wmimb2011@gmail.com
Wydz. Inżynierii Środowiska
Politechniki Warszawskiej
hasło: 2011wmimb
WYTRZYMAAOŚĆ MATERIAAÓW I MECHANIKA BUDOWLI
Wykład 3
Redukcja układu sił, elementy statyki 3D
1. Definicja redukcji, przesuniecie równoległe siły
2. Redukcja dowolnego układu sił do wektora głównego i momentu głównego
3. Niezmienniki redukcji
4. Równoważność układów sił, równoważność zeru układu sił
5. Redukcja układu sił do skrętnika
6. Def. momentu wektora względem osi
7. Warunki równoważności zeru przestrzennych układów sił
8. Więzy idealne 3D, reakcje więzów
Opracowanie : dr inż. Szymon Imiełowski
prof. Zbigniew Kowalewski
1
Redukcja układu sił - wstęp
Redukcja układu sił zastąpienie danego układu sił, możliwie najprostszym układem równoważnym.
W punkcie A obciążenie wspornika
można zastąpic wypadkową siłą V
P
P
i wypadkowym momentem M
A
V = Pi = 2P
"
a
a
M = Pi = 3Pa
"MomA
V
P
P
MA
MA
a"
M
VA
VA
Składowe reakcji w A : VA = 2P
Równowaga sił w punkcie A
MA = 3Pa
Dokonaliśmy redukcji układu sił czynnych względem A, który nazywamy biegunem redukcji
2
Redukcja układu sił - przesunięcie równoległe siły
Wniosek z aksjomatu 5: Stan ruchu ciała nie zmieni się, gdy do działającego układu sił dodamy
lub odejmiemy układ sił równoważny zeru.
Układem równoważnym zeru jest np. dwójka zerowa
dwie siły współliniowe, równe co do wartości i przeciwnie skierowane.
1) Działanie siły na ciało sztywne nie zmieni się, jeżeli punkt zaczepienia przeniesiony zostanie
do innego punktu leżącego na linii działania siły, niech są wektorami posuwnymi osi l
P1 = P
P P P1 - P1 P1 = P
l
A B
A B A B
3
Redukcja układu sił - przesunięcie równoległe siły
Wniosek z aksjomatu 5: Stan ruchu ciała nie zmieni się, gdy do działającego układu sił dodamy
lub odejmiemy układ sił równoważny zeru.
Układem równoważnym zeru jest np. dwójka zerowa
dwie siły współliniowe, równe co do wartości i przeciwnie skierowane.
1) Działanie siły na ciało sztywne nie zmieni się, jeżeli punkt zaczepienia przeniesiony zostanie
do innego punktu leżącego na linii działania siły, niech są wektorami posuwnymi osi l
P1 = P
P P P1 - P1 P1 = P
l
A B
A B A B
2) Jeżeli punkt zaczepienia siły zostanie przeniesiony poza jej linię działania oddziaływanie siły na
ciało musi być uzupełnione momentem, który stanowi reakcję na oddziaływanie na ciało
momentu, który powstał wskutek przesunięcia siły względem położenia A.
P P
l
A
A A
d
P1 - P1 MB = P1 "d
P1 = P
B B
B
4
Redukcja układu sił mimośrodowe działanie siły
x2A
x1
A
M=Pa
x2
Przykład redukcji siły prostopadłej do przekroju względem środka ciężkości przekroju.
Działanie siły przyłożonej mimośrodowo jest równoważne działaniu siły P i momentu M=Pa,
a jest wielkością mimośrodu.
5
Redukcja dowolnego układu sił do wektora głównego i momentu głównego
Redukcja układu sił zastąpienie danego układu sił, możliwie najprostszym układem równoważnym.
Tw. Dowolny układ sił można zastąpić układem sił zaczepionych w jednym punkcie i układem par sił.
M
Pi '
Pi '
Pi
Pi
r
r
A
A A
O
O O =
=
Pi ''
P
Rozważamy jedną z sił układu sił działających na ciało w p-cie A. W dowolnym p-cie O dodajemy
dwójkę równoważących się sił
Pi ' jest przesunięciem równoległym siły oraz
Pi '' = -Pi ' siła, która równoważy działanie siły .
Pi '
Pi ' (Pi '',Pi )
W O otrzymaliśmy nowy układ obciążeń, siłę i moment , będący momentem pary .
M
Siła działająca w punkcie A została zastąpiona siłą działającą w punkcie O i parą sił.
Czynność tę powtarzamy dla każdej siły układu.
