LITERATURA (1)
1. Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa 1  Definicje, twierdzenia, wzory.
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002.
2. Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa 1  Przykłady i zadania. Oficyna
Wydawnicza GiS, Wrocław 2002.
3. Mieloszyk E.: Liczby zespolone. PG, Gdańsk 2003.
4. Mieloszyk E.: Macierze, wyznaczniki i układy równań. PG, Gdańsk 2003.
5. Jankowska K., Jankowski T.: Funkcje wielu zmiennych. Całki wielokrotne. Geometria
analityczna. PG, Gdańsk 2005.
6. Jankowska K., Jankowski T.: Zadania z matematyki wy\
szej. PG, Gdańsk 1999.
7. Gewert M., Skoczylas Z.: Analiza matematyczna 2  Definicje, twierdzenia, wzory.
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2003.
8. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 2  Przykłady i zadania. Oficyna
Wydawnicza GiS, Wrocław 2003.
9. Gewert M., Skoczylas Z., Równania ró\
niczkowe zwyczajne. Oficyna
Wydawnicza GiS, Wrocław 2001.
10. Leitner R.: Zarys matematyki wy\
szej I i II. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Warszawa 2001.
11. Leitner R., Matuszewski W., Rojek Z.: Zadania z matematyki wy\
szej I i II.
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999.
12. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach I i II.
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998.
LITERATURA (2)
1. Jankowska K., Jankowski T.: Funkcje wielu zmiennych. Całki wielokrotne. Geometria
analityczna. PG, Gdańsk 2005.
2. Gewert M., Skoczylas Z.: Elementy analizy wektorowej. Oficyna Wydawnicza GiS,
Wrocław 2003.
3. Leitner R., Zacharski J.: Zarys matematyki wy\
szej II i III. Wydawnictwo Naukowo-
Techniczne,
Warszawa 2005.
4. Leitner R., Matuszewski W., Rojek Z.: Zadania z matematyki wy\
szej I i II.
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999.
5. Jankowska K., Jankowski T.: Zadania z matematyki wy\
szej. PG, Gdańsk 1999.
6. Krysicki W., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach II.
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998.
7. Gdowski B.: Elementy geometrii ró\
niczkowej w zadaniach. Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa 1982.
8. śakowski W., Kołodziej m.: Matematyka  część III. Wydawnictwo Naukowo-
Techniczne, Warszawa 1963.
9. Krysicki W.: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w
zadaniach I. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.
10. Plucińska A., Pluciński E.: Elementy probabilistyki. Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 1981.
11. Stankiewicz W.: Zadania z matematyki dla wy\
szych uczelni technicznych.
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995.
1
Funkcja wymierna. Ułamki proste
P(x)
Q(x)
P(x)
Definicja Funkcję wymierną gdzie funkcje i są wielomianami,
,
Q(x)
nazywamy:
st.P(x) < st.Q(x),
" ułamkiem właściwym, je\
eli
st.P(x) e" st.Q(x).
" ułamkiem niewłaściwym, je\
eli
Definicja (ułamków prostych)
A
" Funkcję wymierną postaci: gdzie A, a, b są stałymi rzeczywistymi a n =
,
(ax + b)n
1, 2, ..., nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.
Ax + B
,
" Funkcję wymierną postaci: gdzie A, B, a, b, c są stałymi
(ax2 + bx + c)n
rzeczywistymi, n = 1, 2, ... a ax2 + bx + c jest trójmianem nierozkładalnym
(" < 0) , nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.
Twierdzenie Ka\
dą funkcję wymierną będącą ułamkiem właściwym mo\
na przedstawić w
postaci skończonej sumy ułamków prostych pierwszego lub drugiego rodzaju.
Przykład Rozło\
yć funkcję wymierną na skończoną sumę ułamków prostych.
1
,
a)
x3(x - 3)
3x + 2
,
b)
(x + 2)2(x - 2)(x2 +1)
5x2 + 2
.
c)
x(3x + 2)2(x2 + 4)(x2 + x +1)2
Całkowanie ułamków prostych
" Ułamek prosty pierwszego rodzaju- n = 1
1 1
dx = ln | ax + b | +C.
+"
ax + b a
" Ułamek prosty pierwszego rodzaju- n = 2, 3, ...
1 1 (ax + b)-n+1
dx = + C.
+"
(ax + b)n a - n +1
" Ułamek prosty drugiego rodzaju- n = 1, A = 0
B 1
dx = B dx.
