5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 1
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
5.
PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
5.1. Podstawowe równania liniowej sprężystości
Stosowany w niniejszym opracowaniu opis omawianych zagadnień odnosi się do prostokąt-
nego układu współrzędnych kartezjańskich [x, y, z] lub, gdy stosujemy zapis wskaznikowy, do
układu [x1, x2, x3,]. Chcąc zdefiniować podstawowy układ równań opisujący stan naprężenia, stan
odkształcenia i pole przemieszczeń układu, będziemy się posługiwać następującymi oznaczeniami.
Niech stan naprężenia w nieskończenie małej objętości ciała poddanego działaniu obci-
ążenia będzie opisany w układzie współrzędnych za pomocą składowych tensora, uporząd-
kowanych w macierzy à w postaci:
ij
Ã11 Ã12 Ã13
îÅ‚ Å‚Å‚
ïłà śł
à = à à ,
(5.1)
ij 21 22 23
ïÅ‚ śł
ïłà à à śł
ðÅ‚ 31 32 33ûÅ‚
gdzie skÅ‚adowe Ã11 , à , à sÄ… naprężeniami normalnymi, natomiast Ã12 , Ã13 , à opisujÄ… naprężnia
22 33 23
styczne. Tensor stanu naprężenia (5.1) jest symetryczny, to znaczy, że zachodzą następujące równości:
Ã12 = Ã , Ã13 = Ã , Ã = Ã .
(5.2)
21 31 23 32
Stosując konsekwentnie zapis macierzowy, wygodnie jest niekiedy opisać stan naprężenia za po-
mocą wektora naprężenia à o następujących składowych:
T
à = [à , à , à , à , à , à ] .
(5.3)
xx yy zz xy xz yz
Tutaj, tak jak i poprzednio, za pomocą identycznych indeksów oznaczono składowe normalne, in-
deksy zaś różne, opisujące składowe macierzy à informują o składowych stycznych stanu naprężenia.
Stan odkształcenia, podobnie jak poprzednio nawiązujący do opisu tensorowego, reprezentuje ma-
cierz skÅ‚adowych µij w postaci:
µ11` µ12 µ13
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚µ
µij = µ22 µ23śł .
(5.4)
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚µ31 µ32 µ33śł
ðÅ‚ ûÅ‚
W zapisie macierzowym posÅ‚ugiwać siÄ™ bÄ™dziemy wektorem odksztaÅ‚cenia µ , którego skÅ‚adowe
odniesione do układu [x, y, z], są następujące:
T
µ = [µ , µ , µ , Å‚ , Å‚ , Å‚ ]
(5.5)
xx yy zz xy xz yz
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 2
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
Zwracamy w tym miejscu uwagę, że we wzorze (5.5) posługujemy się tzw. inżynierskimi definicja-
mi odkształceń stycznych, związanymi z odpowiednimi składowymi tensora odkształceń za pomocą związ-
ków:
Å‚ = 2 Å"µ , Å‚ = 2 Å"µ , Å‚ = 2 Å"µ .
(5.6)
xy xy yz yz xz xz
Przyjęcie w zapisie macierzowym miar inżynierskich odkształceń (ł - kąt odkształcenia postaciowe-
go) podyktowane jest dwoma faktami. Pierwszy to ich powszechne używanie w klasycznych zagadnieniach
liniowej sprężystości. Drugi zaś wynika z konieczności spójnego potraktowania miar naprężeń i odkształceń,
by w prosty sposób można było zapisać wyrażenie na pracę w obu zapisach - wskaznikowym i macierzo-
wym:
T
à Å"µij = à Å"µ .
(5.7)
ij
Oprócz pól naprężeń i odkształceń do zapisania podstawowego układu równań konieczne jest jesz-
cze pole przemieszczeń, którego składowe w punkcie opisane są w zapisie wskaznikowym:
T
ui = [u1, u2, u3] , (5.8)
lub w macierzowym:
T
(5.9)
u = [u, v, w] .
5.1.1 Podstawowe równania w zapisie wskaznikowym
Dla przypomnienia zapiszmy podstawowy układ równań liniowej teorii sprężystości. Typowa analiza
ciała odkształcalnego wymaga znalezienia funkcji naprężeń à lub przemieszczeń u spełniających następu-
jące równania: - trzy równania różniczkowe cząstkowe równowagi (równania Naviera)
à + bi = 0 i, j = 1,2,3,
(5.10)
ij
gdzie w zapisie wskaznikowym zastosowano umowę sumacyjną, co znaczy, że powtarzający się w jednomia-
nie wskaznik informuje o konieczności dokonania sumowania po wszystkich możliwych jego wartościach, a
występujący między wskaznikami znak przecinka jest symbolem różniczkowania względem odpowiedniej
"Ã
21
zmiennej przestrzennej; na przykład à = ;
21,1
"x1
- sześć równań różniczkowych cząstkowych geometrycznych (równania Cauchy'ego)
1
µij = Å"(ui, j + u ), (5.11)
j,i
2
- sześć równań algebraicznych fizycznych (równania Hooke'a)
à = Eijkl Å"µkl ,
(5.12)
ij
Z powyższego zapisu nie wynika deklarowana uprzednio liczba równań, ale biorąc pod uwagę założe-
nia o izotropii, układ (5.12) redukuje się tylko do sześciu niezależnych równań i występujących w nich tylko
dwóch stałych materiałowych. Ponadto poszukiwane rozwiązania muszą dodatkowo spełniać:
- równania nierozdzielności geometrycznej
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 3
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
µij,kl + µkl,ij - µik , jl - µ = 0
(5.13)
jl,ik
w każdym punkcie obszaru, oraz
- naprężeniowe i przemieszczeniowe warunki brzegowe
à Å" nj = pi* na brzegu Sà ,
ij
(5.14)
(5.15)
ui = ui* na brzegu Su ,
przy czym oba deklarowane brzegi Sà i Su są rozłączne, tworząc w sumie cały brzeg rozpatrywane-
go obszaru, tzn. SÃ )" Su = 0 oraz SÃ *" Su = S .
