IDZ DO
IDZ DO
PRZYKŁADOWY ROZDZIAŁ
PRZYKŁADOWY ROZDZIAŁ
Statystyka matematyczna
SPIS TRE CI
SPIS TRE CI
w Excelu dla szkół.
KATALOG KSIĄŻEK
KATALOG KSIĄŻEK
Ćwiczenia praktyczne
KATALOG ONLINE
KATALOG ONLINE
Autor: Andrzej Obecny
ISBN: 83-7197-711-5
ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG
ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG
Format: B5, stron: około 98
TWÓJ KOSZYK
TWÓJ KOSZYK
Zaawansowane możliwo ci arkusza kalkulacyjnego Microsoft Excel czynią zeń
DODAJ DO KOSZYKA
DODAJ DO KOSZYKA
doskonałe narzędzie do przeprowadzania analiz statystycznych. MS Excel może w wielu
przypadkach zastąpić drogie i skomplikowane w obsłudze pakiety statystyczne.
CENNIK I INFORMACJE Książka ta jest drugą publikacją z tej serii po więconą zastosowaniom Excela
CENNIK I INFORMACJE
w statystyce. W pierwszej książce pt.: Statystyka opisowa w Excelu dla szkół.
Ćwiczenia praktyczne przedstawione zostały możliwo ci tego programu w zakresie
ZAMÓW INFORMACJE
ZAMÓW INFORMACJE
O NOWO CIACH
O NOWO CIACH
statystycznej analizy struktury. Tym razem zaprezentowane zostało zastosowanie
Excela w innych działach statystyki, a mianowicie w statystyce matematycznej oraz
ZAMÓW CENNIK w analizie współzależno ci i dynamiki zjawisk.
ZAMÓW CENNIK
Statystyka matematyczna w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne to cenna pomoc
dla studentów rozmaitych kierunków, którzy stają przed konieczno cią wykonania
CZYTELNIA
CZYTELNIA
analizy danych, a także dla wszystkich osób, korzystających w swojej pracy z narzędzi
statystyki matematycznej.
FRAGMENTY KSIĄŻEK ONLINE
FRAGMENTY KSIĄŻEK ONLINE
Książka opisuje:
" Rozkłady empiryczne i teoretyczne
" Estymację parametryczną
" Metody weryfikacji hipotez (testy istotno ci i zgodno ci)
" Korelację i regresję
" Badanie trendów i wahań okresowych
Wydawnictwo Helion
ul. Chopina 6
44-100 Gliwice
tel. (32)230-98-63
e-mail: helion@helion.pl
Spis treści
Wstęp............................................................................................................................................................7
Rozdz0ał 1. Rozkłady emp0ryczne 0 teoretyczne...............................................................................................9
Wprowadzenie.................................................................................................................9
Histogramy i diagramy rozkładów ................................................................................... 10
Rozkład normalny .......................................................................................................... 15
Rozkład dwumianowy .................................................................................................... 17
Rozkład Poissona........................................................................................................... 20
Rozdz0ał 2. Estymacja parametryczna .............................................................................................................. 25
Wprowadzenie............................................................................................................... 25
Przedział ufności dla średniej, błąd względny szacunku..................................................... 26
Przedział ufności dla wskaznika struktury ........................................................................ 33
Przedział ufności dla odchylenia standardowego, długość przedziału ufności....................... 34
Dopuszczalny błąd szacunku, liczebność próby................................................................. 38
Rozdz0ał 3. Weryf0kacja h0potez........................................................................................................................... 43
Wprowadzenie............................................................................................................... 43
Testy istotności dla średniej............................................................................................. 43
Testy istotności dla dwóch średnich ................................................................................. 46
Test istotności dla wskaznika struktury............................................................................. 51
Testy istotności dla wariancji i dla dwóch wariancji .......................................................... 52
Test zgodności 2 Pearsona dla rozkładów ....................................................................... 55
Rozdz0ał 4. Kore0acja 0 regresja .......................................................................................................................... 63
Wprowadzenie............................................................................................................... 63
Współczynnik korelacji liniowej Pearsona........................................................................ 63
Tablica korelacyjna ........................................................................................................ 65