6
Redukcja dowolnego układu sił do wektora głównego i momentu głównego
Pi
a) b) c)
O
P1
F
P1 Pi
P1'
Pi '
Ai
M2
M1
ri
O
a"
a"
O O
P2
P2 '
P2
O
M
U
Pi "
Mi
(P1' , P1 '' ........ Pn ' , Pn '')
W punkcie O otrzymujemy układ par sił , który jest równoważny zeru.
Otrzymaliśmy dwa równoważne układy sił:
(P1........Pn) (P1' ........ Pn ' , P1 , P1 '' ........ Pn , Pn '')
a"
.
W punkcie O otrzymaliśmy równoważne układowi (P1........Pn)
n
o
" układ sił (P1' ........ Pn ' ) , którego wypadkowa jest równa F = Pi '
"
i =1
( P1 , P1'' ........ Pn , Pn '' )
" układ par sił ,
n
o
M = (Pi , Pi '' )
c.n.u
można obliczyć sumę momentów tych par "Mom
i =1
Mówimy , że układ sił (P1........Pn) zredukowaliśmy względem bieguna O
o o
F M
do wektora głównego i momentu głównego
7
Wektor główny i Moment główny
(P1........Pn) jest dowolnym układem sil skupionych działających na układ materialny
P1 P2
A
F
A
M
Pn
R R
U
A
Q
n
n
A
A
F =
M = Pi
Def.: Wektory
"Pi
"MomA
i =1
i =1
zaczepione w punkcie A nazywamy wektorem głównym i momentem głównym
układu sił (P1........Pn) względem punktu A. Punkt A nazywamy środkiem redukcji.
Wektor główny jest wypadkową siłą a moment główny jest wypadkowym momentem
(P1........Pn)
układu sił w punkcie A .
8
Wektor główny i Moment główny
(P1........Pn) jest dowolnym układem sil skupionych działających na układ materialny
B
F
P1 P2
A
F
B
A
M
M
Pn
B
R R
U
A
Q
n
n
A
A
F =
M = Pi
Def.: Wektory
"Pi
"MomA
i =1
i =1
zaczepione w punkcie A nazywamy wektorem głównym i momentem głównym
układu sił (P1........Pn) względem punktu A. Punkt A nazywamy środkiem redukcji.
Wektor główny jest wypadkową siłą a moment główny jest wypadkowym momentem
(P1........Pn)
układu sił w punkcie A .
9
Wektor główny i Moment główny
(P1........Pn) jest dowolnym układem sil skupionych działających na układ materialny
B
F
P1 P2
A
F
B
M1B
A
M
M
M1A
Pn
B
R R
U
A
M2 B
Q
M2 A
n
n
A
A
F =
M = Pi
Def.: Wektory
"Pi
"MomA
i =1
i =1
zaczepione w punkcie A nazywamy wektorem głównym i momentem głównym
układu sił (P1........Pn) względem punktu A. Punkt A nazywamy środkiem redukcji.
Wektor główny jest wypadkową siłą a moment główny jest wypadkowym momentem
(P1........Pn)
układu sił w punkcie A .
10
Wektor główny i Moment główny tw. o zmianie środka redukcji
Tw. (o zmianie środka redukcji)
B
F
Jeżeli (P1........Pn) jest układem sił skupionych, oraz
A
F
oraz A, B " E dwa dowolne punkty,
B
M1B
A
M
M
M1A
wtedy z dokładnością do punktu zaczepienia
B
A B
i)
F = F
A
M2 B
B A A
M = M + MomB F
ii)
M2 A
A B
rzutF M = rzutF M
iii) A B
Dowód:
i) Suma wektorów (wektor główny) nie zależy od położenia układu współrzędnych
A
ii) Wynika z def. momentu wektora względem punktu oraz M jest wektorem swobodnym
B A A
iii)
rzutF M = rzutF (M + MomBF ) =
B A
A A A
rzutF M + rzutF (BA F ) = rzutF M cnu.
A A A
B A
A A A
ponieważ oraz
BAF Ą" F rzut ( BAF ) a" O F || F .
