B/393: M.Heller - Początek jest wszędzie
Wstecz / Spis treści / Dalej
ROZDZIAŁ 6
NOWA GEOMETRIA
Małe wielkiego początki
Wielkie przemiany często zaczynają się od małych wydarzeń. Coś niepozornego pociąga za sobą następstwa, których ostateczny rezultat trudno przewidzieć. Tak było i w tym wypadku. Wiele działań w matematyce ma własność, zwaną przemiennością. Jest to własność, z którą tak często się stykamy, od pierwszego kursu elementarnych rachunków, że nawet nie zwracamy na nią uwagi. Każde dziecko wie, że 3 razy 7 to to samo, co 7 razy 3. Działanie mnożenia jest przemienne
zmiana kolejności czynników nie wpływa na wynik działania. W naszych dotychczasowych rozważaniach ważną role odgrywały rodziny funkcji. Warto wiec zadać sobie pytanie, Jak mnoży się funkcje. Czy jest to też działanie przemienne? Matematycy mówią, że funkcje mnoży się "po punktach", to znaczy mnoży się ich wartości w każdym punkcie. Chcąc pomnożyć dwie funkcje f i g, określone na pewnej przestrzeni M, wyliczamy wartość funkcji f w punkcie x przestrzeni M i wartość funkcji g w tym samym punkcie x. W ten sposób obliczone wartości funkcji f i g są liczbami. Dwie liczby mnożymy przez siebie w zwykły sposób. Czynność tę powtarzamy dla wszystkich punktów przestrzeni M. Tak zdefiniowane mnożenie funkcji jest oczywiście działaniem przemiennym (ponieważ sprowadza się ono do mnożenia liczb). Okazuje się, że ta "niegroźnie" na pierwszy rzut oka wyglądająca własność ma daleko idące konsekwencje.
Pamiętamy z poprzednich rozdziałów, że rozmaitości (czy też przestrzenie różniczkowe lub strukturalne) definiujemy za pomocą rodzin funkcji, zwanych algebrami funkcyjnymi. Ponieważ mnożenie funkcji jest przemienne, rodziny te nazywamy algebrami przemiennymi. Przemienności zawdzięczamy różne, dobrze znane właściwości przestrzeni, na przykład istnienie punktów i ich otoczeń
"funkcje czują punkty". Właściwości te są tak dobrze znane, że trudno sobie wyobrazić przestrzeń bez punktów. Przestrzeń wręcz definiujemy jako zbiór punktów. Pamiętajmy jednak, że definicja zależy od nas; zawsze możemy ją zmienić. Bardzo często zmianę wymusza postęp matematyki. Matematyka rozwija się poprzez uogólnienia i gdy zachodzi potrzeba, pojęcia trzeba uogólniać. Należy to jednak robić umiejętnie, tak aby nie naruszyć logiki matematycznego rozwoju. Okazuje się, że zastąpienie przemiennych algebr funkcyjnych nieprzemiennymi otwiera możliwość wielu uogólnień, niektóre z nich są bardzo twórcze. Można już dziś mówić o nowym dziale matematyki
geometrii nieprzemiennej. Bada ona przestrzenie nieprzemienne. Ale przejście od algebr przemiennych do nieprzemiennych nie jest banalne. Nowe algebry trzeba dobrać w ten sposób, żeby ich elementy (odpowiedniki funkcji) nie mnożyły się po punktach. Wówczas bowiem działanie mnożenia byłoby przemienne i nie otrzymalibyśmy niczego nowego. A zatem nie mogą być to algebry funkcyjne, gdyż one zawsze mnożą się po punktach. Z tego prostego rozumowania wynika następny wniosek: algebry nieprzemienne w zasadzie "nie czują" punktów, a w każdym razie "nie czują" ich w zwykły sposób, tak jak robią to funkcje. Istotnie, przestrzenie nieprzemienne na ogół nie składają się z punktów. Jak widzimy, przestrzenie te mają zaskakujące własności i dzięki temu są niezwykle interesujące z matematycznego punktu widzenia. Stwarzają także możliwości daleko idących zastosowań w fizyce, co zapowiadają już pewne osiągnięcia uzyskane za ich pomocą.
