wykład 09


wykład 9 BL 2008/09
5. Opis fali mechanicznej cd. 5.2. Równanie fali
Falą mechaniczną nazywamy zaburzenia rozchodzące się
w ośrodkach sprężystych w postaci impulsu lub drgań.
kierunek propagacji fali
przemieszczenie
r
Najogólniej falę opisuje funkcja falowa: (równanie fali)
y =y (r,t)
W przypadku zaburzenia rozchodzącego się wzdłuż osi x z prędkością v
w prawo, jeśli jego kształt nie zmienia się w czasie, będzie to funkcja:
y =y (x -vt)
v v
y y
vt
t=0
t>0
y =y (x)
x x
A rozchodzącego się w lewo: y =y (x +vt)
1
wykład 9 BL 2008/09
Zróżniczkujmy dwukrotnie tę ogólną funkcje falową względem x oraz t:
x '= x mvt,
śy śy śx' śy śy śy śx' śy
= = , = = mv ,
śx śx' śx śx' śt śx' śt śx'
ś2y ś2y
ś2y ś2y
= ,
=v2 .
śx2 śx'2
śt2 śx'2
Z połączenia powyższych równości dostaniemy równanie falowe:
2
ś2y 1 śy
= .
śx2 v2 śt2
Uwaga: ponieważ funkcja zależy od dwu zmiennych,
obliczamy pochodną cząstkową względem x:
śy
śx
t =const
traktując t jak stałą. Podobnie z pochodną względem
czasu t.
2
wykład 9 BL 2008/09
5.3. Fale harmoniczne
W szczególnym przypadku, gdy każdy element ośrodka drga ruchem
harmonicznym prostym, mamy do czynienia z falą harmoniczną.
x ustalone, drgania elementu są
drganiami harmonicznymi prostymi:
y (t) = Asin(2Ą ft +a), f =1/T
y
T
w = 2Ą f - częstość kołowa
A
t j = 2Ą ft +a
- faza
Funkcja falowa fali harmonicznej może być zapisana w postaci:
2p 2p 2p

y (x,t) = Asin (x mvt) + ał = Asinć x m t + a

ę ś
l l T
Ł ł
gdzie A jest amplitudą fali, a  fazą początkową, l - długością fali,
zdefiniowaną jako odległość, między dwoma najbliższymi punktami
przestrzeni, w których fazy funkcji y danej chwili t są identyczne.
3
wykład 9 BL 2008/09
Najczęściej korzystamy z postaci:
y (x,t) = Asin(kx -wt +a)
k =2p/l liczba falowa
2
ś2y 1 śy
Funkcja falowa spełnia równanie falowe
= .
śx2 v2 śt2
t ustalone
y (x) = Asin[(2p x/l) +a]
y
l
A
x
Przedstawiona fala harmoniczna w ustalonej chwili t ma kształt
sinusoidalny i cechuje ją okresowość przestrzenna, l.
2p
Faza funkcji falowej: j = (x mvt) + a = kx m wt + a
l
v = l/T
Prędkość fali jest prędkością przemieszczania się
powierzchni stałej fazy. Stąd nazywamy ją prędkością fazową.
4
wykład 9 BL 2008/09
5.4. Moc w ruchu falowym
Rozważmy falę harmoniczną wzbudzaną w ośrodku sprężystym
(np. w strunie) przez zewnętrzne zródło.
Skoncentrujmy uwagę na elemencie ośrodka o długości Dx i masie Dm.
Porusza się on ruchem harmonicznym z częstością w i o amplitudzie A.
1
Jego całkowita energia w ruchu harmonicznym:
E = (Dm)w2A2,
2
1
E = (m Dx)w2A2, m - masa na jednostkę długości
2
Obliczmy szybkość przepływu energii :
dE dx
ć
1 1
Pśr = = m w2A2 = mw2A2v.

