ANALIZA A1 Wykład: J. Wróblewski
KOLOKWIUM nr 5, zestaw A, 14.11.2006
Zadanie 9.
Wskazać liczbę naturalną k, dla której granica
"
6
3n2 +2· nk +1
" "
lim
3
n"
n2 +5· n7 +7+7· n4 +4
istnieje i jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Obliczyć wartość granicy przy tak wybranej
liczbie k.
RozwiÄ…zanie:
Dzieląc licznik i mianownik danego wyrażenia przez n7/3 otrzymujemy

"
3
6 6 1
+2· nk-14 +
3n2 +2· nk +1
n1/3 n14
" "
lim = lim .
3
n" n" 1 3 7 1 4
n2 +5· n7 +7+7· n4 +4
+5· 1+ +7· +
n1/3 n7 n2/3 n14/3
Mianownik ostatniego wyrażenia dąży do 5 przy n ", natomiast licznik ma granicę
skończoną dodatnią dla k = 14 i granica licznika jest wtedy równa 2.
Odpowiedz
: Przy k = 14 granica jest równa 2/5.
Uwaga: Liczba k = 14 jest jedyną liczbą spełniającą warunki zadania. Jednak zgodnie
z poleceniem wystarczyło wskazać k, bez konieczności uzasadnienia, że takie k jest tylko
jedno.
Zadanie 10.
Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność

2n 5n
n· < .
n 2
RozwiÄ…zanie:
Zamierzamy przeprowadzić dowód indukcyjny.

2n
5n
Dla n = 1 mamy n· = 2 oraz = 5/2, a zatem dana w zadaniu nierówność przyj-
n 2
muje postać 2 < 5/2, jest więc prawdziwa.
Niech teraz n będzie taką liczbą naturalną, że

2n 5n
n· < .
n 2
1
Chcemy wykazać, że

2n+2 5n+1
(n+1)· < .
n+1 2
Wychodząc od lewej strony powyższej nierówności otrzymujemy

2n+2 (n+1)(2n+2)! (n+1)(2n)!(2n+1)(2n+2)
(n+1)· = = =
n+1 (n+1)!(n+1)! n!(n+1)n!(n+1)

2n (n+1)(2n+1)(2n+2) 2n 2(2n+1) 5n 4n+2 5n 5n+1
= n· · = n· · < · ·5 = ,
n n(n+1)(n+1) n n 2 n 2 2
o ile udowodnimy, że
4n+2
5 .
n
Powyższa nierówność jest równoważna nierówności
4n+2 5n ,
czyli n 2.
Drugi krok indukcyjny został więc przeprowadzony tylko dla n 2.
Dla kompletności dowodu należy sprawdzić daną w treści zadania nierówność dla
n = 2, gdyż to sprawdzenie okazuje się przejmować rolę pierwszego kroku indukcyjnego:

4 52
2· = 12 < 25/2 = .
2 2
Na mocy zasady indukcji matematycznej dana w zadaniu nierówność została udowod-
niona dla każdej liczby naturalnej n 2, a ponadto na początku rozwiązania wykonaliśmy
sprawdzenie dla n = 1.
Uwagi:
Sprawdzenie dla n = 2 nie wydaje się wymagać wiele pracy, jednak brak świadomości
konieczności wykonania tego sprawdzenia jest bardzo poważnym błędem.
Jeśli zamiast nierówności
4n+2
5
n
pojawi się nierówność
4n+2
< 5 ,
n
to w konsekwencji drugi krok indukcyjny zostanie przeprowadzony dla n > 2. Tym samym
konieczne będzie także sprawdzenie dowodzonej nierówności dla n = 3.
2


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
kolokwium12 2006a
kolokwium8 2006a
kolokwium9 2006a
kolokwium6 2006a
kolokwium2 2006a
Przykladowe kolokwium 2
Kolokwium 3 2015
kolokwium 1 BO przyklad
kolokwium zaliczeniowe

więcej podobnych podstron