Nazwisko i imię: Zespół: Data:
Ćwiczenie nr 0: Szacowanie niepewności w pomiarach laboratoryjnych
Cel ćwiczenia:
Zapoznanie się z metodami obliczania niepewności wielkości mierzonych i wyliczanych w laboratorium
fizycznym.
Literatura
[1] Szydłowski H., Międzynarodowe normy oceny niepewności pomiaru, Postępy Fizyki, Tom 51, Zeszyt
2, 2000.
[2] Ostachowicz J., Technika opracowania danych pomiarowych w ćwiczeniach laboratoryjnych z fizyki,
OEN, Akademia Górniczo-Hutnicza im. St. Staszica, Kraków 1999.
[3] Guide to Expression of Uncertainty in Measurements, ISO 1995, Switzerland; tłumaczenie: Wyra-
żanie niepewności pomiaru. Przewodnik, GUM, 1999.
[4] Zięba A.,Opracowanie danych pomiarowych
(http://www.ftj.agh.edu.pl/wfitj/dydaktyka/danepom.pdf)
[5] Tarasiuk J.,Wirtualne Vademecum Statystyki
(http://www.ftj.agh.edu.pl/<"tarasiuk/wvs/index1.htm)
Zagadnienia do opracowania Ocena i podpis
1. Co to jest niepewność wyniku pomiaru i czym różni się od pojęcia błędu pomiaru?
Jak zapisujemy wynik pomiaru z niepewnością?
2. Jak szacujemy niepewność wyniku gdy wykonujemy pomiar jednokrotnie?
3. Omów rozkład normalny (Gaussa) i objaśnij pojęcie prawdopodobieństwa i gęsto-
ści prawdopodobieństwa.
4. Jaka wielkość statystyczna jest miarą niepewności i jak ją szacujemy?
5. Omów prawo przenoszenia niepewności; kiedy wolno je stosować?
6. Podstawowe parametry statystyczne wielokrotnego pomiaru (wartość średnia, od-
chylenie standardowe pojedynczego pomiaru i wartości średniej).
7". Wyjaśnij pojęcia: poziom ufności i przedział ufności na przykładzie rozkładu nor-
malnego
8". Wyjaśnij pojęcia niepewności rozszerzonej. Jak szacuje się niepewność w przy-
padku niewielkiej liczby powtórzeń pomiaru?
Ocena z odpowiedzi:
"
zagadnienia dla studentów WFiIS.
0-1
1 Opracowanie ćwiczenia
Opracuj i opisz zagadnienia nr i
podpis:
0-2
2 Wprowadzenie
Niniejsze ćwiczenie przewidziano jako ćwiczenie wstępne, zapoznające z szacowaniem niepewności w
pomiarach laboratoryjnych. Jest ono realizowane przez każdego studenta poza pracownią, jako praca
domowa, której zakres ustala prowadzący. Istotne zmiany nomenklatury i pojęć w technice opracowa-
nia wyników pomiaru, wprowadzane od lat dziewięćdziesiątych w świecie, a obecnie również w Polsce,
zmusiły do poprzedzenia części praktycznej wprowadzeniem ułatwiającym realizację tego ćwiczenia.
Dodajmy jednak, że rzetelne przygotowanie się do szacunku niepewności w pomiarach laboratoryj-
nych wymaga w zasadzie przyswojenia sobie podstawowych wiadomości ze statystyki. Oprócz wielu
podręczników, pomocą w tym może służyć Wirtualne Vademecum Statystyki znajdujące się w ma-
teriałach dydaktycznych na stronie Wydziału Fizyki i Informatyki Stosowanej AGH (pozycja [5] w
spisie literatury).
Pomiar i zapis wyniku pomiaru
Pomiar. Aby cokolwiek zmierzyć, musimy znać definicję mierzonej wielkości (np. co to jest dłu-
gość?) oraz jej jednostkę (np. metr), musimy dysponować sprawnym przyrządem pomiarowym
(np. liniałem czy taśmą metalową, suwmiarką, śrubą mikrometryczną) wyskalowanym według
wzorca. Porównując wielkość mierzoną (np. długość stołu) z jednostkową długością (np. 1 mm
na przymiarze metalowym) uzyskamy wynik pomiaru, to jest liczbÄ™ wraz z jednostkÄ… (np. 1522
mm). Podobna jest procedura pomiaru wielkości fizycznych wyznaczanych metodami pośredni-
mi, na przykład pomiar temperatury za pomocą termometru spirytusowego z wykorzystaniem
zjawiska rozszerzalności objętościowej cieczy.
