Część 1 OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATOD
SIA
1
POLITECHNIKA POZNAC
SKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
ZAKA
AD MECHANIKI BUDOWLI
ĆWICZENIE NR 1
OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ METOD
SIA

Agnieszka Sysak Gr. 3 2004-03-16
Część 1 OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATOD
SIA
2
Dla ramy przestrzennej wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych wywołanych zadanym obciążeniem.
Przyjąć, że rama składa się z prętów stalowych o przekroju kołowym (G=0,375E, J =2J).
s
z
10 kN
y
x
4,0
5,0
5 kN/m
[m]
3,0
Układ jest statycznie niewyznaczalny dlatego określamy stopień statycznej niewyznaczalności i dobieramy
układ podstawowy.
SSN = 2
W celu rozwiązania zadania metodą sił przyjmujemy układ podstawowy
z
10 kN
B
y
X2
x
4,0
X1 5,0
A
5 kN/m
[m]
3,0
który musi spełniać warunki kinematycznej zgodności z układem wyjściowym. Oznacza to, że
przemieszczenie punktu A po kierunku osi y oraz przemieszczenie punktu B po kierunku osi z muszą być
równe zero.
y
ºÄ…A=0
z
ºÄ…B=0
Agnieszka Sysak Gr. 3 2004-03-16
Część 1 OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATOD
SIA
3
Na powyższe przemieszczenia wpływ mają nadliczbowe siły X oraz obciążenie zewnętrzne. Równania
i
kanoniczne przyjmą zatem postać:
y
ºÄ…A=ºÄ…11 Å"X ƒÄ…ºÄ…12 Å"X ƒÄ…ºÄ…1P=0
1 2
z
ºÄ…B=ºÄ…21 Å"X ƒÄ…ºÄ…22 Å"X ƒÄ…ºÄ…2P=0
1 2
Przemieszczenia w ramie przestrzennej obliczamy pomijając wpływ sił normalnych i tnących:
y y z z s s
M M M M M M
i k i k i k
Ä…
1 Å"ºÄ…ik= dxƒÄ… dxƒÄ… dx
"+" "+" "+"
EJ EJ GJ
y z s
gdzie:
y y z z
M M M M
, , , - momenty zginające liczone odpowiednio względem osi y i z,
i k i k
s s
M M
, - momenty skręcające liczone względem osi pręta,
i k
J - biegunowy moment bezwładności.
s
Ponieważ przekrój pręta jest kołowy to J = J =J. Podstawiając dane G i J otrzymamy:
y z s
y y z z s s
M M
i k i k i k
Ä…
1 Å"ºÄ…ik= dxƒÄ… dxƒÄ… dx
"+"M M "+"M M "+"0,75 EJ
EJ EJ
Kolejnym etapem jest wyznaczenie wartości momentów zginających i skręcających od sił
jednostkowych, przyłożonych kolejno w miejsca niewiadomych X i X , oraz od obciążenia zewnętrznego.
1 2
" Stan od obciążenia X = 1
1
z
y
x
4,0
X1=1
5,0
[m]
3,0
Agnieszka Sysak Gr. 3 2004-03-16
Część 1 OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATOD
SIA
4
z
z
y
y
x
x
-4
3
_
4
4
_
4,0 4,0 -3
5,0 5,0
Ms [m]
1
M1 [m]
[m] [m]
3,0 3,0
" Stan od obciążenia X = 1
2
z
X2=1
y
x
4,0
5,0
[m]
3,0
z
z
y
3
y
3
+
x x
5
3
5
+
5
4,0 4,0
5,0 5,0
Ms [m]
M2 [m]
2
[m] [m]
3,0 3,0
Agnieszka Sysak Gr. 3 2004-03-16
Część 1 OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATOD
SIA
5
" Stan od obciążenia P
z
10 kN
y
x
4,0
5,0
5 kN/m
[m]
3,0
z z
y
y
50
x
x
30
-10
_
10
40
60
60
4,0 4,0 +
30
5,0 5,0
Ms0 [kNm]
P
M0 [kNm]
P
[m]
[m]
3,0 3,0
90
Obliczamy potrzebne w równaniach kanonicznych przemieszczeniach korzystając z metody Wereszczagina
 Mohra:
1 Å"4 Å"4 Å"2 Å"4 ƒÄ…1 Å"3 Å"3 Å"2 Å"3 ƒÄ… 1
EJ ºÄ…11 =2 Å" Å"-4 Å"3 Å"śą-4źąƒÄ…śą-3źąÅ"4 Å"śą-3źą =163,śą6źą
[ ]
śą źą
2 3 2 3 0,75
1
EJ ºÄ…22 =2 Å"1 Å"3 Å"3 Å"2 Å"3 ƒÄ…4 Å"5 Å"5 ƒÄ…1 Å"5 Å"5 Å"2 Å"5 ƒÄ… Å"[5 Å"3 Å"5 ƒÄ…3 Å"5 Å"3 ]=319,śą6 źą
2 3 2 3 0,75
1
EJ ºÄ…12 =-1 Å"4 Å"4 Å"5 ƒÄ… Å"śą-4źąÅ"3 Å"5 =-120,0
