MP  Równania i ich współczynniki 28.05.07
RÓWNANIA KANONICZNE METODY PRZEMIESZCZEC

nÕ
n´
"k Å"Õ + "k Å"´ + kio = 0, dla i = 1, 2, ..., nÕ
ij j i² ²
j=1 ² =1
nÕ
n´
Å"Õ + Å"´ + kÄ…o = 0, dla Ä… = 1, 2, ..., n´
"kÄ…j j
"kÄ…² ²
j=1 ² =1
gdzie
iloczyny kij Å"Õ oraz ki² Å"´ sÄ… momentami w rotacyjnej wiÄ™zi "i" wywoÅ‚anymi odpowiednio:
j ²
 obrotem rotacyjnej wiÄ™zi "j" o kÄ…t Õ ,
j
 przesuniÄ™ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wiÄ™zi "²" o ´ ,
²
kij , ki² , kio sÄ… momentami w rotacyjnej wiÄ™zi "i" wywoÅ‚anymi odpowiednio:
 obrotem rotacyjnej wiÄ™zi "j" o kÄ…t Õ = 1,
j
 przesuniÄ™ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wiÄ™zi "²" o ´ = 1,
²
 obciążeniem zewnętrznym,
iloczyny kÄ…j Å"Õ oraz kÄ…² Å"´ sÄ… siÅ‚ami w translacyjnej wiÄ™zi "Ä…" wywoÅ‚anymi odpowiednio:
j ²
 obrotem rotacyjnej wiÄ™zi "j" o kÄ…t Å"Õj,
 przesuniÄ™ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wiÄ™zi "²" o ´ ,
²
kÄ…j , kÄ…² , kÄ…o sÄ… siÅ‚ami w translacyjnej wiÄ™zi "Ä…" wywoÅ‚anymi odpowiednio:
 obrotem rotacyjnej wiÄ™zi "j" o kÄ…t Õ = 1,
j
 przesuniÄ™ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wiÄ™zi "²" o ´ = 1,
²
 obciążeniem zewnętrznym.
Z powyższych określeń wynika, że współczynniki "k" mogą być podzielone na 6 grup to jest:
 momenty w dodanych więziach rotacyjnych wywołane:
 obrotami ( KÕÕ =[kij ] ),
 przesuniÄ™ciami ( KÕ´ =[ki² ]),
 obciążeniem zewnÄ™trznym ( KÕo =[kio ] )
 reakcje w dodanych więziach translacyjnych wywołane:
T
 obrotami ( K´Õ = KÕ´ =[kÄ…j ] ),
 przesuniÄ™ciami ( K´´ =[kÄ…² ]),
 obciążeniem zewnÄ™trznym ( K´o =[kÄ…o ] ).
W zapisie macierzowym układ równań może być przedstawiony w postaciach
k11, L k1n , k1I , L k1n Õ1 k10
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Õ ´
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
M M M M M M M M
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł KÕÕ ,KÕ´ łł îÅ‚ Å‚Å‚
kn 1, L kn nÕ , kn I , L kn n´ Õn kn o îÅ‚ Å‚Å‚ KÕo
r
Õ Õ Õ Õ Õ Õ
Å" + = Å" + = K Å" z + K = 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł o
ïÅ‚" śł
kI1, L kIn , kII , L kIn śł ïÅ‚ ´ kI 0 śł ´Õ
I ïÅ‚K ,K´´ śł ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ Õ ´ śł ïÅ‚ ðÅ‚K´o ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
M M M M M M M M
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
, L kn nÕ , kn I , L kn n´ ,śł ïÅ‚´ n´ śł ïÅ‚kn´ o śł
ïÅ‚kn´ 1
ðÅ‚ ´ ´ ´ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1
MP  Równania i ich współczynniki 28.05.07
WZORY OKREÅšLAJ
CE WSPÓA
CZYNNIKI UKA
ADU RÓWNAC

Reakcje (momenty) w dodanych więziach rotacyjnych wywołane jednostkowymi obrotami dodanych
więzi rotacyjnych
i j
KÕÕ ; kii = M + kiÕ = aij Å" EJij Lij + kiÕ , kij = M = bij Å" EJij Lij , j `" i,
" "
ij ij
j j
i j
gdzie M = M (Õi = 1) = aij Å" EJij Lij , M = M (Õ = 1) = bij Å" EJij Lij ,
ij ij ij ij j
j  numery węzłów połączonych prętami z węzłem i .