Wynik pomiaru i jego zapis. Liczba otrzymana w wyniku procedury pomiarowej wraz z jednost-
ką, np. przytoczony powyżej rezultat pomiaru długości stołu 1522 mm, nie jest pełną informa-
cją o mierzonej wielkości. Potrzebna jest również ocena wiarygodności uzyskanego rezultatu
polegająca na oszacowaniu tzw. niepewności wyniku. Rozróżniamy dwie metody obliczeń nie-
pewności pomiaru: metodę typu A (stosowaną dla serii pomiarów) lub metodę typu B (np.
dla pojedynczego pomiaru niepewność szacowana jest z niepewności wzorcowania przyrządu
lub w oparciu o tzw. działkę elementarną stosowanego miernika). Najczęściej wykorzystuje się
pojęcie niepewności standardowej (u). Przyjęto umowę, że wynikiem pomiaru jest uzyskany
liczbowy rezultat pomiaru wraz z wartością liczbową oszacowanej niepewności standardowej
obie liczby reprezentują pewne wielkości, wyrażone przy użyciu tej samej jednostki! Nie-
pewność standardową zaokrągla się do maksymalnie dwóch cyfr znaczących, a wynik pomiaru
zaokrągla się i podaje z miejscami znaczącymi zgodnymi co do pozycji z niepewnością. Na
przykład, zapisujemy wynik: 1522 z niepewnością 1, ale nie 1522 z niepewnością 0,9. Albo
1,00061 (u = 0, 00027), czy zaokrÄ…glony 1,0006 (u = 0, 0003), ale nie 1,0006 (u = 0, 00027). Ka-
rygodnym jest podawanie wszystkich cyfr wynikających z obliczeń numerycznych przy użyciu
kalkulatora, np.: 1522,79346214 (u = 1, 35791622).
Nazewnictwo. W języku potocznym, a także w wielu dotychczasowych opracowaniach nauko-
wych i technicznych stosuje się pojęcie błędu i uściślenia tego pojęcia przydatne do opisu efektów
spowodowanych różnymi przyczynami (zródłami) różnic wyniku pomiaru wielkości mierzonej i
jej wartości prawdziwej. Przez błąd rozumie się różnicę wyniku pomiaru i wartości prawdziwej,
zazwyczaj nieznanej.
Ocena niepewności typu B (pomiar jednokrotny)
Dość często w życiu codziennym, w technice i nauce uznajemy za wystarczające jednokrotne
wykonanie pomiaru. W zależności od potrzeby dobieramy wówczas przyrząd pomiarowy odpo-
wiedniej jakości (dokładności). Na przykład, w pomiarach długości czy grubości jest to liniał
metalowy z najmniejszą działką pomiarową 1 mm albo suwmiarka (z działką 0,1 mm lub 0,005
mm) czy też śruba mikrometryczna z działką 0,01 mm. Do każdego przyrządu pomiarowego
powinna być dostarczona informacja producenta o dokładności z jaką mierzy dany przyrząd
(często sprowadza się ona do podania tzw. błędu maksymalnego maksymalnej różnicy mię-
dzy wynikiem poprawnego odczytu ze skali przyrządu a wartością prawdziwą). W przypadku
braku takiej informacji przyjmuje się, że dokładność, z jaką mierzy dany przyrząd jest równa
0-3
wartości działki elementarnej (np. 0,01 mm dla śruby mikrometrycznej, czy też 1 mm dla przy-
miaru metrowego). Zdarzają się jednak przypadki, że na przyrządzie zaznaczone są drobniejsze
działki, niż to wynika z jego rzeczywistej dokładności (np. działki jednomilimetrowe na kilkuna-
stometrowej taśmie mierniczej powszechnego użytku). Wtedy to należy kierować się własnym
doświadczeniem i przyjąć rozsądną wartość dokładności z jaką mierzy dany przyrząd, równą
wielokrotności działki elementarnej (np. 1 cm dla wspomnianej wyżej taśmy mierniczej, o ile
mierzona długość przekracza kilka metrów). Podobnie, wykorzystując przyrząd analogowy, np.