+" +"
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
2
Trójmian kwadratowy sprowadzamy do postaci kanonicznej
b - "
ax2 + bx + c = a[(x + )2 + ]
2a 4a2 a następnie, stosując odpowiednie podstawienie,
całkę powy\
szą sprowadzamy do całki
1
+"1+ t2 dt.
1
dx.
Przykład Obliczyć
+"
2x2 -12x + 27
" Ułamek prosty drugiego rodzaju- n = 1, A `" 0
Ax + B
dx.
+"
ax2 + bx + c
Całkę taką zapisujemy jako sumę, z odpowiednimi stałymi, całek
2ax + b 1
dx dx
i
+" +"
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
a następnie poznanymi ju\
metodami obliczamy je.
Przykład Obliczyć
3x + 6
dx.
+"
x2 - 6x +18
Całkowanie funkcji wymiernych
Przykład Obliczyć całki:
3x2 +13x +18
dx,
a)
+"
x3 - 6x2 + 9x
2x + 4
dx,
b)
+"
x3 + 4x
x3 + 2x2 - x +1
dx.
c)
+"
x2 -1
Całkowanie funkcji niewymiernych
ax + b
n
"
+"R(x, cx + d )dx, gdy ad - bc `" 0 .
ax + b
= tn .
Podstawienie:
cx + d
x2
dx.
Przykład Obliczyć
+"
33 x + 2
" Je\
eli funkcja podcałkowa jest funkcją wymierną zmiennej x i potęg wyra\
enia
3
ax + b
,
ad
gdzie - bc `" 0
cx + d
m
ax + b
= tN ,
o wykładnikach postaci , to wykonujemy podstawienie gdzie N jest
n cx + d
m
.
wspólnym mianownikiem ułamków
n
1
dx.
Przykład Obliczyć
+"
3
x + x
"
+"R(x, ax2 + bx + c)dx, gdzie " = b2 - 4ac `" 0.
Przy obliczeniach wykorzystujemy wzory:
1 x
dx = arcsin + C,
+"
| a |
a2 - x2
1
dx = ln | x + x2 + k | +C.
+"
x2 + k
" Obliczanie całki postaci:
1
dx.
+"
ax2 + bx + c
Przykład Obliczyć
1
dx.
+"
x2 - 4x
" Obliczanie całki postaci:
Ax + B
dx.
+"
ax2 + bx + c
Przykład Obliczyć
4x +1
dx,
+"
- x2 - 2x + 8
x2 +1dx.
+"
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
R(sin x,cos x)dx.
+"
1- t2
x 2t
cos x =
t = tg . sin x = ,
" Podstawienie  uniwersalne : Wówczas oraz
2 1+ t2 1+ t2
2dt
dx = .
1+ t2
4
1
Przykład Obliczyć
+"1+ sin x dx.
" Podstawienie: t = sin x (mo\
na je skutecznie zastosować, je\
eli funkcja wymierna
cos x.
R(sin x,cos x) jest nieparzysta ze względu na
7
Przykład Obliczyć
+"cos xdx.
t = cos x
" Podstawienie: (mo\
na je skutecznie zastosować, je\
eli funkcja wymierna
R(sin x,cos x) sin x.
jest nieparzysta ze względu na
1
dx.
Przykład Obliczyć
+"
sin3 x
t
t2
sin x cos x = ,
sin2 x = ,
t = tgx
" Podstawienie: . Wówczas
1+ t2 1+ t2
1 dt
cos2 x = dx = .
1+ t2 oraz 1+ t2
(Mo\
na je skutecznie zastosować, je\
eli funkcja wymierna
R(sin x,cos x) =
= R*(sin2 x,cos2 x,sin xcos x).)
Przykład Obliczyć całki:
1
a)
+"1+ 2cos2 x dx,
4
b)
+"tg xdx.
Całka oznaczona Riemanna
a,b
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale i niech ("n) będzie ciągiem
x1, x2,L, xn-1
podziałów przedziału a,b punktami takimi, \
e
a = x0 < x1 < x2 < L < xn-1 < xn = b.
Oznaczmy "xk = xk - xk -1,
("n )
�n = max "xk - ciąg średnic wyznaczony przez ciąg .
1d"kd"n
n
�k " xk -1, xk
Niech . Wówczas ciąg nazywamy ciągiem sum całkowych
� = f (�k )"xk
n "
k =1
a,b
Riemanna funkcji f na przedziale odpowiadającym ciągowi podziałów ("n) .
