EGZAMIN z ALGEBRY 6 lutego 2014
Imię i nazwisko grupa
(dużymi literami)
Zad 1 Zad 2 Zad 3 Zad 4 Zad 5 Zad 6 " z egz Ćwicz Razem Ocena
UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.
1. V i W są przestrzeniami liniowymi, a F :V W jest odwzorowaniem liniowym.
a) Podać definicję jądra Ker F i uzasadnić, że jest podprzestrzenią liniową.
b) Wykazać, że jeśli dim(Ker F) = 1, to odwzorowanie F nie jest różnowartościowe.
c) Podaj jądro odwzorowania F : R3 R3 będącego rzutem ortogonalnym na płaszczyznę
x - 3y + 2z = 0 .
2. Dane jest przekształcenie liniowe F : R3 R3 takie, że F((-1,1, 3))= (1,1,1),
F((- 2, 4, - 2))= (1, -1, 0), F((-1,1,1))= (0,1,1). Znalezć macierz tego przekształcenia w bazie
standardowej. Napisać jego wzór . Czy istnieje przekształcenie odwrotne do F.
Podać przykładowe bazy jądra Ker F oraz obrazu Im F.
3. Znalezć odpowiednie ortonormalne przekształcenie przestrzeni R3 , aby zidentyfikować
powierzchnię o równaniu x2 - 2y2 + z2 + 6xy - 2yz =12 . Napisać równanie tej powierzchni
~, ~)
w przekształconym układzie współrzędnych (~, y z .
x
4. Wyznaczyć w zbiorze liczb zespolonych rozwiązania równania z8 + z4 +1 = 0 spełniające
nierówność 3 - 2i z4 d" 3 - i .
5. Dane są punkty A(1,2,4) , B(3,4,2), C(0,2,1). Znalezć płaszczyznę, na której leży trójkąt ABC
oraz postać parametryczną symetralnej boku AB tego trójkąta.
r r r r r r
6. Czy wektor u = (1,1,-1) należy do podprzestrzeni Lin (v1,v2,v3,v4,v5)
r r r r r
dla v1 = (1,-1, 2) , v2 = ( 3, 4,1) , v3 = ( 5, 2, 5) , v4 = ( 7, 7, 4) , v5 = ( 4, 3, 3) ?
r r r r r r
Dla jakiego k " R wektor w = (1, 6, k) jest kombinacja liniową wektorów v1,v2,v3,v4,v5 ?
r r r r r
Podać dwie różne bazy przestrzeni Lin (v1,v2,v3,v4,v5) .
EGZAMIN z ALGEBRY 6 lutego 2014
Imię i nazwisko grupa
(dużymi literami)
Zad 1 Zad 2 Zad 3 Zad 4 Zad 5 Zad 6 " z egz Ćwicz Razem Ocena
UWAGA Wszystkie odpowiedzi na zadane pytania muszą być uzasadnione.
1. V i W są przestrzeniami liniowymi, a F :V W jest odwzorowaniem liniowym.
a) Podać definicję obrazu Im F i podać związek między (wymiarami) Ker F i Im F gdy
przestrzenie V i W są skończenie wymiarowe.
b) Wykazać, że jeśli dimV = n i dim(Im F) = n -1, to odwzorowanie F nie jest
różnowartościowe.
c) Podaj obraz odwzorowania F : R3 R3 będącego rzutem ortogonalnym na płaszczyznę H
jeśli kierunek rzutu jest równoległy do prostej l : x = 2t, y = -3t, z = 5t .
2. Dane jest przekształcenie liniowe F takie, że F((-1, 2, 0))= (1, 0, -1), F((0, -1,1))= (-1,1, 3),
F((- 3, 2, 2))= (2,1, -1). Znalezć macierz tego przekształcenia w bazie standardowej. Napisać
jego wzór . Sprawdzić czy istnieje przekształcenie odwrotne do F.
Podać przykładową bazy jądra ( Ker F ) i obrazu (Im F) tego odwzorowania.
3. Znalezć odpowiednie ortonormalne przekształcenie przestrzeni R3 , aby zidentyfikować
powierzchnię o równaniu x2 - 2y2 - 2z2 + 2xy + 2xz + 8yz = 6 . Napisać równanie tej powierzchni
~,~)
w przekształconym układzie współrzędnych (~, y z .
x
4. Wyznaczyć w zbiorze liczb zespolonych rozwiązania równania z8 + z4 +1 = 0 spełniające
nierówność 2i z4 + 3 d" i + 3 .
5. Dane są punkty A(0,2,1) , B(3,2,-1), C(2,6,5). Znalezć płaszczyznę, na której leży trójkąt
ABC oraz postać kierunkową symetralnej boku AC tego trójkąta.
r r r r r r
6. Czy wektor u = ( 3, 0,1) należy do podprzestrzeni Lin (v1,v2,v3,v4,v5)
r r r r r
dla v1 = ( 1, 2,1) , v2 = ( 2, 4, 2) , v3 = ( 5, - 2,1) , v4 = (1, 8, 3) , v5 = ( 4, 2, 2) ?
r r r r r r
Dla jakiego k " R wektor w = (-3, 6, k) jest kombinacja liniową wektorów v1,v2,v3,v4,v5 ?
r r r r r
Podać dwie różne bazy przestrzeni Lin (v1,v2,v3,v4,v5) .
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
patomorfa luty 2014Lubelska Matura próbna Luty 2014Giełda z hematologii luty 2014 gr6Egz T1 14egz zal sem2 03 pop t1 (2)2014 WM egz 2 zadaniaSIMR ALG1 EGZ 2014 02 07a rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2014 02 07b rozw 1PPK Egz Zbiorczy T0 T1 WSBCieszynegz 2012 t1egz 2013 t1AK Egz Zbiorczy Lato2009 T0 WSBCieszyn0maj09 T1 Lip09więcej podobnych podstron