeli
sekundy,
to w czasie jednej setnej sekundy punkt wykonuje jeden obrót, a w czasie 1 sekundy punkt
materialny wykonuje 100 obrotów. Więc częstość � 0 = 1/T jest liczbą obrotów punktu
- 1
materialnego w jednostce czasu. Częstość mierzymy w hercach ( Hz ). 1 Hz = 1 .
s
W ogólnym przypadku prędkość kątowa � może zależeć od czasu. Zmiany prędkości
kątowej w czasie określa chwilowe przyspieszenie kątowe:
" � d�
&�
� = lim0 a" a" �
. (VI.6)
" t
" t dt
Znajdziemy związek między chwilową prędkością liniową i chwilową prędkością kątową, określoną
wzorem (VI.1).
Niech w chwili początkowej t = t0 = 0 punkt
materialny znajduje się na okręgu w punkcie
t = " t
A , a w chwili - w punkcie B
(rys.VI.2). Jeżeli rozważamy bardzo mały
t = " t
czas , długość łuku jest w
AB
przybliżeniu równa długości cięciwy AB .
Przybliżenie to jest tym lepiej spełnione, im
" t
bardziej zmniejszmy odcinek czasowy .
Wtedy dla chwilowej liniowej prędkości
Rys.VI.2.
punktu możemy zapisać
AB
� = lim0
. (VI.7)
" t
" t
Z rys.VI.2 widać, że
" � " �
AB = 2�" AC = 2�" r �" sin�ł �ł H" 2�" r �" = r �" " �
�ł �ł . (VI.8)
2 2
�ł łł
Tu skorzystaliśmy z przybliżenia, że dla małych kątów siną H" ą .
Po podstawieniu (VI.8) do (VI.7) znajdujemy
56
" �
� = r �" lim0 = r �" �
. (VI.9)
" t
" t
Ze wzoru (VI.9) otrzymujemy, że w przypadku ruchu punktu materialnego po okręgu
r�
� = const � a" �
ze stałą prędkością kątową , bezwzględna wartość prędkości liniowej jest
0
też stała.
r�
Z rys.VI.2 wynika, że gdy " t 0 wektor przemieszczenia " r dąży do stycznej w
punkcie A . A zatem prędkość chwilowa w punkcie A jest wektorem stycznym do krzywej w
r�
tym punkcie, czyli jest prostopadła do wektora wodzącego punktu r . Z rys.VI.2 wynika
r�
�
również, że prędkość liniowa punktu materialnego poruszającego się po okręgu ciągle
zmienia swój kierunek. A zatem ruch po okręgu jest ruchem z przyspieszeniem.
Znajdziemy teraz przyspieszenie punktu materialnego poruszającego się po okręgu, w
r�
� = const
przypadku, gdy prędkość linowa . Rozważmy znów dwa punkty A i B (rys.VI.3).
r� r� r�
" � = � - �
Z podobieństwa trójkątów AOB i DBE (rys.VI.3) wynika, że wektor , który
B A
pokrywa się z wektorem ma długość
DE
" �
DE = 2�" DF = 2 �" � �" sin�ł �ł
�ł �ł
2
�ł łł
. (VI.10)
" �
H" 2�" � �" = � �" " �
2
A zatem dla długości wektora przyspieszenia możemy zapisać:
DE d�
a = lim0 = � �" = � �" �
. (VI.11)
" t
" t dt
Biorąc pod uwagę wzór (VI.9), ze wzoru (VI.10) mamy
2
�
a = � �" � = . (VI.12)
r
Kierunek wektora przyspieszenia (VI.12) pokrywa się z kierunkiem wektora
r�
r� r� r�
, który przy " t 0 �
jest prostopadły do wektora prędkości w punkcie
" � = � - � = DE
B A
r�
A (rys.VI.4). A zatem wektor przyspieszenia a punktu materialnego jest równoległy do
r� r� r�
a
wektora wodzącego r , ale zwrot wektora jest przeciwny do zwrotu wektora r . Dlatego
przyspieszenie to nosi nazwę przyspieszenia radialnego lub przyspieszenia dośrodkowego i
r�
ar
oznacza się .