Rozkład warunkowy i brzegowy...................................................................................... 70
Korelacyjny diagram rozrzutu ......................................................................................... 71
Funkcja regresji.............................................................................................................. 73
Błąd standardowy parametrów strukturalnych, odchylenie standardowe reszt
i współczynniki determinacji ........................................................................................ 74
6 Statystyka matematyczna w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne
Rozdz0ał 5. Trend 0 wahan0a okresowe..............................................................................................................79
Wprowadzenie............................................................................................................... 79
Metoda mechaniczna wyodrębniania tendencji rozwoju..................................................... 79
Metoda analityczna wyodrębniania tendencji rozwoju ....................................................... 81
Błąd standardowy parametrów strukturalnych, odchylenie standardowe
składnika resztowego i współczynnik zbieżności............................................................ 83
Wyodrębnianie wahań sezonowych ................................................................................. 85
Rozdz0ał 6. Przykłady rozw0ązań zadań za pomocą Exce0a .......................................................................91
Wprowadzenie............................................................................................................... 91
Rozkład dwumianowy .................................................................................................... 91
Rozkład Poissona........................................................................................................... 92
Przedział ufności dla średniej .......................................................................................... 93
Przedział ufności dla wskaznika struktury......................................................................... 93
Liczebność próby........................................................................................................... 94
Weryfikacja hipotez frakcja elementów wyróżnionych.................................................. 94
Weryfikacja hipotez równość dwóch wariancji............................................................. 95
Weryfikacja hipotez test zgodności 2 Pearsona ........................................................... 95
Korelacja i regresja liniowa............................................................................................. 96
Rozdział 1.
Rozkłady empiryczne
i teoretyczne
Wprowadzenie
Pogrupowane w szereg statystyczny wyniki obserwacji przeprowadzone na populacji em-
pirycznej (w wyniku badania pełnego lub częściowego) nazywamy rozkładem empirycz-
nym. Mówi nam on, ile razy dana wartość badanej cechy występuje w zbiorze obserwacji
(dla cechy skokowej) lub ile jednostek należy do określonego przedziału wartości cechy
(dla cechy ciągłej).
Dysponując postacią rozkładu empirycznego, możemy dokonać opisu statystycznego
zbiorowości lub prowadzić wnioskowanie co do charakteru całej zbiorowości.
W parze z rozkładami empirycznymi idą rozkłady teoretyczne, czyli funkcje (modele)
matematyczne, służące przeprowadzeniu analizy statystycznej danego zjawiska. Wśród
nich dominującą pozycję zajmują: rozkład normalny, rozkład dwumianowy oraz roz-
kład Poissona.
W rozdziale tym zajmiemy się tworzeniem rozkładów empirycznych w oparciu o wyniki
przeprowadzonych obserwacji oraz tworzyć będziemy zbiorowości o strukturach określo-
nych przez modele teoretyczne. Rozkłady te przedstawimy w formie graficznej w postaci
histogramów lub diagramów. Ponadto ćwiczenia dotyczące rozkładów teoretycznych spró-
bujemy powiązać z pewnymi podstawowymi, ważnymi twierdzeniami.
Za pomocą Excela jak zobaczymy wykonanie wszystkich tych zadań nie będzie
skomplikowane.
10 Statystyka matematyczna w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne
Histogramy i diagramy rozkładów
Histogram będący formą prezentacji szeregu statystycznego (ich budowę i rodzaje
omówiono wyczerpująco w Statystyce opisowej) to wykres zbudowany z przylegają-
cych do siebie prostokątów, w którym podstawa każdego prostokąta oznacza wartość
badanej zmiennej, a jego wysokość liczebność lub częstość względną. Powierzchnie
prostokątów są proporcjonalne do liczebności klas.
Z technicznego punktu widzenia (wykonania histogramu w Excelu) nie ma znaczenia,
czy badana cecha ma charakter ciągły czy skokowy. Pokażemy to w kilku pierwszych
ćwiczeniach.
Ćwiczenie 1.1.
W jednej z wyższych uczelni ekonomicznych na Śląsku przeprowadzono ankietę, w któ-
rej zapytano grupę 192 pracowników naukowych o to, w ilu uczelniach lub szkołach
(poza macierzystą) prowadzą jakiekolwiek zajęcia dydaktyczne (cecha yi) oraz ile osób
mają na utrzymaniu (cecha xi). Wykonaj histogram rozkładu zmiennej X oraz Y.