Domyślamy się, że ze względu na złożoność wymagań nakładanych na rozwiązania problemów, okre-
ślenie funkcji analitycznych, spełniających równania (5.10) - (5.15), nie jest łatwe. W szczególności zadanie
staje się niemożliwe do rozwiązania, jeśli skomplikuje się warunki brzegowe problemu. Zauważmy jeszcze,
że rozwiązanie problemu mechanicznego, opisanego za pomocą tak skonstruowanego modelu matematycz-
nego, prowadzi do zadania analizy matematycznej.
Trudności, na które natrafia się przy takim sformułowaniu, skłaniają do poszukiwania innych rozwią-
zań, tym razem już nie analitycznych lecz rozwiązań przybliżonych.
5.1.2. Podstawowe równania w zapisie macierzowym
Rozpocznijmy tym razem od równań geometrycznych. Odpowiednie składowe wektora odkształceń
można zapisać w następującej postaci:
"u "v "w "u "v
µ = , µ = , µz = , Å‚ = + ,
x y xy
"x "y "z "y "x
(5.16)
"v "w "u "w
Å‚ = + , Å‚ = + .
yz xz
"z "z "z "x
Używając poprzednio wprowadzonych oznaczeń, zapiszemy powyższy układ zależności w postaci:
µ = L Å" u , (5.17)
gdzie macierz operatorów różniczkowych L ma wymiar (6x3) a jej składowe można przedstawić
jako
" "x 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0 " "y 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 0 0 " "zśł
L = . (5.18)
ïÅ‚" "y " "x 0 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 " "z " "y
ïÅ‚ śł
ðÅ‚" "z 0 " "xûÅ‚
Równania równowagi można teraz zapisać krótko:
(5.19)
LT Å"Ã + b = 0 ,
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 4
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
gdzie b jest wektorem sił masowych. Zwróćmy uwagę na fakt, że macierz operatorów różniczkowych rów-
nań równowagi (5.19) jest transponowana do odpowiedniej macierzy związków geometrycznych.
Równania fizyczne (konstytutywne), jako zależności między składowymi wektorów naprężeń i od-
kształceń, określone są następująco:
à -½ Å"à -½ Å"à Ã
x y z xy
µ = , Å‚ = ,
x xy
E G
à -½ Å"à -½ Å"à Ã
y x z yz
(5.20)
µ = , Å‚ = ,
y yz
E G
à -½ Å"à -½ Å"Ã
Ã
z x y
zx
µ = , Å‚ = ,
z zx
E G
gdzie przez E oznaczono moduÅ‚ odksztaÅ‚calnoÅ›ci podÅ‚użnej (moduÅ‚ Younga), zaÅ› G = E 2 Å" (1 +½ ) jest
moduÅ‚em odksztaÅ‚calnoÅ›ci postaciowej (moduÅ‚ Kirchhoffa), ½ jest liczbÄ… Poissona. W postaci równania ma-
cierzowego powyższą zależność konstytutywną można wyrazić jako
µ = C Å"Ã , (5.21)
gdzie
1
îÅ‚ -½ -½ 0 0 0
Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
0 0
ïÅ‚-½ 1 -½ 0 śł
ïÅ‚-½ -½ 1 0 0 0 śł
1
C = Å" . (5.22)
ïÅ‚ śł
E 0 0 0 2 Å" (1 +½ ) 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 0 2 Å" (1 +½ ) 0
ïÅ‚ śł
0 0 0 0 0 2 Å" (1 +½ )ûÅ‚
ðÅ‚
Zależność (5.21) jest jednoznaczna, a kwadratowa macierz konstytutywna jest nieosobliwa, istnieje
więc odwzorowanie odwrotne
à = D Å"µ , (5.23)
gdzie macierz D = C-1 i jej reprezentacja przedstawia się następująco:
1
îÅ‚ -½ ½ ½ 0 0 0
Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
½ 1-½ ½ 0 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ½ ½ 1 -½ 0 0 0 śł
E
D = Å" (5.24)
ïÅ‚ śł
(1 +½ ) Å" (1 - 2 Å"½ ) 0 0 0 (1 - 2 Å"½ ) / 2 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 0 0 (1 - 2 Å"½ ) / 2 0
ïÅ‚ śł
0 0 0 0 0 (1 - 2 Å"½ ) / 2ûÅ‚
ðÅ‚
Podsumowując łatwo zauważyć i docenić zwięzłość stosowanego zapisu macierzowego, który pozwa-
la widzieć podstawowy układ równań w następującej postaci:
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 5
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
µ = L Å" u
LT Å"Ã + b = 0 (5.25)
µ = C Å"à lub à = D Å"µ
5.2. Analiza przybliżona problemu brzegowego
Jak wspomniano wyżej, możliwość znalezienia rozwiązań problemów brzegowych w postaci zamknię-
tych formuł analitycznych ogranicza się, niestety, do wąskiej klasy zadań. W większości przypadków waż-
nych z inżynierskiego punktu widzenia, to znaczy dla przypadków znajdujących zastosowania praktyczne,
skomplikowane warunki podparcia układów, nietypowe obciążenia czy inne nieregularności uniemożliwiają
otrzymanie rozwiązań analitycznych. Chęć otrzymania wartościowych jakościowo i ilościowo wyników