57
Rys.VI.3
Rys.VI.4
Podsumowując możemy powiedzieć, że ruch obrotowy punktu materialnego po okręgu
ze stałą prędkością odbywa się ze stałym dośrodkowym przyspieszeniem skierowanym ku
środkowi okręgu. Bez tego dośrodkowego przyspieszenia ciało (punkt materialny)
r�
r�
� ar
poruszałoby się wzdłuż wektora prędkości . Istnienie dośrodkowego przyspieszenia
powoduje, że ciało ciągle  spada na środek okręgu i poruszający się punkt materialny
pozostaje na okręgu.
Przyspieszenie styczne i dośrodkowe
r�
r�
n = 1), (rys.VI.3) skierowany od punktu A
n
Wprowadzając jednostkowy wektor (
ku środkowi okręgu, wektor przyspieszenia dośrodkowego możemy zapisać w postaci:
2
r� � r�
ar = �" n . (VI.13)
r
r�
r�
ex
n
Jednostkowy wektor jest podobny do wektorów jednostkowych bazy układu odniesienia
r�
ey r�
ez
, i . Wektor ten wyznacza jedynie kierunek w przestrzeni. Jednak, w odróżnieniu od
r� r�
r�
ex ey r�
ez n
wektorów , i , wektor nie jest wektorem stałym i zmienia swój kierunek wraz ze
r�
n
zmianą położenia punktu materialnego na okręgu. Wektor jest skierowany do środka
r�
okręgu, a zatem ma kierunek przeciwny do kierunku wektora wodzącego r . Wprowadzając
jednostkowy wektor:
58
r�
r� r r�
nr = = - n
r�
, (VI.14)
r
przyspieszenie dośrodkowe możemy zapisać w postaci:
2
r� � r� r�
2
ar = - �" nr a" - � �" r . (VI.15)
r
r� r�
(� / r) = � r = r �" nr (patrz wzór (VI.14)).
Tu uwzględniliśmy, że (patrz wzór (VI.9)) oraz
Wektor prędkości chwilowej punktu materialnego poruszającego się po okręgu, jak
widzieliśmy wyżej, jest wektorem stycznym do okręgu w punkcie gdzie znajduje się punkt
r�
n�
materialny. Wprowadzając jednostkowy wektor , styczny do okręgu w punkcie A
(rys.VI.3):
r�
r� �
n� =
, (VI.16)
�
wektor prędkości chwilowej dla ruchu po okręgu możemy zapisać w postaci:
r� r� r�
� = � �" n� = � �" r �" n� .
(VI.17)
r�
r�
n�
nr
Jednostkowy wektor jak i wektor nie jest stałym wektorem i zmienia swój
kierunek przy zmianie położenia punktu materialnego na okręgu.
Korzystając ze wzoru (VI.17) mamy
r�
r�
dn�
r� d�
ar = = � �" . (VI.18)
dt dt
Porównując wzór (VI.18) ze wzorem (VI.15), który wyprowadziliśmy rozważając
przypadek ruchu po okręgu ze stałą prędkością kątową, znajdujemy
r�
2
dn�
r� � r�
ar = - �" nr a" � �" . (VI.19)
r dt
Ze wzoru (VI.19) otrzymujemy ważny dla następnych rozważań wzór:
r�
dn� � r�
= - �" nr . (VI.20)
dt r
Chociaż wyprowadziliśmy wzór (VI.20) tylko na przykładzie ruchu po okręgu ze stałą
prędkością, okazuje się, że ten wzór jest słuszny w przypadku ruchu po dowolnej krzywej nie
r
będącej okręgiem. W tym przypadku jednak określa tak zwany promień krzywizny krzywej
59
w punkcie, w którym obliczamy przyspieszenie. Promień krzywizny określa o ile jest
zakrzywiona krzywa w danym punkcie. Dla okręgu promień krzywizny dla wszystkich
punktów jest taki sam i pokrywa się z promieniem okręgu. Dla prostej promień krzywizny
jest równy nieskończoności. Dla dowolnej krzywej im bardziej jest zakrzywiona krzywa w
otoczeniu wybranego punktu, tym mniejszy jest promień krzywizny. O promieniu krzywizny
krzywej będzie mową póz
niej na analizie matematycznej.
