Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 Klucz punktowania do zadań zamkniętych Nr zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Odp. D B A C B B A A D C C D C A A A C B B B D Schemat oceniania do zadań otwartych Zadanie 22. (2 pkt) Rozwiąż nierówność -3x2 + 3x + 36 ł 0 . Rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap może być realizowany na 2 sposoby: I sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu) Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego -3x2 + 3x + 36 obliczamy wyróżnik tego trójmianu: -3- 21 -3+ 21 D= 9 + 432 = 441 i stąd x1 == 4 , x2 = =-3 -6 -6 albo stosujemy wzory ViŁte a: x1 + x2 =1 oraz x1 x2 =-12 i stąd x1 = 4 oraz x2 = -3 albo podajemy je bezpośrednio (explicite lub zapisując postać iloczynową trójmianu lub zaznaczając na wykresie) x1 = 4 , x2 =-3 lub -3 x - 4 x + 3 ł 0 ( )( ) lub y x 4 -3 2 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 II sposób rozwiązania (realizacja pierwszego etapu) Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego 2 1 147
-3ć x - + ł 0
2 4 Ł ł a następnie przekształcamy nierówność, tak by jej lewa strona była zapisana w postaci iloczynowej 2
1 49ł
-3ęć x - - ł 0 ś
ęŁ 2 ł 4 ś
1 7 1 7 ć -3ć x - - x - + ł 0
2 2 2 2 Łł Łł -3 x - 4 x + 3 ł 0 ( ) ( ) Drugi etap rozwiązania: Podajemy zbiór rozwiązań nierówności -3, 4 . Schemat oceniania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np. o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x = 4 , x =-3 i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f x = -3x2 + 3x + 36 i na tym ( ) poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności o rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. -3 x - 4 x + 3 i na ( ) ( ) tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność realizując pierwszy etap, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. o popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów ViŁte a: x1 + x2 =-1 i x1 x2 =-12 i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności : -3, 4 lub x -3, 4 lub -3 Ł x Ł 4 albo sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x ł-3 , x Ł 4 3 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 albo poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów 4 - 3 Uwagi 1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x1 = -3 i x2 = 4 i zapisze x 3, 4 , popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty. 2. Jeżeli błąd zdającego w obliczeniu pierwiastków trójmianu nie wynika z wykonywanych przez niego czynności (zdający rozwiązuje swoje zadanie ), to otrzymuje 0 punktów za całe zadanie. Zadanie 23. (2 pkt) 2x - b Funkcja f jest określona wzorem f x = dla x ą 9 . Ponadto wiemy, że f 4 =-1. ( ) ( ) x - 9 Oblicz współczynnik b. Rozwiązanie 24 - b Warunek f 4 =-1 zapisujemy w postaci równania z niewiadomą b: -1 = . ( ) 4 - 9 Rozwiązujemy to równanie i obliczamy współczynnik b: b = 3 . Schemat oceniania Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt 2 4 - b gdy poprawnie zapisze równanie z niewiadomą b, np. -1 = . 4 - 9 Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy obliczy współczynnik b = 3. 4 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 Zadanie 24. (2 pkt) Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole tego trapezu. Rozwiązanie 6 Obliczamy wysokość trapezu h, korzystając z faktu, że tangens kąta ostrego jest równy 3: h = 3 , stąd h = 12 . h 4 Zatem pole trapezu jest równe 6 +10 12 ( ) a