opisujących stan układów zmusza do szukania odpowiedzi na drodze dyskretyzacji. Zamiast więc szukać
odpowiedzi układu w postaci pól naprężeń, odkształceń i przemieszczeń, poszukuje się wartości tych pól w
skończonej liczbie punktów należących do obszaru i jego brzegu. Z punktu widzenia zastosowań aparatu
matematycznego w przypadku stosowania dyskretyzacji uwalniamy się od rozwiązywania problemu róż-
niczkowego, zastępując go zadaniem algebraicznym. Nie chcemy w tym miejscu dyskutować o różnych
możliwościach stosowania dyskretyzacji, a co za tym idzie, o różnych metodach rozwiązywania problemów
brzegowych. Podkreślamy tylko, że omawiana tutaj MES zakłada analizę przybliżoną, polegającą na pod-
ziale całego układu na mniejsze części (elementy), posiadające charakterystyczne punkty zwane węzłami, w
których to punktach skoncentrowana jest niejako pełna informacja o zachowaniu się tych elementów i ich
własnościach. Wspomniane przybliżenie polega - w najbardziej podstawowej wersji - na przyjęciu pola
przemieszczeń opisującego przemieszczenie dowolnego punktu elementu, jako funkcji przemieszczeń wę-
złów i położenia danego punktu (jest to tzw. wersja przemieszczeniowa MES). Niewiadome są więc prze-
mieszczenia węzłów. Musimy być świadomi, że przyjmowane funkcje określające pole przemieszczeń ele-
mentu zwykle nie odpowiadają w pełni funkcjom analitycznym rozwiązującym problem różniczkowy. In-
nymi słowy, popełniamy na tym etapie błędy, które, jak można to udowodnić, maleją w miarę jak rośnie lic-
zba elementów, na które podzielono cały układ. Musimy być także świadomi, że przyjmując pole przemi-
eszczeń w postaci określonych funkcji, deklarujemy tym samym przez związki geometryczne pole odkształ-
ceń i dalej przez zależności konstytutywne - pole naprężeń. Jeśli w określonych przypadkach szczególnie
zależy nam na w miarę jak najlepszym odwzorowaniu pola odkształceń bądz naprężeń, istnieją inne możli-
wości przyjęcia funkcji aproksymacyjnych, zakładających wprost te właśnie pola. Takie sformułowania
MES nie będą jednak przedmiotem niniejszego opracowania.
Rozważana wersja przemieszczeniowa MES w celu przeanalizowania problemu brzegowego wymaga
podjęcia następujących kroków:
- dokonania podziału układu (konstrukcji, kontinuum) na skończoną liczbę podobszarów o prostej
geometrii,
- wybrania punktów węzłowych (węzłów), w których zostaną zapewnione warunki równowagi i
zgodności przemieszczeń,
- założenia funkcji przemieszczeń w obszarach każdego elementu, takiego że przemieszczenia
wszystkich punktów zależą od przemieszczeń węzłów,
- speÅ‚nienia w elemencie zależnoÅ›ci µ = L Å" u oraz à = D Å"µ ,
- wyznaczenia sztywności elementów i równoważnych sił węzłowych,
- zbudowania układu równań równowagi dla węzłów zdyskretyzowanego kontinuum,
- rozwiązania układu równań równowagi dla przemieszczeń węzłów,
- obliczenia przemieszczeń, odkształceń i naprężeń w wybranych punktach elementów,
- obliczenia reakcji podpór.
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 6
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
5.3. Podstawy MES wynikające z równania pracy wirtualnej
Załóżmy, że trójwymiarowy element skończony jest zdefiniowany w kartezjańskim układzie
współrzędnych [x, y, z,]. Niech wektor u , opisujący przemieszczenie dowolnego punktu elementu, jest wy-
T
rażony za pomocą składowych: u = [u, v, w] , gdzie u, v, w są - odpowiednio - przemieszczeniami w
T
kierunku osi x, y, z . Siły masowe oznaczymy za pomocą wektora b = [bx , by , bz] , gdzie składowe ozna-
czają siły przypadające na jednostkę objętości, powierzchni lub długości. Przez d oznaczymy wektor
przemieszczeń węzłowych elementu.. Wymiar tego wektora jest równy liczbie węzłów elementu pomno-
żonej przez liczbę przyjętych stopni swobody węzła. Jeśli założymy, że przemieszczenia węzła opisują
składowe przesunięć w kierunku osi x, y, z oraz jeśli n jest liczbą węzłów w elemencie, to
d = [di], i = 1, 2,...,nen ,
(5.26)
gdzie
di = [dxi , d , dzi].
