1
Zbiory w Rn
" Otoczeniem punktu a " Rn o promieniu ´ > 0 nazywamy
zbiór punktów x " Rn , których odległość od punktu a jest
mniejsza od ´ , co zapisujemy
U(a, ´) = { x " Rn : d(a, x) < ´ } .
Powyzszy zbiór często jest nazywamy kulą otwartą o środku w
punkcie a i promieniu ´ .
" Niech A będzie podzbiorem przestrzeni Rn . Punkt
a " A nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A , gdy istnieje
otoczenie U(a, ´) tego punktu zawarte w zbiorze A .
" Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A oznaczać
będziemy symbolem Int A i nazywać jego wnętrzem.
2
" Zbiór A nazywamy otwartym, gdy pokrywa się on ze swoim
wnętrzem, a więc gdy każdy jego punkt jest punktem wewnętrznym.
" Zbiór A nazywamy domkniętym, gdy jego dopełnienie Rn - A
jest zbiorem otwartym.
" Punkt a nazywamy punktem brzegowym zbioru A , jeżeli
dowolne otoczenie punktu a zawiera punkty ze zbioru A jak i
z jego dopełnienia.
" Zbiór punktów brzegowych zbioru A nazywamy jego brzegiem.
" Zbiór A nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieją punkt a " Rn
i M > 0 takie, że zbiór A jest zawarty w kuli o środku w a i
promieniu M .
3
Funkcje wielu zmiennych
Definicja (Funkcji dwóch zmiennych)
FunkcjÄ… f okreÅ›lonÄ… na zbiorze D ‚" R2 o wartoÅ›ciach w R
nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru D
dokładnie jednej liczby rzeczywistej.
f : D R
z = f(x, y) (x, y) " D
" Zbiór D ‚" R2 nazywamy dziedzinÄ… funkcji f .
" Zbiór Wf = { z " R : z = f(x, y), (x, y) " R } nazywamy
zbiorem wartości funkcji f .
4
Uwaga Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór
punktów płaszczyzny, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną
naturalnÄ… funkcji.
Przykład Wyznacz i narysuj zbiór będący dziedziną naturalną
funkcji:
1
a) f(x, y) = + 9 - x2 - y2
xy
"
b) f(x, y) = 1 - x2 · arccos y
1
c) f(x, y) = + ln(x - y2 + 4)
y-x+2
"
d) f(x, y) = arcsin y - x
5
Definicja Wykresem funkcji f nazywamy zbiór
Å„Å‚ üÅ‚
òÅ‚ żł
( x, y, f(x, y) ) " R3 : (x, y) " D .
ół þÅ‚
Przykład Wyznaczyć dziedzinę i narysować wykres funkcji:
a) f(x, y) = 4 - x2 - y2
b) f(x, y) = 1 + x2 + y2
1
c) f(x, y) = 1 - x2 - y2
9
d) f(x, y) = x2
6
Definicja Funkcja f : D R jest ograniczona, jeżeli istnieje
liczba rzeczywista M taka, że dla dowolnego punktu (x, y) " D
zachodzi
| f(x, y) | M.
Przykład Czy funkcje z poprzedniego przykładu są funkcjami
ograniczonymi?
7
Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych
Definicja (Pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego)
Niech funkcja f będzie określona co najmniej w otoczeniu punktu
(x0, y0) .
" Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x
w punkcie (x0, y0) określamy wzorem:
"f f(x0 + "x, y0) - f(x0, y0)
(x0, y0) = lim .
"x0
"x "x
Pochodną tą oznaczamy także symbolem: fx(x0, y0) .
" Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem y
w punkcie (x0, y0) określamy wzorem:
8
"f f(x0, y0 + "y) - f(x0, y0)
(x0, y0) = lim .
"y0
"y "y
Pochodną tą oznaczamy także symbolem: fy(x0, y0) .
Przykład Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe
x
pierwszego rzędu funkcji f(x, y) = w punkcie (-1, 1) .
y
Przykład Wykazać, że nie istnieją pochodne czastkowe rzędu
pierwszego funkcji f(x, y) = x2 + y2 w punkcie (0, 0) .
9
Definicja (Pochodnych czÄ…stkowych na zbiorze otwartym)
Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym
punkcie zboru otwartego D ‚" R2 , to funkcje:
"f "f
(x, y) (x, y),
"x "y
gdzie (x, y) " D , nazywamy pochodnymi czÄ…stkowymi pierwszego
"f "f
rzędu funkcji f na zborze D i oznaczamy odpowiednio ,
"x "y
lub fx , fy .