A
F
Niezmienniki redukcji
A B
1) wektor główny F = F
A B
11
rzutF M = rzutF M
2) rzut momentu głównego na kierunek wektora głównego A B
Równoważność układów sił (wektorów)
Rozważmy dwa rożne układy sił i
(Q1
(P1 KPn) K Qn )
Q1
P2
P1
Q2
Q3
Qn
Pn
U
(Q1 K Qn )= (Q )
(P1 K Pn)= (P )
12
Równoważność układów sił (wektorów)
Rozważmy dwa rożne układy sił i
(Q1
(P1 KPn) K Qn )
Q1
P2
P1
Q2
o o
F(P) = F(Q)
Q3
Qn
Pn
M(o = M(o )
P) Q
U
O
(Q1 K Qn )= (Q )
(P1 K Pn)= (P )
(P1 i (Q1 K Qn )
Def. Dwa uklady sił KPn) są (geometrycznie) równoważnymi wtedy i tylko wtedy, gdy
względem każdego punktu O " E wektory główne i momenty główne tych układów sił są odpowiednio
równe.
o o
F(P) = F(Q) M(o = M(o
,
(P1 ..........Pn ) a" (Q1 ............Qn ) !
'"
P) Q )
O"E
Def. Dwa uklady sił i są równoważnymi wtedy i tylko wtedy, gdy
(P1 KPn) (Q1 K Qn )
istnieje taki punktu O " E , w którym wektory główne i momenty główne tych układów sił są
odpowiednio równe.
13
Równoważność układów sił (wektorów)
Q1
P2
P1
Q2
(Q1 K Qn )
(
Def. Dwa uklady sił P1 KPn) i są równoważnymi
Q3
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki punkt O " E ,
U
Qn
w którym wektory główne i momenty główne tych układów sił
Pn
są odpowiednio równe.
F(O) = F(O ) ,
(P1 .......... Pn ) a" (Q1 ............Qn ) ! M(O = M(O )
("
P Q
P) Q
M(O = M(O ) O O
F(P) = F(Q)
O"E P) Q
A A
F(P) = F(Q)
O
M(A = M(A )
P) Q
A
O A
i)
Dowód. Załóżmy, że O, A " E są dowolnymi punktami
F(P) = F(P) ł
ł
O O
żł F(P) = F(Q )
(Q) i (P)
przestrzeni oraz w A układy sił są sobie O A
F(Q ) = F(Q ) ł
A A A A ł
równoważne, tzn. F(P) = F(Q ) , M(P) = M(Q )
O A A
ii)
Jeśli O jest dowolnym punktem, więc jeżeli to znaczy, M(P) = M(P) + MomOF(P) ł O O
ł
M(P) = M(Q )
żł
że w każdym punkcie przestrzeni O A A
M(Q ) = M(Q ) + MomO F(Q) ł
ł
wektory główne układów (Q) i (P) są sobie równe
A A A A O O
F(P) = F(Q ) , M(P) = M(Q ) M(P) = M(Q )
skoro w A: to w dowolnym punkcie A również
14
Równoważność układów sił (wektorów)
Stan ruchu układu materialnego poddanego działaniu różnych ale równoważnych
(Q) i (P)
sobie układów sił jest w obu przypadkach identyczny.
Wartość reakcji sztywnego układu materialnego poddanego działaniu różnych ale równoważnych
(Q ) i (P)
sobie układów sił jest w obu przypadkach identyczna.
" Dowolne dwie reprezentacje wektora posuwnego są wektorami równoważnymi.
P'
P
P' = P
Każdą siłę zewnętrzną przyłożoną do układu można przesunąć wzdłuż linii działania
nie zmieniając przy tym stanu układu.
Dowód:
P
P'
d
A A A A
F(P) = F = P , M(P) = M = Pd
A
(P' ) (P' )
" Dwa układy równoważne są trzeciemu są sobie równoważne.
15
Równoważność zeru układu sił (wektorów)
P1 P2
Def. Układ sił ( P1 ........ Pn ) nazywamy równoważnym zeru
wtedy i tylko wtedy gdy, względem każdego punktu przestrzeni,
o
wektor główny i moment główny tego układu sił są wektorami zerowymi.
F a" 0
O
o
o Pn
M a" 0
F(P) a" 0
,
M(o a" 0 .
( P1 ........ Pn ) a" 0 ! '"
P)
U
O"E
Mówimy, że siły układu równoważą się.
( P1 ........ Pn )
16
Równoważność zeru układu sił (wektorów)
P1 P2
Def. Układ sił ( P1 ........ Pn ) nazywamy równoważnym zeru
wtedy i tylko wtedy gdy, względem każdego punktu przestrzeni,
o
wektor główny i moment główny tego układu sił są wektorami zerowymi.
F a" 0
O
o
o Pn
M a" 0
F(P) a" 0
,
M(o a" 0 .
( P1 ........ Pn ) a" 0 ! '"
P)
U
O"E
Mówimy, że siły układu równoważą się.
( P1 ........ Pn )
( P1 ........ Pn ) a" 0 !
