FIZYKA JDROWA
Fizyka jądrowa jest nauką o budowie jądra atomowego, jego przemianach promieniotwórczych
i jego oddziaływaniach z innymi jądrami i cząstkami.
19.1. Pojęcia wstępne
Jądra dzielimy na dwie grupy:
" jądra trwałe (stabilne)
" jądra nietrwałe (promieniotwórcze).
Jądro składa się z protonów i neutronów związanych siłami jądrowymi.
Neutron i proton (zwane nukleonami) mają prawie taką samą masę i bardzo zbliżone właściwości:
mn = 1.674 10 27 kg,
mp = 1.672 10 27 kg, czyli mp = 1836,1me i mn = 1838,6me.
Nazwa nuklid jest stosowana dla każdego jądra większego niż nukleon.
A
Nuklid pierwiastka o symbolu chemicznym X, oznaczamy symbolem X :
Z
A liczba nukleonów (liczba masowa),
Z liczba protonów (liczba atomowa porządkowa).
Nuklidy o tej samej liczbie Z noszą nazwę izotopów, a o tej samej liczbie A izobarów.
Jądra zawierające jednakowe liczby neutronów, czyli N = A Z = const, nazywamy izotonami.
N
N=Z
0
Z
Rys. 19.1. Liczba neutronów N w miarę wzrostu liczby atomowej Z coraz bardziej przewyższa
liczbę protonów w jądrach kolejnych pierwiastków.
12
Nuklid C przyjęto do zdefiniowania jednostki masy atomowej (j.m.a. = 1.6610 27 kg) wynosi 12.
6
Jednostka masy atomowej jest równoważna energii 931 MeV.
Znanych jest 105 pierwiastków chemicznych, z których przeważająca większość posiada izotopy.
Istnieje około 300 izotopów trwałych i powyżej 1000 nietrwałych (promieniotwórczych).
Nukleony posiadają spin połówkowy, tj. .
Spin jądra złożonego z parzystej liczby nukleonów jest liczbą całkowitą (w jednostkach ).
Spin jądra złożonego z nieparzystej liczby cząstek jest liczną połówkową (w jednostkach ).
Jądra atomowe posiadają także momenty magnetyczne, których jednostką jest tzw. magnetron
jądrowy
e
= H" 10-3 B (19.1)
n
2mp
zdefiniowany wzorem podobnym do magnetronu Bohra. Magnetron jądrowy jest mp me H" 1836 razy
mniejszy od magnetronu Bohra.
19.2. Rozmiar jądra
Wynikiem doświadczeń Rutherforda (1911 r.), polegających na rozpraszaniu cząstek ą przez cienkie
folie złota, było odkrycie jądra atomowego i oszacowanie jego rozmiarów (promień mniejszy od 10 14
m). Pózniej jako wiązki o małej długości fali stosowano wysokoenergetyczne protony i neutrony.
dośw. Ernsta Rutherforda (~1910)
detektor cząstek ą
zródło cząstek ą
(jądra He)
1871-1937
Folia metal.
Nobel 1908
(Chemia)
" rozproszenie:
cząstka naładowana odpychające oddziaływanie kulombowskie
" silne wsteczne rozprosz. silne oddz. silne pola ładunek ~ punktowy
~ cała materia folii skupiona w ciężkim jądrze
atomy = ciężkie jądra naładowane dodatnio o b. małych rozmiarach
(~ 10-14 m << rozmiar atomu ~ 10-10 m )
Średni promień jąder (oprócz najmniejszych)
R H" (1.2 10-15 m)A1 3 (19.2)
Jednostka: fermii = 10 15 m.
Jeżeli jądro potraktujemy jako kroplę cieczy jądrowej to liczba cząstek na jednostkę objętości wynosi
A nukleonów
N = = 1.38 1044 (19.3)
(4 3) R3 m3
Gęstość masy to iloczyn tej liczby i masy nukleonu
(19.4)
= Nmp = (1.38 1044)(1.67 10-27)kg m3 = 2.3 1017 kg m3
Wynika stąd, że 1 cm3 materii jądrowej ważyłby 230 milionów ton.
Gęstość materii jądrowej nie zależy od rozmiarów jądra, ponieważ jego objętość jest
proporcjonalna do liczby masowej A.
19.3. Energia wiązania jądra. Defekt masy
Jądro można traktować jako kulę zawierającą neutrony i protony. Odpychającym siłom kulombowskim
między protonami przeciwdziałają silne, specyficzne siły jądrowe, które działają między wszystkimi
nukleonami. Związana jest z nimi energia wiązania jądra.
Energią wiązania nukleonu nazywamy wielkość równą pracy potrzebnej na usunięcie danego
nukleonu z jądra bez nadania mu energii kinetycznej.
Całkowita energia wiązania jądra jest określona jako praca potrzebna na rozłożenie jądra na
jego składowe nukleony bez nadania im energii kinetycznej.
Energię wiązania jądra określimy za pomocą niedoboru masy (defektu masy) jądra. Suma mas
atomowych poszczególnych nukleonów jest zawsze większa o kilka dziesiątych procent od
masy jądra utworzonego z tych nukleonów.
Zgodnie ze wzorem Einsteina
Ew = Mc2 = c2[Zmp + (A - Z)mn - M ] (19.5)
j
gdzie M jest defektem masy, czyli różnicą między sumą mas swobodnych nukleonów i masą
jądra.
24
Mg
20
Ne
16
Kr
CaFe Zn Mo Te
O
8
12
Sm
4
C Lu
He
Hg
Ra
11
7
B
6
7
Li
6
Li
5
4
3
3
H
2
2
H
1
0
50 100 150 200
Liczba masowa A
Rys. 19.2. Energia wiązania przypadająca na jeden nukleon w funkcji liczby masowej.
Krzywa osiąga maksimum 8.7 MeV w pobliżu A = 60. Spadek dla malejących A nie jest
monotoniczny, lecz wykazuje ostre maksimum dla liczb masowych będących wielokrotnościami 4 (4,
12, 16, ....). Wzrosty energii wiązania występują dla magicznych liczbach nukleonów: 2, 8, 20, 28, 50,
82, 126, 152 (Z lub N).
MeV na nukleon
Wśród nuklidów trwałych (niepromieniotwórczych) przeważają jądra parzysto-parzyste, tzn. o
parzystych liczbach zarówno protonów jak i neutronów.
Tabela 19.1. Rozkład trwałych nuklidów według rodzaju ich parzystości.