Zadanie to można rozwiązać podobnie jak to zrobiliśmy to w Statystyce opisowej, tj. za-
stosować funkcję statystyczną LICZ.JEŻELI() lub CZSTOŚĆ() i zbudować szereg roz-
dzielczy punktowy, po czym na jego podstawie wykonać wykres kolumnowy. Tym razem
wykorzystamy specjalnie narzędzie przygotowane do tego w Excelu. Jest nim Histogram.
Nim przejdziemy do właściwego wykonania tego ćwiczenia, wyjaśnijmy, czym jest Histo-
gram i jak oraz kiedy z niego można skorzystać. Otóż Histogram w Excelu to jedno
z narzędzi analizy danych statystycznych programu o nazwie Analysis Toolpak. Aby możli-
we było użycie Histogramu, program Analysis Toolpak (jeden z tzw. dodatków Excela) mu-
si być wcześniej zainstalowany i załadowany. W tym celu należy wybrać z paska menu
polecenie Narzędzia/Dodatki. W oknie, które się wtedy otworzy, należy zaznaczyć wybór
programu Analysis Toolpak i zaakceptować ten wybór przyciskiem OK (rysunek 1.1).
Rysunek 1.1.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 1.1
Rozdział 1. Rozkłady empiryczne i teoretyczne 11
Jeżeli program był wcześniej zainstalowany, to po tej czynności zostanie załadowany
do pamięci komputera, czyli stanie się dostępny. Jeżeli jednak po naciśnięciu przycisku
OK pojawi się okno z komunikatem takim jak na rysunku 1.2, to należy wybrać odpo-
wiedz TAK i zainstalować dodatek Analysis Toolpak. Instalacja wymagać będzie jednak
dostępu do niezbędnych plików znajdujących się na instalacyjnej płycie CD!
Rysunek 1.2.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 1.1
Dysponując załadowanym dodatkiem Analysis Toolpak, można przystąpić do wykony-
wania ćwiczenia.
1. Otwórz skoroszyt Ćwiczenie1_1.xls.
2. Określ wartości maksymalne, jakie przyjmują obie badane cechy zmienne.
Do komórek C2 i D2 wpisz następujące formuły: , .
Znajomość ich jest konieczna, aby określić przedziały histogramu. Jeżeli końce
przedziałów nie zostaną podane, zakres wartości pomiędzy minimum a maksimum
zbioru danych zostanie podzielony na przedziały o równej szerokości i w oparciu o nie
zostanie zbudowany szereg rozdzielczy oraz wykres (patrz rysunki 1.3 i 1.4). Jak widać,
zmienna, która w naszym ćwiczeniu ma charakter skokowy, została potraktowana
przez program jako cecha ciągła, stąd taki podział na przedziały (klasy). Aby temu
zapobiec, należy podać własne zakresy, do których dostosuje się program.
Rysunek 1.3.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 1.1
Rysunek 1.4.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 1.1
Znasz więc już teraz wszystkie możliwe wartości cechy, jakie mogą przyjmować
zmienne X i Y. Dla zmiennej X są to liczby z przedziału między 0 a 6, a dla zmiennej
Y od 1 do 7.
12 Statystyka matematyczna w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne
3. Przedstaw rozkład zmiennej X oraz jej histogram.
Do komórek od C2 do C8 wpisz kolejno liczby: , , , , , , . Z paska menu
wybierz polecenie Narzędzia/Analiza danych. Następnie znajdz i wybierz narzędzie
analizy o nazwie Histogram. Wprowadz wartości odpowiednich pól wg rysunku 1.5.
Rysunek 1.5.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 1.1
Usuń 9. wiersz powstałego arkusza (z częstością równą 0), aby poprawić opis
na osi OX wykresu.
Rysunek 1.6.
Fragment arkusza
przedstawiający
rozwiązanie ćwiczenia 1.1
Rysunek 1.7.
Fragment arkusza
przedstawiający
rozwiązanie ćwiczenia 1.1
4. Przedstaw rozkład zmiennej Y oraz jej histogram.
Do komórek od D2 do D8 wpisz kolejno liczby: , , , , , , . Z paska menu
wybierz polecenie Narzędzia/Analiza danych, a następnie znajdz i wybierz narzędzie
analizy o nazwie Histogram. W zakresie danych wejściowych, w polu Zakres
komórek wpisz , zaś w polu Zakres zbioru wpisz . W opcjach
wyjścia zaznacz Nowy arkusz i Wykres wyjściowy. Na koniec usuń 9. wiersz
powstałego arkusza (z częstością równą 0), aby poprawić opis na osi OX wykresu.