Uwaga
" Przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej,
drugą zmienną traktujemy jako stałą.
10
" Do obliczania pochodnych cząstkowych można stosować reguły
różniczkowania funkcji jednej zmiennej, tj. wzory na pochodne
sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu, pochodne funkcji złożonej.
Przykład Obliczyć pochodne cząskowe rzędu pierwszego następujących
funkcji:
x
a) f(x, y) = arcsin
y
x2-y2
b) f(x, y) =
2xy+x+y
c) f(x, y) = xy + yx + 5
"
d) f(x, y) = arctg (y x) + sin2(3x2 + xy - 5y3)
11
Pochodne cząstkowe rzędu drugiego
Definicja (Pochodnych cząstkowych rzędu drugiego)
"f
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego ,
"x
"f
co najmniej w otoczeniu punktu (x0, y0) . Pochodne czÄ…stkowe
"y
rzędu drugiego funkcji f w punkcie (x0, y0) określamy wzorem:
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 f " "f "2 f "f "f
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= (x0, y0) = (x0, y0),
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
" x2 "x "x "x "y "x "y
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 f " "f "2 f "f "f
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= (x0, y0) = (x0, y0).
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
"y "x "y "x " y2 "y "y
Powyższe pochodne oznacza się także symbolami: fxx(x0, y0) ,
fxy(x0, y0) , fyx(x0, y0) , fyy(x0, y0) .
12
Definicja (Pochodnych cząstkowych rzędu drugiego na zbiorze
otwartym)
Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu drugiego w każdym
punkcie zboru otwartego D ‚" R2 , to funkcje:
"2 f "2 f "2 f "2 f
(x, y) (x, y) (x, y) (x, y)
" x2 "x "y "y "x " y2
gdzie (x, y) " D , nazywamy pochodnymi czastkowymi rzędu drugiego
na zbiorze D .
Przykład Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
a) f(x, y) = sin xy
x2-y2
b) f(x, y) =
xy
13
Twierdzenie (Schwartza o pochodnych mieszanych)
"2 f "2 f
Jeżeli pochodne cząstkowe mieszane (x, y) i (x, y) są
"x "y "y "x
ciagłe, to są sobie równe.
Przykład Sprawdz, czy pochodne cząstkowe mieszane funkcji z
poprzedniego przykładu spełniają założenia twierdzenia Schwartza.
14
Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji dwóch zmiennych
"f "f
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe , w
"x "y
punkcie (x0, y0) . Wówczas płaszczyzna styczna do wykresu funkcji
f w punkcie (x0, y0, f(x0, y0)) ma postać:
"f "f
z - f(x0, y0) = (x0, y0) (x - x0) + (x0, y0) (y - y0).
"x "y
Przykład Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji
Ä„
f w punkcie (1, 0, ) , jeżeli:
4
arctg x
f(x, y) = .
1 + y2
15
Różniczka zupełna funkcji dwóch zmiennych
"f "f
Definicja Niech funkcja f ma pochodne czÄ…stkowe , w
"x "y
punkcie (x0, y0) . Różniczką zupełną funkcji f w punkcie (x0, y0)
nazywamy funkcję df (x0, y0) zmiennych "x, "y określoną wzorem:
"f "f
df (x0, y0) ( "x, "y ) = (x0, y0) "x + (x0, y0) "y.
"x "y
Rózniczkę funkcji f oznaczamy krótko df .
Uwaga Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego
w punkcie (x0, y0) . Wtedy
"f "f
f (x0+"x, y0+"y) H" f(x0, y0) + (x0, y0) "x + (x0, y0) "y.
"x "y
16
Przykład Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć wartość przybliżoną
wyrażenia:
3
(2, 06)2 + (1, 97)2 .
17
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Definicja Funkcja f ma w punkcie (x0, y0) minimum (maksimum)
lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla dowolnego
(x, y) z tego otoczenia zachodzi nierówność:
f(x, y) f(x0, y0)
( f(x, y) f(x0, y0) ) .
Przykład Zbadać z definicji, czy funkcja f(x, y) = 5 + x6 + |y|
ma w punkcie (0, 0) ekstremum.
18
Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia ekstremum)
"f "f
Załóżmy, że funkcja f ma pochodne cząstkowe , w
"x "y
punkcie (x0, y0) . Wówczas jeżeli funkcja f ma ekstremum w
punkcie (x0, y0) , to
"f "f
(x0, y0) = (x0, y0) = 0.