("n ) (� )
Definicja Je\
eli dla ka\
dego ciągu takiego, \
e ciąg jest zbie\
ny do tej
�n 0
n
samej granicy właściwej nie zale\
nej od wyboru punktów , to tę granicę nazywamy
�k
b
a,b f (x)dx.
całką oznaczoną funkcji f na przedziale i oznaczamy
+"
a
Powy\
szą definicję mo\
na zapisać krótko
5
b
f (x)dx = lim0� .
n
+"
�n
a
Funkcję f nazywamy wówczas funkcją całkowalną w sensie Riemanna. Krańce przedziału
a,b
nazywamy odpowiednio dolną i górną granicą calkowania.
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
b
a,b
" Je\
eli f jest funkcją ciągłą i nieujemną (niedodatnią) na przedziale , to
f (x)dx
+"
a
b
y = 0
(- f (x)dx) y = f (x) x = a
jest równa polu figury ograniczonej liniami: , , i
+"
a
x = b.
b
" Przykład Obliczyć z definicji całkę oznaczoną
+"dx.
a
Przykład (funkcji niecałkowalnej w sensie Riemanna) Wykazać, \
e funkcja Dirchleta
ńł1 dla x "Q
�ł
D(x) =
�ł
�ł0 dla x " R \ Q
ół
a,b
nie jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna w dowolnym przedziale .
Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna
a,b
Twierdzenie Ka\
da funkcja ciągła na przedziale jest na tym przedziale całkowalna w
sensie Riemanna.
a,b
Twierdzenie Je\
eli funkcja f jest ograniczona na przedziale i ma w tym przedziale
skończoną liczbę punktów nieciągłości (pierwszego rodzaju), to jest na tym przedziale
całkowalna w sensie Riemanna.
Własności całki oznaczonej
Uwaga Pisząc w poni\
szych twierdzeniach całkę:
b
f (x)dx
+"
a
zakładamy automatycznie, \
e funkcja f jest funkcja całkowalną w sensie Riemanna na
a,b
przedziale .
Twierdzenie
a
"
f (x)dx = 0.
+"
a
b a
" f (x)dx = - f (x)dx.
+" +"
a b
6
b b
f (x)dx dla c " R.
"
+"cf (x)dx = c+"
a a
b b b
f (x)dx ą g(x)dx.
"
+"( f (x) ą g(x))dx = +" +"
a a a
"
b
f (x)dx =
+"
a
c b
= f (x)dx + f (x)dx dla c "(a,b).
+" +"
a c
b
a,b f (x)dx e" 0.
" Je\
eli funkcja f jest funkcją nieujemną na przedziale , to
+"
a
x " a,b f (x) d" g(x),
" Je\
eli dla ka\
dego zachodzi nierówność to
b b
f (x)dx d" g(x)dx.
+" +"
a a
Twierdzenie Je\
eli funkcja f jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna na przedziale
a,b
, to istnieją m, M " R takie, \
e
b
m(b - a) d" f (x)dx d" M (b - a).
+"
a
a,b
Uwaga Je\
eli funkcja f jest funkcją ciągłą na przedziale , to w powy\
szym
twierdzeniu mo\
na przyjąć
m = min f (x),
x" a,b
M = max f (x).
x" a,b
a,b
Twierdzenie (o wartości średniej) Je\
eli funkcja f jest funkcją ciągłą na przedziale ,
c " a,b
to istnieje takie , \
e
b
f (x)dx = f (c)�"(b - a).
+"
a
Przykład Korzystając z twierdzenia o wartości średniej oszacuj całkę
1
1+ x6 dx.
+"
0
a > 0.
Uwaga Niech
" Je\
eli funkcja f jest całkowalna i nieparzysta (parzysta) na przedziale - a, a ,
to
7
a
f (x)dx = 0
+"
-a
a a
( f (x)dx = 2 f (x)dx).
+" +"
-a 0
T > 0
" Je\
eli funkcja f jest okresowa z okresem i całkowalna na ka\
dym skończonym
przedziale, to
a+T T
f (x)dx = f (x)dx.
+" +"
a 0
Przykład Korzystając z powy\
szych twierdzeń obliczyć całki:
1
100Ą
3 - x
x2010 ln dx,
a) b)
+"
+"sin xdx.
3 + x
-1 98Ą
Całka oznaczona a całka nieoznaczona
a,b x " a,b
Niech f będzie funkcją ciągłą na . Wówczas dla dowolnego funkcja f
a, x
jest całkowalna na .
Oznaczmy:
x
Ś(x) = f (t)dt.
+"
a
Wówczas:
" Ś jest funkcją zmiennej x " a,b .
Ś
" jest funkcją ciągłą.
" Ś jest funkcją ró\
niczkowalną i
x
d
Ś'(x) = f (t)dt = f (x).