Rozdział 1. Rozkłady empiryczne i teoretyczne 13
Rysunek 1.8.
Fragment arkusza
przedstawiający
rozwiązanie ćwiczenia 1.1
Rysunek 1.9.
Fragment arkusza
przedstawiający
rozwiązanie ćwiczenia 1.1
W poprzednim ćwiczeniu stworzyłeś histogram dla szeregu punktowego, w który zo-
stały pogrupowane wyniki obserwacji. Teraz zbudujesz szereg przedziałowy i również
zaprezentujesz go w formie histogramu.
Ćwiczenie 1.2.
Przeprowadzono badanie statystyczne, w którym ustalono długość życia 456 osób po-
chowanych na cmentarzu komunalnym w jednym z miast na Pomorzu w ostatnim roku
(długość życia zaokrąglano w górę do pełnego roku). Wykonaj histogram rozkładu em-
pirycznego, grupując wyniki w klasy o rozpiętości Cx = 3.
1. Otwórz skoroszyt Ćwiczenie1_2.xls.
2. Wprowadz następujące granice przedziałów klasowych, na które podzielisz badaną
zbiorowość: 1 3, 4 6, 7 9 itd. aż do 88 90.
Do komórek B2 oraz B3 wpisz odpowiednio liczby i . Następnie zaznacz,
przeciągając myszą, obie te komórki i ustaw kursor na uchwycie wypełniania
komórki B3 (uchwyt wypełniania to prawy dolny róg komórki aktywnej).
Kursor zmieni wtedy swą postać z grubego, białego krzyżyka na cienki i czarny.
Teraz przeciągnij myszą do obszaru B31.
3. Wykonaj histogram rozkładu empirycznego.
Z paska menu wybierz Narzędzia/Analiza danych. Następnie znajdz i wybierz
Histogram. W polu Zakres komórek wpisz , w polu Zakres zbioru
wpisz , natomiast w opcjach wyjścia zaznacz Nowy arkusz oraz
Wykres wyjściowy.
14Statystyka matematyczna w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne
Rysunek 1.10.
Fragment arkusza
przedstawiający
rozwiązanie ćwiczenia 1.2
Ćwiczenie 1.3.
Przygotowany został wykaz transakcji dziennych (231 operacji) jednej z kas hipermarketu,
który zawiera informacje o liczbie zakupionych przez klienta towarów (zmienna X) i ich
wartość (zmienna Y). Wykonaj histogram rozkładu empirycznego zmiennej X oraz Y.
1. Otwórz skoroszyt Ćwiczenie1_3.xls.
2. Wykonaj histogram rozkładu zmiennej X.
Z paska menu wybierz Narzędzia/Analiza danych. Następnie znajdz i wybierz
Histogram. W polu Zakres komórek wpisz . Natomiast w opcjach
wyjścia zaznacz Nowy arkusz oraz Wykres wyjściowy.
Rysunek 1.11.
Fragment arkusza
przedstawiający
rozwiązanie ćwiczenia 1.3
3. Wykonaj histogram rozkładu zmiennej Y.
Z paska menu wybierz Narzędzia/Analiza danych. Następnie znajdz i wybierz
Histogram. W polu Zakres komórek wpisz , natomiast w opcjach
wyjścia zaznacz Nowy arkusz oraz Wykres wyjściowy.
Rysunek 1.12.
Fragment arkusza
przedstawiający
rozwiązanie ćwiczenia 1.3
Rozdział 1. Rozkłady empiryczne i teoretyczne 15
Teraz wykonasz ćwiczenie, prezentując rozkład empiryczny w postaci wieloboku liczeb-
ności, czyli linii łamanej (diagramu), który uzyskuje się z histogramu przez połączenie
odcinkami środków kolejnych górnych boków poszczególnych prostokątów.
Ćwiczenie 1.4.
