lista 5z R (2)

Praca i energia. Zasada zachowania energii mechanicznej. Środek masy.
Praca
Uwaga: Zadania w tej części rozwiązujemy przy pomocy twierdzenia o pracy i energii kinetycznej lub
zasady zachowania energii mechanicznej.
104. Jaką prędkość początkową v0 trzeba nadać ciału o masie m, aby wjechało na szczyt równi o
długości d i kącie nachylenia ą jeżeli współczynnik tarcia wynosi f ? Oblicz czas t trwania ruchu.
Przyspieszenie ziemskie g -� dane. Wykonać rysunek.
Rozwiązanie:
105. Blok o masie m = 15 kg jest przesuwany po poziomej powierzchni pod działaniem siły F = 70 N
skierowanej pod kątem 30o do poziomu. Blok przesunięto o s = 5 m, a współczynnik tarcia f = 0,25.
Obliczyć pracę: a) siły F; b) składowej pionowej wypadkowej siły działającej na blok; c) siły
grawitacji; d) siły tarcia.
Rozwiązanie:
106. Klocek o masie m = 0,7 ześlizguje się z równi pochyłej o długości 6 m i kącie nachylenia 30o, a
następnie zaczyna poruszać się po poziomej płaszczyznie. Współczynnik tarcia na równi i poziomej
powierzchni wynosi f = 0,2. Jaka jest prędkość klocka na końcu równi oraz po przebyciu drogi 1 m po
poziomej powierzchni? Jaką odległość przebędzie klocek do momentu zatrzymania się?
Rozwiązanie:
107. Auto o masie 1500 kg rusza i przyspiesza jednostajnie do prędkości 10 m/s w czasie 3 sekund.
Obliczyć: a) pracę wykonaną nad autem; b) średnią moc silnika w pierwszych 3 sekundach ruchu; c)
moc chwilową dla t = 2 sekundy.
Rozwiązanie:
108. Paciorek nadziany na drut ślizga się bez tarcia po
nachylonym drucie zakończonym pętlą (patrz rysunek obok) o
promieniu R. Jeśli H = 3,5 R, to jaką prędkość ma paciorek w
najwyższym punkcie pętli? Ile wynosi nacisk paciorka na drut
w najniższym i najwyższym punkcie pętli?
Rozwiązanie:
109. Ciało znajdujące się na wysokości h rzucono pionowo do góry z prędkością 5 m/s. Prędkość
końcowa ciała wyniosła 25 m/s. Wyznaczyć h. Na jaką maksymalną wysokość H wzniosło się to
ciało? Jakie będą prędkości tego ciała na wysokościach H/4 i h/4?
Rozwiązanie:
110. Kamień rzucono pionowo do góry. Mija on punkt A z prędkością v, a punkt B, leżący 3 m wyżej
niż A, z prędkością v/2. Oblicz: a) prędkość v, b) maksymalną wysokośc wzniesienia się ciała ponad
punkt B.
Rozwiązanie:
112. Dwie masy m i M (M>m) są połączone nieważką nicią przewieszoną
przez nieważki krążek. Stosując zasadę zachowania energii mechanicznej
wyznaczyć prędkość V masy m w momencie, gdy jej środek masy podniesie
się na wysokość H. Założyć, że krążek nie obraca się, a nić ślizga się po jego
powierzchni bez tarcia. Jaka będzie prędkość ciała m, jeśli odstąpimy od
założenia o idealnie gładkiej powierzchni krążka i przyjmiemy, że na drodze
H praca sił tarcia będzie równa W?
M
Rozwiązanie:
113. Ciało rzucono pionowo w dół z wysokości H, nadając mu prędkość v0 = 5 m/s. Ciało uderzyło w
ziemie z prędkością 35 m/s. Ile wynosi H? Jaką prędkość miało to ciało po przebyciu drogi H/6?
Rozwiązanie:
114. Kamień rzucono ukośnie z powierzchni ziemi. Na wysokości 9,1 m jego prędkość jest równa v =
(7,6i + 6,1j). Jaka jest maksymalna wysokość rzutu? Jaka była prędkość wyrzutu? Z jaką prędkością
kamień spadł na ziemię?
Rozwiązanie:
115. Wartość prędkości początkowej kamienia rzuconego ukośnie jest 5 razy większa od jego
prędkości w najwyższym punkcie toru. Pod jakim katem wyrzucono kamień?
Rozwiązanie:
116. Balon porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym na wysokości H = 2 km z prędkością u =
20 m/s. Z balonu wyrzucono metalową kulkę nadając jej prędkość poziomą 5 m/s względem balonu w
chwili, gdy przelatywał nad punktem A płaskiego terenu. Wyznaczyć prędkości kulki na wysokości
2H/3. Rozpatrzyć dwa przypadki rzutu: w kierunku ruchu balonu i w kierunku przeciwnym do jego
prędkości chwilowej.
Rozwiązanie:
117. Ciało o masie 0,5 kg ślizga się po poziomym chropowatym torze kołowym o promieniu 2 m. Jego
prędkość początkowa wynosiła 8 m/s, a po jednym pełnym obiegu toru spadła ona do wartości 6 m/s.
Wyznaczyć pracę sił: a) tarcia, b) dośrodkowej. Obliczyć współczynnik tarcia. Po jakim czasie ciało to
się zatrzyma? Ile razy obiegnie ono tor do momentu zatrzymania się?