= 96 . 2 6 4 Schemat oceniania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy: obliczy wysokość trapezu h = 12 i na tym poprzestanie lub błędnie obliczy pole albo obliczy wysokość trapezu z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy pole trapezu. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy poprawnie obliczy pole trapezu P = 96 . Zadanie 25. (2 pkt) Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B, C, N są współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że AM = CN . Wykaż, że BM = MN . N C M A B 5 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 I sposób rozwiązania N C M D A B Rysujemy odcinek MD równoległy do odcinka AB. Uzasadniamy, że trójkąty BDM i MCN są przystające na podstawie cechy bkb: BD = CN , bo BD = AM MD = CM , bo trójkąt MDC jest równoboczny SBDM = 120 = SNCM Zatem BM = MN . Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt gdy napisze, że trójkąty BDM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wniosek, że BM = MN . Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy poprawnie uzasadni, że trójkąty BDM i MCN są przystające i wyprowadzi stąd wniosek, że BM = MN . Uwaga Zdający może też dorysować odcinek MD P BC i analogicznie pokazać, że trójkąty BMD i MNC są przystające. II sposób rozwiązania 2 Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABM obliczamy BM : 22 2 BM = AM + AB - 2 AM AB cos 60 = 2 2 1 = AM + AB - 2 AM AB = 2 2 2 = AM + AB - AM AB . 6 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 2 Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta MCN obliczamy MN : 22 2 MN = MC + CN - 2 MC CN cos120 = 2 2 1
= MC + CN - 2 MC CN ć - =
2 Ł ł 2 2 = MC + CN + MC CN Ponieważ AM = CN i MC = AB - AM , więc 2 22 MN = AB - AM + AM + AB - AM AM = ()( ) 22 2 2 22 = AB + AM - 2 AB AM + AM + AB AM - AM = AB + AM - AB AM . 22 Zatem BM = MN , czyli BM = MN . Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy korzystając z twierdzenia cosinusów, obliczy kwadraty długości odcinków BM i MN. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy poprawnie uzasadni, że BM = MN . Zadanie 26. (2 pkt) Liczby 64, x, 4 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu. I sposób rozwiązania Korzystając ze wzoru na trzeci wyraz ciągu geometrycznego obliczamy q iloraz ciągu: 4 = 64q2 1 q2 = 16 1 1 q =- lub q = . 4 4 1 Ponieważ ciąg jest malejący, to q = . 4 1 1 Obliczamy kolejne wyrazy ciągu: 64,16, 4,1, , zatem piąty wyraz ciągu jest równy . 4 4 II sposób rozwiązania Z własności ciągu geometrycznego wynika, że x2 = 64 4 . Stąd x2 = 256 , czyli x = 16 lub x =-16. Ponieważ ciąg geometryczny jest malejący, to x = 16 , a iloraz tego ciągu q jest 1 1 równy . Obliczamy kolejne wyrazy ciągu: 64,16, 4,1, , zatem piąty wyraz ciągu jest 4 4 1 równy . 4 Uwaga 4 1 43 1 Zdający może obliczyć piąty wyraz ciągu korzystając ze wzoru: 64ć = = .
4 44 4 Ł ł 7 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 Schemat oceniania Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt 1 gdy obliczy iloraz ciągu: q = . 4 Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt 1 gdy obliczy piąty wyraz ciągu: 4 Zadanie 27. (2 pkt) Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n jest wielokrotnością liczby 10 . Rozwiązanie Liczbę 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n przedstawiamy w postaci 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n = 93n - 4 2n + 3n - 2n = 3n 9 +1 - 2n 4 +1 =103n - 5 2 2n-1 = ( ) ( ) =10 3n - 2n-1 =10k , gdzie k = 3n - 2n-1 jest liczbą całkowitą. () Zatem liczba 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n jest wielokrotnością liczby 10 . Schemat oceniania Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt gdy zapisze liczbę 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n w postaci 3n 10 - 2n 5 i nie uzasadni, że liczba 2n 5 jest podzielna przez 10. Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie, np.: przekształci liczbę 3n 10 - 2n 5 do postaci 10 3n - 2n-1 =10k , gdzie k = 3n - 2n-1 ( ) jest liczbą całkowitą albo przekształci liczbę 3n 10 - 2n 5 do postaci 10 3n - 2n-1 i zapisze, że 3n - 2n-1 jest ( ) liczbą całkowitą albo zapisze liczbę w postaci 3n 10 - 2n 5 i uzasadni, że jest podzielna przez 10. Uwaga Jeśli zdający zapisuje kolejno: 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n =10x 3n 32 +1 - 2n 22 +1 =10x ( ) ( ) 103n - 52n =10x 5 23n - 2n =10x () 23n - 2n = 2x i uzasadnia, że 23n - 2n jest liczbą podzielną przez 2, to otrzymuje 2 punkty. 8 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 Zadanie 28. (2 pkt) Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III. Oceny 6 5 4 3 2 1 Liczba uczniów 1 2 6 5 9 2 Oblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen. Rozwiązanie Obliczamy średnią arytmetyczną ocen uzyskanych przez uczniów klasy III: 61+ 5 2 + 46 + 35 + 29 +12 75 = = 3 . 25 25 Obliczamy kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen: 222222 1 6 - 3 + 2 5 - 3 + 6 4 - 3 + 5 3- 3 + 9 2 - 3 + 2 1- 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 s == 25 19 + 24 + 61+ 50 + 91+ 24 9 + 8 + 6 + 0 + 9 + 8 40 == = = 1,6 25 25 25 Schemat oceniania Zdający otrzymuje............................................................................................................. 1 pkt gdy obliczy średnią arytmetyczną ocen uzyskanych przez uczniów klasy III i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy lub obliczy średnią arytmetyczną ocen uzyskanych przez uczniów klasy III z błędem rachunkowym i konsekwentnie do tego obliczy kwadrat odchylenia standardowego. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy obliczy średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen: odpowiednio 3 i 1,6. Zadanie 29. (2 pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba oczek w drugim rzucie jest o 1 większa od liczby oczek w pierwszym rzucie. I sposób rozwiązania W jest zbiorem wszystkich par a,b takich, że a,b 1,2,3,4,5,6 . Mamy model klasyczny, ( ) { } w którym W = 36 . Zdarzeniu A sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: 1, 2 , 2,3 , 3, 4 , 4,5 , 5,6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A 5 Zatem A = 5 i stąd P A = = . ( ) W 36 9 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt gdy zapisze, że W = 36 i A = 1,2 , 2,3 , 3, 4 , 4,5 , 5,6 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt 5 gdy obliczy prawdopodobieństwa zdarzenia A: P A = . ( ) 36 II sposób rozwiązania: metoda drzewa Rysujemy drzewo i pogrubiamy istotne dla rozwiązania zadania gałęzie tego drzewa. Zapisujemy prawdopodobieństwa tylko na tych gałęziach. 1 6 1 1 1 1 6 6 6 6 45 6 1 2 3 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 1 2 3 5 6 1 2 3 5 6 1 2 3 5 6 4 1 2 3 5 6 4 1 2 3 5 6 1 2 3 5 6 4 4 4 4 1 1 5 Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P A = 5 = . ( ) 6 6 36 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt gdy narysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa na jego gałęziach i wskaże na drzewie właściwe gałęzie (np. pogrubienie gałęzi lub zapisanie prawdopodobieństw tylko na istotnych gałęziach) albo narysuje drzewo, zapisze prawdopodobieństwa na jego gałęziach i nie wskazuje na drzewie odpowiednich gałęzi, ale z dalszych obliczeń można wywnioskować, że wybiera właściwe gałęzie. Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt 5 gdy obliczy prawdopodobieństwa zdarzenia A: P A = . ( ) 36 10 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 III sposób rozwiązania: metoda tabeli Rysujemy tabelę i wybieramy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A. II kostka 1 2 3 4 5 6 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 5 W = 36 i A = 5 , zatem P A = . ( ) 36 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy narysuje tabelę i wypisze wszystkie zdarzenia sprzyjające lub zaznaczy je w tabeli. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 5 gdy poda poprawną odpowiedz: P A = . ( ) 36 11 I kostka Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 Zadanie 30. (4 pkt) Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę 120 oraz AS = CS = 10 i BS = DS . Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. I sposób rozwiązania S b h c D a D C 2 e a f O A C b O a A B a a B Wprowadzmy oznaczenia: a długość boku rombu e, f długości przekątnych rombu h wysokość ostrosłupa b = AS = CS c = BS = DS . Obliczamy długości przekątnych podstawy. Ponieważ SABC = 120, to trójkąt ABD jest równoboczny. Zatem mamy: fa 3 e = BD = a i = OC = , 22 f stąd e = 4 , = 2 3 . 2 Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS, obliczamy wysokość ostrosłupa: 2 2 22 f ć h2 = b - =10 - 2 3 = 88 ( )
2 Ł ł h = 88 = 2 22 Obliczamy długość krawędzi bocznej BS: 2 e ć c2 = h2 + = 88 + 4
2 Ł ł c = 92 = 2 23 12 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 Obliczamy sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej BS ostrosłupa do płaszczyzny podstawy: h 2 22 22 506 sin b = = = = c 23 23 2 23 sin b 0,9780. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ......................................................................................................... 1 pkt e Obliczenie długości przekątnych podstawy ostrosłupa: e = 4 i f = 4 3 (lub = 2 2 f i = 2 3 ). 2 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt Obliczenie wysokości ostrosłupa h = 2 22 . Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt Obliczenie długości krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa: c = 2 23 . Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt 22 Obliczenie sin b = . 23 II sposób rozwiązania S b h c D a D C 2 e a f O A C b O a A B a a B Wprowadzmy oznaczenia: a długość boku rombu e, f długości przekątnych rombu h wysokość ostrosłupa b = AS = CS c = BS = DS . 13 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 Obliczamy długości przekątnych podstawy. Ponieważ SABC = 120, to trójkąt ABD jest równoboczny. Zatem mamy: a 3 e = BD = a i f = 2 OC = 2 , stąd e = 4 , f = 4 3 . 2 Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS, obliczamy wysokość ostrosłupa: 2 2 f ć h2 = b -
2 Ł ł 2 2 h2 = 10 - 2 3 = 88 , stąd h = 88 = 2 22 . ( ) Obliczamy tangens kąta nachylenia krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy: h tgb = = 22 e 2 Obliczamy sin b korzystając z tożsamości trygonometrycznych: sin b sin b tgb = = cos b 1- sin2 b sin b 22 = 1- sin2 b sin2 b 22 = 1- sin2 b 22 22 = 23sin2 b , zatemsin b = . 23 Uwaga Jeżeli zdający, korzystając z przybliżonej wartości tangensa kąta b (tgb = 22 4,6904 ), odczyta miarę kąta b 78 i następnie zapisze sin b sin 78 0,9781, to za takie rozwiązanie otrzymuje 4 punkty. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ..........................................................................................................1 pkt Obliczenie długości przekątnych podstawy ostrosłupa: e = 4 i f = 4 3 e f (lub = 2 i = 2 3 ). 2 2 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp......................................................................2 pkt Obliczenie wysokości ostrosłupa: h = 2 22 . Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt Obliczenie tangensa kąta nachylenia krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy tgb = 22 . Rozwiązanie pełne..............................................................................................................4 pkt 22 Obliczenie sin b = albo sin b sin 78 0,9781. 