2 2
dt dt
Ł ł
Wyrażenie, które otrzymaliśmy odpowiada mocy średniej wydatkowanej
w czasie jednego okresu drgań.
(Trzeba sobie jednak zdawać sprawę, że szybkość przepływu energii nie
jest stała, bowiem moc pobierana oscyluje. Bardziej zaawansowana
metoda obliczeniowa prowadzi do wyrażenia: dE
P = = mw2A2v cos2(kx m wt).
dt
5
wykład 9 BL 2008/09
Uzyskany wynik, że szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do
szybkości v, kwadratu amplitudy A2 oraz kwadratu częstości w2, ma
charakter ogólny i jest prawdziwy dla wszystkich typów fal.
Natężenie fali jest definiowane jako moc przenoszona przez
jednostkowy element powierzchni ustawiony prostopadle do kierunku
rozchodzenia się fali.
6
wykład 9 BL 2008/09
5.5. Fale płaskie i kuliste
r
r
Funkcję falową możemy uogólnić, jeśli wprowadzimy wektor falowy
k = kn,
r
gdzie jest wektorem jednostkowym, normalnym do powierzchni falowej:
n
r
r r
y (r,t) = Asin(kr -wt +a).
r
r
j = k r m wt +a = const
Jeśli powierzchnie falowe (powierzchnie stałej fazy: )
stanowią zbiór wzajemnie równoległych płaszczyzn, fale nazywamy
płaskimi, jeśli zbiór koncentrycznych powierzchni kulistych mamy do
czynienia z falami kulistymi.
Funkcja falowa :
opisuje falę płaską, której powierzchnie
falowe są prostopadłe do kierunku wektora
r
k
, a wszystkie punkty danej powierzchni
drgają jednakowo.
Fala płaska i kolista wzbudzone
w zbiorniku z wodą
Jeśli uwzględnimy, że ośrodek w którym rozchodzi się fala
pochłania energię, to obserwujemy tłumienie fali. Dla ośrodka
jednorodnego zachodzi:
r
r r
y (r,t) = A0e-b t sin(kr - w t + a),
gdzie A0  amplituda w płaszczyznie x=0.
7
wykład 9 BL 2008/09
W ośrodku jednorodnym i izotropowym fala wytworzona przez zródło
punktowe jest falą kulistą.
Za zródło punktowe przyjmujemy takie, którego rozmiary są
znacznie mniejsze od odległości, w których rozpatrujemy fale.
Amplituda drgań na powierzchni falowej zależy od jej odległości r
od zródła jak 1/r (patrz: fotografia). Stąd funkcja falowa opisująca
falę w dostatecznej dużej odległości od zródła:
A
y (r,t) = sin(kr - wt + a),
r
gdzie A jest równa liczbowo amplitudzie
fali w jednostkowej odległości od zródła.
Pochłanianie energii fali przez ośrodek
uwzględniamy poprzez czynnik :
e-b t
A
y (r,t) = e-b t sin(kr - wt + a),
r
8
wykład 9 BL 2008/09
5.6. Fale na wodzie
Analityczny opis fal na wodzie
jest bardzo skomplikowany.
Tory cząsteczek są w przybliżeniu okręgami na płytkiej wodzie,
elipsami na głębokiej, zakreślanymi wokół położeń równowagi.
Okres obrotu jest równy okresowi fali. Na szczytach fal prędkość
cząsteczek dodaje się do prędkości fali, a w dolinach odejmuje.
To oznacza, że cząsteczka wody porusza się zarówno w kierunku
poziomym jak i pionowym. W tym sensie fala wodna ma zarówno
9
charakter fali poprzecznej jak i podłużnej.
wykład 9 BL 2008/09
Na głębokiej wodzie prędkość i długość fali nie zależą od głębokości,
na płytkiej prędkość propagacji i zachodzi
v gh l = vT ghT.
1
Średnia moc fali: pozostaje
Pśr = mw2A2v
2
w przybliżeniu stała.
Prędkość fali, gdy dotrze do płytkich wód
przybrzeżnych maleje, zatem jej amplituda
musi wzrosnąć i dopiero wówczas przejawia
się niszczycielska natura tsunami.
10
wykład 9 BL 2008/09
6. Prędkość fal poprzecznych w strunie
Struna ciało wydłużone,
Rozważmy element struny o długości Dx.
r
doskonale wiotkie.
F1
r
W położeniu równowagi
F1y
wartości sił napinających oba
r
końce elementu struny są
F
jednakowe.
r
- F
Stosujemy drugie prawo
r
r
Newtona do małego elementu
F2 y
F2
y(x,t)
struny, którego długość w
położeniu równowagi wynosi
r
r
- F F
Dx, jego masa D m=mDx (m -
gęstość masy).
x
x+Dx
r r
ś2y
y(x,t)- chwilowe, poprzeczne wychylenie z
Dm = F1 + F2
położenia równowagi cząsteczek struny w
śt2
położeniu x
W przybliżeniu małych drgań pomijamy wzrost długości elementu
r
i przyjmujemy, że składowe poziome są równe
F
11
wykład 9 BL 2008/09
F1y F2 y
śy śy
ć ć
= tgq1 = , = tgq2 =

F śx F śx
Ł łx+Dx Ł łx
ć ł
śy śy
ć
F1y - F2 y = F
ę śx - śx ś.
Ł łx+Dx Ł łx
ś2y
Równanie ruchu:
m Dx = F1y - F2 y
śt2
ć ł
ś2y śy śy
ć
m Dx = F
ę śx - śx ś,
śt2
Ł łx+Dx Ł łx
śy śy
ć ć
-

m ś2y śx śx
Ł łx+Dx Ł łx ,
=
F śt2 Dx
W granicy Dx0
ś2y m ś2y
= .
śx2 F śt2
12
wykład 9 BL 2008/09
Porównajmy otrzymane równanie z równaniem falowym :
2
ś2y m ś2y
ś2y 1 śy
= .
= .
śx2 F śt2
śx2 v2 śt2
F
Dostajemy prędkość fali poprzecznej
v = .
m
zależną od napięcia struny:
Równani falowe spełnia funkcja opisująca falę harmoniczną:
y (x,t) = Asin(kx -wt +a)
Fale mechaniczne poprzeczne mogą powstawać tylko w ośrodkach
charakteryzujących się sprężystością postaciową (wykazujących
odkształcenie na ścinanie).
G
Prędkość w takim ośrodku możemy wyrazić poprzez moduł
v = .
r
sztywności G (moduł ścinania) i gęstość ośrodka r:
W ośrodkach o sprężystości objętościowej lub postaciowej (cieczach,
gazach) mogą powstawać zarówno fale podłużne jak i poprzeczne.
E
W ciałach stałych prędkość fal podłużnych
v = .
wyraża się poprzez moduł Younga E: r
13


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wyklad 09 USG
Wyklad 09 Podstawy Genetyki AI
wyklad6 09
wyklad 2 3 09
Wyklad 09
wyklad 09
Wyklad11 09
wykład 09
Wyklad 09 decyzja ustanawiajaca Eurojust
fizjologia zwierzat wyklad 09
Wyklad 09 decyzja wzmacniajaca Eurojust
Wyklad13 09
wyklady 09
Wykladowka 2 09

więcej podobnych podstron