Reakcje (momenty) w dodanych więziach rotacyjnych wywołane jednostkowymi przesunięciami w miejscach i
kierunkach dodanych więzi translacyjnych
² ² ² ²
KÕ´ ; ki² = M = - cij Å" EJij Lij Å"È , gdzie M = M (´ = 1) = -cij Å" EJij Lij Å"È ,
" "
ij ij ij ij ² ij
j j
²
È = È (´ = 1) = "² Lij  kÄ…t obrotu ciÄ™ciwy prÄ™ta ij ,
ij ij ² ij
"² = "ij (´ = 1)  wzajemne poprzeczne przesuniÄ™cie koÅ„ców prÄ™ta ij .
ij ²
Reakcje (momenty) w dodanych więziach rotacyjnych wywołane obciążeniem danym
o o o
KÕo ; kio = - M , gdzie M  moment na koÅ„cu i prÄ™ta ij wywoÅ‚any obciążeniem,
"M
ij i ij
j
o
M  moment obciążający węzeł i .
i
Reakcje (siły) w dodanych więziach translacyjnych wywołane jednostkowymi obrotami więzi rotacyjnych
j Ä… Ä…
K´Õ ; kÄ…j = - Å" = -
"(M ijj + M ji ) Å"È ij = "Vijj "Ä… "c ji Å" EJij Lij Å"È ij ,
ij
ij ij ij
Ä…
gdzie Vijj = Vij (Õ = 1) = -c Å" EJij Lij Å"È .
j ji ij
Reakcje (siły) w dodanych więziach translacyjnych wywołane przesunięciami w miejscach i kierunkach
dodanych więzi translacyjnych
² ² Ä… ´
K´´ ; w teorii rzÄ™du 1-go kÄ…² = - Å"
"(M + M ) Å"È + "k Å" "LÄ… "L² =
ij ji ij s s s
ij s
² ´ Ä… ² ´
= Å" "Ä… + Å" "LÄ… Å" "L² = dij Å" EJij Lij Å"È Å"È + ks Å" "LÄ… Å" "L² ,
"V "k " "
ij ij s s s ij ij s s
ij s ij s
2
ëÅ‚ öÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚ EIij ² ÷Å‚ Ä… ´
ôÅ‚+ ij ôÅ‚
²
w teorii rzÄ™du 2-go kÄ…² = - M + M Å" Å"È Å"È + ks Å" "LÄ… Å" "L² =
"ìÅ‚ ij ² "
òÅ‚ żł
ji s s
2
ìÅ‚
ij ôÅ‚- ij þÅ‚ Lij ij ÷Å‚ ij s
ôÅ‚
ół
íÅ‚ Å‚Å‚
² ´ Ä… ² ´
= Å" "Ä… + Å" "LÄ… Å" "L² = dij Å" EJij Lij Å"È Å"È + ks Å" "LÄ… Å" "L² ,
"V "k " "
ij ij s s s ij ij s s
ij s ij s
gdzie "LÄ…  wydÅ‚użenie wiÄ™zi sprężystej translacyjnej wywoÅ‚ane przemieszczeniem ´Ä… = 1.
s
2
Uwaga: Do wzoru powyższego wstawia się + ij dla prętów ściskanych,
2
- ij dla prętów rozciąganych.
Reakcje (siły) w dodanych więziach translacyjnych wywołane obciążeniem danym
o Ä… ´ Ä…
K´o ; kÄ…o = - ks Å" "LÄ… Å" "Lo - Pp Å"´
"(M ij + M o ) Å"È ij + " "
ji s s p
ij s p
Ä…
gdzie ´  przemieszczenie w miejscu i kierunku siÅ‚y Pp wywoÅ‚ane przemieszczeniem ´Ä… = 1,
p
"Lo  wydłużenie więzi sprężystej translacyjnej wywołane obciążeniem,
s
´
w przypadku obciążeÅ„ siÅ‚ami "Lo = 0 i ks Å" "LÄ… Å" "Lo = 0 ,
"
s s s
s
w przypadku zmian temperatury błędów montażu i przemieszczeń podpór
´ Ä…
może być "Lo `" 0 i ks Å" "LÄ… Å" "Lo `" 0 , natomiast Pp Å"´ = 0 .