Nieprzemienny świat kwantów
Pierwsze sygnały o tym. że nie przemienność ma szansę odegrać ważną rolę w nauce, zawdzięczamy mechanice kwantowej. Dziś już dobrze wiemy, że świat kwantów odznacza się zupełnie Innymi własnościami niż nasz świat makroskopowy, ale dla fizyków pierwszych dekad XX stulecia, a tym bardziej dla szerszej publiczności, było to ogromnym zaskoczeniem. Owe dziwne własności świata kwantów są oczywiście zakodowane w matematycznej strukturze mechaniki kwantowej. Rzecz jednak w tym, że doświadczenia z niesłychaną precyzją potwierdzają słuszność tej teorii.
Już sami twórcy mechaniki kwantowej mieli ogromne kłopoty ze zrozumieniem, co się "tam"
w świecie kwantów
dzieje. Żeby sobie z rym jakoś poradzić, przyjęli następującą filozofię: Przestańmy w ogóle myśleć o "tam". Nasze aparaty pomiarowe "tam" nie sięgają, a fizyka jest nauką o tym, co się daje mierzyć, a więc zostawmy "tam" w spokoju. Możemy tylko mierzyć pewne wielkości w świecie makroskopowym, na przykład widma emitowane przez atomy lub ślady cząstek w komorze Wilsona, będące następstwem procesów, które zachodzą w mikroskopowym świecie kwantów. Opiszmy więc te mierzalne wielkości matematycznie i zbudujmy mechanikę kwantową, odwołując się wyłącznie do lego opisu. Podejście takie propagował Niels Bohr, ale pierwszy urzeczywistnił je Werner Heisenberg, a potem znacznie rozwinął Paul Dirac. Obiekty matematyczne, za pomocą których opisuje się wielkości mierzalne (obserwowalne), nazwano obserwablami (obserwablami często nazywa się także same wielkości mierzalne). Okazało się, że obserwable tworzą algebrę nieprzemienną i że dziwne własności świata kwantów są w dużej mierze tego następstwem. Dziś wiemy, że matematyczna struktura mechaniki kwantowej to nic innego jak nieprzemienną algebra obserwabli.
Rozpatrzmy przykład
znane i kiedyś tak mocno dyskutowane relacje nieoznaczoności Heisenberga. Mamy wyznaczyć położenie i pęd cząstki elementarnej, powiedzmy, elektronu. Mierzymy więc jego położenie, na przykład zaczernienie na kliszy, ale sam akt pomiaru (zderzenie z kliszą) zaburza położenie elektronu, a więc zmienia jego pęd. Gdy potem mierzymy pęd elektronu, mierzymy wynik tego zaburzenia.
Wykonajmy teraz to samo doświadczenie, zmieniając kolejność pomiarów. Mierząc pęd, zaburzamy położenie, wyznaczając potem położenie, mierzymy wielkość tego zaburzenia.
Nic więc dziwnego, że zmierzyć najpierw położenie, a potem pęd to nie to samo, co zmierzyć najpierw pęd, a następnie położenie
obie sekwencje pomiarów dają inne wyniki. Relacja nieoznaczoności Heisenberga, zgodnie z którą nie można równocześnie i z dowolną dokładnością wyznaczyć położenia i pędu elektronu, jest prostym następstwem nieprzemienności mnożenia obserwabli. Nieprzemienność leży więc u podstaw "dziwności" mechaniki kwantowej. Co więcej, okazuje się, że charakterystyczna dla całej mechaniki kwantowej stała Plancka h = 6,22x10-27 erg s jest niczym innym, jak tylko miarą tej nieprzemienności. Ponieważ wartość stałej Plancka jest bardzo mała (w porównaniu ze skalą naszego makroskopowego świata), w fizyce klasycznej nieprzemienności nie widać (jej efekty są praktycznie niemierzalne), ale w świecie kwantów nieprzemienność stanowi cechę dominującą.