woltomierz wychyłowy magnetoelektryczny, możemy oszacować dokładność wyniku pomiaru na
podstawie tzw. klasy przyrządu. Klasa przyrządu to liczba, która określa jaki procent używane-
go w pomiarze zakresu przyrządu może być utożsamiany z dokładnością pomiarową, a dokładnie
błędem maksymalnym. I tak, pomiar napięcia 12,5 V przy zakresie 30 V, przyrządem klasy
1 , wykonany jest z dokładnością wynoszącą 1% z 30 V = 0,3 V. Oszacowanie niepewności
pomiaru jednokrotnego metodÄ… typu B, uB, dokonujemy w oparciu o analizÄ™ a priori (przed
pomiarem) wszystkich znanych zródeł niepewności, w szczególności o informacje o danym typie
przyrzÄ…du i metodzie pomiaru. Korzystamy tu z danych producenta przyrzÄ…du oraz analizuje-
my warunki, w jakich pomiar został wykonany. Oznaczmy dokładność pomiaru przez " jest
to zwykle najmniejsza działka używanego przyrządu (ew. błąd maksymalny). Przyjmujemy za-
zwyczaj, że z równym prawdopodobieństwem nieco różne wartości mierzonej wielkości mogą się
zawierać w przedziale (µ Ä… "), gdzie przez µ oznaczamy tzw. wartość oczekiwanÄ… zmiennej
losowej, którą reprezentuje mierzona wielkość. Wartość oczekiwana może być utożsamiana ze
wspomnianą wcześniej prawdziwą wartością mierzonej wielkości (np. uzyskaną z bardzo
dobrym przybliżeniem - w pomiarach o wyjątkowo wysokim stopniu dokładności). Z rozważań
statystycznych tego postulowanego tzw. równomiernego rozkładu zmiennej losowej wynika, że
niepewność standardowa typu B, uB, pomiaru tym przyrządem wyraża się wzorem
"
uB = "/ 3 H" 0.58". (1)
Przykład 1.
Zmierzono suwmiarką grubość płyty stalowej i odczytano wynik 24,8 mm. Zapiszemy wynik
pomiaru: 24,8 mm (" = 0, 1mm) zaznaczając, że na podstawie informacji o przyrządzie przy-
jęliśmy wartość działki elementarnej równą 0,1 mm. Pomiarowi temu przypiszemy niepewność
standardową, u, równą 0,06 mm [wzór(1)], zaznaczając, że uwzględniliśmy tylko informacje o
jakości przyrządu (suwmiarki).
Ocena niepewności typu A (pomiar wielokrotny)
Jeżeli oceniamy, że zmienne warunki pomiaru lub zmiany mierzonego obiektu mogą powodować
nieco różne wyniki pomiaru, często decydujemy się na wielokrotne powtarzanie pomiaru. Na
przykład, wyniki pomiaru średnicy dość długiego, metalowego drutu o przekroju kołowym, wy-
konywane śrubą mikrometryczną w różnych miejscach drutu mogą znacząco się różnić. Oznacz-
my kolejne wyniki n-krotnie powtórzonego pomiaru przez xi, gdzie indeks i oznacza numer
pomiaru (i = 1, ..., n). Wówczas średnia arytmetyczna x z wyników pomiarów jest dobrym
Å»
oszacowaniem (w statystyce używamy terminu: estymatorem) wartoÅ›ci oczekiwanej µ:
n
1
x = xi - µ. (2)
Å»
n "
n
i=1
(Z powyższego wzoru wynika, że dla liczby pomiarów rosnącej nieograniczenie średnia arytme-
tyczna staje się dokładnie wartością oczekiwaną).
Niepewność standardową typu A, uA, mierzonej wielkości x utożsamiamy w tym przypadku z
odchyleniem standardowym średniej S(x); i tak niepewność standardowa uA opisana jest
Å»
wzorem:
n
(xi - x)2
Å»
i=1
uA = u(x) = S(x) = . (3)
Å»
n(n - 1)
0-4
Określając niepewność standardową obowiązani jesteśmy do wyeliminowania w praktyce błędu
systematycznego. Zakładamy, że poprawne obliczenie wyniku i jego niepewności jest poprze-
dzone eliminacją tzw. błędów grubych (pomyłek) i korektą wpływu znanych zródeł błędów
systematycznych na wynik pomiaru.
Z kolei miarą rozproszenia wyników w serii pomiarowej jest
n
(xi - x)2
Å»
i=1
S(x) = - Ã. (4)
n "
(n - 1)
Występująca we wzorze (4) wielkość S(x), zwana często średnią odchyłką kwadratową (od
średniej), jest estymatorem (oszacowaniem) tzw. odchylenia standardowego pojedyncze-
go pomiaru, Ã, a wiÄ™c miary rozproszenia zmiennej losowej (mierzonej wielkoÅ›ci) wokół jej
wartości oczekiwanej. Z powyższego wzoru wynika zasadność wielokrotnego powtarzania po-
miaru o ile średnia arytmetyczna każdej serii pomiarów stanowi takie samo oszacowanie
wartości oczekiwanej, to związana z tym szacunkiem niepewność maleje ze wzrostem liczebno-
ści serii. W granicy analogicznie jak w przypadku wzoru (2) dla liczby pomiarów rosnącej
nieograniczenie S(x) staje się dokładnie odchyleniem standardowym.