W pewnej cementowni w Wielkopolsce przeprowadzono kontrolę przestrzegania proce-
dury pakowania cementu do worków. Zważono 100 nominalnie 50-kilogramowych wor-
ków cementu z dokładnością do 0,1 kg (zmienna X). Ponadto przyjęto, że pusty worek
waży 0,4 kg i uwzględniono to w wynikach pomiarów. Opierając się na uzyskanych da-
nych, zbuduj odpowiedni szereg rozdzielczy i wykonaj diagram uzyskanego rozkładu.
1. Otwórz skoroszyt Ćwiczenie1_4.xls.
2. Wykonaj histogram rozkładu zmiennej X.
Z paska menu wybierz Narzędzia/Analiza danych. Następnie znajdz i wybierz
Histogram. W polu Zakres komórek wpisz , a w polu Zakres Zbioru
. W opcjach wyjścia zaznacz Nowy arkusz oraz Wykres wyjściowy.
3. Zmień histogram na diagram.
W obszarze kreślenia wykresu kliknij prawym przyciskiem myszy. Z rozwiniętego
menu podręcznego wybierz polecenie Typ wykresu. Na liście typów wykresu wskaż
typ liniowy.
Rysunek 1.13.
Fragment arkusza
przedstawiający
rozwiązanie ćwiczenia 1.4
Rozkład normalny
Najważniejszym rozkładem teoretycznym dla cechy ciągłej w statystyce jest rozkład nor-
malny Gaussa-Laplace a.
Jego funkcja gęstości prawdopodobieństwa określona dla wszystkich rzeczywistych
wartości x wyraża się wzorem:
( x M )2
1
2
2
f (x) = e ,
2Ą
16 Statystyka matematyczna w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne
gdzie:
M oznacza wartość oczekiwaną zmiennej X,
to odchylenie standardowe zmiennej X.
Jednym z ważnych twierdzeń opartym na założeniu o rozkładzie normalnym zmiennej
X jest tzw. reguła trzech sigm. Mówi ona, że realizacje zmiennej losowej nie będą się
różniły (in plus ani in minus) od wartości oczekiwanej więcej aniżeli o trzy odchylenia
standardowe, co opisuje równanie:
P{M - 3 < X < M + 3} = 0,9973 .
Ćwiczenie poniższe przybliży tę ważną regułę.
Ćwiczenie 1.5.
Wygeneruj 10 000 liczb losowych według rozkładu normalnego o średniej M = 10 i od-
chyleniu standardowym = 2. Następnie wykonaj histogram uzyskanego rozkładu empi-
rycznego oraz oblicz liczebności cząstkowe dla następujących przedziałów liczbowych:
<4; 16>,
<6; 14>,
<8; 12>.
Generowanie liczb losowych o zadanych rozkładach możliwe jest w Excelu dzięki na-
rzędziu analizy danych Generowanie liczb pseudolosowych. Podobnie jak Histogram
należy on do pakietu Analysis Toolpak z dodatków Excela.
1. Otwórz skoroszyt Ćwiczenie1_5.xls.
2. Wygeneruj 10 000 liczb losowych wg rozkładu normalnego N(10;2).
Z paska Narzędzi wybierz polecenie Analiza danych, a następnie wybierz
Generowanie liczb pseudolosowych. Wprowadz wartości odpowiednich pól
wg rysunku 1.14.
Rysunek 1.14.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 1.5
Rozdział 1. Rozkłady empiryczne i teoretyczne 17
3. Wykonaj histogram rozkładu empirycznego.
Z paska menu wybierz Narzędzia/Analiza danych. Następnie znajdz i wybierz
Histogram. W polu Zakres komórek wpisz , natomiast w opcjach
wyjścia zaznacz Nowy arkusz oraz Wykres wyjściowy.
Rysunek 1.15.
Fragment arkusza
przedstawiający
rozwiązanie ćwiczenia 1.5
4. Oblicz liczebności cząstkowe dla zadanych przedziałów wartości zmiennej X.
Do komórek I8 oraz J8 wpisz kolejno
, .
Następnie przekopiuj ich zawartości do obszaru I9 J10.
Rysunek 1.16.
Fragment arkusza
przedstawiający
przykładowe rozwiązanie
ćwiczenia 1.5
Rozkład dwumianowy
Podstawowym rozkładem dla cechy skokowej jest rozkład dwumianowy Bernoulliego.
Prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach określa się w tym rozkładzie wg nastę-
pującego wzoru:
n n
ł ł ł ł n!