Skorzystamy teraz z matematycznego twierdzenia, że prawie dowolną funkcję
f (x + " x)
można przedstawić w postaci szeregu Taylora
df
f (x + " x) = f (x) + " x + O(" x2)
, (VI.21)
dx
O(" x2 )
tu oznacza wyrazy zawierające " x2," x3,K� , a słowo  prawie oznacza, że
f (x)
rozważamy taką funkcję dla której istnieje pierwsza (i drugie) pochodne.
Udowodnimy teraz jeden z podstawowych wzorów rachunku różniczkowego - wzór
na pochodną od iloczynu funkcji
d dh du
[u(t) �" h(t)] = u(t)�" + h(t) �"
. (VI.22)
dt dt dt
Biorąc pod uwagę wzór (VI.21) oraz określenie pochodnej natychmiast otrzymujemy
d u(t + " t) �" h(t + " t) - u(t) �" h(t)
[u(t) �" h(t)] = lim0 =
" t
dt " t
du dh
dh du
[u(t) + " t + O(" x2 )]�" [h(t) + " t + O(" x2 )] - u(t) �" h(t)
u(t) �" + h(t) �"
.
dt dt
= lim0 =
dt dt
" t
" t
Wróćmy teraz do ruchu punktu materialnego wzdłuż dowolnej krzywej na
płaszczyz
nie. W tym przypadku, korzystając ze wzoru (VI.22) dla przyspieszenia punktu
materialnego znajdujemy
r� r�
r�
d[� (t) �" n� ] dn�
r� d� d� r�
a = a" = n� + � �" . (VI.23)
dt dt dt dt
Biorąc pod uwagę wzór (VI.20), wzór (VI.23) możemy zapisać w postaci
2
r� d� r� � r�
a = n� - nr . (VI.24)
dt r
60
Ze wzoru (VI.24) wynika, że w przypadku ruchu po dowolnej krzywej ze zmienną w
czasie prędkością przyspieszenie zawiera dwa składniki:
2
r� � r�
ar = - �" nr (VI.25)
r
- przyspieszenie dośrodkowe, oraz
r� d� r�
at = �" n�
(VI.26)
dt
- przyspieszenie styczne.
Wektor przyspieszenia dośrodkowego jest prostopadły do wektora prędkości punktu, a
zatem wywołuje zmiany kierunku wektora prędkości. Natomiast wektor przyspieszenia
stycznego jest równoległy do wektora prędkości punku, a więc zmienia tylko wartość
(długość) wektora prędkości.
r
Zadanie 1: punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu z prędkością, która
zmienia się w czasie jak:
r�
� a" � = c �" t
,
c
gdzie jest stała. Znajdziemy przyspieszenie dośrodkowe i przyspieszenie styczne.
Rozwiązanie: ze wzorów (VI.25) i (VI.26) otrzymujemy:
2 2
r� � r� c2t r�
ar = - �" nr = - �" nr ,
r r
r� d� r� r�
at = �" n� = c �" n�
.
dt
Wielkości kątowe jako wektory. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów
Przy rotacji punktu materialnego po okręgu ruch punktu może zachodzić w dwie różne
strony: zgodnie z wskazówką zegara albo w przeciwną stronę. Dlatego, żeby rozróżnić te dwa
możliwe ruchy po okręgu wprowadza się wektor prędkości kątowej albo wektor prędkości
kołowej. Wektor ten wprowadzamy stosując reguły (rys.VI.5):
61
1) ze środka okręgu rysujemy oś obrotu -
prostą prostopadłą do płaszczyzny, w której
odbywa się ruch kołowy; 2) na osi obrotu ze
środka okręgu oznaczamy odcinek o długości
równej wartości prędkości kątowej; 3)
kierunek otrzymanego odcinka (strzałkę)
wybieramy w taki sposób abyśmy patrząc
Rys. VI.5. Wektor prędkości kątowej
wzdłuż niego (z tyłu strzałki) widzieli ruch obrotowy punktu odbywający się zgodnie ze
wskazówką zegara. Może powstać pytanie:  Czy wprowadzone w taki sposób wektory
rzeczywiście są wektorami?
