Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 3
3. Ruch na płaszczyznie
Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych x i y.
Np. y - wysokość, x - odległość w kierunku poziomym. Pokażemy, że taki ruch można
traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe.
3.1 Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie.
Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r; prędkość wektor v; przyspiesze-
nie wektor a. Wektory r, v, a są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić
(za pomocą wersorów i, j, k czyli wektorów jednostkowych) w postaci
r = ix + jy
d r d x d y
v = = i + j = ivx + jv
y
dt dt dt
dv dvx dv y
a = = i + j = iax + jay
dt dt dt
Czy trzeba stosować rozkładanie wektorów na składowe?
Przykład 1
Å»aglówka pÅ‚ynÄ…ca pod wiatr (pod kÄ…tem 45° do kierunku wiatru). SiÅ‚a, którÄ… wiatr dzia-
ła na żagiel, popycha łódkę prostopadle do płaszczyzny żagla. Ze względu na kil (i ster)
łódz może poruszać się wzdłuż osi kila. Składowa siły w tym kierunku (Fx) ma zwrot
w kierunku ruchu.
wiatr
Fx
oÅ› kila
żagiel
Ruch ze stałym przyspieszeniem oznacza, że nie zmienia się kierunek ani wartość przy-
spieszenia tzn. nie zmieniają się również składowe przyspieszenia.
Rozpatrzymy teraz przypadek punkt materialnego poruszającego się wzdłuż krzywej
leżącej na płaszczyznie.
Rozpoczniemy od napisania równań dla ruchu jednostajnie przyspieszonego
3-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
a = const
v = v + at
0
r = r0 + v0t + (1/2) at2
Prześledzmy teraz dodawanie wektorów na wykresie. Przykładowo punkt porusza się z
przyspieszeniem a = [2,1], prędkość początkowa v0 = [1,2], a położenie początkowe, r0
= [1,1]. Szukamy położenia ciała np. po t = 1s i t = 3s dodając odpowiednie wektory tak
jak na rysunku obok.
Powyższe równania wektorowe są równoważne równaniom w postaci skalarnej:
Równania opisujące ruch wzdłuż Równania opisujące ruch wzdłuż
osi x osi y
ax = const ay = const
vx = vx0t + axt vy = vy0t + ayt
x = x0 + vx0t + (1/2) axt2 y = y0 + vy0t + (1/2) ayt2
Przykładem na którym prześledzimy ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem
jest rzut ukośny.
3.2 Rzut ukośny
Rzut ukośny to ruch ze stałym przyspieszeniem g [0, -g] skierowanym w dół. Jest
opisywany przez równania podane powyżej w tabeli. Przyjmijmy, że początek układu
współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało tzn. r0 = 0.
v0
v0sin¸
¸
v0cos¸
PrÄ™dkość w chwili poczÄ…tkowej t = 0 jest równa v0 i tworzy z kÄ…t ¸ z dodatnim kierun-
kiem osi x. Zadaniem naszym jest: znalezć prędkość i położenie ciała w dowolnej chwi-
3-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
li, opisać tor, znalezć zasięg. Składowe prędkości początkowej (zgodnie z rysunkiem)
wynoszÄ… odpowiednio
vx0 = v0 cos¸ i vy0 = v0 sin¸
Prędkość w kierunku x (poziomym)
vx = vx0 + axt
ponieważ ax = 0 wiÄ™c: vx = v0 cos¸, czyli w kierunku x ruch jest jednostajny (skÅ‚adowa
x prędkości jest stała)
W kierunku y (pionowym)
vy = vy0 + ayt
ponieważ gy = -g więc
vy = v0 sin¸ gt
Wartość wektora wypadkowego prędkości w dowolnej chwili wynosi
2
v = vx + v2
y
więc
2
v = v0 - 2v0gt sin¸ + g2t2 (3.1)
Teraz obliczamy położenie ciała
x = v0xt
czyli
x = v0 cos¸ t (3.2)
y = v0yt+(1/2)ayt2
czyli
y = v0 sin¸ t (1/2)gt2 (3.3)
Długość wektora położenia r można teraz obliczyć dla dowolnej chwili t z zależności
r = x2 + y2
Sprawdzmy po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdzmy równanie krzywej
y(x). Mamy równania x(t) i y(t). Równanie y(x) obliczymy eliminując t z równań (3.2) i
(3.3). Z równania (3.2)
t = x/v0 cos¸
więc równanie (3.3) przyjmuje postać
3-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
g
y = (tg¸ )x - x2 (3.4)
2(v0 cos¸ )2
Otrzymaliśmy równanie paraboli (ramionami w dół).