Tw. Układ sił (P1 K Pn ) jest równoważny zeru wtedy i tylko wtedy
o
gdy, istnieje taki punkt względem którego, wektor główny i moment
F(P) = 0 , M(o = 0 .
(" P)
O"E
,
główny tego układu sił są wektorami zerowymi.
Dowód: Załóżmy, że w punkcie O " E wektor główny i moment główny układu sił
( P1 . . . . Pn ) są równe zeru. Wobec tego w dowolnym punkcie A " E zachodzi
A o A o o
F(P) a" F(P) a" 0 , M(P) = M(P) + MomAF(P) a" 0 + MomA0 a" 0
17
Równoważność zeru układu sił (wektorów)
P1 P2
Pn
o
F a" 0
U
o
O
M a" 0
( P1 ........ Pn ) a" 0 !
Tw. Układ sił (P1 K Pn ) jest równoważny zeru wtedy i tylko wtedy
o
gdy, istnieje taki punkt względem którego, wektor główny i moment
F(P) = 0 , M(o = 0 .
(" P)
O"E
,
główny tego układu sił są wektorami zerowymi.
" Układ dwóch sił o wektorach wzajemnie przeciwnych leżących na jednej prostej jest równoważny zeru.
P
P
P = -P'
Jest nazywany zerową dwójką sił.
18
Równoważność zeru układu sił (wektorów)
P2
(P1 K Pn )
P1
(P1 K Pn )
Tw. Jeżeli do układu sił dodamy układ sił
równoważny zeru, to tak otrzymany układ jest równoważny
układowi pierwotnemu
o
( P1 K Pn ) +( 0 ) a" ( P1 K Pn )
F a" 0
Pn
U
o
O
M a" 0
Dowód: Wektor główny i moment główny układu równoważnego są równe zeru, więc dodanie go
do dowolnego nie zmieni wartości momentu głównego i wektora głównego tego układu.
(P1 K Pn )
Stan (ruchu) układu , do którego dodano równoważny zeru układ sił nie ulega zmianie.
Wartość reakcji sztywnego układu materialnego poddanego działaniu dowolnego układu sił,
do którego dodano równoważny zeru układ sił nie ulega zmianie.
" W szczególnym przypadku dodanie zerowej dwójki sił,
P = -P'
P P
zmieni stanu równowagi układu.
Powyższe twierdzenie jest uzasadnieniem aksjomatu 5.
19
Redukcja układu sił - wstęp
Redukcja układu sił zastąpienie danego układu sił, możliwie najprostszym układem równoważnym.
W punkcie A obciążenie wspornika
można zastąpic wypadkową siłą V
P
P
i wypadkowym momentem M
A
V = Pi = 2P
"
a
a
M = Pi = 3Pa
"MomA
V
P
P
MA
MA
a"
M
VA
VA
Składowe reakcji w A : VA = 2P
Równowaga sił w punkcie A
MA = 3Pa
Dokonaliśmy redukcji układu sił czynnych względem A, który nazywamy biegunem redukcji
20
Redukcja układu sił - prosta centralna, skrętnik
x3
o
P1 P2 F
o
M
S
F
M1o x2
S
M = M1S
Pn
M2o
O
prosta centralna
x1
S(x1S, x2S, x3S )
o
M = M1o + M2o
o
M1o = rzutF o M - rzut wektora momentu głównego na kierunek wektora głównego
o
- niezmienniki redukcji (nie ulegają zmianie przy przesunięciu bieguna)
F , M1o
M2o Ą" F o - ulega zmianie przy zmianie położenia bieguna
21
Redukcja układu sił - prosta centralna, skrętnik
S S
x3
M2S a" 0 F || M
Wyznaczmy punkt S, w którym tzn. ,
o
S S
(*)
F Skąd .
F M a" 0
o
M
FS
Dla dowolnego położenia bieguna S
M1o x2
S
M = M1S
S o
F = F ,
M2o
S o o o o
O
M = M + MomS F = M + SO F .
prosta centralna
x1
S(x1S, x2S, x3S )
Po podstawieniu do (*)
o o o
F ( M + SO F )=0
. (**)
o o
M + SO F =0
Aby zachodziła równość (**) musi być spełniony warunek ,
S(x1S, x2S, x3S )
z którego można wyznaczyć współrzędne punktu .
W układzie współrzędnych zaczepionym w O
S o
o
SO = x1S i1 + x2S i2 + x3S i3 .