A N Z Liczna trwałych nuklidów
parzyste parzyste parzyste 161
nieparzyste nieparzyste 4
nieparzyste parzyste nieparzyste 50
nieparzyste parzyste 54
19.4. Modele struktury jądra atomowego
Modele stanowią uproszczone teorie o ograniczonym zakresie stosowalności:
model kroplowy,
model powłokowy,
model kolektywny.
Każdy z tych modeli jest w stanie wyjaśnić pewne właściwości, nie odwołując się do wszystkich
szczegółowych właściwości sił jądrowych.
19.4.1. Model kroplowy
Model kroplowy, zaproponowany przez N. Bohra w 1939 r., powstał na gruncie podobieństw między
jądrem atomowym a kroplą cieczy, takich jak:
stała gęstość materii jądrowej i energii wiązania na jeden nukleon,
stała gęstość cieczy nieściśliwej i stała jej energia wiązania na jednostkę objętości.
Model ten pozwolił na opisanie szeregu właściwości jąder, takich jak masa i energia wiązania oraz
zawiązanych z tym zagadnień stabilności, a ponadto pewnych faktów z fizyki rozszczepienia jądra.
W modelu kroplowym przyjmuje się, że jądro w przybliżeniu jest kulą, której gęstość jest wewnątrz
stała i raptownie spada do zera przy przekraczaniu powierzchni. Promień kuli jest proporcjonalny do
A1/3, pole powierzchni do A2/3, a objętość kuli zaś do A.
W pierwszym przybliżeniu energia wiązania jest proporcjonalna do liczby masowej A, czyli
Ew H" A (19.6)
gdzie jest współczynnikiem proporcjonalności.
Wzór (19.6) jest równoważny stwierdzeniu, że każdy nukleon w jądrze podlega identycznemu
oddziaływaniu. W rzeczywistości tak nie jest, ponieważ nukleony leżące w pobliżu powierzchni jądra
podlegają siłom napięcia powierzchniowego, tj. siłom skierowanym w głąb jądra.
We wzorze (19.6) należy uwzględnić poprawkę na:
" energię napięcia powierzchniowego,
" siły odpychania elektrostatycznego między protonami
" zależność energii wiązania od liczby nukleonów w jądrze
" fakt, że jądra o parzystej liczbie nukleonów jednego rodzaju są silniej związane i w związku z tym
są bardziej stabilne w porównaniu z jądrami o nieparzystej liczbie nukleonów
Po uwzględnieniu wszystkich poprawek całkowita energia wiązania
2
Z (A - 2Z)2 + A-3 4
3
Ew = A - A2 - - (19.22)
3
4A
A
Wzór (19.22) nosi nazwę półempirycznego wzoru Weizsckera (z 1935 roku), w którym:
= 15.75 MeV = 17.8 MeV = 0.71 MeV
= 94.8 MeV = ą 34 MeV
19.4.2. Model powłokowy
Model powłokowy powstał w analogii do istniejących powłok elektronowych atomu. Wśród jąder
atomowych szczególną trwałością wyróżniają się jądra o pewnych, ściśle określonych liczbach
protonów i neutronów, nazywanych liczbami magicznymi. W związku z tym wysunięto hipotezę, że
pod względem energetycznym budowa jądra podobna jest do budowy atomu; nukleony w jądrze
zachowują się tak, że ich stany o danej energii tworzą poszczególne powłoki. Stwierdzono, ze powłoki
energetyczne jądra obsadzone są przez protony i neutrony w sposób niezależny.
Ze względu na większą trwałość, izotopy o magicznych liczbach nukleonów występują w przyrodzie w
4 16 40 208
szczególnie dużych ilościach. Zaliczamy do nich m. in. takie pierwiastki jak: 2He, O, Cu, Pb.
8 20 82
19.4.3. Model kolektywny
W modelu powłokowym poszczególne składniki jądra poruszają się niezależnie od siebie. Model
kroplowy sugeruje coś wręcz przeciwnego, gdyż w kropli cieczy nieściśliwej ruch każdej cząstki
składowej jest ściśle skorelowany z ruchami sąsiadujących z nią cząstek. W celu usunięcia
sprzeczności między tymi modelami wprowadzono doskonalszy model, o szerszym zakresie
stosowalności. Jest nim kolektywny model jądra zaproponowany w 1953 r. przez A. Bohra (syna
twórcy modelu atomu) i B. Mottelsona.
W modelu kolektywnym nukleony poruszają się niezależnie (jak w modelu powłokowym) w polu sił
jądrowych. Jednak potencjał związany z tymi siłami nie jest potencjałem statycznym (jak w modelu
powłokowym), lecz jest potencjałem o zmiennym kształcie. Deformacje tego potencjału
odzwierciedlają pewne skorelowane ruchy nukleonów w jądrze.
19.5. Siły jądrowe
Trwałe wiązania między nukleonami w jądrze wskazują na istnienie w jądrach atomowych
specyficznych sił, tzw. sił jądrowych (oddziaływania silne):
oddziaływania te nie możemy wyjaśnić za pomocą klasycznych oddziaływań grawitacyjnych czy
elektromagnetycznych (są zbyt słabe),
siły jądrowe są przyciągające,
są krótkozasięgowe. Zanikają na odległości około 210 15 m,
są niezależne od ładunku. Oznacza to, że nie rozróżniają one protonów od neutronów. Biorąc pod
uwagę oddziaływanie protonu z protonem, należy oczywiście uwzględnić dodatkowo
kulombowskie odpychanie między nimi,
wysycają się, co wskazuje że każdy nukleon oddziałuje z najbliższymi sąsiednimi nukleonami,
zależą od orientacji spinów oddziałujących nukleonów i nie są siłami centralnymi,
są siłami wymiennymi; istnieje cząstka wymieniana między nukleonami. Jest nią cząstka zwana
mezonem (pion). Istnienie takiej cząstki zostało potwierdzone eksperymentalnie. Mezonową
teorię sił jądrowych przedstawił H. Yukawa w 1935 r. Siły jądrowe między protonem i neutronem
możemy wyjaśnić przez wirtualną wymianę pionu naładowanego
+ -
p "! n + ; n "! p + ,
natomiast siły między dwoma neutronami lub między dwoma protonami, przez wymianę pionu
neutralnego
o o
p "! p + ; n "! n +
W 1947 r. odkryto mezony w promieniowaniu kosmicznym i stwierdzono, że ich masa wynosi
274me.