Z równania paraboli obliczamy zasięg Z czyli znajdziemy miejsca zerowe. Do równania
(3.3) wstawiamy x = Z oraz y = 0 i otrzymujemy po przekształceniach dwa miejsca ze-
rowe
Z = 0
oraz
2 2
2v0 sin¸ cos¸ v0
Z = = sin 2¸ (3.5)
g g
Z równania (3.4) wynika, że zasiÄ™g jest maksymalny gdy ¸ = 45°.
Zauważmy, że omawiany ruch odbywa się po linii krzywej.
W poprzednich wykładach mówiliśmy o przyspieszeniu zmieniającym wartość prędko-
ści, a nie jej kierunek (zwrot). Mówiliśmy o przyspieszeniu stycznym.
Rozpatrzmy teraz sytuacje gdy wartość prędkości się nie zmienia a zmienia się kieru-
nek.
3.3 Ruch jednostajny po okręgu
Rozważmy zamieszczony obok rysunek. Punkt P - położenie punktu materialnego w
chwili t, a P' - położenie w chwili t + "t. Wektory v, v' mają jednakowe długości ale
różnią się kierunkiem; są styczne do toru (krzywej) odpowiednio w punktach P i P'.
v'
O "v
¸
v'
r
¸
P'
v
v
P
Przerysujmy wektory v i v' zaznaczając zmianę prędkości "v. Zauważmy, że kąt po-
między tymi wektorami jest taki sam jak kąt na pierwszym rysunku. Zaznaczone trójką-
"v l
ty są podobne więc : = , gdzie l jest długością łuku (pod warunkiem, że l jest bar-
v r
dzo małe (l0)). Stąd
"v = vl/r.
a ponieważ
l = v "t
więc
"v = v2 "t/r
Ostatecznie
a = "v/"t
3-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
więc
v2
a = (3.6)
r
To przyspieszenie nazywamy przyspieszeniem normalnym (w odróżnieniu od styczne-
go) bo jest prostopadłe do toru. W przypadku ruchu po okręgu kierunek prostopadły do
toru jest skierowany do środka i dlatego takie przyspieszenie nazywamy również przy-
spieszeniem dośrodkowym. Przyspieszenie normalne zmienia kierunek prędkości.
Często wyraża się to przyspieszenie przez okres T. Ponieważ
v = 2Ä„r/T
więc
a = 4Ä„2r/T2
Przykład 2
Jakiego przyspieszenia dośrodkowego, wynikającego z obrotu Ziemi, doznaje ciało
będące na równiku? RZ = 6370 103 m, T = 8.64 104 sec.
a = 0.0034 m/s2.
Stanowi to 0.35 % przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s2.
Przy założeniu, że Ziemia jest kulą waga na równiku jest mniejsza (np. łatwiej pobić
rekord w skoku wzwyż).
Prześledzmy teraz przykład, w którym zmienia się i wartość i kierunek prędkości.
Wracamy do rzutu ukośnego. Przyspieszenie g (jedyne) jest odpowiedzialne za zmianę
zarówno wartości prędkości jak i jej kierunku.
Prezentacja graficzna z zaznaczeniem przyspieszenia stycznego i normalnego (jako
składowych g) jest przedstawiona poniżej.
as
ar
g
Teraz obliczymy obie składowe przyspieszenia.
a) Przyspieszenie styczne
dv
as =
d t
Przypomnijmy, że zależność v(t) w rzucie ukośnym jest dana równaniem (3.1)
2
(v = v0 - 2v0gt sin¸ + g2t2 ).
3-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
StÄ…d
gt - v0 sin¸
aS = g
2
v0 - 2v0gt sin¸ + g2t2
b) Przyspieszenie dośrodkowe
Jak wynika z rysunku
2 2
ar = g - as
lub
v2
a = ale trzeba umieć obliczyć promień krzywizny w każdym punkcie toru.
r
3-6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
36 porad jak zwiekszyc ruch na stronieczas i ruch na ekraniewięcej podobnych podstron