23 14 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 Zadanie 31. (4 pkt) Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A = 2, 1 i stycznego do obu osi ( ) układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki. Rozwiązanie y S1 = R, R ( ) A = 2,1 ( ) S = r,r ( ) x Ponieważ okrąg jest styczny do obu osi układu współrzędnych i przechodzi przez punkt A = 2, 1 leżący w I ćwiartce układu współrzędnych, to jego środek również leży ( ) w I ćwiartce układu współrzędnych. Stąd środek S tego okręgu ma współrzędne S = r, r , ( ) 2 2 gdzie r jest promieniem tego okręgu. Równanie okręgu ma zatem postać x-r + y-r =r2. ( ) ( ) 22 Punkt A = 2, 1 leży na tym okręgu, więc 2 - r + 1- r = r2 . Stąd otrzymujemy ( ) ( ) ( ) r2 - 6r + 5 = 0 . Rozwiązaniami tego równania są liczby: r = 1, r = 5 . To oznacza, że są 22 dwa okręgi spełniające warunki zadania o równaniach x -1 + y -1 =1 ( ) ( ) 22 i x - 5 + y - 5 = 25 . ( ) ( ) Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .................................................................... 1 pkt Zapisanie współrzędnych środka S szukanego okręgu w zależności od promienia r tego okręgu: S = r, r lub zapisanie, że środek okręgu leży na prostej o równaniu y = x . ( ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania ................................................................... 2 pkt Zapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą: 22 2 - r + 1- r = r2 czyli r2 - 6r + 5 = 0 . ( ) ( ) Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ....................................................... 3 pkt Zadanie rozwiązane do końca, ale w trakcie rozwiązania popełniano błędy rachunkowe. 15 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 Rozwiązanie pełne .............................................................................................................4 pkt Zapisanie równań obu okręgów: 22 22 w postaci kanonicznej: x -1 + y -1 =1 i x - 5 + y - 5 = 25 ( ) ( ) ( ) ( ) lub w postaci ogólnej: x2 + y2 - 2x - 2y +1 = 0 i x2 + y2 -10x -10y + 25 = 0 . Uwagi 1. Jeżeli zdający zapisze równanie jednego okręgu (nie wyprowadzając go), to otrzymuje 1 punkt. 2. Jeżeli zdający zapisze równania obu okręgów (nie wyprowadzając ich), to otrzymuje 2 punkty. Zadanie 32. (5 pkt) Z dwóch miast A i B, odległych od siebie o 18 kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta A o jedną godzinę wcześniej niż drugi z miasta B. Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu pierwszy turysta szedł do miasta B jeszcze 1,5 godziny, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziny do miasta A. Uwaga W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych vA , vB , x, t oznaczających odpowiednio: prędkość turysty z miasta A, prędkość turysty z miasta B oraz drogę i czas do momentu spotkania. Oczywiście niewiadome mogą być oznaczane w inny sposób. Nie wymagamy, by niewiadome były wyraznie opisane na początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie. Rozwiązanie Przyjmujemy oznaczenia, np.: vA , vB , x, t prędkość turysty z miasta A, prędkość turysty z miasta B oraz droga i czas do momentu spotkania. Zapisujemy zależność między drogą x, prędkością vA i czasem t dla jednego z turystów, np.: x 18 - x vA = (prędkość do chwili spotkania) i vA = (prędkość od chwili spotkania). t +1 1,5 Zapisujemy zależność między drogą x, prędkością vB i czasem t dla drugiego z turysty 18 - x x (wychodzącego z miasta B), np.: vB = (prędkość do chwili spotkania), vB = t 4 (prędkość od chwili spotkania). Zapisujemy zależność między drogą a czasem w sytuacji opisanej w zadaniu za pomocą x 18 - x
t +1 = 1,5 układu równań
18 - x x =
t 4 16 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 Rozwiązując układ równań, doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.: Rozwiązujemy równania otrzymując kolejno: Z drugiego równania wyznaczamy x Z drugiego równania wyznaczamy t 72 72 - 4x x = t = t + 4 x i wstawiamy do pierwszego równania i wstawiamy do pierwszego równania 72 72 72 - 4x ć18 1,5 = - t +1 1,5x = 18 - x ć +1 ( ) ( )x