F = F = F1 i1 + F2 i2 + F3 i3 ,
M = M1 i1 +M2 i2 + M3 i3 ,
Punkty te leżą na prostej tzw. prostej centralnej o równaniu (bez wyprowadzenia)
M1 + F1 x3S -F3 x2S M2 + F3 x1S -F1 x3S M3 + F1 x2S - F2 x1S
= =
22
F1 F2 F3
Redukcja układu sił - prosta centralna, skrętnik
x3
o
F
o
M
(P1........Pn)
Dla dowolnego układu sił ,
FS
prosta centralna jest zbiorem punktów S
M1o x2
S S
S
spełniających warunek F M
|| ,
M = M1S
M2o
O
prosta centralna
tzn. kierunek wektora głównego pokrywa się
x1
z kierunkiem momentu głównego.
S(x1S, x2S, x3S )
o S
Uwaga: Równanie prostej centralnej ma sens tylko w przypadku F F 0
= `" .
o S
W przypadku ,
F = F a" 0
S S
warunek jest spełniony dla dowolnego punktu przestrzeni, S " E3 .
F || M
S S
F || M
Opisywany szczególny przypadek redukcji , , kierunek wektora głównego
pokrywa się z kierunkiem momentu głównego nazywa się skrętnikiem.
23
Redukcja układu sił - prosta centralna, skrętnik
Def. Skrętnik układ 3-ch sił ( Q1 , Q2 , Q3 ), z których dwie tworzą parę sił , a trzecia jest
prostopadła do płaszczyzny tej pary.
FS
Q1
prosta centralna
S
M = M1S
a"
a"
a"
a"
Q2
Q3
prosta centralna
Ą S
S(x1S, x2S, x3S )
Tw. Dowolny układ sił (P1........Pn) można zredukować do skrętnika.
(P1........Pn) a" (Q1,Q2 ,Q3).
S S S
tzn. , .
(" F = Q1 M =Mom( Q2 ,Q3 ) = F
,
S"E
Dowód wynika z przedstawionego powyżej toku rozumowania.
24
Przypadki szczególne skrętnika
1. Redukcja do siły skupionej:
(P1........Pn) a" (Q1 )
x3
x3
a)
o b)
M
o
s
F
s
F
o
F
F
l
x2
x2
O
prosta centralna
O
x
1 S(x1S, x2S, x3S ) S(x1S, x2S, x3S )
x
1
o o o o o o
F `" 0, M `" 0 M Ą" F F `" 0, M = 0
S jest dowolnym punktem przestrzeni
S jest punktem prostej centralnej
S S
F = Q1 S " E3
, S " l
F = Q1 ,
S
S
Q2 a" Q3 a"0 Q2 a" Q3 a"0
M a" 0 ,
,
M a" 0
Jeżeli układ sil redukuje się do jednej siły skupionej to siłę tę nazywa się wypadkową
Tw. Centralny układ sił można zredukować do
P
i
P
siły wypadkowej zaczepionej w środku układu P
n n
O O
P = F = , M = MomA Pi = 0 .
"Pi "
P
n
i =1 i =1
P
25
1
Przypadki szczególne skrętnika
2. Redukcja do pary sił (momentu):
(P1........Pn) a" (Q2 , Q3)
x
3
O O
F = 0, M `" 0.
o o.
o
M Nie można określić rzutu na kierunek
M
F
s
M
x S
2
O F = 0 , S jest dowolnym punktem przestrzeni .
S " E3 ,
n
x1
S
Q1 a"0 ,
M = Pi = MomS ( Q2 ,Q3 )
S(x1S, x2S, x3S ) "MomS
i =1
o o
3. Układ sił równoważących się: F = M a" 0
Przykład redukcji układu sił :
P P
a
P
P - P P
a" a" a"
a" a" a"
a" a" a"
a" a" a"
M = Pa
M = Pa
26
Redukcja układu sił
PRZEKSZTAACENIA ELEMENTARNE
Redukcję układu sił zastąpieniem danego układu sił układem statycznie mu równoważnym
można przeprowadzić przez zastosowanie tzw. przekształceń elementarnych, które wynikają
z poprzednio udowodnionych twierdzeń
Przekształcenia dotyczące siły, układu sił
1.Daną siłę możemy przesuwać wzdłuż prostej jej działania
2.Siły leżące na jednej linii prostej możemy dodawać algebraicznie.