Jeżeli wyniki pomiarów w serii x1, . . . , xn są otrzymywane w sposób (a) niezależny i (b) w
warunkach zapewniających taką samą dokładność pomiaru, a także jeżeli liczba pomiarów (n)
staje się znacząco duża (teoretycznie powinniśmy rozpatrywać przypadek n zdążającego do
nieskoÅ„czonoÅ›ci; w praktyce wystarcza zwykle n ok. 20 ÷ 30) to zmienna losowa jakÄ… jest wynik
pomiaru x podlega tzw. rozkÅ‚adowi Gaussa (rozkÅ‚adowi normalnemu) o wartoÅ›ci oczekiwanej µ
i odchyleniu standardowym Ã. RozkÅ‚ad ten okreÅ›la funkcja gÄ™stoÅ›ci prawdopodobieÅ„stwa,
f(x), dana wzorem
1 (x - µ)2
"
f(x) = exp - . (5)
2Ã2
à 2Ą
Funkcja f(x) określa prawdopodobieństwo P przyjęcia przez zmienną losową X wartości z
określonego przedziału zmiennej (x, x + dx); konkretnie
P [X " (x, x + dx)] = f(x)dx. (6)
Rysunek 0-1: Rozkład normalny (Gaussa). Wykres gęstości prawdopodobieństwa f(u) zestandary-
zowanej zmiennej u = (x - µ)/Ã, gdzie x oznacza wynik pomiaru, µ wartość oczekiwanÄ…, a Ã
odchylenie standardowe rozkładu.
0-5
Na rys.0-1 przedstawiona jest funkcja Gaussa dla tzw. zestandaryzowanej zmiennej losowej
X - µ
U a" . (7)
Ã
Jest to zmienna, której naturalnym zerem jest jej wartość oczekiwana, a naturalną jed-
nostką jej odchylenie standardowe. Rozkład Gaussa funkcja f(x) ma kształt dzwonowy,
przy czym szerokość rozkÅ‚adu jest proporcjonalna do odchylenia standardowego Ã. Wartość
oczekiwana µ jest, dla tego rozkÅ‚adu, również wartoÅ›ciÄ… najbardziej prawdopodobnÄ….
Całka tej funkcji liczona od x1 do x2 określa prawdopodobieństwo uzyskania wyników pomiaru
w przedziale (x1, x2). I tak, prawdopodobieństwo uzyskania wyników:
w przedziale (µ - Ã, µ + Ã) wynosi ok. 68,3%,
w przedziale ((µ - 2Ã, µ + 2Ã) wynosi ok. 95,5%,
w przedziale (µ - 3Ã, µ + 3Ã) wynosi ok. 99,7%.
Przykład 2 (patrz Tabela 2).
Zmierzono śrubą mikrometryczną średnicę drutu miedzianego. Oceniono, że z uwagi na jakość
powierzchni, możliwe błędy przy wytwarzaniu drutu oraz stopień jego zużycia, niezbędne jest
wykonanie pomiarów w różnych miejscach. Wykonano 10 pomiarów średnicy d i uzyskano
kolejno wyniki (w mm): 2,46; 2.49; 2.52; 2,47; 2,50; 2,51; 2,48; 2,49; 2,45; 2,50. Jaka jest średnica
tego drutu (wartość najlepiej ją charakteryzująca) i z jaką niepewnością została określona?
10
(di Å»
- d)2
10
1
i=1
Å»
d = di = 0, 02214 mm; S(d) = = 0, 02214 H" 0, 022 mm.
10 (10 - 1)
i=1
S(d) jest estymatorem odchylenia standardowego à (wzór 4), charakteryzującym rozrzut wyni-
ków wokół wartości średniej. Niepewność standardowa obliczona metodą typu A (uA(d)) wynosi
n
Å»
(di - d)2
S(d) 0, 02214
i=1
Å»
" "
uA(d) = = = H" 0, 007 mm.
n(n - 1) n
10
Czy jednak poprawnie zanalizowaliśmy dostępne dane? Rzut oka na serię wyników pozwala
zauważyć, że poszczególne wartości różnią się znacząco między sobą i różnice te sięgają 0,05
mm, a więc pięciu działek użytej w pomiarze śruby mikrometrycznej. Świadczy to o odstępstwie
modelu pomiarowego naszego drutu (jednorodny cylinder, o stałej wzdłuż całej długości
średnicy) od sytuacji rzeczywistej, a obliczona niepewność pomiarowa uA(d) jest miarą roz-
proszenia wyników, wynikającego (głównie) z tego właśnie odstępstwa. Rozproszenie wyników
może jednak wynikać także ze skończonej dokładności narzędzia, a w tej sytuacji jego miarą
będzie ocena niepewności standardowej typu B
"
"
uB(d) = H" 0, 006 mm.