t + 4 t + 4 Łł Łł 108 72t 72 18 72 - 4x ( ) =18t +18 - - 1,5x = +18 - 72 + 4x - x t + 4 t + 4 t + 4 x mnożymy obustronnie przez t + 4 18 72 - 4x ( ) 1,5x = - 54 + 3x 108 = 18t t + 4 +18 t + 4 - 72t - 72 ( ) ( ) x mnożymy obustronnie przez x 18t2 +18t -108 = 0 dzielimy obustronnie przez 18 1,5x2 =1296 - 72x - 54x + 3x2 t2 + t - 6 = 0 1,5x2 -126x +1296 = 0 D=1+ 24 = 52 dzielimy obustronnie przez 1,5 -1- 5 x2 -84x + 864 = 0 t1 = = -3 2 D= 7056 - 3456 = 602 -1+ 5 84 - 60 t2 = = 2 x1 = =12 2 2 t1 jest sprzeczne z warunkami zadania 84 + 60 x2 = = 72 72 72 2 obliczamy x = = =12 , t + 4 6 x2 jest sprzeczne z warunkami zadania a następnie prędkość z jaką szedł każdy 72 - 4x 24 z turystów, np: obliczamy t = = = 2 , x 12 x 12 vA = = = 4km/h a następnie prędkość z jaką szedł każdy z t +1 3 turystów, np.: 18 - x 6 18 - x 6 vB = = = 3km/h vA = = = 4km/h t 2 1,5 1,5 x 12 vB = = = 3km/h 4 4 Z pierwszego równania wyznaczamy x Z pierwszego równania wyznaczamy t 18t +18 2,5x -18 x = t = t + 2,5 18 - x i wstawiamy do drugiego równania i wstawiamy do drugiego równania 2,5x -18 18t +18 ć 18t +18 ( ) t = 418 - 18 - x 4 = x 18 - x t + 2,5 t + 2,5 Łł mnożymy obustronnie przez 18 - x 18t2 +18t 72t + 72 = 72 - 324 - 36x + x2 4 = 2,5x2 -18x ( ) t + 2,5 t + 2,5 4x2 -144x +1296 = 2,5x2 -18x mnożymy obustronnie przez t + 2,5 1,5x2 -126x +1296 = 0 18t2 +18t = 72 t + 2,5 - 72t - 72 ( ) dzielimy obustronnie przez 1,5 18t2 +18t -108 = 0 x2 -84x + 864 = 0 dzielimy obustronnie przez 18 17 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 t2 + t - 6 = 0 D= 7056 - 3456 = 602 84 - 60 D=1+ 24 = 52 x1 = =12 -1- 5 2 t1 = = -3 84 + 60 2 x2 = = 72 -1+ 5 2 t2 = = 2 x2 jest sprzeczne z warunkami zadania 2 t1 jest sprzeczne z warunkami zadania 72 - 4x 24 obliczamy t = = = 2 , 72 72 x 12 obliczamy x = = =12 , a następnie prędkość z jaką szedł każdy t + 4 6 z turystów, np.: a następnie prędkość z jaką szedł każdy 18 - x 6 z turystów, np: vA = = = 4km/h x 12 1,5 1,5 vA = = = 4km/h t +1 3 x 12 vB = = = 3km/h 18 - x 6 4 4 vB = = = 3km/h t 2 Zapisujemy odpowiedz: Turyści szli z prędkościami: vA = 4 km/h, vB = 3 km/h . Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania.............................................................................................1 pkt Zapisanie zależności między prędkością vA , prędkością vB , drogą x i czasem t dla jednego x 18 - x z turystów, np.: = lub 18 - x x lub 18 = vA t +1+1,5 lub 18 = vB t + 4 . = ( ) ( ) t +1 1,5 t 4 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp......................................................................2 pkt Zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.: x 18 - x
t +1 = 1,5
18 - x x =
t 4 Pokonanie zasadniczych trudności zadania.....................................................................3 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np.: 72 72 72 - 4x ć18 1,5 = - t +1 lub 1,5x = 18 - x ć +1 ( ) ( )x
t + 4 t + 4 Łł Łł Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Uwaga: Jeżeli zdający przy pokonywaniu zasadniczych trudności zadania popełni błędy rachunkowe, usterki i na tym zakończy to otrzymuje 2 punkty. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ........................................................4 pkt rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie: t = 2 h i nie obliczenie prędkości turystów 18 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych Marzec 2012 albo rozwiązanie równania z niewiadomą x bezbłędnie: x = 12 i nie obliczenie prędkości turystów albo obliczenie t lub x z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 5 pkt vA = 4km/h