Egzamin z Równań Różniczkowych, 18 VI 2009 1. Zadanie wstępne 1.1 Które z niżej wymienionych funkcji są rozwiązaniami szczególnymi równania ró- zniczkowego: y + y = 0 1) y = cos x 2) y = ex 3) y = x 4) y = e-x 5) y = sin x 1.2 Jaką funkcją na przedziale [-Ą.Ą] jest suma szeregu Fouriera funkcji określonej wzorem f(x) = x dla x " [-Ą, Ą] ? 1.3 Rozwiązać równanie y x2 = -y
"
3n + 1 n 1.4 Zbadać zbieżność szeregu 4n + 1 n=1 1.5 Zapisać w postaci kierunkowej równanie stycznej do krzywej o wektorze wodzÄ…cym = [3t, 3t2, 2t3] dla t = 1 r(t) 2. RozwiÄ…zać równanie: y - 6y + 13y = xe-x 3. RozwiÄ…zać zagadnienie Cauchy ego Å„Å‚ x = y ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ òÅ‚ y = -x - 2y ôÅ‚ x(0) = 1 ôÅ‚ ôÅ‚ ół y(0) = 1 4. Znalezć rodzinÄ™ krzywych ortogonalnych do rodziny linii y = ln(x + C) , C " R . SporzÄ…dzić rysunki obu rodzin krzywych. 5. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcjÄ™ f(x) = cosh x i okreÅ›lić przedziaÅ‚ zbieżnoÅ›ci otrzymanego szeregu. ex + e-x Wskazówka: wykorzystać wzór cosh x = oraz rozwiniÄ™cia znanych funkcji. 2 6. Dla jakiej wartoÅ›ci parametru t promieÅ„ krzywizny krzywej Å„Å‚ ôÅ‚ x = et cos t òÅ‚ K : y = et sin t , gdzie t 0 ôÅ‚ ół z = et osiÄ…ga wartość minimalnÄ… ¨ | × Y r| (Krzywizna º = ) | Y |3 1