3
Obie niepewności są tego samego rzędu; w takiej sytuacji można zastosować wzór na tzw.
całkowitą (złożoną) niepewność
uC(d) = [uA(d)]2 + [uB(d)]2, albo: (8)
uC(d) = (0, 0072 + 0, 0062)1/2mm = 0, 0085 mm H" 0, 01mm.
Ostatecznie wynik pomiaru średnicy drutu możemy zapisać w postaci: d = 2, 49(0, 01) mm.
Gdyby w analogicznym pomiarze wyniki serii pomiarów były zawarte w przedziale ą0, 01 mm,
to jak łatwo sprawdzić wartość uA byłaby o rząd wielkości mniejsza od wartości uB. W
0-6
tej sytuacji przyczynek od odstępstwa od modelu jest do zaniedbania w stosunku do przy-
czynku narzędziowego . Analogicznie, możemy mieć do czynienia z sytuacją kiedy przyczynek
narzędziowy będzie zaniedbywalny w stosunku do przyczynku modelowego .
Decyzja o tym, czy dla danej serii pomiarowej stosować ocenę typu A, B czy C może być w wielu
przypadkach praktycznych trudna i zależeć od subiektywnej oceny sytuacji przez eksperymen-
tatora (kierującego się zwykle pewnym doświadczeniem praktycznym). O ile co jest zupełnie
zrozumiałe nie masz w tym przypadku własnego zdania, należy zapytać o radę prowadzącego
ćwiczenia.
Przykład 3.
Planujemy wykonanie pomiaru znaną metodą i przyrządem. Z opisu wynika, że odchylenie stan-
dardowe tej metody i przyrządu wynosi dla jednego pomiaru à = 3 (jednostki pominięto). Ile
razy należy powtórzyć pomiar by niepewność standardowa wyniku była mniejsza niż 1? Przy-
jąć, że niepewność standardowa typu B, uB, związana z dokładnością przyrządu jest pomijalnie
mała. Szukaną liczbę powtórzeń n pomiaru znajdujemy z relacji:
"
à S(x)
= = n; stÄ…d n = (3/1)2 = 9.
u S(x)
Å»
Odpowiedz: pomiar należy powtórzyć co najmniej 9 razy.
Obliczanie niepewności złożonej w pomiarach pośrednich
W przypadku, gdy mierzymy kilka wielkości fizycznych, np. x, y, z, . . . i na ich podstawie obli-
czamy wielkość fizyczną t, będącą funkcją wielkości mierzonych, niepewność obliczenia wielkości
t wyznaczamy ze wzoru
2
2 2
"t "t "t
uc(t) = [u(x)]2 + [u(y)]2 + [u(z)]2 + . . .. (9)
"x "y "z
Wzór ten można stosować przy założeniu, że wielkości mierzone: x, y, z, . . . są wielkościami
statystycznie niezależnymi, a także że niepewności względne u(x)/x, u(y)/y, u(z)/z, . . . są małe
(rzędu kilku procent lub mniejsze). Wzór ten wyraża znane w literaturze prawo przenoszenia
odchyłek przypadkowych.
Przykład 4.
Wykonano pomiar grubości pozornej płytki szklanej przez odczyty położeń, x1 = 4, 68 mm i
x2 = 2, 16 mm, dolnej i górnej powierzchni płytki obserwowanej przy użyciu mikroskopu. Do
odczytu położenia użyto czujnika mikrometrycznego. Ile wynosi grubość pozorna tej płytki?
Grubość pozorna płytki: a = x1 x2 = 2, 52 mm.
Dla czujnika mikrometrycznego działka elementarna wynosi 0,01 mm, a zatem
u(x1) = u(x2) = u = 0, 01 mm/1, 73 = 0, 0058mm.
Z prawa przenoszenia niepewności
2 2
" "
"a "a
uc(a) = u2 + u2 = u2 + u2 = 2u = 0, 0082 H" 0, 01 mm.
"x1 "x2
Tak więc grubość pozorna płytki szklanej wyznaczona powyższą metodą wynosi 2, 42(0, 01) mm.
Przykład 5.
Pomiar czasu trwania 15 oddechów człowieka w spoczynku dał wynik t = 58 s. Niepewność u(t)
oszacowano na 1 s. Ile wynosi przeciętny czas trwania T jednego oddechu?