+"
dx
a
" Zatem Ś jest funkcją pierwotną dla funkcji f taką, \
e
a
Ś(a) = f (t)dt = 0,
+"
a
b
Ś(b) = f (t)dt.
+"
a
Niech
f (x)dx = F(x) + C.
+"
Ś(x) = F(x) + C0 x " a,b
Wówczas istnieje stała C0 taka, \
e dla dowolnego .
8
a,b
Twierdzenie (Leibnitza  Newtona) Je\
eli funkcja f jest ciągła na a F jest funkcją
pierwotną dla funkcji f , to
b
f (x)dx = F(b) - F(a).
+"
a
Wzór powy\
szy nosi nazwę podstawowego wzoru rachunku całkowego i wyra\
a związek
pomiędzy całką oznaczoną i nieoznaczoną.
Oznaczenie:
b
f (x)dx = F(x) |b = F(b) - F(a).
a
+"
a
Przykład Obliczyć całkę oznaczoną:
Ą
4
a)
+"sin 2xdx,
0
4
1
dx,
b)
+"
x2 -1
2
3
c)
+"| x - 2 | dx.
1
Twierdzenie (Całkowanie przez podstawianie)
Je\
eli:
� : �ł
" funkcja ą, � �łna a,b
ma ciągłą pochodną w przedziale ą, �
�(ą) = a
�(� ) = b
" i
a,b
" funkcja f jest ciągła na ,
to
b �
f (x)dx = f (�(t))�'(t)dt.
+" +"
a ą
Przykład Obliczyć całkę oznaczoną:
4
x3 16 - x2 dx,
a)
+"
1
2
1
0 cos
Ą
x
x2e- x3 dx, dx.
b) c)
+"
+"
x2
1
-1
Ą
Twierdzenie (Całkowanie przez części)
a,b
Je\
eli funkcje f i g mają ciągłe pochodne w przedziale , to
9
b b
f (x) �" g'(x)dx = f (x)�" g(x) |b - f '(x)�" g(x)dx.
a
+" +"
a a
Przykład Obliczyć całkę oznaczoną:
Ą
e
2
x | ln x | dx.
x cos 2xdx,
a) b) +"
+"
1
0
e
Całki niewłaściwe
Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju (na przedziale nieograniczonym)
a,")
Definicja Załó\
my, \
e funkcja f jest funkcją określoną na przedziale i całkowalną
a,ą �" a,")
na dowolnym przedziale . Całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju na
a,")
definiujemy wzorem:
" ą
f (x)dx = lim f (x)dx.
+" +"
ą "
a a
Je\
eli granica ta istnieje i jest właściwa (skończona), to mówimy, \
e całka niewłaściwa
jest zbie\
na. Je\
eli granica nie istnieje, bądz
jest równa ą " , to mówimy, \
e całka
niewłaściwa jest rozbie\
na.
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju na (-",b , tj.
b b
f (x)dx = lim f (x)dx.
+" +"
� "
-" �
Przykład Zbadać zbie\
ność całki niewłaściwej:
"
"
x -x
a)
+"e
+"1+ x2 dx, b) dx,
0 0
Ą
1
1
c) d)
+"cos xdx.
+"1+ x2 dx,
-" -"
Definicja (całki niewłaściwej na prostej) Załó\
my, \
e funkcja f jest funkcją określoną na
(-",")
przedziale i całkowalną na dowolnym przedziale ograniczonym. Całkę
niewłaściwą pierwszego rodzaju na (-", ") definiujemy wzorem:
" c "
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx,
+" +" +"
-" -" c
c " R
gdzie .
10
Całka niewłaściwa na prostej jest zbie\
na wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie zbie\
ne
są obie całki: na (-", c i na c,") .
Przykład Zbadać zbie\
ność całki niewłaściwej:
"
1
dx.
+"
x2 + 4x + 5
-"
Całki niewłaściwe drugiego rodzaju (z funkcji nieograniczonej)
Definicja Załó\
my, \
e funkcja f jest funkcją:
(a,b ,
" określoną na przedziale
" całkowalną na dowolnym przedziale ą,b ,
gdzie a < ą < b,
(a,ą),
a
" nieograniczoną na ka\
dym przedziale co wyra\
amy mówiąc, \
e punkt
jest punktem osobliwym funkcji f.
Wówczas:
b b
f (x)dx = lim f (x)dx.
+" +"
ą a+
a ą
Je\
eli granica ta istnieje i jest właściwa (skończona), to mówimy, \
e całka
niewłaściwa jest zbie\
na.
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą drugiego rodzaju z funkcji f określonej
a,b)
na przedziale i nieograniczonej w lewostronnym sąsiedztwie punktu b, tj.
b �
f (x)dx = lim f (x)dx.