Rys.VI.6
Dlatego, żeby odpowiedzieć na to pytanie musimy sprawdzić, czy tak wprowadzone
wektory spełniają prawa dotyczące wektorów, m.in. prawo dodawania wektorów, a w
r� r�
r� r�
szczególności prawo przemienności . A
atwo zauważyć z prostego przykładu
a + b = b + a
obrotu książki (rys.VI.6), że prawo to nie jest słuszne, w przypadku skończonych
r�
�
przemieszczeń kątowych. Jednak wektor jest określony jako pochodna od kąta obrotu � ,
r� r�
� (t2 ) H" � (t1)
czyli dotyczy nieskończenie małych przemieszczeń kątowych ( )
r� r�
r� � (t2 ) - � (t1)
� = lim 0
.
" t = t2 - t1
t2 - t1
r�
�
Tu wektor ma zwrot wzdłuż osi obrotu, a wartość bezwzględną równą � .
Można udowodnić, że dla nieskończenie małych przemieszczeń kątowych prawo
r� r� r� r�
przemienności jest słuszne, czyli � + � = � + � . A zatem wprowadzenie wektorów
1 2 2 1
opisujących przemieszczenia kątowe jest uzasadnione.
62
Otrzymaliśmy wyżej następujące wzory, opisujące ruch obrotowy
r� r� r�
� = � �" n� = � �" r �" n� ,
(VI.27)
r� d� r� d� r�
at = n� = r �" n�
, (VI.28)
dt dt
2
r� � r� r�
ar = - nr = - � �" � �" nr . (VI.29)
r
r� r� r� r�
r, � ,at ,ar ,
Rys. VI.7 przedstawia wektory
r� r� r�
� ,ą = d� / dt
dla obracającego się punktu
materialnego. Wzory (VI.27)  (VI.29)
dogodniej jest zapisać w postaci, w której
r� r� r� r�
r, � ,at ,ar ,
zamiast skalarnych wielkości
r� r� r�
� ,ą = d� / dt
występują wielkości
r� r� r� r� r� r� r�
r,� ,at , ar ,� ,ą = d� / dt
wektorowe . Ta
postać wzorów (VI.27)  (VI.29) będzie
szczególnie użyteczna dla przypadków, dla
Rys.VI.7
których oś obrotu jest osią ruchomą.
Dlatego, żeby wykonać takie przekształcenie wzorów (VI.27)  (VI.29) musimy
r�
r�
a
wprowadzić pojęcie iloczynu wektorowego dwóch wektorów i . Iloczynem wektorowym
b
r� r� r� r�
r�
r� r� r� r�
a
dwóch wektorów i , oznaczanym jako (albo [ ]) nazywamy wektor
b a � b a � b c = a � b
prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez te dwa wektory (rys.VI.8).
Rys. VI.8
63
r�
c
Wartość bezwzględna wektora określa równanie
r�
c = c = ab �" sin�
, (VI.30)
r� r�
r�
r� r�
gdzie � jest mniejszym kątem zawartym między wektorami a i b . Zwrot wektora
c = a � b
określa reguła prawoskrętnej śruby: kierunek poruszania się śruby prawoskrętnej (od wektora
r�
r� r�
a do wektora ) określa zwrot wektora (rys.VI.8).
c
b
Korzystając z określenia iloczynu wektorowego łatwo zapisać wzory (VI.27)  (VI.29)
r� r� r� r� r� r� r�
r,� ,at , ar ,� ,ą = d� / dt
przez wektory
r� r� r�
� = � � r , (VI.31)
r� r� r�
at = ą � r
, (VI.32)
r� r� r�
ar = � � �
. (VI.33)
r� r�
Istotnie, iloczyn wektorowy � � r ma wartość bezwzględną � �" r i kierunek
r�
r� r�
n�
pokrywający się ze zwrotem wektora . Podobnie, iloczyn wektorowy ą � r ma wartość
r�
(d� / dt) �" r n�
bezwzględną i kierunek pokrywający się ze zwrotem wektora . Iloczyn
r� r�
� � �
wektorowy ma wartość bezwzględną � �" � i kierunek pokrywający się ze zwrotem
r�
wektora - nr
.