2 0,75
2
2 Å"10 ƒÄ…1 Å"90 ƒÄ…
EJ ºÄ…1P=-1 Å"40 Å"4 Å"2 Å"4 ƒÄ…2 Å"5 Å"4 Å"4 Å"1 Å"4 -1 Å"60 Å"3 Å"2 Å"3 ƒÄ…1 Å"4 Å"4 Å"
śą źą
2 3 3 8 2 2 3 2 3 3
1
ƒÄ… Å"[-4 Å"3 Å"śą-10źą-3 Å"4 Å"60]=-846,śą6źą
0,75
1
EJ ºÄ…2P=-1 Å"50 Å"5 Å"2 Å"5 ƒÄ…1 Å"30 Å"3 Å"1 Å"3 -1 Å"śą10 ƒÄ…90źąÅ"4 Å"5 ƒÄ… Å"śą-10źąÅ"3 Å"5 =-1571,śą6 źą
2 3 2 3 2 0,75
Agnieszka Sysak Gr. 3 2004-03-16
Część 1 OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATOD
SIA
6
Układ równań kanonicznych przyjmuje postać:
163,śą6źą 120,0 846,śą6źą
Å"X - Å"X - =0
1 2
EJ EJ EJ
-120,0 319,śą6źą 1571,śą6źą
{ Å"X ƒÄ… Å"X - =0
1 2
EJ EJ EJ
Z rozwiązania powyższego układu otrzymano następujące wyniki:
X =12,111 [kN ]
1
{
X =9,463 [kN ]
2
Wartości momentów zginających i skręcających w układzie niewyznaczalnym otrzymamy korzystając z
zasady superpozycji:
śąnźą 0
M =M ƒÄ…M Å"X ƒÄ…M Å"X
P 1 1 2 2
sśąnźą s0 s s
M =M ƒÄ…M Å"X ƒÄ…M Å"X
P 1 1 2 2
z 28,389
z
y
y
28,389
x
x +
28,389
30
-11,129
11,129
_
8,444
2,685
23,667
14,399
4,0
4,0 +
30
5,0 5,0
2,42
Ms(n) [kNm]
M(n) [kNm]
23,667
[m]
[m]
42,685
3,0 3,0
" Sprawdzenie równowagi w węzłach
z
z
y
y
28,389
30
x
x
11,129
2,685
11,129
11,129
23,667
30
28,389
8,444
23,667
Agnieszka Sysak Gr. 3 2004-03-16
Część 1 OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATOD
SIA
7
" Kontrola kinematyczna
W celu wykonania kontroli kinematycznej korzystamy z twierdzenia redukcyjnego. Do sprawdzenia przyjęto
układy podstawowe takie jak w stanach X = 1 oraz X = 1 z tą różnicą, że tym razem przyłożone siły
1 2
jedynkowe są siłami wirtualnymi.
y yśąnźą z z śąnźą s sśąnźą
M M M M M M
y 1 1 1
Ä…
1 Å"ºÄ…A= ƒÄ… ƒÄ…
"+" "+" "+"
EJ EJ 0,75 EJ
y yśąnźą z z śąnźą s sśąnźą
z 2 2 2
Ä…
1 Å"ºÄ…B= ƒÄ… ƒÄ…
"+"M M "+"M M "+"M M
EJ EJ 0,75 EJ
2
y
EJ ºÄ…A=1 Å"8,444 Å"4 Å"2 Å"4 ƒÄ…2 Å"5 Å"4 Å"4 Å"1 Å"4 -1 Å"3 Å"23,667 Å"2 Å"3 ƒÄ…
2 3 3 8 2 2 3
2 Å"11,129 ƒÄ…1 Å"42,685 ƒÄ… 1
ƒÄ…1 Å"4 Å"4 Å" Å"śą-4 Å"3 Å"śą-11,129źą-3 Å"4 Å"23,667źą=
śą źą
2 3 3 0,75
=200,548 -200,608 =-0,060 H"0
2 Å"28,389 ƒÄ…1 Å"30 -
z
EJ ºÄ…B=1 Å"28,389 Å"3 Å"2 Å"3 -1 Å"2,685 Å"5 Å"2 Å"5 ƒÄ…1 Å"3 Å"3 Å"
śą źą
2 3 2 3 2 3 3
1
-1 Å"śą11,129 ƒÄ…42,685źąÅ"4 Å"5 ƒÄ… Å"śą3 Å"5 Å"28,389 -3 Å"5 Å"11,129źą=
2 0,75
=-345,181ƒÄ…345,200=0,019 H"0
Ponieważ przy obliczeniu przemieszczeń pominięto wpływ normalnych i tnących, wykresy te w układzie
niewyznaczalnym musimy wykonać rozwiązując układ od obliczonych nadliczbowych i obciążenia
zewnętrznego.
z
10 kN
y
x
9,463 kN
4,0
5,0
12,111 kN
5 kN/m
[m]
3,0
Agnieszka Sysak Gr. 3 2004-03-16
Część 1 OBLICZANIE RAMY PRZESTRZENNEJ MATOD
SIA
8
-9,463
z
z
_
y
y
x
x
-0,537
_
_-0,537 -7,889
_
+
7,889
_
4,0 4,0
+
5,0
5,0
-0,537 2,42
7,889
+
T(n) [kN]
N(n) [kN]
[m]
[m]
12,111
3,0
3,0
" Sprawdzenie równowagi w węzłach
7,889
10,0
0,537
0,537
0,537
9,463
7,889
7,889
0,537
7,889
0,537
Agnieszka Sysak Gr. 3 2004-03-16


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Projekt pracy aparat ortodontyczny ruchomy
Projekt mgif
projekt z budownictwa energooszczednego nr 3
prasa dwukolumnowa projekt
4 projekty
Cuberbiller Kreacjonizm a teoria inteligentnego projektu (2007)
Projektowanie robót budowlanych w obiektach zabytkowych
PROJEKT FUNDAMENTOWANIE 2
2012 Projekty

więcej podobnych podstron