Egzamin z Algebry, 11 2013 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
Nr Zadanie Odp.
1 i
1 Rozwiązać równanie (1 + i)z = i , z " C +
2 2
RozwiÄ…zanie:
i i(1 - i) i + 1
z = = =
1 + i (1 + i)(1 - i) 2
2 Dla jakich wartości parametru p układ równań ma rozwiązania niezerowe 0
Å„Å‚
ôÅ‚ px +y +z = 0
òÅ‚
y +z = 0
ôÅ‚
ół
x +z = 0
RozwiÄ…zanie:
p 1 1
|A| = 0 1 1 = p + 1 - 1 = p
1 0 1
|A| = 0 =Ò! p = 0
3 Dla jakiej wartości parametru m wektor w = [1, 2, 3 - m] jest prostopadły 3
x - y = 0
do prostej l :
x + y = 0
RozwiÄ…zanie:
l : x = 0 , y = 0 , z = t =Ò!
v = [0, 0, 1] wektor kierunkowy prostej l
w · v = 3 - m = 0 =Ò! m = 3
4 Wyznaczyć równanie okręgu przechodzącego przez punkty P (1, 0) i Q(5, 0) (x-2)2 +(y -
, którego środek leży na prostej y = 2. 2)2 = 8
RozwiÄ…zanie:
1 + 5
xs = = 3 środek okręgu leży na symetralnej odcinka P Q
2
(x - 3)2 + (y - 2)2 = R2 równanie okręgu
(1 - 2)2 + (0 - 2)2 = R2 =Ò! R2 = 8 punkt P leży na okrÄ™gu
5 Wyznaczyć punkt P symetryczny względem początku układu współrzęd- P (1, 1, 1)
nych do środka sfery o równaniu x2 + y2 + z2 + 2x + 2y + 2z - 9 = 0 .
RozwiÄ…zanie:
równanie sfery: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 12
środek sfery: Q(-1, -1, -1)
punkt symetryczny do Q: P (1, 1, 1)
1
2. Rozwiązać równanie z7 + 2z4 + z = 0 , z " C .
RozwiÄ…zanie:
z(z6 + 2z3 + 1) = 0
z(z3 + 1)2 = 0
z = 0 lub
"
3
z3 + 1 = 0 =Ò! z = -1
Zapisujemy liczbÄ™ pod pierwiastkiem w postaci trygonometrycznej:
-1 = 1 · (cos Ä„ + i sin Ä„)
Ą + 2kĄ Ą + 2kĄ
zk = cos + i sin , k = 0, 1, 2
3 3
"
Ä„ Ä„ 1 3
z0 = cos + i sin = + i
3 3 2 2
3Ä„ 3Ä„
z1 = cos + i sin = -1
3 3
"
5Ä„ 5Ä„ 1 3
z2 = cos + i sin = - i
3 3 2 2
Odpowiedz:
Rozwiązania równania:
" "
1 3 1 3
z0 = + i , z1 = -1 , z2 = - i , z3 = 0
2 2 2 2
2
3. Obliczyć niewiadomą z stosując wzory Cramera do układu równań
Å„Å‚
x + z + 4t = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x + 2y + 4z - t = 4
ôÅ‚
4x + 2t = 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3x + 2z + t = 2
RozwiÄ…zanie:
Wzór Cramera:
|A3|
z =
|A|
Obliczamy
1 0 1 4
1 1 4
1 2 4 -1 {Rozw. Laplace a k2}
|A| = 2 · (-1)4 · 4 0 2 =
4 0 0 2 =
3 2 1
3 0 2 1
2(6 + 32 - 4 - 4) = 60
1 0 0 4
1 0 4
1 2 4 -1 {Rozw. Laplace a k2}
|A3| = 2 · (-1)4 · 4 3 2 =
4 0 3 2 =
3 2 1
3 0 2 1
2(3 + 32 - 36 - 4) = -10
-10 1
z = = -
60 6
Odpowiedz:
1
z = -
6
3
4. Wyznaczyć punkt P symetryczny do punktu Q(5, 2, -1) względem płaszczyzny
Ä„ : 2x - y + 3z + 23 = 0
RozwiÄ…zanie:
-
-
Szukamy wektora QQ , gdzie Q (x, y, z) jest rzutem punktu Q na płaszczyznę Ą.
-
-
Wektor QQ = [x - 5, y - 2, z + 1] jest równoległy do wektora normalnego płaszczyzny
-
n = [2, -1, 3]
-
-
-
QQ = k
n
[x - 5, y - 2, z + 1] = k[2, -1, 3]
x = 2k + 5 , y = -k + 2 , z = 3k - 1
Q " Ä„ =Ò! 2(2k + 5) - (-k + 2) + 3(3k - 1) + 23 = 0 =Ò! 14k + 28 = 0 =Ò! k = -2
-
-
QQ = [-4, 2, -6]
Punkt P symetryczny do Q względem płaszczyzny znajdujemy z zależności:
-
- -
QP = 2QQ
-
QP = [-8, 4, -12] =Ò!
P = (5 - 8 , 2 + 4 , -1 - 12) = (-3, 8, -13)
Odpowiedz:
Punkt symetryczny do Q : P = (-3, 8, -13)
4
x + 1 y - 2 z - 1
5. Wyznaczyć punkt przecięcia prostej l : = = z płaszczyzną
2 1 -1
Ä„ : 3x - 2y + z - 3 = 0
RozwiÄ…zanie:
Postać parametryczna równania prostej:
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 2t - 1
òÅ‚
l : y = t + 2 , t " R
ôÅ‚
ół
z = -t + 1
Podstawiamy te równania do równania płaszczyzny
3(2t - 1) - 2(t + 2) + (-t + 1) - 3 = 0
3t - 9 = 0 =Ò! t = 3
P (5, 5, -2)
Odpowiedz:
Szukany punkt przecięcia:
P (5, 5, -2)
5
6. Wyznaczyć równania płaszczyzn stycznych do sfery (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 3
i prostopadłych do prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i środek
sfery.
RozwiÄ…zanie:
"
Środek sfery jest w punkcie S(1, 1, 1) , jej promień R = 3 .
-
Wektor kierunkowy prostej: OS = [1, 1, 1] .
Płaszczyzna styczna do sfery jest prostopadła do tej prostej. Jej wektor normalny jest
-
więc równy n = [1, 1, 1] .
x + y + z + D = 0 równanie płaszczyzny stycznej
Odległość środka sfery od płaszczyzny stycznej jest równa R .
"
|1 + 1 + 1 + D|
"
= 3
3
|D + 3| = 3
D + 3 = Ä…3
D1 = 0 , D2 = -6
Odpowiedz:
Szukana płaszczyzny:
Ä„1 : x + y + z = 0
Ä„2 : x + y + z - 6 = 0
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SIMR ALG1 EGZ 2013 02 05b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 05a rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2013 02 11a rozw 1SIMR AN1 EGZ 2013 02 04b rozwSIMR ALG1 EGZ 2008 02 07a rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 10b rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 12b rozwSIMR ALG1 EGZ 2014 02 07a rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2012 02 03b rozwSIMR ALG1 EGZ 2007 02 08b rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 10a rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 03a rozwSIMR ALG1 EGZ 2014 02 07b rozw 1SIMR AN1 EGZ 2013 02 12a rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 04a rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 02 08a rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 02 01b rozwSIMR AN1 EGZ 2013 09 05 rozwwięcej podobnych podstron