" "
s s s p
s p
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
2
MP  Równania i ich współczynniki 28.05.07
MOMENTY WYJÅšCIOWE OD OBCI
ŻEC

Ze względu na sposób wyznaczania momentów brzegowych w układzie podstawowym
obciążenia dzielimy na:
- wywołujące w układzie podstawowym przesunięcia węzłów,
- i nie wywołujące w układzie podstawowym przesunięć węzłów.
Do grupy obciążeń wywołujących, w układzie podstawowym, przesunięcia węzłów należą:
- przesunięcia węzłów "r ,
- zmiany długości prętów "L ,
- zmiany temperatury w części reprezentowanej przez zmiany w osiach prętów "To
wywoÅ‚ujÄ…ce zmiany dÅ‚ugoÅ›ci prÄ™tów "LT = Ä…T Å" L Å" "To .
Dla tych obciążeń należy wyznaczyć kąty obrotu cięciw prętów na podstawie warunków
kinematycznych i na ich podstawie momenty brzegowe ze wzoru M = -cij Å" EJij Lij Å"È ,
ij ij
które od każdego z tych obciążeń mogą być różne od zera dla wszystkich prętów.
Do grupy obciążeń nie wywołujących, w układzie podstawowym, przesunięć węzłów należą:
- obciążenia siłami ( M , F, q) ,
- zmiany temperatury w części reprezentowanej przez różnice "T = "Tw - "Tp ,
- bÅ‚Ä™dy montażu typu "Õ i "h
- obroty podpór Õr .
Dla tych obciążeń wyznacza się momenty brzegowe na podstawie stosownych wzorów zależnych od
typu obciążenia i typu pręta tylko dla prętów, na które działają te obciążenia.
Zatem
w przypadku obciążeń siłami ( M , F, q) (nie wywołują one przesunięć węzłów w ukł. podst.),
oF
momenty brzegowe w układzie podstawowym M wyznacza się na podstawie stosownych wzorów
tylko dla prętów, na które działają te obciążenia.
w przypadku obciążeń zmianami temperatury ( "Tw, "Tp)
różnice "T = "Tw - "Tp) nie wywołują przesunięć węzłów a momenty brzegowe w
"T
układzie podstawowym M wyznacza się od nich na podstawie stosownych wzorów tylko dla
prętów, dla których te różnice te są różne od zera,
. zmiany temperatury w osiach prętów "To wywołują przesunięcia węzłów a momenty
"To
brzegowe w układzie podstawowym M wyznacza się od nich z wykorzystaniem wzoru
"To "To
M = -cij Å" EJij Lij Å"È dla wszystkich prÄ™tów, co wymaga uprzedniego wyznaczenia kÄ…tów
ij ij
obrotów cięciw prętów od tych zmian temperatury,
w przypadku obciążeń przemieszczeniami podpór i błędami montażu
( "r = (Õr ,ur ,vr ), "Õ, "h, "L)
obroty podpór Õr i bÅ‚Ä™dy montażu "Õ,"h nie wywoÅ‚ujÄ… przesunięć wÄ™złów a momenty
Õr,"Õ ,"h
brzegowe w układzie podstawowym M wyznacza się od nich na podstawie stosownych
wzorów tylko dla prętów, dla których te wielkości są różne od zera,
. przesunięcia podpór ur ,vr i błądy montażu "L wywołują przesunięcia węzłów a
ur,vr,"L
momenty brzegowe w układzie podstawowym M wyznacza się od nich z wykorzystaniem
ur,vr,"L ur,vr"L
wzoru M = -cij Å" EJij Lij Å"È dla wszystkich prÄ™tów, co wymaga uprzedniego wyznaczenia
ij ij
kątów obrotów cięciw prętów od tych wpływów.
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
3
MP  Równania i ich współczynniki 28.05.07
WYZNACZANIE PRZESUNI
Ć W
ZA
ÓW I K
TÓW OBROTU CI
CIW PR
TÓW
Przesunięcia węzłów, wzajemne poprzeczne przesunięcia końców prętów i kąty obrotu cięciw
prętów mogą być wyznaczane z wykorzystaniem związków kinematycznych dla prętów.