Nukleony oraz mezony (poza pionami są jeszcze inne mezony) to cząstki silnie oddziałujące
hadrony.
Obecnie przyjmuje się, że hadrony są podzielne składają się z mniejszych cząstek, kwarków.
Przyjmuje się, że istnieje sześć kwarków i sześć antykwarków, chociaż dotychczas nikt nie wykazał
doświadczalnie istnienia swobodnego kwarku. Być może, że istnieją tylko w postaci związanej jako
składniki, np. protonu czy innego hadronu. Przyjmuje się, że cząstką wymienną w oddziaływaniu
kwarków jest gluon.
19.6. Przemiany jądrowe
Jądra atomowe niektórych pierwiastków są nietrwałe i samorzutnie przekształcają się w jądra innych
pierwiastków, czemu towarzyszy wysyłanie różnego rodzaju promieniowania. Przemiany (rozpady) te
noszą historyczne nazwy przemian i , a towarzyszące im promieniowania odpowiednio
4
promieniowań ą, i ł. Promieniowanie stanowi strumień jąder helu (2He ), promieniowanie
strumień elektronów, a promieniowanie strumień kwantów promieniowania
elektromagnetycznego o dużej energii.
Naturalną radioaktywność obserwujemy w przypadku jąder ciężkich, które w układzie okresowym
pierwiastków zajmują miejsca za ołowiem. Jednakże istnieją także jądra o mniejszej liczbie masowej
40 14 87
wykazujące naturalną radioaktywność. Są to izotopy potasu K , węgla C , rubidu Rb, ziem
19 6 37
rzadkich lantanu, samaru, lutetu, a także indu i renu.
19.6.1. Promieniotwórczość naturalna
Zjawisko naturalnej promieniotwórczości zostało odkryte w związkach uranu w 1896 roku przez A.H.
Becquerela. P. Curie i M. Skłodowska-Curie odkryli, że smolista ruda uranowa emituje
promieniowanie 4-krotnie większe od promieniowania uranu, a następnie odkryli dwa nowe pierwiastki
210
radioaktywne (polon Po i rad 226Ra ) wysyłające cząstki ą, i ł.
84 88
W przemianach jądrowych spełnione są prawa zachowania ładunku, liczby nukleonów, energii
i pędu.
W przemianie ą jądro pochodne ma liczbę masową i atomową mniejszą odpowiednio o 4 i 2 od
odpowiednich liczb jądra macierzystego
A 4
X A-4Y +2He
Z Z-2
W przemianie liczba masowa nie ulega zmianie, a liczba atomowa zmienia się o 1 (rozpad
przemieszcza pierwiastek w tablicy Mendelejewa o jedno miejsce w prawo)
A A
X Z+1Y ++0e
Z -1
Reguły te stanowią tzw. prawo przesunięć F. Soddy ego i K. Fajansa. Ilustracją tych przemian jest
np. rozpad radu, który odbywa się z wydzieleniem radonu i cząstki
226 4
Ra222Rn+2He
88 86
Istnieje również promieniotwórczość sztuczna.
Liczba jąder dN rozpadających się w przedziale czasu t i t + dt, jest proporcjonalna do przedziału
czasu dt i do liczby N jąder:
dN = - N(t)dt (19.27)
gdzie jest stałą rozpadu. Całkując powyższe równanie, otrzymujemy
N(t) = N0e- t (19.28)
Zależność (19.28) jest nazywana prawem rozpadu promieniotwórczego.
Liczba jąder dN żyje łącznie przez czas równy t dN = t (t)dt. Stąd średni czas życia jądra
pierwiastka promieniotwórczego wynosi
" "
1 1
- t
= (19.29)
+" tN(t)dt = +"te dt =
N0 0
0
Stała rozpadu jest odwrotnością średniego czasu życia danego pierwiastka
promieniotwórczego, a więc czasu, w którym liczba jąder promieniotwórczych, która nie uległa
rozpadowi maleje e-krotnie.
N
0
Czas połowicznego zaniku T1/2 jest
definiowany jako wartość t, dla której N =
N0/2. Wstawiając to do równania (19.28),
otrzymujemy
N0
= N0 exp(- T1/ 2)
N/2
0
2
czyli
ln 2
T1/ 2 = = ln 2 (19.30)
N/4
0
N/8
0
W przypadku gdy jądro pochodne rozpadu
N/16
0
promieniotwórczego jest również jądrem
0 T 2T 3T 4T
promieniotwórczym, wówczas powstaje cały
Czas
łańcuch przemian promieniotwórczych,
Rys. 19.4. Krzywa opisująca prawo
zwany rodziną promieniotwórczą.
rozpadu promieniotwórczego. Wykres
obejmuje przedział czasu odpowiadający
czterem okresom połowicznego zaniku.
Liczba atomów
Istnieją cztery rodziny promieniotwórcze:
232
rodzina toru Th208Pb (T1/2 = 1.391010 lat)
90 82
238
rodzina uranu U206Pb (T1/2 = 4.5109 lat)
92 82
235
rodzina aktynu Ac207Pb (T1/2 = 7.1108 lat)
89 82
237
rodzina neptunu Np209Bi (T1/2 = 2.2106 lat)
93 83
Przejścia pomiędzy poszczególnymi członami rodzin promieniotwórczych odbywa się poprzez kolejne
rozpady ą, i kończą się na trwałych izotopach ołowiu (trzy rodziny).
Ponieważ liczba masowa zmienia się tylko w przejściach ą, liczby atomowe wszystkich pośrednich
członków szeregów promieniotwórczych można opisać wzorem
A = 4n + m (19.31)
gdzie n jest liczną całkowitą, a m = 0, 2 i 3, odpowiednio dla szeregu toru, uranu i aktynu.
Rodzina neptunu (m = 1) kończy się na jądrze bizmutu (charakteryzuje się najkrótszym czasem
połowicznego zaniku). Ponieważ wiek Ziemi ocenia się na 5109 lat, dlatego rodzina neptunu w stanie
naturalnym już nie istnieje.
19.6.2. Rozpad
Rozpad jest charakterystyczny tylko dla jąder
24
ciężkich o A > 200, dla których ze wzrostem liczby
Mg
20
Ne
masowej maleje energia wiązania pojedynczego
16
Kr
CaFe Zn Mo Te
O
8
12
4 Sm
nukleonu. Wyzwalana energia, przy zmniejszeniu
C Lu
He
Hg
Ra
11
7
B
liczby nukleonów A w jądrze o jeden nukleon, jest
6 7
znacznie mniejsza od energii wiązania
Li
6
Li
5
pojedynczego nukleonu w jądrze.