Rozwiązanie:
118. Rozciągnięcie sprężyny o 10 cm wymaga pracy 4 J. Ile potrzeba pracy, aby rozciągnąć tę
sprężynę do 20 cm? Ws-ka: wartość pracy wykonanej nad sprężyną o współczynniku sprężystości k
rozciągniętej o x wynosi kx2/2.
Rozwiązanie:
119. Kula o masie 0,005 kg i prędkości 600 m/s zagłębiła się w drewnie na głębokość 2 cm.
Wyznaczyć średnią wartość siły oporu działającej w drewnie na kulkę. Zakładając, że siła oporu jest
stała, obliczyć czas hamowania kulki. Z jaką przemianę energii mamy w tym zjawisku do czynienia?
Rozwiązanie:
120. Współczynnik tarcia miedzy masą m (patrz rysunek
obok) a podłożem wynosi 0,2. Jeśli początkowo oba ciała
spoczywają ruszą, to ile wynosi prędkość obu mas po
przebyciu przez M drogi 0,6 m? Masę nici i krążka
zaniedbujemy. Nitka ślizga się po krążku bez tarcia
Rozwiązanie:
121. Jaką pracę wykonał silnik pociągu elektrycznego o masie m =� 100ton, który poruszając się
ruchem jednostajnie przyspieszonym w czasie t =� 15s uzyskał prędkość v =� 108km h . Efektywny
współczynnik tarcia wynosi f =� 0,05 a przyspieszenie ziemskie przyjąć równe g =� 10m s2 .
Rozwiązanie:
122. Ciało o masie m =� 2kg zsuwa się po równi pochyłej ze stałą prędkością v =� 0,25m s .
Współczynnik tarcia wynosi f =� 0,5. Oblicz moc siły zsuwającej ciało.
Rozwiązanie:
123. Sanki ześlizgują się z pagórka, którego zbocze ma długość d =� 10m i jest nachylone pod kątem
a� =� 30�� do poziomu. Jaką odległość x przebędą sanki na odcinku poziomym po zjechaniu ze zbocza,
jeżeli na całej drodze współczynnik tarcia wynosi f =� 0,2 ?
Rozwiązanie:
124. W najwyższym punkcie kuli o promieniu R znajduje
się małe ciało w położeniu równowagi chwiejnej. Przy
najmniejszym wychyleniu z tego położenia ciało zacznie
v
R
a� �
się zsuwać po powierzchni kuli. Wyznacz kąt ą jaki
R
zatoczy promień kuli do miejsca oderwania się
Rozwiązanie:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------,
Autor rozwiązań
Mgr W. Magierski
RZad104
W trakcie wjeżdżania na
szczyt równi początkowa
energia kinetyczna ciała
u podnóża równi jest tracona
d
na wykonanie pracy
v
przeciwko sile tarcia
Fs
i zamienia się w energię
m
FT
potencjalną.
Ponieważ siła tarcia ma stałą
a�
a�
wartość, to praca przeciwko
tej sile daje się przedstawić
jako iloczyn siły i
Fn
przesunięcia:
mg
5�J�5�G� = 5�9�5�G�5�Q�
Korzystając z zasady zachowania energii oraz równoważności pracy i energii możemy napisad:
5�8�5�X�0 = 5�Z�5�T�5�U� + 5�J�5�G�
Przy czym wysokośd równi h wyraża się wzorem:
5�U� = 5�Q� sin 5��
Zgodnie z definicją siła tarcia to:
5�9�5�G� = 5�S�5�9�5�[� = 5�S�5�Z�5�T� cos 5�� .
Początkowa energia kinetyczna ciała wynosi:
2
5�Z�5�c�0
5�8�5�X�0 = .
2
Podstawiając do bilansu energii mamy:
2
5�Z�5�c�0
= 5�Z�5�T�5�Q� sin 5�� + 5�S�5�Z�5�T� 5�Q�cos 5��
2
skąd
5�c�0 = 25�T�5�Q� sin 5�� + 5�S� cos 5�� .
Sprawdzamy jednostki:
m m
5�c�0 = m = .
s2 s
RZad105
Zgodnie z definicją, praca stałej
F F
siły wyraża się przez iloczyn
skalarny siły i przesunięcia:
m
5�J� = 5�� " 5�,� = 5�9�5�`� cos ą
a� �
FT Składowa pionowa wypadkowej
F
siły działającej na blok będzie
różnicą pomiędzy siłą ciężkości a
składową pionową siły
zewnętrznej:
5�9�5�[� = 5�Z�5�T� - 5�9�"
mg
Siła ta, będąc prostopadła do
kierunku przesunięcia, nie
wykona żadnej pracy podobnie jak siła grawitacji.
Siła tarcia natomiast wykona pracę:
5�J�5�G� = 5��5�� " 5�,� = 5�9�5�G�5�`� cos 180� = -5�S�5�9�5�[�5�`�
Podstawiając za siłę nacisku i zauważając, że 5�9�" = 5�9� sin 5�� otrzymujemy:
5�J�5�G� = -5�S� 5�Z�5�T� - 5�9� sin 5�� 5�`�
Sprawdzamy jednostki:
m
5�J� = kg m = Nm = J
s2
i obliczamy:
3
5�J� = 70 " 5 " cos 30� = 350 E" 303J
2
5�J�5�G� = -0,25 " (15 " 10 - 70 sin 30�) " 5 = -1,25 150 - 35 = -143,75 E" -144 J
Odp. Praca siły F wynosi 303J a praca siły tarcia 144J. Siła nacisku i siła ciężkości nie wykonały
pracy.