O tym wszystkim wiedziano od dawna, od klasycznych prac Heisenberga i Diraca. Przez długi czas nikomu jednak nie przyszło do głowy, by na nieprzemienność spojrzeć z geometrycznego punktu widzenia. Uczynił to dopiero francuski matematyk, Alain Connes. Od jego prac wzięła początek bujnie się dziś rozwijająca geometria nieprzemienną.
Powstanie geometrii nieprzemiennej
Wiemy już, że obserwable mechaniki kwantowej tworzą algebrę, czyli spełniają wszystkie wymagania struktury matematycznej, zwanej algebrą. Ale przestrzeń w sensie geometrycznym musi mieć oprócz własności algebraicznych także różniczkowe, to znaczy musi się na niej dać uprawiać rachunek różniczkowy i całkowy; powinny też być na niej określone przynajmniej najważniejsze obiekty i operacje, z jakimi spotykamy się w zwykłej geometrii różniczkowej, a wiec pola wektorowe, przeniesienie równolegle, krzywizna itp. Pamiętamy z poprzedniego rozdziału, że wszystkie te obiekty i operacje można zdefiniować za pomocą algebr funkcji na rozmaitościach. Pomysł Connesa polegał na tym, by te same konstrukcje wykonać, zastępując algebry funkcji w zasadzie dowolnymi algebrami nieprzemiennymi. Okazało się to możliwe, choć w realizację tego programu należało włożyć wiele wysiłku i pomysłowości.
Jedna z podstawowych trudności wiązała się z uogólnieniem geometrii przemiennej do nieprzemiennej. Proces uogólnienia zaczyna się w sposób dosyć naturalny: zastępujemy funkcje elementami algebry nieprzemiennej i staramy się postępować według reguł, obowiązujących w zwykłej geometrii różniczkowej. Ale co jakiś czas na drodze tej natrafiamy na rozwidlenia
można pójść w tym lub w innym kierunku i wcale nie wiadomo, czy któryś z nich doprowadzi do celu, skutecznie ukrywającego się za horyzontem. Wielka matematyczna erudycja Connesa, jego odwaga i intuicja pozwoliły mu widzieć dalej niż inni. Do przezwyciężenia piętrzących się trudności trzeba było zaangażować wiele różnych działów matematyki: topologię, teorię miary, geometrię algebraiczną, teorię kohomologii de Rahma, tzw. K-teorię i wiele innych. Już same te nazwy laika mogą przyprawić o zawrót głowy, ale kryją się za nimi piękne koncepcje matematyczne, składające się na imponujący gmach wiedzy. Z historii matematyki dobrze wiadomo, że gdy do udowodnienia twierdzenia lub do rozwiązania problemu trzeba wykorzystać różne, J to bardzo odległe od siebie działy matematyki, zwykle oznacza to, iż dane twierdzenie lub problem mają kluczowe znaczenie.
Wynikiem prac Alaina Connesa jest obszerna, licząca ponad 600 stron monografia zatytułowana Noncommutative Geometry (Geometria nieprzemienna). Książka ta ma opinię lektury bardzo wymagającej, ale do dziś
mimo że istnieje obecnie wiele innych publikacji na ten temat
stanowi ona dzieło niezastąpione, istną kopalnię informacji na temat geometrii nieprzemiennej i różnych działów matematyki, niekiedy mających dość luźny związek z tytułowym tematem książki.
Trzeba jednak podkreślić, że geometria nieprzemienna nie jest dziełem jednego człowieka. Wprawdzie Connes zasługuje na tytuł głównego fundatora tego nowego działu matematyki, ale w jego powstanie i rozwój duży wkład ma również wielu innych uczonych.