(5.27)
yi
Zauważmy tylko, że inne typy przemieszczeń, takie jak obroty czy krzywizny, mogą również być i
będą dalej traktowane jako składowe wektora przemieszczeń. Podobnie przyjmijmy siły węzłowe p jako
składowe sił we wszystkich węzłach elementu w kierunkach osi x, y i z :
p = [pi], i = 1,2,...,nen ,
(5.28)
gdzie
(5.29)
pi = [pxi , pyi , pzi].
Po tych definicjach wstępnych załóżmy pole przemieszczeń w elemencie jako funkcję przemieszczeń
węzłów elementu w postaci:
u = N Å" d . (5.30)
Ponieważ wektor u ma wymiary (3x1) , zaś wektor przemieszczeń węzłów d wymiary liczby stopni
swobody elementu nedf = nen x 3, więc macierz funkcji próbnych, inaczej zwanych funkcjami kształtu, jest
macierzą prostokątną o wymiarach 3 x nedf . Każda ze składowych macierzy N jest funkcją i określa wpływ
danej składowej wektora przemieszczeń d na przemieszczenie dowolnego punktu elementu o współrzędnych
x, y, z .
Zależność µ(u) otrzymuje siÄ™ przez różniczkowanie stosownych wyrażeÅ„ na przemieszczenia,
µ = L Å" u Ò! µ = L Å" N Å" d Ò! µ = B Å" d .
(5.31)
Macierz B opisuje więc odkształcenia w każdym punkcie elementu, spowodowane jednostkowym
przemieszczeniem kolejnych stopni swobody węzłów. Z prawa fizycznego łatwo więc wyprowadzić, że
à = D Å"µ Ò! à = D Å" B Å" d ,
(5.32)
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 7
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
gdzie iloczyn macierzy D Å" B opisuje - podobnie jak poprzednio - zmiany naprężeÅ„ jako funkcje prze-
mieszczeń węzłów.
Zasada prac wirtualnych głosi, że jeśli układ znajdujący się w równowadze poddany jest wirtualnym
przemieszczeniom (kinematycznie zgodnym stanom deformacji), wówczas praca wirtualna zewnętrznych
obciążeń jest równa wirtualnej energii odkształcenia naprężeń wewnętrznych:
´ Ue = ´ We ,
(5.33)
gdzie U jest wewnÄ™trznÄ… energiÄ… odksztaÅ‚cenia, W - pracÄ… siÅ‚ zewnÄ™trznych, zaÅ› ´ oznacza wariacjÄ™ (stan
wirtualny - pomyślany, zgodny z więzami).
Wprowadzmy wiÄ™c wirtualny stan przemieszczeÅ„ wÄ™zÅ‚owych i oznaczmy go przez´d = [´di]
(i = 1, 2,...,nen ) . Wirtualne przemieszczenia i odkształcenia można wówczas wyrazić jako
´ u = N Å"´ d oraz ´ µ = B Å"´ d .
(5.34)
Wirtualna energia układu i praca wirtualna sił zewnętrznych wyrażają się teraz w postaci wzorów:
T T
(5.35)
´ Ue = Å"Ã Å" dV i ´ We = ´ pT Å" p + Å" b Å" dV
+"´µ +"´u
V V
kolejno podstawiajÄ…c otrzymujemy z (5.33)
T T
Å"
+"´µ Å"Ã Å" dV = ´ pT p + +"´u Å" b Å" dV . (5.36)
V V
Uwzględniając (5.32) i (5.34), otrzymujemy
T T T T
´ d BT Å" D Å"µ Å" dV = ´ d Å" p +´ d N Å" b Å" dV ,
+" +" (5.37)
V V
T
i raz jeszcze wykorzystujÄ…c (5.34) i upraszczajÄ…c przez ´ d , otrzymujemy
ëÅ‚ öÅ‚
T
ìÅ‚ ÷Å‚
BT Å" D Å" B Å" dV Å" d = p + N Å" b Å" dV
(5.38)
+" +"
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚V Å‚Å‚ V
lub ostatecznie
K Å" d = p + pb ,
(5.39)
gdzie K jest tzw. macierzą sztywności elementu, której składowe mogą być interpretowane jako fikcyjne
siły w węzłach, spowodowane jednostkowymi ich przemieszczeniami, pb zawiera równoważne siły węzło-
we spowodowane masą ciała.
µ0
Obecność początkowego stanu odkształceń można uwzględnić w następujący sposób:
- założyć superpozycję stanów odkształceń
µ = µ0 + C Å"Ã ,
(5.40)
- stąd naprężenie
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 8
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
à = D Å" (µ - µ0 )
(5.41)
i po podobnych podstawieniach i przekształceniach, jak to uczyniono powyżej, otrzymujemy:
K Å" d = p + pb + p0 ,
(5.42)
gdzie p0 = BT Å" D Å"µ0 Å" dV jest wektorem równoważnym obciążeniom wÄ™złów od poczÄ…tkowego
+"
V
stanu odkształceń (np. wpływ temperatury). Czytelnik mógłby dla nabrania umiejętności sprawdzić
poprawność wyprowadzonego wzoru (5.42).
Prześledzmy na prostym przykładzie pręta (rys. 5.1) postacie opisywanych macierzy oraz sposób doj-
ścia do sformułowania macierzy sztywności prostego elementu. Podkreślmy jednak w tym miejscu, że jak
dotąd próbujemy wyłącznie zdefiniować składowe stosownych macierzy i wektorów, odniesione do lokal-
nego układu współrzędnych i tylko do jednego elementu.