ł ł ł ł
P(X = k) = pk qn k , = , k = 0,1,2,...,n,
łk ł łk ł
k! (n - k)!
ł łł ł łł
gdzie:
p oznacza prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A (sukcesu),
q określa prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia przeciwnego do A (porażki).
18 Statystyka matematyczna w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne
Generując liczby losowe wg rozkładu dwumianowego, spróbujemy zilustrować inne
fundamentalne twierdzenie wykorzystywane w statystyce, a mianowicie prawo wielkich
liczb (dokładniej mówiąc, tzw. słabe uogólnienie prawa wielkich liczb).
Mówi ono, że przy wzroście liczebności próby prawdopodobieństwo tego, że bez-
względna różnica między średnią arytmetyczną z próby a wartością oczekiwaną ze
zbiorowości generalnej jest mniejsza od dowolnie małej liczby dodatniej dąży do jedno-
ści, co zapisuje się wzorem:
lim (P x - M < ) = 1.
n "
Dla rozkładu dwumianowego wartość oczekiwana i odchylenie standardowe wynoszą
odpowiednio:
E(X ) = n p, D(X ) = n p q.
Ćwiczenie 1.6.
Wygeneruj kolejno 25, 100, 400 i 800 liczb losowych według rozkładu dwumianowego
o parametrach: p = 0,5 i liczbie prób (doświadczeń) n = 14. Następnie dla każdej wy-
generowanej serii liczby oblicz ich średnie arytmetyczne oraz odchylenia standardowe.
1. Otwórz skoroszyt Ćwiczenie1_6.xls.
2. Wygeneruj 4 serie liczb losowych wg rozkładu dwumianowego o zadanych
parametrach.
Z paska Narzędzi wybierz polecenie Analiza danych, a następnie wybierz
Generowanie liczb pseudolosowych. Wprowadz wartości odpowiednich pól
wg rysunku 1.17.
Rysunek 1.17.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 1.6
Następnie powtórz procedurę dla 100, 400 i 800 liczb, zmieniając jedynie wartość
pola Zakres wyjściowy w Opcjach wyjścia, podając kolejno następujące adresy
komórek: , , .
Rozdział 1. Rozkłady empiryczne i teoretyczne 19
Rysunek 1.18.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 1.6
Rysunek 1.19.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 1.6
Rysunek 1.20.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 1.6
Rysunek 1.21.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 1.6
20 Statystyka matematyczna w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne
3. Oblicz średnie arytmetyczne dla wygenerowanych serii danych.
Do komórek od G8 do G11 wpisz kolejno: , ,
, .
4. Oblicz odchylenia standardowe dla wygenerowanych serii danych.
Do komórek od H8 do H11 wpisz kolejno: ,
, ,
.
Rysunek 1.22.
Fragment arkusza
przedstawiający
przykładowe rozwiązanie
ćwiczenia 1.6
Rozkład Poissona
Innym ważnym rozkładem dla cechy skokowej jest rozkład Poissona.
W rozkładzie tym prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość k, obli-
czamy ze wzoru:
k
P(X = k) = e ,
k!
gdzie:
to stały parametr rozkładu.
>0
W rozkładzie tym wartość oczekiwana i odchylenie standardowe wynoszą odpowiednio:
E( X ) = n p = , D(X ) = n p = .
Wykres histogramu wykonanego dla zmiennej losowej o rozkładzie Poissona charakte-
ryzuje się różnym stopniem asymetrii w zależności od wartości parametru . Zobaczy-
my to w poniższym ćwiczeniu.
Rozdział 1. Rozkłady empiryczne i teoretyczne 21
Ćwiczenie 1.7.
Wygeneruj 5000 liczb losowych według rozkładu Poissona dla parametru = 0,5. Na-
stępnie w oparciu o uzyskany zbiór liczb zbuduj szereg rozdzielczy punktowy i przedstaw
go na histogramie. Czynności te powtórz jeszcze dwukrotnie, raz dla parametru = 5,
a drugi dla = 50.
1. Utwórz nowy, pusty skoroszyt.
2. Wygeneruj 5000 liczb losowych wg rozkładu Poissona o zadanym parametrze.
Z paska Narzędzi wybierz polecenie Analiza danych, a następnie wybierz
Generowanie liczb pseudolosowych. Wprowadz wartości odpowiednich pól
wg rysunku 1.23.