3.Kilka sił przyłożonych w danym punkcie można zastąpić sumą geometryczną
przyłożoną w tym samym punkcie
4.Do danego układu sił możemy zawsze dodać lub odjąć układ zerowy
Przekształcenia dotyczące pary sił
1.W danej parze sił można zmienić moduły i ramie pary w ten sposób, aby moment
pozostał stały
2.Daną parę sił można dowolnie przenosić w płaszczyznie jej działania
3.Daną parę sił można przenieść do płaszczyzny doń równoległej
27
Elementy statyki 3D
28
Moment wektora względem osi
AB
Def, Momentem wektora względem osi l nazywamy wektor posuwny osi l ,
Moml AB = rzutl (MomO AB), O "l
którego reprezentantem jest wektor
Moml AB nie zależy od wyboru punktu O.
MomO AB
o
Mom AB
l
B
O
A
Ą
O
l
29
Moment wektora względem osi
Prawdziwe jest twierdzenie:
B
Tw. Jeżeli płaszczyzna Ą jest prostopadła do prostej l ,
A' B' = rzutĄ AB, O' = Ą )" l
to z dokładnością do punktu zaczepienia jest
A
o
Moml AB = Mom A' B'
O' Mom AB
l
B
Dowód pomijamy
Ą
O
A
l
30
Moment wektora względem osi
AB
Def, Momentem wektora względem osi l nazywamy wektor posuwny osi l ,
Moml AB = rzutl (MomO AB), O "l
którego reprezentantem jest wektor
Moml AB nie zależy od wyboru punktu O.
MomO AB
o
Mom AB
l
Prawdziwe jest twierdzenie:
B
Tw. Jeżeli płaszczyzna Ą jest prostopadła do prostej l ,
O
A' B' = rzutĄ AB, O' = Ą )" l
to z dokładnością do punktu zaczepienia jest
A
o
Moml AB = Mom A' B'
O' Mom AB
l
B
Dowód pomijamy
Ą
O
A
l
Uwaga: Moment wektora względem osi ma własność liniowości
Moml (a + b ) = Moml a + Moml b
Moml (ąa) = ą Moml a
31
a , b
gdzie: dowolne wektory przesuwne lub zaczepione, ą " R .
Moment wektora względem osi
x3
Przypadki szczególne położenia siły
P
1) P || Ox3
Mom2P
x2
a
Mom1P
Mom1P = -Pb
b
x1
Mom2P = Pa
Mom3P = 0
x3
P
2)
P " Ox x3
2
Mom1P = 0
/
Mom1P
Mom2P = 0
x2
Mom3P = 0
x1
32
Warunki równoważności zeru układu sił
Dany jest układ obciążeń : (Q ) = (P1, P2 , P3 , M1, M2 )
M1
Fc , - wektor główny i moment główny układu obciążeń w punkcie C
Mc
P1
Warunkiem koniecznym istnienia stanu równowagi sztywnego
układu materialnego , w przedziale czasu T, pod działaniem
C
C układu obciążeń jest równoważność zeru układu
M (Q)
F
C
sił będących obciążeniem , w przedziale T=< t1, t2 >.
Warunkiem wystarczającym istnienia stanu równowagi,
M2
w przedziale czasu T, jest równość zeru
P3
prędkości początkowych (w chwili t1 ) elementów układu.
P2
Żaglówka na wodzie jest przykładem układu materialnego niestacjonarnego.
W dalszej części zajmujemy się układami stacjonarnymi, których ruch wskutek
nałożonych więzów jest niemożliwy.
A
(Q )
Warunki równoważności zeru układu sił : , M = 0 , gdzie A jest dowolnym punktem,
FA =0
w przypadku układu stacjonarnego
stanowią konieczne i wystarczające warunki istnienia położenia równowagi.
33
Warunki równoważności zeru układu sił
1. Przestrzenny dowolny układ sił W dowolnym układzie obciążeń, momenty skupione
można zastąpić odpowiadającymi im parami sił,
A które dodajemy do układu sił. W dalszej części
F
A
M
(P1 ....... Pn ) rozpatrujemy powstały w ten sposób, równoważny układ sił
P2
P1
W układzie współrzędnych kartezjańskim Ox1x2 x3
A
Pi = P1ii1 +P2ii2 +P3ii3
x3 ri
A
F = F1i1 +F2i2 +F3i3
Pi
x1 x2
A
M = M1i1 +M2i2 +M3i3
A
1.1. Wektor główny równy zeru: ,
F = 0
n n n
n n
A
i1 + i2 + i3 = X1i1 + X2i2 + X3i3 a" 0
F = = i1 + P2ii2 + P3i i3 ) =
"Pi "(P1i "P1i "P2i "P3i " " "
i=1 i =1 i =1 i =1 i =1
A
Z warunku , wynikają równania:
F = 0
n
ł
X1 = 0
"
Xą =
ł , gdzie: , ,
" "Pąi ą =1,2,3
X2 = 0
żł
"
i =1
i - numer punktu (1.1)
ł
X3 = 0
"