RZad106
FT
m
Fs
a� �
a� �
Fn
s
mg
Zgodnie z zasadą zachowania energii i równoważności pracy i energii początkowa energia potencjalna
klocka zostanie zużyta na wykonanie pracy przeciwko sile tarcia a reszta zamieniona na energię
kinetyczną klocka u podstawy równi. Ta reszta z kolei zostaje rozproszona przez siłę tarcia na
poziomym torze.
Rozważmy najpierw ruch po równi, gdzie mamy:
2
5�Z�5�c�5�X�
5�Z�5�T�5�U� = + 5�J�5�G�
2
przy czym wysokośd równi h wiąże się z długością równi d zależnością:
5�U� = 5�Q� sin 5�� ;
vk oznacza prędkośd klocka u podstawy równi, a praca siły tarcia wynosi:
5�J�5�G� = 5�S�5�9�5�[�5�Q� = 5�S�5�Z�5�T� 5�Q�cos 5��
Podstawiając otrzymujemy:
2
5�Z�5�c�5�X�
5�Z�5�T�5�Q� sin 5�� = + 5�S�5�Z�5�T�5�Q� cos 5��
2
skąd
5�c�5�X� = 25�T�5�Q�(sin 5�� - 5�S� cos 5��)
Prędkośd ta staje się prędkością początkową w ruchu poziomym i znowu bilansujemy pracę i energię,
zakładając, że s oznacza drogę w tym ruchu:
2
5�Z�5�c�5�X� 5�Z�5�c�2
2
= + 5�J�5�G�
2 2
Praca na drodze s przeciwko sile tarcia wyniesie:
2
5�J�5�G� = 5�S�5�Z�5�T�5�`� .
Podstawiamy i otrzymujemy:
2
5�c�5�X� = 5�c�2 + 25�S�5�T�5�`�
skąd
2
5�c� = 5�c�5�X� - 25�S�5�T�5�`� = 25�T�5�Q� sin 5�� - 5�S� cos 5�� - 25�S�5�T�5�`�
Kładąc v = 0 obliczymy drogę do momentu zatrzymania:
2
5�c�5�X� 5�Q� sin 5�� - 5�S� cos 5��
5�`� = =
25�S�5�T� 5�S�
Obliczenia:
prędkośd klocka u podstawy równi:
m
5�c�5�X� = 2 " 10 " 6(sin 30� - 0,2 cos 30�) = 120(0,5 - 0,1 3) = 39,2 = 6,3
s
prędkośd klocka po przebyciu drogi s = 1m
m
5�c� = 2 " 10 " 6(sin 30� - 0,2 cos 30�) - 2 " 0,2 " 10 " 1 = 39,2 - 4,0 = 5,9
s
droga przebyta przez klocek do momentu zatrzymania:
6(sin 30� - 0,2 cos 30�)
5�`� = = 30 0,5 - 0,1 3 = 9,8 m
0,2
RZad107
Zgodnie z zasadą równoważności pracy i energii, praca wykonana nad autem równa jest przyrostowi
jego energii kinetycznej:
1 m2
5�J� = "5�8�5�X� = 5�Z�5�c�2 kg = Nm = J
2 s2
Wartośd tej pracy:
5�J� = 0,5 " 1500 " 102 = 75 000 J = 75 kJ
Dzieląc tę pracę przez czas rozpędzania do prędkości v otrzymamy średnią moc silnika:
5�J� J
5�C�ś5�_� = = W
5�a� s
Moc ta wyniesie:
75 000
5�C�ś5�_� = = 25 000 W = 25 kW
3
Moc chwilowa jest pochodną pracy po czasie i może byd przedstawiona jako:
d5�J� 5�� " d5�,� d5�,�
5�C� = = = 5�� " = 5�� " 5�/�
d5�a� d5�a� d5�a�
W przypadku stałej siły działającej w kierunku ruchu równanie jest skalarne:
2
"5�c�
5�C� = 5�9� " 5�c� = 5�Z�5�N�5�c� = 5�Z�5�N� 5�N�5�a� = 5�Z�5�N�25�a� = 5�Z� 5�a�
"5�a�
Jednostka:
m2
s2 m2 1 J
5�C� = kg = kg = = W
s s2 s s
Wartośd mocy chwilowej:
2
10 300 000
5�C� = 1 500 " " 2 = = 33 333 W = 33,3 kW
3 9
RZad108
F W najwyższym punkcie pętli paciorek ma
od
prędkość spełniająca bilans energii:
v
1
2
5�Z�5�T�5�;� = 5�Z�5�T�25�E� + 5�Z� 5�c�"
2
H
skąd
mg
R
5�c�" = 25�T�(5�;� - 25�E�)
Po uwzględnieniu warunków zadania
5�c�" = 25�T�(3,55�E� - 25�E�) = 35�T�5�E�
Nacisk N paciorka na drut w tym miejscu
v
będzie różnicą pomiędzy siłą ciężkości
a siła odśrodkową:
mg
2
5�Z� 5�c�"
5�A�" = 5�Z�5�T� -
5�E�
Wstawiając znalezioną prędkość
F
od
w najwyższym punkcie otrzymamy:
5�Z�35�T�5�E�
5�A�" = 5�Z�5�T� - = 5�Z�5�T� - 35�Z�5�T� = -25�Z�5�T�
5�E�
Znak minus oznacza, że siła nacisku jest skierowana w górę.