T = t/15, a zatem u(T ) = u(t)/15 H" 0, 067 s.
Ostatecznie T = 3, 867 s z niepewnością 0, 067 s.
0-7
Przykład 6.
Zmierzony stoperem czas trwania 20 wahnięć wahadła wynosił t = 25, 32 s. Ile wynosił okres T
badanego wahadła ?
Przyjmujemy za niepewność pomiaru czasu wartość tzw. czasu reakcji człowieka, szacowaną na
0,2 s. W porównaniu z nim niepewność związana z dokładnością stopera elektronicznego, rzędu
0,01 s, jest pomijalnie mała.
Zatem
T = (25, 32 s)/20 = 1, 266 s H" 1, 27 s.
u(T ) = u(t)/20 = 0, 2 s/20 = 0, 01 s.
3 ZADANIA POMIAROWE
I. Pomiar jednokrotny
Zmierz jednokrotnie wielkości 3 trzech wybranych przez siebie przedmiotów, np.:
" szerokość kartki papieru z zeszytu, długość ołówka, wysokość szpalty w gazecie, odległość
dwóch kropek na kartce, długość jaja kurzego dłuższej osi tej w przybliżeniu elipsoidy
obrotowej (rys.0-2), odległość 20 własnych kroków (wykorzystując, na przykład, informa-
cję o długości płyty chodnikowej), itp.
" jeden kÄ…t w szkolnej ekierce,
" czas opadania piórka z wysokości 1 m, czas trwania 10 oddechów (w stanie spoczynku),
" wagę torebki cukru, mąki, soli, kostki masła, butelki soku itp.,
" średnicę rury przy pomocy kawałka sznurka i przymiaru liniowego,
" wymyśl sam interesującą Ciebie wielkość fizyczną, którą jesteś w stanie zmierzyć:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Dobierz dostępny i Twoim zdaniem właściwy przyrząd pomiarowy: liniał, taśmę mierniczą,
suwmiarkę, śrubę mikrometryczną, wagę kuchenną, wagę laboratoryjną, zegar, stoper, itd.
2. Wykonaj jednokrotnie pomiary odpowiednich wielkości wybranych obiektów nr 1, nr 2,
nr 3 i wyniki pomiaru wpisz w tabelÄ™ 1.
3. Określ niepewność standardową uB każdego pomiaru w oparciu o jakość użytego przyrządu
pomiarowego (wzór1).
4. Przeanalizuj, czy w Twoim pomiarze nie występowały inne przyczyny niepewności wyniku,
spróbuj je opisać.
0-8
Tabela 1. Wyniki pomiarów jednokrotnych dla trzech różnych przedmiotów.
Nr Przedmiot mierzony Przyrząd pomiarowy, (Wynik ą") Niepewność Uwagi"
jakość przyrządu jednostka standardowa
uB (wzór 1)
0" Szerokość kartki Liniał; " = 1 mm (209 ą 1) mm 0, 6 mm uB H" 1 mm
(przykład)
1"
2"
3"
"
0) Znaczącym zródłem niepewności pomiaru jest ewentualne lekko skośne ustawienie liniału
względem kartki. Na podstawie kilku prób szacuję niepewność uB na około 1 mm.
"
1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
"
2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
"
3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II. Pomiary wielokrotne (n 10)
Wykonaj pomiar 10-ciokrotny i opracuj jego wynik:
" wybierz 10 Twoim zdaniem prawie identycznych przedmiotów, np. 10 kurzych jaj, 10
jednakowych bułek, 10 jednakowych owoców, 10 zużytych kulek łożyskowych o średnicy
rzędu 5-10 mm, itp., i wykonaj dziesięć pomiarów, każdy dla innego przedmiotu,
" albo wykonaj 10-krotnie pomiar tego samego , np. czasu 15 oddechów w spoczynku, czy
szerokości pokoju w 10-ciu różnych miejscach, obwodu pnia drzewa w różnych miejscach,
średnicy Księżyca przy pomocy monety i twierdzenia Talesa, itp.
1. Ustal co i czym będziesz mierzył, np.: jaja, oś długa tej niemal elipsoidy suwmiarka lub
papier milimetrowy i dwie ekierki (rys.0-2); kulki, ich średnica śruba mikrometryczna;
bułki, średnica podstawy liniał z działką 1mm; czas trwania 15 oddechów stoper,
zegarek z sekundnikiem.
2. Wykonaj 10 razy pomiar wybranego (wybranych) obiektu (-ów) zachowując należytą sta-
ranność i wyniki wpisz odpowiednio do tabeli 2.