4
Rozpad jest możliwy, jeżeli suma energii
3
3
H
wiązania jądra otrzymanego po rozpadzie i
2
2
H
cząstki jest większa od energii wiązania jądra
1
macierzystego.
0
50 100 150 200
Liczba masowa A
Emisja jądra helu jest energetycznie możliwa,
Energia wiązania przypadająca na jeden
ponieważ energia wiązania przypadająca na jeden
nukleon w funkcji liczby masowej.
nukleon w tym jądrze wynosi około 7.1 MeV.
Energie rozpadu ą zmieniają się w granicach od 4 do 9 MeV i praktycznie cała energia rozpadu
unoszona jest przez cząstkę ą.
Cząstki ą oddziałują z materią (jonizacja, wzbudzanie, dysocjacja cząsteczek). Cząstki te, spośród
cząstek ą, i ł, odznaczają się największym stopniem jonizacji; na drodze 1 mm wytwarzają około
3103 par jonów w powietrzu w warunkach normalnych. Ponieważ ich strata energii jest duża, stąd
mały ich zasięg, np. w powietrzu do około 10 cm, w Al zasięg jest znikomy.
MeV na nukleon
19.6.3. Rozpad
0 +
W rozpadach rozróżniamy emisję (elektron e) i (pozyton 0e).
-1 1
W pierwszym przypadku jądro pochodne ma liczbę protonów zwiększoną o 1 ( Z = +1) w stosunku do
jądra macierzystego, a w drugim zmniejszoną o 1 ( Z = 1). W obydwu przypadkach liczba masowa
nie ulega zmianie.
A A
X Z +1Y +-0e,
Z 1
A A
X Z -1Y ++0e.
Z 1
Elektrony i pozytony powstają w procesie przejścia kwantowego, np. z neutronowego w protonowy z
wyemitowaniem elektronu.
Pomiary eksperymentalne wykazały ciągłe widmo energetyczne rozpadu . Fakt ten trudno jest
wytłumaczyć biorąc pod uwagę dyskretność poziomów energetycznych jądra.
E
max
0 0.4 0.8 1.2
E (MeV)
40
Rys. 19.6. Widmo energetyczne elektronów emitowanych przez 19 K .
Elektron emitowany przez jądro ma spin połówkowy ( / 2). Wynikałoby stąd, że przy rozpadzie
powinien ulegać zmianie spin jądra. Jednakże taka zmiana nie następuje.
Trudności w wyjaśnieniu rozpadu (ciągły charakter widma energetycznego i spin) zostały usunięte
przez Pauliego w 1931 r. Założył, że podczas każdego aktu rozpadu jądro emituje dwie cząstki:
elektron i cząstkę obojętną elektrycznie o zerowej masie spoczynkowej i spinie połówkowym / 2.
0 0
Cząstkę tę nazwano neutrinem (0 ) lub antyneutrinem (0 ).
e e
Doświadczalnego potwierdzenia istnienia neutrina dokonali G.F. Reins i C.L. Cowan w 1956.
N(E)dE
Obecnie rozpad wyjaśnia się następująco
1 1 0
n1p+-0e+0 ; (19.46)
0 1 e
neutron zamienia się na proton, powstające przy tym elektron i antyneutrino są emitowane z jądra.
Proton pozostaje w jądrze pochodnym i dlatego liczba masowa A nie ulega zmianie.
Rozpad + wyjaśnia się przemianą protonu w neutron
1 1 0
p0 n+0e+0 e (19.47)
0 1
Cząstki oddziałują na materię głównie w procesach jonizacji oraz powstawania promieniowania
hamowania. Charakteryzują się mniejszym stopniem jonizacji w porównaniu z cząstkami ą, stąd ich
zasięg w powietrzu dochodzi do kilkunastu metrów, a w Al do 4 mm.
Prędkość najbardziej energetycznych cząstek wynosi około 0.9c.
19.6.4. Promieniowanie
Promieniowanie ł jest emitowane przez wzbudzone jądra pierwiastka pochodnego, powstającego z
rozpadu ą, bądz . Podobnie jak widmo energetyczne cząstek ą, widmo promieniowania ł jest
widmem liniowym. Emisji promieniowania ł może towarzyszyć emisja promieniowania X.
Promieniowanie ł oddziałuje na materię poprzez trzy zjawiska:
zjawisko fotoelektryczne,
zjawisko Comptona,
zjawisko powstawania par.
a) b) c)
e-
e-
e-
ł
ł
ł
e+
Rys. 19.7. Zjawiska oddziaływania kwantów z materią: (a) zjawisko fotoelektryczne, (b)
zjawisko Comptona, (c) zjawisko tworzenia pary elektron-pozyton.
W zjawisku tworzenia pary elektronowej (ogólniej pary cząstka-antycząstka) kwant promieniowania ł
ulega całkowitej absorpcji, a pojawia się para cząstek; elektron i pozyton. Z prawa zachowania energii
wynika, że minimalna energia padającego fotonu musi być równa 2moc2 = 1.02 MeV.
Wyżej wymienione trzy zjawiska są przyczyną pochłaniania wiązki promieniowania ł w materii.
Natężenie wiązki zmienia się z wzorem
I = I0 exp(- x) (19.50)
gdzie I0 początkowe natężenie wiązki, I natężenie po przejściu warstwy absorbenta o grubości x, a
całkowity współczynnik pochłaniania.
Zjawisko
Powstawanie par
fotoelektryczne
Zjawisko Comptona
0.005 0.01 0.05 0.1 0.5 1 5 10
E (MeV)
ł
Rys. 19.8. Zależność współczynników absorpcji promieniowania od energii dla zjawiska
fotoelektrycznego, Comptona i tworzenia par.
19.7. Reakcje jądrowe
19.7.1. Charakterystyka reakcji jądrowych
Pierwszą reakcję jądrową odkrył Rutherford w 1919 r. bombardując jądra azotu cząstkami ą
214
(emitowanymi przez jądra Po ):
84
14 4 1
N+2He17O+1H (19.51)
7 8
Ogólnie reakcję jądrową zapisujemy w postaci
a + X b +Y (19.52)
gdzie a jest cząstką bombardującą, X jądrem-tarczą, Y i b odpowiednio jądrem i cząstką powstałymi
w wyniku reakcji.