ł
34
Warunki równoważności zeru układu sił
P2
P1
1. Przestrzenny dowolny układ sił cd.
A
A
1.2. Moment główny równy zeru: M = 0 ,
M = M1i1 + M2i2 + M3i3 ,
Pi
n n n n
ri
A
M = Pi = rzutx1MomAP i1 + rzutx2MomAP i2 + rzutx3MomAP i3
"MomA " " "
i=1 i=1 i=1 i=1 A
F
A
M
n n n
A
M = Momx1P i1 + Momx2P i2 + Momx3P i3 = 0
" " "
i=1 i =1 i=1
A
x3
x1 x2
A
Z warunku , wynikają równania:
M = 0
ł
= 0
n
"M1
ł
(1.2)
.
= MomXąPi ą =1,2,3
= 0żł , gdzie "Mą "
"M2
i =1
= 0ł
"M3
ł
(P1 ....... Pn )
Tw. Dowolny przestrzenny układ sił jest równoważny zeru, wtedy i tylko wtedy gdy istnieje
Ox1x2 x3
przynajmniej jeden układu współrzędnych , dla którego spełnione są równania (1.1) i (1.2).
35
Warunki równoważności zeru układu sił
2. Przestrzenny centralny układ sił
W tym przypadku równania (1.2) są spełnione z założenia, ponieważ istnieje punkt,
Pi
punkt przecięcia kierunków sił, względem którego momenty wszystkich sił są równe
zeru. Nie można wykorzystać równania ŁMA=0 do wyznaczenia sił ponieważ A leży
A
na kierunku działania sił. Wobec tego liczba równań redukuje się do trzech
Pn
P1
(P1 ....... Pn )
Tw. Centralny przestrzenny układ sił jest równoważny
Ox1x2 x3
zeru jeśli istnieje taki układ , w którym spełnione są równania:
X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0
(2)
" " "
3. Układ sił współosiowych
Jeżeli równania (2)1 i (2)2 są spełnione z założenia,
Pi ||Ox3
P2
ponieważ w rozważanym układzie współrzędnych składowe sił,
P1
prostopadłe do Ox3 , są równe zeru. Pozostaje więc jedno równanie.
x3
Tw. Układ sił (P1 ....... Pn ) współosiowych jest równoważny
x1
Pn
zeru ! spełnione są równania:
x2
X3 = 0 Uwaga: przyjęto Pi ||Ox3 (3)
"
36
Warunki równoważności zeru układu sił
4. Przestrzenny układ sił równoległych
x3
P1
Jeżeli , z definicji układu sił ł
Pi ||Ox3 X1 = 0
"
Pn Pi ł
równoległych wynika, iż spełnione są warunki: X2 = 0
żł
"
ł
= 0
Równań tych nie można wykorzystać do
"M3
ł
x1 wyznaczenia sił,
P2 x2
wobec tego liczba równań redukuje się do trzech.
Ox1x2x3
Tw. Przestrzenny układ sił równoległych jest równoważny zeru jeśli istnieje taki układ ,
w którym spełnione są równania:
X3 = 0, = 0, = 0 (4)
Uwaga: przyjęto Pi ||Ox3
" "M1 "M2
37
Warunki równoważności zeru układu sił
5. Płaski dowolny układ sił
(P1 ....... Pn )
Def. Płaski układ sił to układ sił, którego wszystkie
A
M
wektory zawarte są na jednej płaszczyznie.
Pi
A
F
Pn A
Jeśli (P1 ....... Pn ) jest płaskim układem sił na płaszczyznie Ą, tzn.
x2
A
A
Pi " Ą, i = 1......n wtedy '" F " Ą, M Ą" Ą
A"Ą
x1 P1
Ą
Ox1x2 wynika
Z definicji płaskiego układu sił na płaszczyznie
X3 = 0, = 0, = 0,
" "M1 "M2
Tw. Płaski układ sił zawarty na płaszczyznie Ą jest równoważny zeru wtedy i tylko wtedy,
Ox1x2
gdy istnieje układ parametryzujący Ą oraz punkt A" Ą taki, że spełnione są równania:
X1 = 0, X2 = 0, = 0
(5)
" " "MA
Uwaga Warunki (5) są równoważne następującym równaniom:
X1 = 0
ł ł
" pod warunkiem, że "M = 0 pod warunkiem, że
A
(5.1) (5.2) punkty A,B,C
"M = 0 ł prosta AB nie jest Ox1 "M = 0 ł
żł żł
A B
"M = 0 ł prostopadła do osi "M = 0 ł są niewspółliniowe
B ł C ł
38
,
Warunki równoważności zeru układu sił
6. Płaski centralny układ sił
Z definicji centralnego układu sił wynika, iż spełniony
jest warunek
Pi
= 0
A
"MA
Pn
P1
x2
gdzie A jest punktem wspólnym kierunków sił.