Rys. 5.1. Funkcje kształtu dla dwuwęzłowego elementu kratownicy
Wektor przemieszczenia upraszcza się tutaj do jednej tylko składowej u = [ux], podobnie zresztą jak
wektor sil masowych b = [bx]. Element jest dwu węzłowy i ma po jednym stopniu swobody w każdym węz-
le, tak więc globalny wektor przemieszczeń jest tylko dwuelementowy d = [d1, d2]= [u1, u2]. Podobnie
rzecz się ma z obciążeniami p = [p1, p2]= [px1, px2]. Przyjmijmy funkcję przemieszczeń w postaci lin-
iowej:
u = c1 + c2 Å" x , (5.43)
gdzie stałe ci wyznaczymy z warunków brzegowych
dla x = 0 u = d1 Ò! c1 = d1,
(5.44)
dla x = L u = d2 Ò! c2 = (d2 - d1)/ L .
Przemieszczenie dowolnego punktu wyraża się zatem wzorem
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 9
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
d1
x x îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚1 Å‚Å‚
u = - , Å" = N Å" d , (5.45)
ïÅ‚
L Lśł ïÅ‚d2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
gdzie macierz funkcji kształtu N składa się z dwóch funkcji liniowych. Przebieg tych funkcji zilustrowano
na rysunku 5.1.
Odkształcenia dla tego prostego przypadku opisano tylko jedną składową
du dN
µ = [µ ]= L Å" u = = Å" d = B Å" d (5.46)
x
dx dx
więc
1
B = Nx = Å"[-1, 1]. (5.47)
L
Stan naprężenia również sprowadza się do jednej tylko składowej:
à = à = D Å"µ = E Å"µ = E Å" B Å" d ,
(5.48)
x x
gdzie operator konstytutywny uprościł się do jednej tylko stałej.
Rys. 5.2. Obciążenia pręta kratownicy: osiowe ciągłe i liniowo zmienne
Macierz elementu otrzymujemy teraz z podstawienia:
L
Å‚Å‚ E Å" A îÅ‚ -1
Å‚Å‚
E îÅ‚-1 1
K = BT Å" D Å" B Å" dV = Å" Å"[-1 1] dA dx =
(5.49)
śł ïÅ‚ śł
+" +"+"
L2 ïÅ‚ 1 L
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚-1 1 ûÅ‚
V 0 A
gdzie przyjęto, że pole powierzchni przekroju pręta jest stale na całej jego długości.
Przyjmijmy dodatkowo, że pręt obciążony jest siłą masową, zmieniającą się liniowo, tak jak to poka-
zano na rysunku 5.2 według funkcji:
b2 - b1
bx = b1 + Å" x ; (5.50)
L
wówczas wektor sił masowych działających w węzłach wynosi:
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 10
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
L
2 Å" b1 + b2
1 îÅ‚ Å‚Å‚
T
pb = N Å" bx Å" dx = Å" .
(5.51)
ïÅ‚b
+"
6 + 2 Å" b2 śł
ðÅ‚ 1 ûÅ‚
0
Gdy element poddany jest działaniu temperatury "T , mamy do czynienia z początkowymi odkształ-
ceniami µ0 = µT = Ä… Å" ("T ) , gdzie przez Ä… oznaczono współczynnik rozszerzalnoÅ›ci cieplnej materiaÅ‚u.
Siły przykładane w węzłach elementu, spowodowane początkowymi odkształceniami, wynoszą:
L
îÅ‚-1
Å‚Å‚
p0 = pT = BT Å" D Å"Ä… Å" ("T )dA dx = E Å" AÅ"Ä… Å" ("T ) Å" .
(5.52)
ïÅ‚ śł
+"+"
1
ðÅ‚ ûÅ‚
0 A
Czytelnik mógłby zadać sobie trud sprawdzenia poprawności wyników wzorów (5.51) i (5.52).
5.4. Podstawy MES wyprowadzone z twierdzenia o minimum całkowitej energii po-
tencjalnej
Otrzymane w poprzednim rozdziale równania MES uzyskuje się również przez zastosowanie
twierdzenia o minimum całkowitej energii potencjalnej. Twierdzenie to głosi, że spośród wszystkich kinema-
tycznie dopuszczalnych pól przemieszczeń spełnia się to, które całkowitej energii potencjalnej zapewnia mi-
nimum. Całkowita energia potencjalna układu wyraża się jako:
= U -W , (5.53)
gdzie U oznacza energię sprężystą ciała, a W jest pracą sił zewnętrznych. Aatwo wykazać, że dla ciała
liniowo-sprężystego jest funkcjonałem kwadratowym i ma jedno globalne minimum. Rozwiązanie jest więc
jednoznaczne. Energię zapiszemy więc w postaci:
1
T T T
= Å"
(5.54)
+"Ã Å"µ Å" dV - +"u Å" b Å" dV - +"u Å" p* dS ,
2
V V S
gdzie p* jest danym obciążeniem brzegu S Przyjmując interpolację dla elementu w znanym już nam
kształcie:
T
u = N Å" d, µ = B Å" d, Ã = D Å"µ,
możemy powyższe twierdzenie ograniczyć do obszaru elementu i zapisać:
1
T T T T T
= Å" BT Å" D Å" B Å" d Å" dV - d Å" N Å" b Å" dV - d Å" N Å" p* Å" dS ;
(5.55)
+"d +" +"
2
Ve Ve SÃ
ze stacjonarności tego wyrażenia wynika równowaga elementu:
" e
= 0 Ò! BT Å" D Å" B Å" dV Å" d - pe = K Å" d - pe ,
(5.56)
+"
"d
Ve
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 11
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
gdzie pe opisuje siły węzłowe danego elementu jako efekt obciążeń masowych b i powierzchniowych p* :
T T
pe = N Å" b Å" dV + N Å" p* Å" dS .