Często stosuje się uproszczony zapis X(a,b)Y, lub gdy interesuje nas tylko typ reakcji (a,b).
Zasada zachowania energii
Ea + mac2 + mX c2 = (E +mbc2)+(EY + mY c2) (19.53)
b
gdzie Ei i mi są odpowiednio energią kinetyczną i masą spoczynkową i-tego elementu reakcji. Przy
tym przyjęliśmy, że EX = 0, tzn. rozpatrujemy układ w którym jądro X spoczywa.
Ciepło reakcji
Q = [(ma + mX )- (mb + mY )]c2 (19.54)
Uwzględniając równanie (19.53) mamy
Q = EY + Eb - Ea (19.55)
Gdy Q < 0, to mamy reakcję endotermiczną, czyli całkowita energia spoczynkowa reagentów jest
mniejsza od całkowitej energii produktów reakcji. Reakcja tego typu odbywa się kosztem energii
kinetycznej cząstki padającej. Przykładem takiej reakcji jest reakcja przeprowadzona przez
Rutherforda. Dla tej reakcji z równania (19.54) uzyskujemy Q = 7 MeV. Reakcja ta zachodzi
ponieważ cząstka ą emitowana przez 214Po ma energię 7.5 MeV.
84
Gdy Q > 0, to mamy reakcję egzotermiczną.
1 1 2
Do przeprowadzenia reakcji jądrowych mogą być użyte protony (1p lub 1H ), deuterony (2H lub D),
1 1
1 3
neutrony (0 n), fotony (kwanty ł), trytony (3H lub T ). Rzadziej stosuje się w tym celu ciężkie jądra;
1 1
muszą posiadać dostatecznie dużą energię początkową, aby mogły zbliżyć się do jądra
bombardowanego na odległość sił jądrowych.
W 1930 r. Bohe i Becker przeprowadzili reakcje jądrowe w których odkryto neutron:
7 4 1
Li +2He10B+0n (19.56)
3 5
9 4 1
Be+2He13C+0n (19.57)
4 6
11 4 1
B+2He14N+0n (19.58)
5 7
Jednak identyfikacji neutronu dokonał Chadwick w 1932 r. [w reakcji (19.57)] i jemu przypisuje się
odkrycie neutronu.
W 1934 r. Fryderyk i Irena Joliot-Curie przeprowadzili reakcje jądrowe, w których odkryli pierwiastki
sztucznie promieniotwórcze:
27 4 30 1 30 30
Al +2He15 P+0n P14 Si +0e +
13 15 1 e
10 4 1 13
B+2He13N+0n N13C+0e + e (19.59)
5 7 7 6 1
24 4 27 1 27 27
Mg+2He14 Si +0n Si 13 Al +0e +
12 14 1 e
30 13 27
W jądrach sztucznie promieniotwórczych (15 P, N, Si ) zachodzi przemiana protonu w neutron
7 14
1
według schematu opisanego wzorem (19.47). Cząstka e o dodatnim ładunku jednostkowym ma
0
masę równą masie elektronu, spin równy / 2 i nazywa się pozytonem.
14 1 1
N+0n14C+1H (19.60)
7 6
7 1 4
Li +1p 22 He (19.61)
3
Reakcja (19.60) prowadzi do powstawania radioaktywnego węgla C-14 i zachodzi w atmosferze
0
ziemskiej. Ten izotop węgla jest -promieniotwórczym (14C14N+-0e+0 ) o półokresie zaniku 5100
6 7 1 e
lat.
Drugą reakcję [wzór (19.61)] przeprowadzili w 1932 r. Cockroft i Walton i była to pierwsza reakcja
jądrowa przeprowadzona przy pomocy cząstek przyśpieszanych w akceleratorze.
19.7.2. Reakcje rozszczepienia
Spośród wszystkich cząstek wywołujących reakcje jądrowe, najbardziej skuteczne są neutrony.
Wzbudzone jądro, które powstaje w wyniku wychwytu neutronu, ulega różnym przemianom jądrowym
z których najważniejsze to reakcje typu (n,ą), (n,p), (n,2n).
238
Absorpcja powolnych neutronów przez najbardziej rozpowszechniony izotop uranu U prowadzi do
92
239
powstania radioaktywnego izotopu U , który ulegając przemianie przekształca się w izotop
93
neptunu 239Np :
93
-
238 1 239
U+0n239U Np
92 92 93
23 min
239
Z kolei jądro izotopu Np o okresie połowicznego rozpadu 2.3 dnia, przekształca się w pluton 239Pu
93 94
według reakcji
-
239 239
Np Pu
93 94
2.3dnia
239
Pluton Pu jest cennym paliwem jądrowym, dzięki wydajnemu rozszczepianiu się pod wpływem
94
neutronów termicznych odgrywa on podstawową rolę przy otrzymywaniu energii jądrowej. Pluton
239
Pu jest ą-radioaktywny i ma bardzo duży półokres rozpadu (24 000 lat). Zmienia się na stabilny
94
izotop uranu 235U :
92
239 235
Pu Pu
94 92
2.4104 lat
238 237
Reakcja (n,2n) przekształca izotop uranu U w sztuczny izotop radioaktywny U . Ten izotop z
92 92
237
kolei emitując cząstkę przekształca się w izotop neptunu Np, który jest ą-promieniotwórczy i
93
posiada długi półokres rozpadu 2.2106 lat:
238 1 1
U+0n237U +20 n
92 93
-
237 237
U Np
92 93
6.8dnia
Izotop 237Np daje początek jednej z rodzin promieniotwórczych.
93
24 Rozpad ciężkich jąder atomowych na dwie
Mg
20
części jest korzystny energetycznie. Wynika
Ne
16
Kr
CaFe Zn Mo Te to z kształtu zależności średniej energii
O
8
12
Sm
4
C Lu
He
wiązania przypadającej na jeden nukleon od
Hg
Ra
11
7
B
liczby atomowej. Poczynając od A H" 60,
6 7
energia ta maleje ze wzrostem wartości A i
Li
6
Li
np. dla ciężkiego jądra uranu wynosi około
5
7.6 MeV, podczas gdy dla jąder o masie o
4
połowę mniejszej wynosi około 8.3 MeV.