Bardzo pożyteczne patologie
Trzeba teraz postawić pytanie zasadnicze: do czego mają służyć geometrie nieprzemienne? Czy są w ogóle potrzebne? Matematyka jest nauką o pięknych strukturach, ale czy struktura, która służy tylko sobie samej, może być piękna? Takie sceptyczne uwagi słyszy się czasami ze strony tradycyjnie nastawionych matematyków, choć trzeba przyznać, że padają one coraz rzadziej. Rzecz w tym, że matematycy znają takie "patologiczne struktury", z którymi już nic się nie da zrobić. I właśnie dlatego, że
już nic się nie da z nimi zrobić", że sprawdzone metody matematyczne się ich nie imają, struktury te bywają wyrzucane poza obręb zainteresowań matematyków. Jednakże matematyka (w przeciwieństwie do niektórych matematyków) jest ekspansywna: prędzej czy później udoskonali swoje metody, zastosuje je do patologicznych struktur, złamie ich opór, oswoi je i uczyni zwykłymi już przedmiotami matematycznego badania. To właśnie mamy na myśli, mówiąc, że matematyka rozwija się uogólnieniami.
W matematyce od dawna znano patologiczne przestrzenie, które nie poddawały się żadnym metodom stosowanym w geometrii. Typowym przykładem są przestrzenie z foliacją. Wiele z nich redukuje się do punktu, gdy tylko próbuje sieje zbadać tradycyjnymi metodami. Z tym że przestrzeni z foliacją nie można po prostu wykluczyć z obszaru zainteresowań matematyki, gdyż odgrywają w niej zbyt ważną rolę i mają wiele zastosowań. Nie będę wyjaśniać Czytelnikowi, co to są przestrzenie z foliacją
zbytnio oddaliłoby to nas od zasadniczego wątku. Posłużę się natomiast pewnym szczególnym przypadkiem, który odznacza się poglądowością i dobrze ilustruje skuteczność geometrii nieprzemiennej.
Connes w swojej monografii opowiada, że miał kiedyś szczęście być na odczycie, podczas którego inny wielki matematyk, Roger Penrose, mówił o problemie znanym dziś pod nazwą ka-felkowania Penrose'a. Problem wygląda stosunkowo prosto. Nieskończoną płaszczyznę (euklidesową) mamy pokryć dwoma rodzajami kafelków: jedne są kształtu latawców o pięciu wierzchołkach, inne
strzałek, również o pięciu wierzchołkach. Wierzchołki kafelków zostały pomalowane i przy pokrywaniu płaszczyzny kolory wierzchołków sąsiednich kafelków muszą sobie odpowiadać. Jakie własności ma to pokrycie?
Zaskakująco bogate. Okazuje się przede wszystkim, że płaszczyznę można pokryć tymi dwoma rodzajami kafelków na wiele różnych (nierównoważnych sobie) sposobów. Rozpatrzmy jedno takie pokrycie płaszczyzny i wybierzmy w nim dowolnie duży obszar. W obszarze tym kafelki tworzą pewien wzór. Można udowodnić, że ten sam wzór powtarza się nieskończenie wiele razy we wszystkich innych pokryciach płaszczyzny. I to
podkreślam
niezależnie od tego, jak wielki wzięlibyśmy obszar wyjściowego pokrycia.
A teraz rozważmy zbiór wszystkich możliwych (nierównoważnych sobie) pokryć płaszczyzny tymi dwoma rodzajami kafelków. Zbiór ten tworzy pewną przestrzeń, której punktami są poszczególne pokrycia. Mamy więc przestrzeń złożoną z nieskończenie wielu płaszczyzn euklidesowych, takich, że każda z nich jest inaczej pokryta płytkami. Płaszczyzny te uważamy za punkty naszej przestrzeni. Jest to przykład przestrzeni z foliacją; płaszczyzny w różny sposób pokryte kafelkami tworzą folie (liście) tej przestrzeni.