0-9
3. Oblicz średnią arytmetyczną x [wzór(2)] i odchylenie standardowe średniej S(x) [wzór(3)],
Å» Å»
to jest niepewność standardową uA, i wyniki obliczeń wpisz do odpowiedniej kolumny
Tabeli 2.
4. Zastanów się, czy w Twoim pomiarze niepewność typu B (uB) związana z jakością przy-
rządu i warunkami pomiaru nie jest znacząca i postaraj się ją oszacować.
5. Zapisz końcowy wynik pomiaru to jest x oraz jego niepewność standardową, wybraną na
Å»
podstawie analizy wielkości uA i uB oraz charakteru pomiaru. (będzie to jedna z tych
dwóch niepewności, albo też niepewność złożona uC). Dodaj komentarz, w którym uza-
sadniasz swój wybór.
Rysunek 0-2: Pomiar długości jaja (propozycja).
0-10
Tabela 2. Wyniki pomiarów wielokrotnych.
Wykonaj zadania nr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /podpis
Przykład Zadanie Przykład Zadanie Przykład II.3 Zadanie II.3 Zadanie
II.1 II.1 II.2 II.2 II.4
Åšrednica Czas 15 Czas 15 Czas reakcji Czas reakcji . . . . . . .
drutu oddechów oddechów własnej własnej . . . . . . .
x
Nr xi xi ti ti xi t"" xi ti
i
[mm] [s] [s] [mm] [s]
1 2,46 58 220 0,2118
2 2,49 62 190 0,1968
3 2,52 65 230 0,2165
4 2,47 63 200 0,2019
5 2,50 57 230 0,2165
6 2,51 60 240 0,2212
7 2,48 59 220 0,2118
8 2,49 64 190 0,1968
9 2,45 60 230 0,2165
10 2,50 57 240 0,2212
x 2,487 60,5 219 0,2111
Å»
S(x) 0,022 2,89 19,1 0,094
uA 0,007 0,91 6,1 0,0029
uB 0,006 1") 5""")
uC 0,0092 1,4 7,9
H" 0, 01
x 2,487 60,5 219 0,211
Å»
uA 0,007 0,9 6,1 0, 003+
x 2,49 60,5 219 0,211
Å»
uC 0,001 1,4 7,9 0, 004++
x)
patrz Przykład 2 na stronie 0-6,
")
uB H" 1 s oszacowano z niepewności ustalenia momentów start-stop na zegar-
ku (porównaj z przykładami dotyczącymi prawa przenoszenia niepewności)
"")
ti obliczamy z zależności: ti = (2xi/g)1/2; g = 9, 81 m/s2
""")
uB = 5 mm oszacowano z niepewności odczytu każdego wyniku
+
,++ patrz komentarz w obliczeniach do przykładu II.2 na str.0-14.
0-11
Tabela 2A. Wyniki pomiarów wielokrotnych ciąg dalszy.
Przykład II.4 Zadanie II.5
Objętość (V ) jaj kurzych
x oś długa, y, z osie krótkie; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y Ä„" z
Nr xi yi zi Vi")
[mm] [mm] [mm] [cm3]
1 55 41 42 49,57
2 57 42 43 53,87
3 52 40 42 45,72
4 54 41 43 49,82
5 55 44 44 55,72
6 53 43 41 48,90
7 52 41 43 47,98
8 55 42 43 51,98
9 57 42 42 52,62
10 58 43 43 56,12
Å»
V 51,23
(V ) 3,41
uA(V ) 1,1
uB(V ) -
uC(V )
Å»
V 51,2
u(V ) 1,1
")
ObjÄ™tość elipsoidy Vi = 1/8 · 4/3Ä„xiyizi = 1/6Ä„xiyizi.
Uwaga: mierzone xi, yi, zi są w znacznym stopniu zależne; dlatego nie korzystamy z prawa prze-
noszenia niepewności zmiennych pośrednich (9), a niepewność u(V ) obliczamy wprost z relacji
(3), to jest z rozrzutu wartości Vi. Miara rozrzutu objętości to S(V ) H" 3, 4 cm3, estymator
odchylenia standardowego à rozkładu Gaussa, któremu zapewne podlegają wymiary dużej po-
Å»
pulacji jaj tej klasy. W przedziale (V Ä… S(V )), tj. w przedziale (47, 8 ÷ 54, 6) cm3 mieÅ›ci siÄ™ 7
jaj na 10 (co odpowiada wartości 68% oczekiwanej z rozkładu Gaussa).