Postępując podobnie znajdziemy prędkość w najniższym punkcie toru:
1
2
5�Z�5�T�5�;� = 5�Z� 5�c�2
2
skąd
5�c�2 = 25�T�5�;�
Po uwzględnieniu warunków zadania
5�c�2 = 25�T�3,55�E� = 75�T�5�E�
Nacisk N paciorka na drut w najniższym miejscu będzie sumą siłą ciężkości i siły odśrodkowej:
2
5�Z� 5�c�2
5�A�2 = 5�Z�5�T� +
5�E�
Wstawiając znalezioną prędkość w najniższym punkcie otrzymamy:
5�Z�75�T�5�E�
5�A�2 = 5�Z�5�T� + = 85�Z�5�T�
5�E�
RZad109
Zad. 109. Ciało znajdujące się na wysokości h rzucono pionowo do góry z prędkością 5 m/s. Prędkość
końcowa ciała wyniosła 25 m/s. Wyznaczyć h. Na jaką maksymalną wysokość H wzniosło się to
ciało? Jakie będą prędkości tego ciała na wysokościach H/4 i h/4?
Oznaczmy przez v0 prędkość początkową ciała (tę na wysokości h) a przez vk prędkość końcową ciała
na wysokości równej zero. Zgodnie z zasadą zachowania energii mamy:
2 2
5�Z�5�c�0 5�Z�5�c�5�X�
5�Z�5�T�5�U� + =
2 2
zatem
5�Z�2
2 2 2 2
5�c�5�X� 5�c�0 5�c�5�X� - 5�c�0 5�`�2 5�Z�2 5�`�2
5�U� = - = = = 5�Z�
5�Z�
25�T� 25�T� 25�T� 5�`�2 5�Z�
5�`�2
Po podstawieniu danych:
252 - 52 600
5�U� = = = 30 5�Z�
2 " 10 20
Maksymalne wzniesienie spełni równośd energii:
2
5�Z�5�c�0
5�Z�5�T�5�U� + = 5�Z�5�T�5�;�
2
skąd
52
5�;� = 5�U� +
25�T�
Po podstawieniu danych:
52
5�;� = 30 + = 30 + 1,25 = 31,25 [m]
2 " 10
Prędkośd v1 na wysokości H/4 spełni równanie
2 2
5�Z�5�c�0 5�;� 5�Z�5�c�1
5�Z�5�T�5�U� + = 5�Z�5�T� +
2 4 2
skąd
5�;� 5�Z�
2
5�c�1 = 25�T� 5�U� - +5�c�0
4 5�`�
Po podstawieniu:
31,25 5�Z�
5�c�1 = 2 " 10 30 - + 52 = 20 " 22,2 + 25 = 469 = 21,7
4 5�`�
Analogicznie prędkośd v2 na wysokości h/4 wyniesie
2 2
5�Z�5�c�0 5�U� 5�Z�5�c�2
5�Z�5�T�5�U� + = 5�Z�5�T� +
2 4 2
skąd
5�U� 35�T�5�U� 5�Z�
2 2
5�c�2 = 25�T� 5�U� - +5�c�0 = +5�c�0
4 2 5�`�
Po podstawieniu:
5�Z�
5�c�2 = 1,5 " 10 " 30 + 52 = 450 + 25 = 475 = 21,8
5�`�
RZad110
Oznaczmy wysokość punktu A przez h a różnicę wysokości punktów A i B przez D�h = 3m. Zgodnie z
zasadą zachowania energii mamy:
5�Z� 5�c� 2
5�Z�5�c�2
2
+ 5�Z�5�T�5�U� = + 5�Z�5�T�(5�U� + "5�U�)
2 2
zatem
5�c�2
5�c�2 + 25�T�5�U� = + 25�T�5�U� + 25�T�"5�U�
4
stąd
85�T�"5�U� 25�T�"5�U� m m
5�c� = = 2 m =
3 3 s2 s
Po podstawieniu
2 " 10 " 3 m
5�c� = 2 = 20 = 4,5
3 s
Oznaczmy szukaną maksymalną wysokośd wzniesienia ponad punkt B jako H, mamy:
5�Z�5�c�2
+ 5�Z�5�T�5�U� = 5�Z�5�T�(5�U� + "5�U� + 5�;�)
2
skąd po podstawieniu otrzymanej wcześniej prędkości v dostajemy:
5�Z� 85�T�"5�U�
+ 5�Z�5�T�5�U� = 5�Z�5�T�5�U� + 5�Z�5�T�"5�U� + 5�Z�5�T�5�;�
2 3
i wyznaczamy
1
5�;� = "5�U�
3
W pamięci obliczamy
5�;� = 1[m]
RZad112
Zgodnie z zasadą zachowania energii obniżenie się środka masy układy oznacza zmniejszenie energii
potencjalnej układu, co musi skutkować wzrostem energii kinetycznej układu mas tak aby całkowita
energia mechaniczna została zachowana. Oczywiście, prędkość v ciała o masie m będzie taka sama jak
prędkość ciała o masie M, choć przeciwnie skierowana.