+" +" (5.57)
Ve SÃ
Sprawę modyfikacji wyprowadzonych wzorów dla przypadków uwzględniających udział odkształceń
wstępnych pozostawia się Czytelnikowi.
Energia sprężysta pojedynczego elementu belkowego bez uwzględnienia wpływu ścinania wynosi:
1 1 E
2
T T
Ue =
x (5.58)
+"Ã Å"µ Å" dV = +"µ Å" D Å"µ Å" dV = +"µ Å" dV .
2 2 2
Ve Ve Ve
Jeśli przyjmiemy klasyczne założenie belki Bernoulli'ego, że odkształcenie jest funkcją przemieszcze-
nia (ugięcia),
2
d v
(5.59)
µ = - y Å" ,
x
dx2
wówczas energia wewnętrzna elementu zginanego wynosi:
2 2 2 2
1 1
2 2 2 2
E ëÅ‚ d v öÅ‚ E ëÅ‚ öÅ‚ E d v E Å" I d v
d v ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Ue = y2 Å" ìÅ‚ ÷Å‚ Å" dV =
+"ìÅ‚- y Å" ÷Å‚ Å" dV = +" ìÅ‚ ÷Å‚ +"ìÅ‚ ÷Å‚ +"+"dA dx = +"ìÅ‚ dx2 ÷Å‚ dx . (5.60)
ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 dx2 ÷Å‚ 2 dx2 2 dx2 ÷Å‚ 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Ve Ve 0 A 0
Równanie powyższe interpretuje energię wewnętrzną elementu belkowego jako funkcję przemieszczeń,
v = f (x)
.
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 12
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
Rys. 5.3. Postacie funkcji kształtu dla elementu belkowego
Rozpatrzmy element belkowy, płaski, dwuwęzłowy zginany w płaszczyznie x0 y , jak na rysunku 5.3.
Wektor przemieszczeń węzłowych przyjmijmy w postaci d = [d1, d2, d3, d4]= [v1, Ć1, v2, Ć2], gdzie
przez v oznaczono przemieszczenie prostopadłe do osi pręta, zaś Ć jest kątem obrotu przekroju. Indeksy
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 13
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
1,2 odnoszą się do numeracji węzłów. Zgodnie z założeniami klasycznej teorii belek kąty obrotu są po-
chodnymi przemieszczeń:
dv1 dv2
Ć1 = , Ć2 = . (5.61)
dx dx
Odpowiedni wektor sił węzłowych p = [p1, m1, p2, m2] zawiera siły skupione działające w kierun-
ku przemieszczeń oraz momenty zginające zgodne z kątami obrotów przekrojów.
Załóżmy funkcję przemieszczeń w postaci kompletnego wielomianu trzeciego stopnia:
v(x) = c1 + c2 Å" x + c3 Å" x2 + c4 Å" x3 . (5.62)
W funkcji tej współczynniki ci wyznaczymy z warunków brzegowych, które definiują wielkości
przemieszczeń i kątów obrotów na końcach elementów jako równe składowym wektora d. Zapiszmy te wa-
runki:
dv(0)
dla x = 0 v(0) = v1 oraz = Ć1
dx
(5.63)
dv(l)
dla x = l v(l) = v2 oraz = Ć2
dx
Po wyznaczeniu stałych ci zapiszemy macierz funkcji kształtu:
1
N = Å"[2 Å" x3 - 3Å" l Å" x2 + l3, l Å" x3 - 2 Å" l2 Å" x2 + x Å" l3, - 2 Å" x3 + 3Å" l Å" x2, l Å" x3 - l2 Å" x2] (5.64)
l3
Funkcje kształtu, które przedstawiono na rysunku 5.3, opisują zmianę przemieszczenia v(x) , spowo-
dowaną jednostkowymi przemieszczeniami węzłów. Jeśli założymy dalej prawdziwość hipotezy płaskich
przekrojów, wówczas przemieszczenie podłużne wyniesie:
dv
u(x) = - y Å" , (5.65)
dx
skąd odkształcenie
2 2
du d v d v
(5.66)
µ = = - y Å" = - y Å"º , gdzie º = .
x
dx dx2 dx2
Widzimy zatem, że operator różniczkowy L , transformujÄ…cy przemieszczenie v(x) w odksztaÅ‚cenie µ , ma
x
postać:
2
d
(5.67)
L = - y Å" ,
dx2
skÄ…d macierz B = L Å" N otrzymujemy w postaci:
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 14
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
y
B = L Å" N = - Å"[12 Å" x - 61, 61Å" x - 412, -12 Å" x + 61, 61Å" x - 212]. (5.68)
l3
PamiÄ™tajÄ…c, że dla tego prostego przypadku zwiÄ…zek fizyczny ma postać à = E Å"µ (czyli operator
x x
D = E ), otrzymujemy macierz sztywności K dla elementu belkowego:
16 6 Å" l -12 6 Å" l
îÅ‚ Å‚Å‚
-
E Å" Iz ïÅ‚ 6 Å" l 4 Å" l2 6 Å" l 2 Å" l2 śł
ïÅ‚ śł
Ke = Å" , (5.69)
l3 ïÅ‚-12 - 6 Å" l 12 - 6 Å" lśł
ïÅ‚
6 Å" l 2 Å" l2 - 6 Å" l 4 Å" l2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
gdzie Iz = y2dA . Drobne przekształcenia, które należało wykonać, by w końcu otrzymać jawną postać
+"
A
macierzy Ke , pozostawiamy Czytelnikowi.
