Mechanika analityczna Kolokwium 1 27 marca 2015 r. 1. SformuÅ‚uj nastÄ™pujÄ…ce zagadnienie wariacyjne. Dana jest jednorodna lina o dÅ‚ugoÅ›ci i masie m. Lina ta może być rozpiÄ™ta miÄ™dzy punktami A i B jak na rysunku, przy czym odlegÅ‚ość AB < . Wyznaczyć równanie ekstremali zagadnienia pole- gajÄ…cego na minimalizacji momentu bezwÅ‚adnoÅ›ci liny wzglÄ™dem osi x. Nazwij typ zagadnienia. 2. Napisać równanie Eulera-Lagrange a dla funkcjonaÅ‚u w postaci: Å„Å‚ îÅ‚ 2 2Å‚Å‚üÅ‚
òÅ‚ żł "2z "2z "2z "2z "2z ðÅ‚ ûÅ‚ I [z(x, y)] = + - 2(1 - µ) - dD ół þÅ‚ "x2 "y2 "x2 "y2 "x"y D gdzie µ jest parametrem, zaÅ› D jest pewnym obszarem staÅ‚ym. 3. Wyznaczyć ekstremale funkcjonaÅ‚u: Ä„ 2
I [y(x), z(x)] = 2yz + (y )2 (z )2 dx 0 speÅ‚niajÄ…ce warunki brzegowe: Å„Å‚ Ä„ Ä„2 ôÅ‚ òÅ‚ y = - 1 2 4 y(0) = -1
ôÅ‚ z(0) = 1 Ä„ Ä„2 ół z = + 1 2 4 oraz warunek dodatkowy: y + z = 4x.