Oznaczmy przez h1 wysokość położenia środka masy układu w chwili początkowej, a przez h2
wysokość położenia środka masy układu w chwili końcowej i wyznaczmy te położenia. Zgodnie z
definicją środka masy mamy:
5�@� 5�U� - 5�U�1 = 5�Z�5�U�1
5�U�1 5�@� + 5�Z� = 5�@�5�;�
5�@�
5�U�1 = 5�;�
5�@� + 5�Z�
Analogicznie w chwili koocowej:
5�Z� 5�U� - 5�U�2 = 5�@�5�U�2
5�U�2 5�@� + 5�Z� = 5�Z�5�;�
5�Z�
5�U�2 = 5�;�
5�@� + 5�Z�
Obniżenie "5�U� środka masy będzie równe:
5�@� - 5�Z�
"5�U� = 5�U�1 - 5�U�2 = 5�;�
5�@� + 5�Z�
Zmiana energii potencjalnej układu przełoży się na energię kinetyczną ciał:
5�@�5�c�2 5�Z�5�c�2 1
5�@� + 5�Z� 5�T�"5�U� = + = 5�@� + 5�Z� 5�c�2
2 2 2
skąd
5�@� - 5�Z�
5�c�2 = 25�T�"5�U� = 25�T�5�;�
5�@� + 5�Z�
Ostatecznie:
5�@� - 5�Z� 5�Z� 5�Z�
5�c� = 25�T�5�;� 5�Z� =
5�@� + 5�Z� 5�`�2 5�`�
W sytuacji gdy tarcie na krążku spowoduje rozpraszanie energii należy to uwzględnid dodając straty
energii (równe pracy sił tarcia) do bilansu energii:
1
5�@� - 5�Z� 5�T�5�;� = 5�@� + 5�Z� 5�c�2 + 5�J�
2
i wówczas
5�@� - 5�Z� 25�J�
5�c� = 25�T�5�;� -
5�@� + 5�Z� 5�@� + 5�Z�
RZad113
Zgodnie z zasadą zachowania energii energia potencjalna i kinetyczna w chwili startu równa będzie
energii kinetycznej w momencie uderzenia w ziemię:
Oznaczmy przez vk prędkość z jaką ciało uderzyło w ziemię, mamy wówczas:
2 2
5�Z�5�c�0 5�Z�5�c�5�X�
5�Z�5�T�5�;� + =
2 2
stąd
m2
2 2 2 2
5�c�5�X� 5�c�0 5�c�5�X� - 5�c�0
s2
5�;� = - = = m
m
25�T� 25�T� 25�T�
s2
Obliczamy:
352 - 52 1200
5�;� = = = 60 [m]
2 " 10 20
W drugiej części zadania zastosujemy ten sam sposób, trzeba tylko zauważyd, że po przebyciu H/6
drogi ciało będzie na wysokości 5H/6. Oznaczmy prędkośd w tym momencie przez v i układamy bilans
energii:
2
5�Z�5�c�0 55�;� 5�Z�5�c�2
5�Z�5�T�5�;� + = 5�Z�5�T� +
2 6 2
skąd
2
65�T�5�;� - 55�T�5�U� = 35�c�2 - 35�c�0
2
35�c�2 = 5�T�5�;� + 35�c�0
i ostatecznie:
5�T�5�;� m
2
5�c� = + 5�c�0
3 s
Obliczamy:
10 " 60 m
5�c� = + 25 = 225 = 15
3 s
RZad114
Oznaczmy wysokość daną w zadaniu przez h, a maksymalną wysokość przez H. Wektorowy zapis
prędkości oznacza, że składowe wektora prędkości wynoszą:
m
5�c�5�e� = 5�c�05�e� = 7,6
s
m
5�c�5�f� = 6,1
s
Wartośd prędkości na wysokości h wyniesie:
2 2
5�c� = 5�c�5�e� + 5�c�5�f�
Policzmy tę prędkośd, bo będzie potrzebna do wyznaczenia energii kinetycznej
m
5�c� = 7,62 + 6,12 = 95 = 9,75
s
Bilansując energię całkowitą w momencie wyrzutu i na wysokości h, mamy:
2
5�Z�5�c�0 5�Z�5�c�2
= + 5�Z�5�T�5�U�
2 2
Wyznaczymy stąd prędkośd początkową wyrzutu v0:
5�c�0 = 5�c�2 + 25�T�5�U�
Wartośd tej prędkości:
m
5�c�0 = 2
9,75 + 2 " 10 " 9,1 95 + 182 = 277 = 16,6
s
Bilans energii w najwyższym punkcie pozwoli wyznaczyd tę wysokośd:
2
5�Z�5�c�0
= 5�Z�5�T�5�;�
2
m2
2
5�c�0 s2
5�;� = = m
m
25�T�
s2
Obliczamy:
16,62
5�;� = = 13,8 [m]
2 " 10
Prędkośd z jaką kamieo upadnie na ziemię jest oczywiście równa prędkości wyrzutu i wynosi
m
5�c�5�X� = 16,6
s
RZad115
W najwyższym punkcie toru
y
prędkość ciała ma tylko składową
v = v0x
poziomą równą składowej poziomej
prędkości początkowej.