3
3
H
238
2 Gdyby jądro U rozpadło się na dwie
92
2
H
równe części, to wydzieliłoby się około 0.7
1
MeV na każdy nukleon, czyli rzędu 200 MeV
0
na każde jądro uranu. Zysk energetyczny
50 100 150 200
Liczba masowa A
jest więc duży i wydawać by się mogło, że
jądra te samorzutnie powinny ulegać temu
Energia wiązania przypadająca na jeden
procesowi. Tak jednak nie jest.
nukleon w funkcji liczby masowej.
Podobnie jak w przypadku rozpadu ą, czynnikiem warunkującym reakcję jest prawdopodobieństwo
przeniknięcia cząstki przez barierę kulombowską, które w przypadku rozszczepienia jest znikomo
małe. Energię, jakiej należy dostarczyć jądru, aby mogło ulec rozszczepieniu nazywa się
energią progową rozszczepienia lub energią aktywacji.
MeV na nukleon
Proces rozszczepienia ciężkiego jądra można wyjaśnić na podstawie modelu kroplowego
jądra. Przed rozdzieleniem się na dwie części jądro przechodzi przez pośrednie etapy zniekształceń
(rys. 19.9): jądro o symetrii kulistej zmienia początkowo swój kształt na elipsoidalny, następnie ulega
przewężeniu i po osiągnięciu stanu krytycznego rozpada się na dwie części. Zwiększenie powierzchni
wskutek zniekształceń powoduje wzrost energii napięcia powierzchniowego jądra oraz nieznaczne
zmniejszenie energii odpychania kulombowskiego (ponieważ ładunki przemieszczają się na niewielką
odległość), i przeciwdziałają tym odkształceniom.
Jądro
Jądro
Przewężenie
Rozszczepienie
o symetrii
o symetrii
jądra
jądra
kulistej
elipsoidalnej
(a)
V
"V
(b)
s
Rys. 19.9. Proces rozszczepienie jądra wg
modelu kroplowego: (a) konfiguracja układu,
(b) energia potencjalna w funkcji parametru
rozszczepienia s.
101
Obliczenia wykazują, że wysokość maksimum
100
energii liczonego w stosunku do jądra wyjściowego
(parametr V) wynosi kilka MeV. Wystarczy więc
dostarczyć tej energii (przez pochłonięcie protonu,
10-1
neutronu lub kwantu ł) aby nastąpił rozpad jądra
na dwie części.
10-2
Wysokość bariery V wynosi około 6.5 MeV dla
jądra 235U i około 7.0 MeV dla jądra 238U .
92 92
10-3
W reakcji rozszczepienia najbardziej
prawdopodobny jest podział jądra na dwa
10-4
fragmenty o stosunku mas około 3:2 (patrz rys.
19.10).
10-5 70 90 110 130 150
Liczba atomowa
Rys. 19.10. Zależność procentowego
udziału rozkładu mas fragmentów
przypadająca na jedno rozszczepienie
235
jądra uranu U pod wpływem
92
promieniowania neutronowego.
Wydajność na jedno rozszczepienie (%)
Reakcję rozszczepienia po raz pierwszy przeprowadził E. Fermii w 1934 r. Zauważył, że uran
napromieniowany przez neutrony daje produkty radioaktywne o kilku okresach połowicznego zaniku.
W 1939 r. Hahn i Strassmann wykazali, że napromieniowanie uranu prowadzi do pojawienia się
pierwiastków chemicznych ze środka układu okresowego. Następnie Frisch i Meitner podali
wyjaśnienie tego zjawiska jako rozszczepienie jądra na dwa jądra ze środkowej części układu
okresowego pierwiastków. Przykłady reakcji rozszczepienia są przytoczone poniżej:
235 1 92 1
U+0n141Ba+36Kr +30 n + Q (19.62)
92 56
235 1 94 1
U+0n140Xe+38Sr +20 n + Q (19.63)
92 54
gdzie Q jest energią jądrową (200 MeV), wydzielającą się w jednym akcie rozszczepienia jednego
jądra uranu.
19.7.3. Reakcje łańcuchowe. Reaktor atomowy
Zjawisko rozszczepienia jąder uzyskało ogromne
znaczenie praktyczne dzięki możliwości wykorzystania
go do produkcji energii. Możliwość ta wiąże się z
występowaniem tzw. reakcji łańcuchowej. W procesie
rozszczepienia uranu powstaje średnio 2.5 nowego
neutronu. Jeżeli średnio więcej niż jeden z nich wywoła
dalsze rozszczepienia, to liczba powstających
neutronów i rozszczepionych jąder będzie się
samorzutnie zwiększać.
Uran naturalny posiada 0.7% izotopu U-235; resztę
stanowi izotop U-238. Uran U-238 rozszczepia się tylko
pod wpływem neutronów szybkich, natomiast U-235
może rozszczepiać się pod wpływem neutronów o
dowolnej energii.
Neutrony powstające po rozszczepieniu charakteryzują
się energią niższą od energii progowej rozszczepienia
U-238 co powoduje, że neutrony te będą silnie
pochłaniane przez U-238 nie prowadząc do reakcji
rozszczepienia. Wynika z tego konieczność
wzbogacania masy rozszczepialnej o U-235 i
zastosowanie moderatorów (spowalniaczy) neutronów.
Najmniejsza masa, w której jest możliwe rozwinięcie reakcji łańcuchowej nazywa się masą
krytyczną. W celu zmniejszenia strat neutronów i zmniejszenia masy krytycznej, materiał
rozszczepialny otacza się reflektorem neutronów. Reflektor stanowią substancje stosowane na
moderatory takie jak: H2O, D2O, grafit, beryl czy związki berylu.
Urządzenia w których przeprowadza się kontrolowane łańcuchowe reakcje rozszczepienia,
nazywają się reaktorami jądrowymi lub atomowymi. Pierwszy reaktor jądrowy zbudowany został
pod kierunkiem E. Fermiego w Chicago w 1942 r.
Enrico Fermii (1901 1954) Reactor Fermiego
Nagroda Nobla 1938 Uniwersytet w Chicago, 1942
235 233 232
Jako paliwo jądrowe stosuje się: U , Pu , 238U i Th.
92 94 92 90
Energia neutronów rozszczepialnych uranu U-235 wynosi około 0.7 MeV. Warunkiem rozwinięcia
reakcji łańcuchowej w termicznych reaktorach jądrowych jest zastosowanie moderatora w celu
zmniejszenia wychwytu neutronów przez jądra uranu U-238. Paliwo jądrowe (najczęściej w postaci
prętów) umieszczane jest wewnątrz moderatora, np. w graficie lub ciężkiej wodzie. Pierwsze reaktory
zawierały około 45 ton uranu i około 450 ton grafitu (służącego jako moderator i reflektor neutronów).