Równoważne obciążenia węzłowe, wynikające z przyjęcia ciężaru równomiernie rozłożonego by bądz
liniowo zmieniajÄ…cego siÄ™ by (x) , jak na rysunku 5.4 wynoszÄ… odpowiednio:
l
by Å" l
T
pb = N Å" by Å" dx = Å"[6, l, 6, - l] - obciążenie staÅ‚e,
+"
12
0
(5.70)
by Å" l
pb = Å"[9, 2 Å" l, 21, - 3Å" l] - obciążenie liniowo zmienne.
60
Rys. 5.4 Obciążenia elementu belkowego: obciążenie równomierne i liniowo zmienne
Chcąc uwzględnić również wpływ odkształceń początkowych załóżmy, że element poddany jest lin-
iowej zmianie temperatury od "T1 na części dolnej do "T2 na górnej. Jeśli "T1 > "T2 i wysokość elementu
jest równa h , to zmiana temperatury w każdym punkcie wynosi:
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 15
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
1 y
"T = Å"("T1 + "T2)- Å"("T1 - "T2). (5.71)
2 h
Pierwszy człon opisuje efekt równomiernego ogrzania, a ponieważ nie wywołuje zginania, zostanie w
dalszych rozważaniach pominięty. Drugi człon powoduje odkształcenia od zginania:
y
µ = -Ä… Å" Å"("T1 - "T2 ) (5.72)
,
xT
h
znajdujemy więc
pT = BT Å"Ã Å" dV =
T
+"
V
(5.73)
l
y Ä… Å" E Å" Iz
= - BT Å" E Å"Ä… Å" Å"("T1 - "T2 )Å" dAdx = Å"("T1 - "T2)Å"[0, - l, 0, l]
+"+"
h h
0 A
Jeżeli znane sÄ… wyrażenia okreÅ›lajÄ…ce krzywizny poczÄ…tkowe º0 elementu, to poczÄ…tkowe odksztaÅ‚-
cenia wyrażają się zależnością:
µ = - y Å"º0 ,
(5.74)
x0
siły węzłowe wyznaczymy zgodnie z (5.42) jako:
pT = BT Å" D Å"µ0 Å" dV .
+" (5.75)
V
5.5. Podsumowanie
Spróbujmy na koniec tego rozdziału uświadomić sobie, w jaki czysto formalny sposób możemy zbu-
dować macierze sztywności elementów oraz wektory obciążeń, wynikające bądz z działania sił masowych,
bądz z wstępnych odkształceń. Zapamiętajmy następujący tok postępowania:
1. Rozpoczynamy od aproksymacji pola przemieszczeń, którą można wyrazić następująco :
u = g Å" c ,
(5.76)
gdzie przez g oznaczyliśmy tzw. macierz geometryczną, która najczęściej gromadzi odpowied-
nie potęgi stosowanych wielomianów interpolacyjnych, zaś c jest macierzą stałych. Stałe te
wyznaczymy z warunków brzegowych, ( przemieszczenia w węzłach muszą być zgodne z warto-
ściami przemieszczeń, wynikającymi z przyjętych funkcji )
2. Warunki brzegowe wyrażą się w postaci:
d = h Å" c , gdzie h = [gi] dla i = 1, 2,...,nedf .
(5.77)
Macierz h jest macierzą kwadratową i nieosobliwą, tak więc z układu równań (5.77) można wy-
znaczyć stałe wielomianów interpolacyjnych jako funkcji przemieszczeń węzłów,
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 16
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
(5.78)
c = h-1 Å" d .
3. Funkcje kształtu otrzymamy teraz automatycznie i formalnie:
u = g Å" h-1 Å" d = N Å" d , (5.79)
wiÄ™c N = g Å" h-1 .
4. ZnajÄ…c postać operatora różniczkowego L , z Å‚atwoÅ›ciÄ… wyznaczymy macierz B = L Å" N .
5. Teraz zupeÅ‚nie formalnie przy ustalonym prawie konstytutywnym à = D Å"µ otrzymujemy ma-
cierz sztywności K oraz pozostałe wektory pb, p0 lub pT .
Zaproponowany sposób postępowania spróbujemy wykorzystać w dalszych rozważaniach. Należy
jednak zaznaczyć, że o ile dla elementów o niewielkiej liczbie stopni swobody taki formalny sposób podej-
ścia jest wygodny, o tyle dla elementów bardziej skomplikowanych może okazać się nieskuteczny. W takich
przypadkach wygodniej będzie od razu próbować zdefiniować postacie funkcji kształtu N, a nie uzyskiwać
ich w sposób formalny. Ma to miejsce głównie w sytuacjach, gdy unika się budowania jawnej postaci macie-
rzy sztywności elementu, a otrzymuje się ją w wyniku zabiegów numerycznych.