5�c� = 5�c�05�e�
H Oznaczmy przez k stosunek
v0
v0y prędkości dany w zadaniu:
5�c�0 5�c�0
5�X� = =
a� �
5�c� 5�c�05�e�
v0x x
Z drugiej strony:
5�c�05�e�
= cos 5��
5�c�0
Zatem
1
cos 5�� =
5�X�
Podstawiamy i mamy
1
cos 5�� = = 0,2
5
5�� = 78�282
RZad116
y
Oznaczmy prędkość własną kulki
przez w. Prędkość początkowa v0
v0 = v0x
kulki może być zatem sumą lub
H
różnicą prędkości u i w. Te dwa
przypadki najwygodniej będzie
v0x
h
rozważyć w ostatnim etapie
rozwiązania przyjmując:
vy
v
5�c�0 = 5�b� + 5�d�
5�c�0 = 5�b� - 5�d�
A
x
Napiszmy kinematyczne równania ruchu w przypadku rzutu poziomego:
5�e� = 5�c�05�a�
1
5�f� = 5�;� - 5�T�5�a�2
2
Różniczkując po czasie te równania otrzymamy współrzędne prędkości:
5�c�5�e� = 5�c�0
5�f�5�f� = -5�T�5�a�
Znak minus oznacza prędkośd zorientowaną przeciwnie do kierunku (w górę) przyjętego za dodatni.
Szukana prędkośd jest przekątną prostokąta prędkości:
2 2 2
2
5�c� = 5�c�5�e� + 5�c�5�f� = 5�c�0 + 5�T�5�a�
Czas t znajdziemy kładąc y = h w równaniu ruchu:
1 2(5�;� - 5�U�)
5�U� = 5�;� - 5�T�5�a�2 5�a� =
2 5�T�
Prędkośd zatem wyrazi się wzorem:
2
2 5�;� - 5�U�
2 2
5�c� = 5�c�0 + 5�T� = 5�c�0 + 25�T�(5�;� - 5�U�)
5�T�
Obliczamy prędkośd w przypadku rzutu w kierunku ruchu balonu:
2 m
5�c� = (20 + 5)2 + 2 " 10 " 2000 - 2000 = 625 + 13 332 = 13 957 = 118
3 s
i w kierunku przeciwnym:
2 m
5�c� = (20 - 5)2 + 2 " 10 " 2000 - 2000 = 225 + 13332 = 13 557 = 116
3 s
RZad117
Praca w ruchu obrotowym wyraża się wzorem:
5�J� = 5�@�ś5�_�5��
gdzie j� �oznacza drogę kątową a Mśr to średni moment siły w naszym przypadku siły tarcia
hamującej ruch po okręgu. Ponieważ siła hamująca ma stała wartośd, to jej wartośd średnia równa
jest chwilowej, a jej moment wyniesie:
5�@� = 5�@�ś5�_� = 5�9�5�G�5�E� = 5�S�5�Z�5�T�5�E�
gdzie R oznacza promieo okręgu, m masę ciała a f współczynnik tarcia. Podstawiając do wzoru na
pracę otrzymujemy:
5�J� = 5�S�5�Z�5�T�5�E�5��
Praca ta spowodowała zmniejszenie energii kinetycznej poruszającego się ciała:
2 2
5�Z�5�c�2 5�Z�5�c�1 5�Z�
2 2
5�J� = "5�8�5�X� = - = 5�c�2 - 5�c�1
2 2 2
i możemy wyznaczyd pracę siły tarcia:
0,5
5�J� = 62 - 82 = 0,25 -28 = -7 [J]
2
Praca siły tarcia jest ujemna, bo powoduje zmniejszanie się prędkości.
Praca siły dośrodkowej jest równa zero, bo jej moment jest równy zero z racji równoległości
wektorów siły i promienia.
Współczynnik tarcia policzymy ze wzoru na pracę zauważając, że 1 obrót to 2p� radianów:
5�J�
5�S� =
5�Z�5�T�5�E�5��
7
5�S� = = 0,11
0,5 " 10 " 2 " 25��
Liczbę N obrotów do momentu zatrzymania otrzymamy dzieląc przez 2p� drogę kątową
odpowiadająca pracy W siły tarcia do momentu zatrzymania równą początkowej energii kinetycznej
ciała.
2
5�Z�2
5�Z�5�c�1
2
5�� 5�J�2 1 5�c�1
2 5�`�2
5�A� = = = = = 1
5�Z�
25�� 5�S�5�Z�5�T�5�E� 25�� 25��5�S�5�Z�5�T�5�E� 45��5�S�5�T�5�E�
5�`�2 5�Z�
Obliczamy:
82 64
5�A� = = = 2,3
45�� " 0,11 " 10 " 2 8,85��
RZad118
Siła sprężystości jest proporcjonalna do
wydłużenia sprężyny:
160
120
gdzie minus oznacza przeciwny do wydłużenia
kierunek działania siły model
80
jednowymiarowy.
40
Praca z kolei może byd przedstawiona jako
iloczyn średniej siły i wydłużenia:
0
0 0.1 0.2
Korzystając ze wskazówki mamy:
wydłużenie [m]
siła *N+
Porównując oba wzory na pracę i wykorzystując definicję siły sprężystości otrzymujemy:
5�X�5�e�2 5�X�5�e� 5�9�
5�9�ś5�_�5�e� = 5�9�ś5�_� = =
2 2 2
a zatem średnia siła jest równa połowie wartości siły maksymalnej. Wykres przedstawia zależność siły
sprężystości od wydłużenia a praca na tym wykresie jest polem pod krzywą (prostą). Jak widać
dwukrotne zwiększenie wydłużenia powoduje czterokrotne zwiększenie pracy.