Podczas rozruchu reaktora jądrowego rośnie ilość wydzielanej energii (reaktor stanowi układ
nadkrytyczny) i kiedy zostanie osiągnięta żądana moc reaktora, musi on przejść w stan krytyczny i ten
stan musi być utrzymany przez cały czas pracy reaktora.
W celu zmniejszenia współczynnika powielania neutronów do rdzenia reaktora wprowadza się pręty z
materiałów, które silnie pochłaniają neutrony termiczne, np. z boru lub kadmu.
Rozróżniamy reaktory badawcze i techniczne; m.in. reaktory do produkcji pierwiastków
promieniotwórczych, stosowanych w medycynie i technice, reaktory do wytwarzania energii
(elektrownie jądrowe). Ważną rolę spełniają reaktory wytwarzające paliwo jądrowe, stosowane w
bombach atomowych i reaktorach jądrowych.
19.7.4. Reakcje termonuklearne
24
Z rysunku wynika, że masa lub energia
Mg
20
Ne
spoczynkowa dwóch lekkich nuklidów jest
16
Kr
CaFe Zn Mo Te
O
8 większa niż masa jądra powstającego po ich
12
4 Sm
C Lu
He
Hg
połączeniu. Np. dwa deutery mogą się połączyć
Ra
11
7
B
tworząc jądro helu.
6 7
Li
6
Li
5
Masa jądra helu jest o około 24 MeV mniejsza,
4
niż suma mas deuterów i energia 24 MeV
wyzwoli się przy takim połączeniu (syntezie)
3
3
H
jąder. Jeżeli dwa deutery łączą się tworząc
2
jądro helu, to 0.6% masy spoczynkowej jest
2
H
1
zamieniane na energię.
0
50 100 150 200
Podobnie, w procesie syntezy czterech
Liczba masowa A
protonów na jądro helu uwalnia się energia
około 26 MeV, co stanowi zamianę około 7%
Energia wiązania przypadająca na jeden
początkowej masy spoczynkowej na energię.
nukleon w funkcji liczby masowej.
Gdyby proces syntezy mógł być wykorzystywany do produkcji energii mielibyśmy metodę sześć razy
wydajniejszą niż rozszczepienie uranu. Poza tym mamy do dyspozycji niemal nieograniczone i
niedrogie zródło deuteru w wodzie mórz i oceanów, znacznie łatwiej dostępne niż zródła materiałów
do reakcji rozszczepienia.
MeV na nukleon
Procesy syntezy pierwiastków są realizowane we Wszechświecie. Stanowią one główne zródło
energii gwiazd; ich temperatura jest rzędu 107 K. Taka temperatura jest warunkiem zajścia reakcji
termonuklearnych, tj. reakcji syntezy jąder. Cząstki dodatnie charakteryzują się wysoką energią
kinetyczną wystarczającą do pokonania sił kulombowskiego odpychania umożliwiając przez to ich
zbliżenie na odległość działania sił przyciągania jądrowego. Słońce w 80% składa się z wodoru a
swoją energię zawdzięcza reakcjom termonuklearnym przebiegającym w zamkniętym cyklu reakcji.
Z chwilą zrealizowania w warunkach ziemskich produkcji energii w wyniku rozszczepienia ciężkich
jąder, zaczęto zastanawiać się nad możliwością uzyskania w tych warunkach produkcji energii w
reakcjach termojądrowych z lekkimi pierwiastkami. Pierwsze praktyczne tych wysiłków nastąpiło w
tzw. bombie wodorowej. Bardzo wysokie temperatury osiągane przy wybuchu zwykłej bomby
atomowej stworzyły warunki konieczne do uzyskania reakcji termojądrowej. Bomba atomowa jest więc
zapalnikiem dla przebiegających również wybuchowo reakcji syntezy.
Poszukuje się rozwiązań przeprowadzenia reakcji termojądrowych w sposób kontrolowany, dzięki
czemu energia ta mogłaby być wykorzystywana do celów pokojowych.
Jako paliwo termojądrowe można wykorzystać szereg substancji.
3 1
ńł2He+0n + 3.25 MeV
ł
2
D+2D
ł3 1
1 1
ł
T +1p + 4MeV
ół 1
1 4
H+3T 2He + 18.8MeV
1 1
2 3 4 1
D+2He2He+1p + 18.3MeV
1
2 4 1
D+3T 2 He+0n + 17.6MeV (19.65)
1 1
6 4
Li +2D 22 He + 22MeV
3 1
Podstawowym warunkiem uzyskania kontrolowanej reakcji termojądrowej jest utrzymanie stabilnej,
wysokiej temperatury dziesiątek i setek milionów stopni w pewnej objętości deuteru lub jego
mieszaniny z trytem. Przy tak wysokiej temperaturze gaz będzie całkowicie zjonizowany; taki stan
gazu nazywamy plazmą. Zauważmy, że jeżeli problem kontrolowanej reakcji termonuklearnej zostanie
rozwiązany, to ludzkość rozwiąże problem braku energii na zawsze.
Obecnie na świecie pracuje około 400 elektrowni atomowych o łącznej mocy około 1000 GW.
Obserwuje się jednak spadkową tendencję rozwoju energetyki atomowej. Jest to wynikiem problemów
związanych z jej rozwojem, takich jak: bezpieczeństwo, odpady promieniotwórcze (a dokładniej ich
pozbywanie się), nieproliferencja (rozprzestrzenienie się broni jądrowej), likwidacja obiektów po
zakończeniu produkcji (po 30 latach), opłacalność ekonomiczna. Spadkową tendencję obserwuje się
również w produkcji bomb jądrowych (procesy rozbrojeniowe i ekonomiczne).
Bomba atomowa składa się z dwu lub więcej kawałków uranu 235U (lub plutonu 239Pu, który zachowuje
się podobnie), przy czym masa każdego z tych kawałków jest mniejsza od masy krytycznej. Wobec
tego w kawałkach nie może rozwijać się reakcja łańcuchowa (masa krytyczna 235U wynosi 43 kg; 50
kg tej masy stanowi więc stan nadkrytyczny wybuchowy; czas wybuchu wynosi 2.4 s).