Literatura do Wykładu 6.
1. Robert Resnik, David Halliday: Fizyka 1, Wydawnictwo PWN, Warszawa, 1994, str.
248  265.
2. Sz. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna, t.1, PWN, Warszawa 1980, str. 44-53.
Zadania do Wykładu VI
1. Położenie kątowe punktu materialnego znajdującego się na obręczy obracającego się
koła określa wzór
1
2
� = � + � t + � �" t
. (VI.34)
0 0
2
a) Wyprowadzić wzór, który określa zależność prędkości kątowej od czasu; b)
udowodnić, że wzór (VI.34) opisuje ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem
kątowym; c) Jaki sens mają � 0 i � 0 w równaniu (VI.34).
2. Płyta gramofonowa obraca się z prędkością kątową 33 obr/min. Jaka jest prędkość
liniowa punktu płyty, w którym dotyka igła: a) na początku i b) na końcu odtwarzania?
64
Założyć, że odległości igły od osi obrotu wynoszą 15 cm na początku i 6 cm na końcu.
Odpowiedz
: a) 31 m/min; b) 12,4 m/min.
3. Położenie kątowe punktu materialnego znajdującego się na obręczy obracającego się
a
koła określa wzór � = at3 - bt . a) Jaki wymiar mają wielkości i b ?. Znalez
ć wzory
na prędkość i przyspieszenie kątowe.
4. Obracające się wokół swojej osi koło, wskutek tarcia o oś, zaczyna hamować. Po
upływie 3 min jego prędkość kątowa wynosi 0,7 prędkości kątowej � 0 = 10 obr/min
na początku tej minuty. Przyjmując, że siły tarcia są stałe, obliczyć opóz
nienie kątowe
koła. Odpowiedz
: -1 obr/min2.
5. Obracające się wokół swojej osi koło, wskutek tarcia o oś, zaczyna hamować. Po
�
upływie 1 min jego prędkość kątowa wynosi 0,9 prędkości kątowej na początku
0
tej minuty. Przyjmując, że siły tarcia są stałe, obliczyć prędkość kątową po upływie 3
min. Odpowiedz
: 0,7 � 0 .
6. Stałe przyspieszenie kątowe koła wynosi 1 rad/s2. Ile musi być równa prędkość
początkowa koła, aby w ciągu 2 s koło obróciło się o 3600. Odpowiedz
: 2,14 rad/s.
7. Jaka jest prędkość kątowa samochodu jadącego po torze kołowym o promieniu 90 m z
prędkością 60 km/h? Odpowiedz
: 0,185 rad/s.
8. Jaki jest stosunek przyspieszenia dośrodkowego związanego z obrotem Ziemi punktu
znajdującego się na równiku, do przyspieszenia Ziemi związanego z jej ruchem
dookoła Słońca? Przyjąć kołowe orbity. (Promień Ziemi wynosi około R H" 6 400 km,
a odległość Ziemi od Słońca wynosi około R H" 150 km). Odpowiedz
: 5,7.
106
�
9. Ciało obraca się wokół stałej osi ze stałym przyspieszeniem kątowym . Prędkość
początkowa kątowa równa się zeru. Udowodnić, że dla punktu znajdującego się w
2 2
r
odległości od osi obrotu przyspieszenia dośrodkowe i styczne są równe ar = r� t
at = r�
i .
�
10. Punkt materialny obraca się wokół stałej osi ze stałym przyspieszeniem kątowym .
r
Odległość punktu od osi wynosi , a jego prędkość początkowa kątowa równa się
zeru. W pewnej chwili przyspieszenie wypadkowe (dośrodkowe + styczne) tworzy kąt
600 z przyspieszeniem stycznym. O jaki kąt obrócił się punkt materialny dookoła osi
do tej chwili? Odpowiedz
: � = 3 / 2 rad. Wskazówka: skorzystać z rozwiązania
zadania 9.
65


Wyszukiwarka