Przyjmijmy, że W1 to praca włożona w rozciągnięcie sprężyny o x1, a W2 to praca wymagana aby
rozciągnąć sprężynę o x2. Mamy zatem:
2
5�X�5�e�1 25�J�1
5�J�1 = 5�X� =
2
2 5�e�1
oraz:
2 2
5�X�5�e�2 25�J�1 5�e�2 5�e�2 2
5�J�2 = = = 5�J�1
2
2 5�e�1 2 5�e�1
Podstawiając dane otrzymujemy:
2
0,2
5�J�2 = 4 = 4 " 4 = 16 [J]
0,1
RZad119
Energia kinetyczna kuli zostaje zużyta na
�� wykonanie pracy przeciwko siłom spójności drewna,
�� wykonanie pracy odkształcania materiału kuli,
�� podniesienie temperatury kuli
�� lokalne podniesienie temperatury drewna,
jednym słowem zostanie rozproszona.
Stosując definicję pracy w postaci:
Stosując definicję pracy w postaci:
5�J� = 5�9�ś5�_�5�Q�
możemy zbilansowad energię i pracę:
5�Z�5�c�2
= 5�9�ś5�_�5�Q�
2
gdzie d oznacza głębokośd kuli po zderzeniu i otrzymujemy:
m 2
5�Z�5�c�2 kg s kg " m
5�9�ś5�_� = , = = N
25�Q� m s
Znajomośd siły pozwoli znalezd przyspieszenie:
5�9�ś5�_� = 5�Z�5�N�
bo z drugiej strony:
"5�c� 5�c�
5�N� = =
"5�a� 5�a�
zatem:
5�c�
5�9�ś5�_� = 5�Z�
5�a�
skąd
m
kg
5�Z�5�c� kg " m s2
s
5�a� = , = = s
5�9�ś5�_� N s kg " m
Po podstawieniu otrzymujemy:
25�Z�5�c�5�Q� 25�Q�
5�a� = = ,
5�Z�5�c�2 5�c�
Obliczenia
5�Z�5�c�2 0,005 " 6002 360 000
5�9�ś5�_� = = = = 45 000 J = 45 kJ
25�Q� 2 " 0,02 8
25�Q� 2 " 0,02 0,02 2
5�a� = = = = = 6,7 " 10-5 5�`� = 67[źs]
5�c� 600 300 30 000
RZad120
Oznaczmy drogę masy M przez h będzie to obniżenie wysokości tej masy i jednocześnie droga jaką
pokona masa m. Stosując zasadę zachowania energii dochodzimy do wniosku, że zmniejszenie energii
potencjalnej masy M powoduje zwiększenie energii kinetycznej obu mas, a część zostanie zużyta na
wykonanie pracy przeciwko sile tarcia pomiędzy masą m a podłożem.
1 1
5�@�5�T�5�U� = 5�@�5�c�2 + 5�Z�5�c�2 + 5�J�5�G�
2 2
Praca przeciwko sile tarcia będzie iloczynem siły tarcia (współczynnik tarcia f razy nacisk mg) i drogi h:
5�J�5�G� = 5�S�5�Z�5�T�5�U�
Podstawiamy i mamy:
25�@�5�T�5�;� - 25�S�5�Z�5�T�5�U� = 5�Z� + 5�@� 5�c�2
skąd
5�@� - 5�S�5�Z� m kg m
5�c� = 25�T�5�U� , m =
5�Z� + 5�@� s2 kg s
Aby wykonad obliczenia musimy znad obie masy albo przynajmniej ich iloraz.
RZad121
Ruch jednostajnie przyspieszony odbywa się pod wpływem stałej siły (siła wypadkowa). Siła
wypadkowa to, z jednej strony, różnica pomiędzy siłą napędową Fn pochodzącą od silnika a siłą tarcia
FT:
5�9� = 5�9�5�[� - 5�9�5�G�
a z drugiej iloczyn masy i przyspieszenia:
5�9� = 5�Z�5�N�
Zatem siła napędowa:
5�9�5�[� = 5�9� + 5�9�5�G� = 5�Z�5�N� + 5�S�5�Z�5�T�
Praca tej siły może byd przedstawiona jako iloczyn siły i przesunięcia:
5�J� = 5�9�5�[�5�`�
gdzie s jest drogą w ruchu jednostajnie przyspieszonym:
5�N�5�a�2
5�`� =
2
i przyspieszenie:
"5�c� 5�c�
5�N� = =
"5�a� 5�a�
Ostatecznie siła napędowa wyraża się wzorem:
5�c�
5�9�5�[� = 5�Z� + 5�S�5�Z�5�T�
5�a�
i praca tej siły wyniesie:
5�c� 5�c� 5�N�5�a�2 5�c� 5�c� 5�a�2
5�J� = 5�Z� - 5�S�5�Z�5�T� 5�`� = 5�Z� + 5�S�5�Z�5�T� = 5�Z� + 5�S�5�Z�5�T�
5�a� 5�a� 2 5�a� 5�a� 2
Ostatecznie:
5�Z�5�c�2 5�T�5�a� m2
5�J� = 1 + 5�S� kg = Nm = J
2 5�c� s2
RZad122
Załóżmy, że siła zsuwająca ciało
działa w dół równi. Ponieważ
m
FT prędkość zsuwania jest stała to
Fs mamy do czynienia z równowagą
F
sił działających w kierunku
wektora prędkości:
a�
a�
5�9� + 5�9�5�`� = 5�9�5�G�
Podstawiając znane zależności
otrzymujemy:
Fn
mg
5�9� + 5�Z�5�T� sin 5�� = 5�S�5�Z�5�T� cos 5��
Skąd
5�9� = 5�Z�5�T�5�S� cos 5�� - sin 5��
Aby wyznaczyd moc stałej siły dokonajmy prostych przekształceo:
5�J� 5�9�5�`� 5�`�
5�C� = = = 5�9� = 5�9�5�c�
5�a� 5�a� 5�a�
Zatem:
5�C� = 5�Z�5�T� 5�S� cos 5�� + sin 5�� 5�c�Aby dokonać obliczeń trzeba znać kąt nachylenia równi.