0-12
Rysunek 0-3: Pomiar pośredni czasu reakcji. Jedna osoba przytrzymuje gładki liniał (ok. 50 cm) na
gładkiej, pionowej powierzchni i puszcza go bez ostrzeżenia. Druga osoba, której czas reakcji bada
się, stara się jak najszybciej unieruchomić liniał. Droga przebyta przez liniał od chwili puszczenia do
momentu zatrzymania (1/2gtr2) pozwala określić czas reakcji tr.
III. Pomiary wielkości pośrednich.
Wykonaj 10-ciokrotnie pomiar pośredni i oszacuj jego niepewność z prawa przenoszenia nie-
pewności
1. Wybierz problem pomiarowy (lub ustal go sam), np.:
" określenie czasu trwania jednego oddechu metodą pomiaru czasu trwania 15 odde-
chów;
" pomiar średniego czasu reakcji z wykorzystaniem swobodnego spadku ciał (rys.0-3);
" pomiar przeciętnej objętości kulki stalowej na podstawie pomiaru jej średnicy (10
kulek);
" wymyśl sam interesujący Ciebie pomiar metodą pośrednią, który jesteś w stanie wy-
konać.
" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Wyniki 10 krotnego pomiaru wpisz w tabelę 2 lub 2A i oblicz odpowiednie wartości:
średnią arytmetyczną,
z rozrzutu wyników: niepewność typu A [wzór(3)],
z innych informacji: niepewność typu B [wzór(1)],
całkowitą niepewność uC [wzór (8)].
3. Zapisz wyniki wielkości mierzonych.
4. Wylicz wielkość pochodną (np. czas reakcji) oraz wylicz z prawa przenoszenia niepewności
(wzór 9) jej niepewność, wyniki wpisz do tabeli.
5. Objaśnij jak uzyskano wynik; na przykład:
zmierzony czas reakcji wynosi 0,211 s, a niepewność standardową jego określenia oszaco-
wano na 0,004 s; niepewność oszacowano z wyników 10-krotnego powtórzenia pomiaru i
niepewności typu B związanej z niedokładnościami ustalenia i odczytu położenia punktu
startu i zatrzymania liniału.
0-13
Obliczenia do przykładu II.2 (Tabela 2)
2
"tr 1 2
u(tr) = u(x) = S(x); stÄ…d u(tr) = 0, 00386 H" 0, 04 s.
Å»
"x 2 gx
Pomiary kilkakrotne (n < 10)
Bardzo często w praktyce przemysłowej, w pomiarach rutynowych (np. w analizach chemicz-
nych), powtarzamy pomiar nie 10 i wiÄ™cej razy, a zaledwie 3, rzadziej 5 ÷ 7 razy. Taki, np.
3-krotny pomiar nie pozwala na zbyt wiarygodne oszacowanie niepewności typu A to znaczy
niepewność samego stosowanego estymatora jest duża (rzędu 20 procent estymowanej wiel-
kości). Poprzestajemy na oszacowaniu niepewności standardowej typu B, albo korzystamy z
niepewności standardowej typu A (ewentualnie typu C) mając świadomość związanego z tym
marginesem niepewności.
Niepewność rozszerzona
W zastosowaniach technicznych, komercyjnych, istotne jest takie określenie przedziału licz-
bowego uznanego za wynik, by mieć wysoki poziom ufności, że w nim zawarta jest wartość
prawdziwa. W dotychczas stosowanej nomenklaturze oznaczało to podanie przedziału ufności,
np.x ą 2S(x), na zadanym poziomie ufności równym 95% (odpowiada to w dobrym przybliże-
Å» Å»
niu przypadkowi rozkładu normalnego). Obecnie używana jest nazwa niepewności rozszerzonej
U = kuC. Współczynnik k dobierany jest do założonego poziomu ufności, np. 95% i uwzględ-
nia informacje o przyjętym i doświadczalnym rozkładzie odchyłek pomiarowych dla wybranego
przyrządu i metody pomiarowej. Na przykład w przypadku niewielkiej liczby powtórzeń po-
miaru współczynnik k określamy z tablic współczynnika t Studenta. Bliższe omówienie tego
problemu można znalezć w pracach [2, 3, 5].
Wnioski:
Uwagi prowadzÄ…cego:
Ocena za opracowanie wyników:
ocena podpis
4 Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa
0-14
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Zeszyt Nauczyciela13Zeszyt 25 Planowanie kariery zawodowej cz 2ZESZYT1 (17)Zeszyt 26 10 kroków do szkolenia PrzewodnikZeszyt Ćwiczeń nr 3Zeszyt Nauczyciela15więcej podobnych podstron