W przypadku gdy zmiany długości prętów są zerowe "L = 0 mogą być w tym celu
wykorzystane również płany przesunięć lub związki analityczne dla zamkniętych ciągów prętów.
ZWI
ZKI KINEMATYCZNE DLA PR
TÓW
Przesunięcia węzłów wywołane przesunięciami podpór i zmianami długości prętów mogą być
wyznaczane na podstawie związków kinematycznych w postaci:
u Å"(- cosÄ… )+ v Å"(- sinÄ… )+ uk Å" cosÄ… + vk Å" sinÄ… = "Lpk ,
p pk p pk pk pk
u Å" sin Ä… + v Å"(- cosÄ… )+ uk Å"(- sinÄ… )+ vk Å" cosÄ… = "
p pk p pk pk pk pk
gdzie u , v , uk , vk - składowe przesunięć końców prętów,
p p
odpowiednio, w kierunku osi x i y, x
Lxij
indeks p  numer węzła początku pręta,
up
p
indeks k  numer węzła końca pręta,
vp Ä…
pk
"Lpk - wydłużenie pręta pk,
Lyij
" - wzajemne poprzeczne przesunięcie końców pręta pk,
pk
cosÄ… = Lxpk / Lpk , sinÄ… = Ly / Lpk .. uk
pk pk pk
vk k
y
Powyższe związki mogą też być przedstawione w postaci
- u + uk = "Lpk Å" cosÄ… - " Å" sinÄ… ,
p pk pk pk
- v + vk = "Lpk Å" sinÄ… + " Å" cosÄ… .
p pk pk pk
Związki kinematyczne wykorzystuje się w ten sposób, że buduje się układ równań, który tworzą:
 związki między przemieszczeniami końców prętów a zmianami ich długości dla każdego pręta
(tyle równań ile prętów)
u Å"(- cosÄ… )+ v Å"(- sinÄ… )+ uk Å" cosÄ… + vk Å" sinÄ… = "Lpk ,
p pk p pk pk pk
 warunki uwzględniające, że kąty obrotu cięciw a więc i wzajemne poprzeczne przesunięcia ich
końców dla prętów: wspornikowego i sztywno łyżwa są równe zero " = 0
pk
(tyle równań ile prętów tego typu)
u Å" sinÄ… + vp Å"(- cosÄ… )+ uk Å"(- sinÄ… )+ vk Å" cosÄ… = " = 0 .
p pk pk pk pk pk
(wygodniej dla tego typu prętów wykorzystywać warunki:
-u + uk = "Lpk Å" cosÄ… , -v + vk = "Lpk Å"sin Ä… ),
p pk p pk
 oraz warunki brzegowe (dane przesunięcia  mogą oczywiście być zerowe).
Rozwiązanie tego układu równań określa przesunięcia wszystkich węzłów układu (dwie
składowe dla każdego węzła).
Pozwala to na obliczenie
 wzajemnych poprzecznych przesunięć końców prętów
" = u Å" sin Ä… + v Å"(- cosÄ… )+ uk Å"(- sinÄ… )+ vk Å" cosÄ… ,
pk p pk p pk pk pk
 kÄ…tów obrotu ciÄ™ciw prÄ™tów È = " / Lpk ,
pk pk
 momentów brzegowych dla prÄ™tów M = -cpk Å" EJ Lpk Å"È
pk pk pk
 oraz inne potrzebne przesunięcia jak zmiany długości więzi sprężystych
i przemieszczenia punktów przyłożenia sił.
W szczególnym przypadku gdy "Lpk = 0 postępowanie jest analogiczne jednak dla prętów:
wspornikowego i sztywno łyżwa warunki, że " = 0 prowadzą do równości: u = uk , v = vk .
pk p p
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
4


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Stymulus Zestaw6 STP MP Gesundheitswesen
function sybase fetch row
function mysql fetch row
bibliografia mp
Stymulus Zestaw@ STP MP Berlin
MP logika rozmyta
St Egipt kanon, arch sepulkralna
Kanon Turyński
MP wzory transf 1
Row Rozn Fizyki Mat 06 Derezinski p49

więcej podobnych podstron