RZad123
FT
m
Fs
a� �
a� �
Fn
x
mg
Zgodnie z zasadą zachowania energii i równoważności pracy i energii początkowa energia potencjalna
sanek zostanie zużyta na wykonanie pracy przeciwko sile tarcia a reszta zamieniona na energię
kinetyczną sanek u podstawy równi. Ta reszta z kolei zostaje rozproszona przez siłę tarcia na
poziomym torze.
Rozważmy najpierw ruch po równi, gdzie mamy:
2
5�Z�5�c�5�X�
5�Z�5�T�5�U� = + 5�J�5�G�
2
przy czym wysokośd równi h wiąże się z długością równi d zależnością:
5�U� = 5�Q� sin 5�� ;
vk oznacza prędkośd klocka u podstawy równi, a praca siły tarcia wynosi:
5�J�5�G� = 5�S�5�9�5�[�5�Q� = 5�S�5�Z�5�T� 5�Q�cos 5��
Podstawiając otrzymujemy:
2
5�Z�5�c�5�X�
5�Z�5�T�5�Q� sin 5�� = + 5�S�5�Z�5�T�5�Q� cos 5��
2
skąd
5�c�5�X� = 25�T�5�Q�(sin 5�� - 5�S� cos 5��)
Prędkośd ta staje się prędkością początkową sanek w ruchu poziomym a energia kinetyczna z nią
związana zostaje zużyta na pracę przeciwko sile tarcia na drodze x, tzn. do momentu zatrzymania.
Bilansujemy pracę i energię:
2
5�Z�5�c�5�X� 2
= 5�J�5�G�
2
Praca na drodze x przeciwko sile tarcia wyniesie:
2
5�J�5�G� = 5�S�5�Z�5�T�5�e� .
Podstawiamy i otrzymujemy:
2
5�c�5�X� = 25�S�5�T�5�e�
skąd:
2
5�c�5�X�
5�e� =
25�S�5�T�
Po podstawieniu znalezionej wcześniej prędkości vk otrzymujemy koocowy rezultat:
sin 5�� - 5�S� cos 5��
5�e� = 5�Q� [m]
5�S�
Obliczenia:
10(sin 30� - 0,2 cos 30�)
5�e� = = 50 0,5 - 0,1 3 = 16,3 m
0,2
RZad124
Miejsce oderwania zsuwającego
się ciała wyznacza warunek
równowagi sił: odśrodkowej Fod i
Fod
składowej normalnej Fn siły
h
ciężkości mg:
5�9�5�\�5�Q� = 5�9�5�[�
j� �
a� � Aatwo zauważyd, że:
Fs
Fn
R 5�9�5�[� = 5�Z�5�T� cos 5��
i pamiętamy, że:
5�Z�5�c�2
v
5�9�5�\�5�Q� =
mg
5�E�
Podstawiamy i mamy:
5�Z�5�c�2
= 5�Z�5�T� cos 5��
5�E�
skąd
5�c�2 = 5�T�5�E� cos 5��
Zdając sobie sprawę z tego, że ze wzrostem kąta a� rośnie prędkośd zsuwania v szukamy zależności
między tymi wielkościami. Skorzystamy z zasady zachowania energii porównując początkową energię
potencjalną ciała w najwyższym punkcie kuli z energią mechaniczną w momencie oderwania:
5�Z�5�c�2
5�Z�5�T�25�E� = 5�Z�5�T� 25�E� - 5�U� +
2
Zauważmy też, że:
5�E� - 5�U�
cos 5�� =
5�E�
Po prostych przekształceniach otrzymujemy:
5�U� = 5�E� 1 - cos 5��
a po wstawieniu do bilansu energii:
5�c�2 = 25�T�5�E� - 25�T�5�E� cos 5��
Porównując ten rezultat z wcześniejszym równaniem dla v2 dostajemy:
25�T�5�E� - 25�T�5�E� cos 5�� = 5�T�5�E� cos 5��
skąd
2
cos 5�� =
3
5�� E" 48�
Odp. Zsuwające się po powierzchni kuli ciało oderwie się gdy jego promień wodzący zakreśli kąt 48�.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
***

Wyszukiwarka