Jak odróżnić od siebie punkty tej przestrzeni? Oczywiście, przypatrując się wzorom, jakie tworzą kafelki. Możemy jednak rozpatrywać tylko skończone (choć bardzo wielkie) obszary poszczególnych płaszczyzn. Ale wzór ułożony z kafelków na każdym skończonym obszarze płaszczyzny powtarza się nieskończoną liczbę razy we wszystkich innych pokryciach płaszczyzny. Punkty naszej przestrzeni są więc od siebie nieodróżnialne.
Connes, słuchając wykładu Penrose'a, natychmiast zrozumiał, że ma do czynienia z przykładem przestrzeni nieprzemiennej. Metody wynalezione przez niego pozwalają tę przestrzeń poddać analizie geometrycznej. Okazuje się wówczas, że przestrzeń kafelkowań Penrose'a nie składa się z punktów, ale można sensownie mówić ojej stanach.
Zwróćmy uwagę, że stan nie jest pojęciem lokalnym
cała przestrzeń może być w tym lub innym stanie. Stan to pojecie operatywne, dobrze znane na przykład z fizyki. Jakiś układ fizyczny może znajdować się w różnych stanach. Badając je, potrafimy odtworzyć dynamikę układu. Wiele z tych metod da się zastosować w odniesieniu do przestrzeni nieprzemiennych, które w ten sposób stają się wdzięcznym obiektem badania.
Geometria nieprzemienna w działaniu
W matematyce muszą współpracować ze sobą dwa nurty. Jeden z nich sprowadza się do konstruowania (lub odkrywania!) eleganckich struktur. Służą one do przeprowadzania dowodów ciekawych twierdzeń, przy czym twierdzenie matematycy uważają za interesujące, jeżeli ustala ono związki między odległymi od siebie, pozornie nie mającymi ze sobą nic wspólnego matematycznymi strukturami. Ale to jeszcze nie wszystko. Struktury muszą być tak zdefiniowane, żeby dało sieje przełożyć na "wzory", pozwalające wykonywać konkretne obliczenia. Wprawdzie "rachunków" studenci matematyki uczą się na ćwiczeniach od asystentów, podczas gdy analiza struktur zwykle stanowi przedmiot wykładów profesorskich, ale bez obliczeń nie byłoby matematyki. I to jest drugi, bardzo istotny nurt. On decyduje o skuteczności matematyki; dzięki niemu nie jest ona tylko abstrakcyjną sztuką dedukcji, lecz może szczycić się zastosowaniami do różnych nauk i niemal wszystkich dziedzin życia.
Dotychczas zajmowaliśmy się przekładem geometrii na struktury algebry nieprzemiennej. Rzecz jednak w tym, że algebrami nieprzemiennymi na ogól trudno się posługiwać w praktyce, podczas gdy jedną z głównych zalet standardowej geometrii jest właśnie Jej ogromna podatność na wyrażanie we wzorach nawet bardzo abstrakcyjnych operacji. Jeżeli wykazalibyśmy tylko, że pewne uogólnione przestrzenie mają swoje odpowiedniki w nieprzemiennych algebrach, ale nie potrafilibyśmy przełożyć tego na rachunki, cały pomysł redukowałby się do ciekawostki, pozbawionej poważniejszych konsekwencji. I tu właśnie należy docenić pomysłowość Connesa.
Jak już powiedzieliśmy, algebry są na ogól strukturami abstrakcyjnymi, ale od dawna znany jest w matematyce zabieg, pozwalający przetłumaczyć abstrakcyjne związki miedzy elementami algebry na konkretne relacje między konkretnymi obiektami w jakiejś dobrze znanej przestrzeni, na przykład na dodawanie lub mnożenie wektorów w przestrzeni wektorowej; ale w ten sposób, że przy tym przekładzie Istotne cechy algebry zostają zachowane. Mówimy wtedy, że została znaleziona reprezentacja abstrakcyjnej algebry w danej przestrzeni wektorowej. Wówczas można już posługiwać się przestrzenią wektorową zamiast abstrakcyjną algebrą i za pomocą tej pierwszej wykonywać rozmaite rachunki, których reguły są dobrze znane. Krótko mówiąc, zabieg reprezentacji pozwala trudniejsze struktury zastąpić łatwiejszymi.