"x "y
Twierdzenie (Warunek dostateczny istnienia ekstremum)
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego w
otoczeniu punktu (x0, y0) oraz niech
"f "f
" (x0, y0) = (x0, y0) = 0
"x "y
19
"
"2 f "2 f
(x0, y0) (x0, y0)
"x "y
" x2
> 0.
"2 f "2 f
(x0, y0) (x0, y0)
"y "x
" y2
Wtedy funkcja f ma w punkcie (x0, y0) ekstremum lokalne
właściwe i jest to:
"2 f
" minimum, gdy (x0, y0) > 0 ,
" x2
"2 f
" maksimum, gdy (x0, y0) < 0 .
" x2
Uwaga Gdy wyznacznik w powyższym twierdzeniu jest ujemny,
to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie (x0, y0) . W przypadku,
gdy wyznacznik ten jest równy 0, to badanie, czy funkcja f ma
ekstremum przeprowadzamy innymi metodami (np. z definicji).
20
Przykład Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
a) f(x, y) = 3x3 + 3x2y - y3 - 15x
b) f(x, y) = ex-y (x2 - 2y2)
21
Wartość najmniejsza i największa funkcji dwóch zmiennych
na zbiorze domkniętym
Twierdzenie (Weierstrassa o osiąganiu kresów)
Jeżeli funkcja f jest określona i ciągła na zbiorze D domkniętym
i ograniczonym, to jest ona ograniczona oraz w zbiorze D istniejÄ…
punkty Pm i PM takie, że:
f(Pm) = min f(P )
P "D
i
f(PM) = max f(P ).
P "D
22
Algorytm wyznaczania wartości najmniejszej i największej funkcji:
" szukamy ewentualnych ekstremów lokalnych we wnętrzu zbioru
D
" brzeg obszaru D dzielimy na kawałki, dające się opisać wzorem:
y = p(x) lub x = p(y) , a nastepnie wyznaczamy ewentualne
ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej y = p(x) lub x = p(y)
" obliczamy wartości funkcji f(x, y) we wszystkich wcześniej
wyznaczonych punktach, a następnie wyszukujemy te, w których
funkcja osiąga wartość najmniejszą i najwiekszą.
Przykład W trójkącie ograniczonym prostymi x = 0, y =
0, x + y = -4 znalezć najmniejszą i największą wartość funkcji
f(x, y) = xy - x(x + 1) - y(y + 1) .
23
Przykład Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji
f(x, y) = xy - x(x + 1) - y(y + 1) na zbiorze
D = (x, y) " R2 : x2 + y2 25, y 3 .
Przykład Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji
f(x, y) = 3x + 4y w obszarze mieszczącyn się między krzywymi
y = ln x , y = - ln x i prawą połówką okręgu (x - e)2 + y2 = 1 .
24
Pochodne funkcji złożonej
Twierdzenie (O pochodnej funkcji złożonej) Niech
" funkcje x = x(t), y = y(t) mają pochodne właściwe w punkcie
t0
" funkcja z = f(x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego
rzędu w punkcie (x(t0), y(t0)) .
Wtedy funkcja złożona F (t) = f(x(t), y(t)) ma pochodną właściwą
w punkcie t0 oraz
dF "f dx "f dy
= · + · ,
dt "x dt "y dt
dy
dx
gdzie pochodne , sÄ… obliczane w punkcie t0 , a pochodne
dt dt
"f "f
, sÄ… obliczane w punkcie (x(t0), y(t0)) .
"x "y
25
Przykład Obliczyć F (t) , jeżeli F (t) = f(x(t), y(t)) i x(t) =
sin2 t oraz y(t) = ln t .
Twierdzenie (O pochodnych cząstkowych funkcji złożonej) Niech
" funkcje x = x(u, v), y = (u, v) majÄ… pochodne czÄ…stkowe
pierwszego rzędu w punkcie (u0, v0)
" funkcja z = f(x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego
rzędu w punkcie (x(u0, v0), y(u0, v0)) .
Wtedy funkcja złożona F (u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) ma w punkcie
(u0, v0) pochodne cząstkowe pierwszego rzędu oraz
"F "f "x "f "y
= · + · ,
"u "x "u "y "u
26
"F "f "x "f "y
= · + · ,
"v "x "v "y "v
"y "y
"x "x
gdzie pochodne , , , sÄ… obliczane w punkcie (u0, v0) ,
"u "v "u "v
"f "f
a pochodne , sÄ… obliczane w punkcie (x(u0, v0), y(u0, v0)) .
"x "y
Przykład Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji F = f(x, y) ,
gdzie x = u cos v i y = u sin v .
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
funwzm23funwzm23funwzmwięcej podobnych podstron