Rysunek 1.23.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 1.7
3. Wyznacz najmniejszą i największą wygenerowaną liczbę.
Do komórek B1 i B2 nowo utworzonego arkusza wpisz kolejno: ,
(wartość najmniejszą i największą zbioru możesz również ustalić,
korzystając z funkcji sortowania).
4. Określ przedziały klasowe dla szeregu rozdzielczego.
Do komórki C1 wpisz wartość najmniejszej liczby. Następnie do kolejnych komórek
w kolumnie C wpisuj liczby zawsze większe o jeden od poprzedniej, aż otrzymasz
liczbę odpowiadającą liczbie największej w całym wygenerowanym zbiorze liczb.
5. Wykonaj histogram rozkładu empirycznego.
Z paska menu wybierz Narzędzia/Analiza danych. Następnie znajdz i wybierz
Histogram. W polu Zakres komórek wpisz , a w polu Zakres zbioru
wpisz zakres komórek z przygotowanymi przedziałami klasowymi. W opcjach
wyjścia zaznacz Nowy arkusz oraz Wykres wyjściowy.
Powtórz procedurę od punktu 2 dla parametru = 5, a następnie dla parametru = 50.
22 Statystyka matematyczna w Excelu dla szkół. Ćwiczenia praktyczne
Rysunek 1.24.
Fragment arkusza
przedstawiający
przykładowe rozwiązanie
ćwiczenia 1.7
Rysunek 1.25.
Fragment arkusza
przedstawiający
przykładowe rozwiązanie
ćwiczenia 1.7
Rysunek 1.26.
Fragment arkusza
przedstawiający
przykładowe rozwiązanie
ćwiczenia 1.7
Obliczenia numeryczne wykonywane dla rozkładu dwumianowego wg podanego wcześniej
wzoru przy dużych wartościach n nie są wygodne. Można wówczas skorzystać z twierdze-
nia Poissona. Mówi ono, że jeżeli n " i p0 tak, że np=>0, to
k
P{Sn = k}= e-.
lim
n " k!
Wzór ten pozwala w praktyce już dla niewielkich n (rzędu kilkudziesięciu), przy małych p
(dla których iloczyn =np nie przekracza 10), obliczać prawdopodobieństwo k sukcesów
w serii n niezależych dośwadczeń. A zatem
Rozdział 1. Rozkłady empiryczne i teoretyczne 23
n
ł ł
k
ł ł
P(X = k) = pk qn k H" e .
łk ł
k!
ł łł
Ostatnie ćwiczenie tego rozdziału zilustruje to twierdzenie.
Ćwiczenie 1.8.
Prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia (sukcesu) wynosi p = 0,2. Przeprowa-
dzono serię 30 niezależnych doświadczeń. Oblicz prawdopodobieństwo łącznej ilości
k sukcesów, gdzie k = 0,1,...9. W rozwiązaniu zastosuj wzór Bernoulliego oraz Poissona.
Zinterpretuj uzyskane wyniki.
1. Otwórz skoroszyt Ćwiczenie1_8.xls.
2. Oblicz prawdopodobieństwa uzyskania kolejno: 0, 1, 2, itd. aż do 9 sukcesów,
stosując wzór Bernoulliego.
Do komórki B2 wpisz .
Następnie przekopiuj jej zawartość do obszaru B3 B11.
3. Oblicz ponownie prawdopodobieństwa uzyskania tych samych ilości sukcesów,
stosując wzór Poissona.
Do komórki C2 wpisz i przekopiuj jej zawartość
do komórek C3 C11.
Rysunek 1.27.
Rysunek pomocniczy
do ćwiczenia 1.8
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
matematyka 2 podrecznik dla liceum i technikum zakres rozszerzony rozdzial 7 statystyka pdfWzory statystyka MatematycznaSTATYSTYKA MATEMATYCZNA w1Statystyka matematyczna i teoria estymacjiTikhonenko O Wykłady ze statystyki matematycznej Wykład 6Statystyka matematyczna zadania 2 FStatystyka matematyczna zadania 3 Fstatyst matemat chorobSciaga pl Statystyka matematycznaMPiS30 W09 Podstawy statystyki matematycznejPrzykładowe zadanie statystyka matematycznaTikhonenko O Wykłady ze statystyki matematycznej Wykład 2więcej podobnych podstron