Dla matematyków i fizyków teoretyków nie było niespodzianką, że istnieje związek między algebrami nieprzemiennymi a rodzinami operatorów działającymi na przestrzeni Hilberta. Wiemy już, że to właśnie obserwable w mechanice kwantowej {czyli operatory działające na przestrzeni Hilberta} dostarczyły jednego z pierwszych i niewątpliwie najważniejszego przykładu algebry nieprzemiennej. Zasługą Connesa było nie to, że znalazł reprezentację algebr nieprzemiennych w przestrzeni Hilberta [zwróćmy uwagę, że matematycy mówią o reprezentacji algebry w przestrzeni Hilberta, choć
ściśle rzecz biorąc
własności reprezentowanej algebry przenoszą się nie na wektory przestrzeni Hilberta, lecz na operatory, działające na tej przestrzeni], lecz to, że znalazł reprezentację właściwą. W jakim sensie właściwą? Pamiętamy, że Connesowi udało się zdefiniować operacje różniczkowania i całkowania w języku algebr nieprzemiennych. Reprezentacja Connesa
bo tak będziemy ją nazywać
jest reprezentacją właściwą, ponieważ nie tylko przenosi ona własności algebraiczne z algebry nieprzemiennej na operatory działające na przestrzeni Hilberta, lecz także własności różniczkowe i całkowe. Dzięki reprezentacji Connesa wszystkie rachunki związane z geometrią nieprzemienną można wykonywać w dobrze pod tym względem znanych przestrzeniach Hilberta.
Geometria nieprzemienna zyskała wiec mocne podstawy obliczeniowe. Nie znaczy to wcale, że rachunki dotyczące geometrii nieprzemiennej są łatwe. Wręcz przeciwnie
na ogół okazują się one trudne i pracochłonne. Ale są wykonalne i
co najważniejsze
prowadzą do konkretnych, poznawczo ciekawych wyników. Dzięki temu geometria nieprzemienna stała się pełnoprawnym, dynamicznie rozwijającym się działem nowoczesnej matematyki, mającym coraz więcej zastosowań zarówno w innych działach matematyki, jak i w fizyce teoretycznej.
Geometrii nieprzemiennej oczywiście nie stosuje się tam, gdzie dobrze działa geometria tradycyjna. Istnieje jednak wiele sytuacji uznawanych dotychczas za patologiczne (przykłady spotkaliśmy we wcześniejszych partiach tego rozdziału), które przestają być takimi z punktu widzenia nowych metod. Dzięki geometrii nieprzemiennej matematyka dokonała nowych podbojów. Dobrze oddaje to bardziej ogólną prawidłowość: nie istnieją z góry ustalone granice matematyki, poza które nie można wyjść; wydaje się, że wszystko prędzej czy później podda się matematycznym badaniom, byle tylko odpowiednio rozwinąć metody matematyczne.
Po nieco dokładniejszym przyjrzeniu się geometrii nieprzemiennej rodzą się pytania. Czy matematyka jest już gotowa, by skutecznie zmierzyć się z zagadnieniem osobliwości w kosmologii? Czy czasoprzestrzenie z osobliwościami, dotychczas zachowujące się w sposób patologiczny, poddadzą się metodom geometrii nieprzemiennej? Czy nie są one po prostu przestrzeniami nieprzemiennymi? Z pytań tych ukształtował się nowy program badawczy, o którym opowiem w następnych rozdziałach.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Tech tech chem11[31] Z5 06 usrodki ochrony 06[1]06 (184)0606 (35)Plakat WEGLINIEC Odjazdy wazny od 14 04 27 do 14 06 14Mechanika Techniczna I Opracowanie 06więcej podobnych podstron