x1
Ą
Spośród trzech równań (5) pozostają tylko dwa:
Tw. Płaski centralny układ sił zawarty na płaszczyznie Ą jest równoważny zeru wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje układ współrzędnych Ox1x2 parametryzujący Ą taki, że:
X1 = 0, X2 = 0 (6)
" "
39
Warunki równoważności zeru układu sił
7. Płaski układ sił równoległych
A
P1
Jeżeli Pi ||Ox1 , z definicji układu sił równoległych wynika,
Pi
iż spełniony jest warunek:
Pn
X2 = 0 ,
B
"
x1
x2
Ą
wobec tego pozostają dwa równania równowagi.
Tw. Płaski układ sił równoległych jest równoważny zeru jeśli istnieje taki układ
Ox1x2
oraz punkt A" Ą , w którym spełnione są równania:
X1 = 0, = 0
(7.1)
" "MA
lub istnieją dwa punkty A, B " Ą , takie, że AB nierównoległe do Ox1 oraz spełnione są równania:
(7.2)
= 0, = 0
"MA "MB
40
Więzy idealne przypadek przestrzenny
Def. Więzy nałożone na punkt O nazywamy idealnymi, jeśli :
- wektor siły reakcji jest prostopadły do powierzchni, bądz krzywej, stanowiącej więzy lub
- jeśli więzy stanowi izolowany punkt.
Więzy idealne nazywane są doskonałymi lub gładkimi.
Rozważamy więzy punktowe.
a) przestrzenne sztywne zamocowanie
R = R1 + R2 + R3
Niewiadomych sześć składowych reakcji
M = M1 + M2 + M3
- nieznany kierunek siły reakcji (trzy niewiadome) :
- nieznany kierunek momentu utwierdzenia (trzy niewiadome) :
x3
M3
R3
+
M2
x2
R2
M1
R1
x1
41
Więzy idealne przypadek przestrzenny
b) podparcie przegubowe nieprzesuwne
uwolnione trzy stopnie swobody, ciało ma możliwość ruchu obrotowego względem punktu
zamocowania
Niewiadome trzy składowe reakcji
- nieznany kierunek siły reakcji (trzy niewiadome) :
R = R1 + R2 + R3
R3
R2
R1
x3
x2
x1
42
Więzy idealne przypadek przestrzenny
c) podparcie przegubowe z możliwością przesuwu w dwóch kierunkach
- uwolnionych pięć stopni swobody, punkt podparcia ma możliwość ruchu po powierzchni więzu S
Znany kierunek reakcji , prostopadły do powierzchni więzu .
R
R
x3
x2
x1
S
S
S powierzchnia więzu (powierzchnia możliwego przesuwu punktu A)
43
Więzy idealne przypadek przestrzenny
d) podparcie przegubowe z jednokierunkowym przesuwem
- uwolnione cztery stopnie swobody, punkt podparcia ma możliwość obrotu i ruchu po krzywej więzu ą
Niewiadome dwie składowe reakcji - kierunek siły reakcji prostopadły do krzywej więzu ą .
Jeżeli oś Ox1 pokrywa się z kierunkiem stycznym ą :
R "Ą, ĄĄ"ą ,
R = R2 + R3
x3
R3
R
x2
x2
ą
ą
x1
R1
ą - krzywa więzu
Ą
44
Więzy idealne przypadek przestrzenny
e) cięgno i pręt dwuprzegubowy
uwolnione trzy stopnie swobody znany kierunek reakcji wzdłuż prostej łączącej końce (przeguby) .
S - siła reakcji wyraża siłę wewnętrzną (naciąg) cięgna lub pręta
S
S
S
S
45
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
14 WMiMB w4 Tarciew3 4 nowe pol srodki obrotu 14Statyka Budowli zaj 7 1414 STATYKA I DYNAMIKA PLYNstatyka Budowli zjazd 2 14Statyka Budowli I zaj 4 1414 statyka i dynamika płynóww3 nowe pol legnica 14Statyka Budowli zaj 8 14Statyka Budowli zjazd 1 14statyka Budowli zajęcia 8 14 uzupełnieniewięcej podobnych podstron