Na koniec rozważań na temat formułowania elementów skończonych podejmijmy próbę odpowiedzi
na pytanie, kiedy rozwiązanie równania różniczkowego, opisującego dane zagadnienie brzegowo-
początkowe otrzymane za pomocą MES będzie zbiegać się z rozwiązaniem analitycznym (dokładnym). Czy
w miarę zwiększania liczby elementów skończonych rozwiązanie to będzie zbieżne z rozwiązaniem dokład-
nym? Zaznaczmy przed rozpatrzeniem tego problemu, że rozwiązania otrzymywane metodą elementów
skończonych są obarczone kilkoma typami błędów, wynikającymi z: błędów zaokrągleń obliczeń kompute-
rowych, błędów wynikających z aproksymacji praw konstytutywnych, błędów powstałych z całkowania ma-
cierzy i błędów metod rozwiązywania równań (sposobu całkowania równań ruchu). Poniżej rozpatrzymy
tylko błędy wynikające z dyskretyzacji, czyli idealizacji konstrukcji czy kontinuum materialnego elementami
skończonymi.
Można wykazać, że w celu zapewnienia monotonicznej zbieżności rozwiązań elementy skończone
muszą spełniać dwa zasadnicze kryteria: zupełności i zgodności. Jeżeli są one spełnione, to dokładność wy-
ników rośnie w miarę zagęszczania siatki podziału na elementy.
Warunek zupełności wymaga, by funkcje przemieszczeń elementu mogły reprezentować jego ruch
sztywny (beznaprężeniowy) oraz stan stałych odkształceń. Na przykład dla elementu płaskiego wymagane
jest by funkcje przemieszczeń mogły przedstawić 3 postacie ruchu sztywnego (dwa translacyjne i jeden
sztywny obrót) oraz stan stałego odkształcenia. Stan stałego odkształcenia można zinterpretować wymaga-
niem, by w miarę zagęszczania elementów przez ich pomniejszanie, w elementach takich odkształcenia po-
winny być stałe, by móc skolei reprezentować dowolne zmienny stan odkształcenia całego układu.
Drugie kryterium, tzw. kryterium zgodności elementu, oznacza, że przemieszczenia wewnątrz elemen-
tu jak i na jego brzegach powinny być ciągłe. Chodzi o to, by nie pojawiały się nieciągłości pola przemi-
eszczeń pomiędzy elementami w sytuacji, gdy układ elementów zostanie poddany obciążeniu. W przypadku
gdy mamy do czynienia tylko z translacyjnymi stopniami swobody wymaganie to sprowadza siÄ™ do spraw-
dzenia tylko ciągłości przemieszczeń u, v i w . W przypadku występowania rotacyjnych stopni swobody
zdefiniowanych jako pochodne przemieszczeń (w elementach belkowych i płytowych), należy spełnić to
wymaganie również dla tych stopni swobody, czyli spełnić ciągłość ich pierwszych pochodnych. Ciągłość tę
zazwyczaj trudno jest spełnić dla elementów płytowych, w których kąty obrotu są otrzymywane przez róż-
niczkowanie przemieszczeń poprzecznych.
Elementy nie spełniające powyższych kryteriów nazywane są elementami niedostosowanymi a ich
stosowanie nie gwarantuje . monotonicznej zbieżności wyników.
To, czy element jest zgodny i zupełny, zależy od użytego sformułowania i każde sformułowanie
należy sprawdzić indywidualnie.
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
5. PODSTAWOWE SFORMUAOWANIA METODY ELEMENTÓW 17
SKOCCZONYCH W NAWIZANIU DO RÓWNAC MECHANIKI KONTINUUM
Zadania
1. Zapisz funkcjonały całkowitej energii potencjalnej w notacji wskaznikowej i macierzowej dla ogól-
nego problemu kontinuum.
2. Podaj wyprowadzenie wzoru na macierz sztywności elementu belkowego z twierdzenia o minimum
całkowitej energii potencjalnej.
3. Wyprowadz wzory na postaci macierzy sztywności elementu prętowego (kratownicy) z równania
pracy wirtualnej i twierdzenia o minimum całkowitej energii potencjalnej. Jakie są wspólne cechy
tego wyprowadzenia?
4. Dana jest rama o geometrii przedstawionej poniżej na rysunku. Pozostałe dane o przekrojach przyj-
mij z tablicy. Należy :
- ponumerować węzły i pręty,
- sformułować macierze połączeń węzłów,
- obliczyć macierze sztywności wybranych elementów w układzie globalnym,
- dokonać agregacji globalnej macierzy sztywności układu,
- zmodyfikować układ równań zgodnie z warunkami brzegowymi.
Rysunek geometrii ramy płaskiej
A A A I I E P
[cm4 ] [cm4 ]
[kN]
[m] [cm2 ] [cm2 ] [GPa]
1.2 40 22 3000 1000 200 10
2.0 18 28 570 1450 200 12
1.0 240 96 9000 1200 80 6
1.5 240 72 9000 900 100 3
Tomasz Aodygowski, Witold Kąkol Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki Alma Mater
konstrukcji inżynierskich
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Techniki negocjacji i mediacji w administracji wykłady 05 11 2013Amara02 05 11Krystian Zyguła lab3 05 11 2013oak 05 11 2009ustawa o strażach gminnych 05,11,201405 1105 11?1 Exterior Rear View Mirrorswięcej podobnych podstron