235
Jeżeli kawałki te złączą się, to powstaje bryła U o rozmiarach przewyższających krytyczne i
następuje wybuchowa reakcja lawinowa. Energia wydzielana przy wybuchu bomby atomowej jest
porównywalna do energii wyzwalanej przy wybuchu 20 100 tysięcy trójnitrotoluenu (TNT). W chwili
wybuchu bomby wytwarza się w jej wnętrzu temperatura rzędu 10 milionów K, po czym spada.
W pierwszych chwilach po wybuchu powstają w niewielkiej objętości warunki zbliżone do panujących
we wnętrzu gwiazd, a więc warunki umożliwiające przeprowadzenie reakcji termonuklearnej.
Wykorzystano to do produkcji jeszcze potężniejszego narzędzia niszczenia bomby wodorowej. W
temperaturze rzędu 107 K zachodzi reakcja opisana wzorem (19.65), która stanowi podstawę
działania bomb wodorowych.
2 4 1
D+3T 2 He+0n + 17.6MeV (19.65)
1 1
Energia wyzwalana przez bomby wodorowe odpowiada energii otrzymanej przy wybuchu od kilku do
kilkunastu milionów ton TNT (MT TNT).
Trzecim rodzajem bomby nuklearnej jest bomba wodorowo-uranowa. W tym przypadku bomba
238
wodorowa otoczona jest masą uranu U (w postaci płaszcza), który ulega rozszczepieniu pod
wpływem szybkich neutronów powstających w dużych ilościach w reakcji termojądrowej [wzór
(19.65)]. W ten sposób powstaje dodatkowa energia oraz chmura promieniotwórczych produktów
rozszczepienia, wśród których najbardziej długowieczne są 90Sr (okres połowicznego rozpadu 28 lat),
137 95
Cs (27 lat), 144Ce (290 dni) i Zr (65 dni). Bomby wodorowo-uranowe (238U) mają moc około 100
MT TNT.
W arsenałach broni nuklearnej USA i Rosji znajduje się około 20 30 tysięcy pocisków z
głowicami jądrowymi różnego typu. W całym świecie jest ich około 50 tysięcy, a ich moc jest
wystarczająca aby wielokrotnie zniszczyć życie na Ziemi.
Pierwsze bomby atomowe wyprodukowano pod
kierownictwem Oppenheimera, Comptona,
Fermiego, Lawrence a i Bethego.
Dnia 15 lipca 1945 r. wybuchła na pustyni w
New Mexico (USA) pierwsza w historii
Schemat bomby uranowej
ludzkości bomba atomowa
6 sierpnia 1945 startująca z wyspy Tinian superforteca B-29 Enola Gay lotnictwa USA, pilotowana
przez płk. Paula Tibbetsa, zrzuciła na miasto 4-tonową uranową bombę atomową Little Boy.
W chwili ataku w Hiroszimie mieszkało 275 tysięcy ludzi, oprócz tego stacjonował tam 40-tysięczny
garnizon wojskowy. Bombę zrzucono na śródmieście miasta (celem był most Aioi). Wybuchła o
godzinie 8:16:02 na wysokości 580 metrów z siłą około 15 kiloton trotylu, zabijając 78100
mieszkańców. i ciężko raniąc 37424. 13983 osób uznano za zaginione, a dziesiątki tysięcy zostało
napromieniowanych lub odniosło inne obrażenia.
Little Boy miał długość 3 metrów, średnicę, w
najgrubszym miejscu, 71 cm i ważył 4035 kg, choć
ładunek uranu 235 ważył zaledwie 1 kg. Nazwano
go Little Boy (mały chłopiec), gdyż pod takim
kryptonimem kryły się też duże bomby zapalające,
które masowo zrzucano już wcześniej na Japonię.
Little Boy odziedziczył po tych bombach
zewnętrzny pancerz, co upodabniało go do
złudzenia do tych bomb. Bomba posiadała
zapalnik ciśnieniowy, który uruchamiał eksplozję
automatycznie na zadanej wysokości.
Serce Little Boy składało się ze sfery wypełnionej ok. 0.5 kg izotopu uranu. Sfera była podzielona
na trzy sekcje odseparowane od siebie cienkimi foliami ołowianymi. W każdej znajdowała się 1/3
całkowitej ilości uranu. Wybuch został inicjowany przez symetrycznie rozmieszczone wokół tej sfery
ładunki trotylu, które wtłoczyły trzy fragmenty uranu do środka sfery tworząc odpowiednią masę
krytyczną uranu.
W czasie II wojny światowej 9 sierpnia 1945 roku o godz. 11:02 amerykański pilot Charles Sweeney
sterujący superfortecą B-29 Bock's Car zrzucił na Nagasaki drugą bombę atomową, która zabiła 75
tysięcy ludzi oraz zniszczyła blisko połowę miasta. W eksplozji w Nagasaki zginęło 74300 osób.
W odróżnieniu od Little Boy zbudowanej ze
wzbogacanego uranu, Fat Man zawierał ładunek z
plutonu. Bomba miała długość ponad 3 m, średnicę
1.5 m i ważyła 4.5 tys. kg. Siła ładunku wynosiła 20
kiloton (84 TJ).
Blok reaktora nr 4 w Czarnobylu
Wybuch bomby atomowej w Nagasaki
po wybuchu 28 kwietnia 1986 r.
9 sierpnia 1945
1 listopada 1952 roku na atolu Eniwetok na południowym Pacyfiku odbył się pierwszy w
historii test bomby wodorowej. Rozpoczęła się era termojądrowa. Pierwsza eksplozja
termojądrowa - "Ivy Mike" - miała miejsce na atolu Eniwetok 1 listopada 1952r. prawie
kwadrans po godzinie siódmej. Jej siłę oszacowano na 10,4 Mt, czyli ponad 500 razy więcej
niż bomb z Hiroszimy czy Nagasaki.
Elektrownia atomowa
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Sieci komputerowe wyklady dr FurtakWykład 05 Opadanie i fluidyzacjaWYKŁAD 1 Wprowadzenie do biotechnologii farmaceutycznejmo3 wykladyJJZARZĄDZANIE WARTOŚCIĄ PRZEDSIĘBIORSTWA Z DNIA 26 MARZEC 2011 WYKŁAD NR 3Wyklad 2 PNOP 08 9 zaoczneWyklad studport 8Kryptografia wykladBudownictwo Ogolne II zaoczne wyklad 13 ppozwyklad09Sporzadzanie rachunku przepływów pienieżnych wykład 1 i 2fcs wyklad 5Wyklad08 Zaopatrz wWodeWyklad3więcej podobnych podstron