+" +"
� b-
a a
Przykład Zbadać zbie\
ność całki niewłaściwej:
4
1
e
sin
Ą
1
x
dx,
dx,
a) b) +"
+"
x2 x3 ln x
0 1
Ą
1
1 6
cos x
dx,
c) d) dx.
+"
+"
x2 -1
1- 2sin x
0
0
Definicja Załó\
my, \
e funkcja f jest funkcją:
(a,b),
" określoną na przedziale
a <
" całkowalną na dowolnym przedziale ą, � , gdzie ą < � < b,
(�,b).
" nieograniczoną na ka\
dym przedziale (a,ą) i
Wówczas:
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx,
+" +" +"
a a c
c"(a,b).
gdzie
11
Całka ta jest zbie\
na wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie zbie\
ne są obie całki: na
c,b)
(a,c i na .
Definicja Załó\
my, \
e funkcja f jest funkcją:
" określoną na zbiorze a,c) *" (c,b , gdzie c"(a,b),
a,ą � ,b ,
" całkowalną na dowolnym przedziale i gdzie a < ą < c < � < b,
" nieograniczoną w sąsiedztwie punktu c.
Wówczas:
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
+" +" +"
a a c
Całka ta jest zbie\
na wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie zbie\
ne są obie całki: na
(c,b
a,c) i na .
Przykład Zbadać zbie\
ność całki niewłaściwej:
3
1
dx,
a)
+"
- x2 + 4x - 3
1
2
1
dx.
b)
+"
|1- x2 |
0
Zastosowania geometryczne całki oznaczonej
(A) Pole obszaru płaskiego
Twierdzenie
b
a,b ,
" Je\
eli funkcja f (x) jest ciągła na przedziale to
+"| f (x) | dx jest równa polu
a
y = 0
x = a
y = f (x) x = b.
figury ograniczonej liniami: , , i
d
c, d ,
" Je\
eli funkcja f (y) jest ciągła na przedziale to
+"| f (y) | dy jest równa polu
c
y = c y = d.
x = 0
x = f ( y)
figury ograniczonej liniami: , , i
a,b
" Je\
eli funkcje f (x) i g(x) są ciągłe na przedziale oraz dla ka\
dego x " a,b
b
f (x) e" g(x), to
+"( f (x) - g(x))dx jest równa polu figury ograniczonej liniami:
a
y = f (x) x = a x = b.
, y = g(x) , i
12
y " c,d
" Je\
eli funkcje f (y) i g(y) są ciągłe na przedziale c, d oraz dla ka\
dego
d
f (y) e" g(y), to
+"( f (y) - g(y))dy jest równa polu figury ograniczonej liniami:
c
x = f (y) x = g( y) y = c i
y = d.
, ,
Przykład Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami:
x = 1.
a) y = arctgx, y =1- ex ,
y =
b) y = ln x, -1, y = 1, x = 0.
(B) Krzywa płaska zadana parametrycznie
Definicja Zbiór punktów płaszczyzny (x, y)" R2 taki, \
e
x = x(t)
ńł
, t " t1,t2 ,
�ł
óły = y(t)
t " t1,t2
gdzie x(t) i y(t) są funkcjami ciągłymi dla nazywamy krzywą płaską daną
parametrycznie.
(x(t1), y(t1)) (x(t2), y(t2))
Punkt nazywamy początkiem krzywej, punkt - końcem.
Przykład
r
" Prosta przechodząca przez punkt P(x0, y0) i równoległa do wektora a = [a1, a2]
ma parametryzację:
x(t) = x0 + a1t
ńł
�ły(t) = y0 + a2t, t " R.
ół
t " t1,t2
Je\
eli , to wzór powy\
szy przedstawia parametryzację odcinka o początku
(x(t1), y(t1))
w punkcie i końcu w punkcie (x(t2), y(t2)) .
" Odcinek o początku w punkcie A(xA, yA) i końcu w punkcie B(xB, yB) ma
parametryzację:
x(t) = xA + (xB - xA)t
ńł
�ły(t) = yA + (yB - yA)t, t " 0,1 .
ół
" Okrąg o środku w punkcie i promieniu R > 0 ma parametryzację:
P(x0, y0)
x(t) = x0 + R cost
ńł
�ły(t) = y0 + R sin t, t " 0, 2Ą .
ół
x2 y2
+ =1 ma parametryzację :
" Elipsa o równaniu
a2 b2
13
x(t) = a cost
ńł
, t " 0,2Ą .
�ł
y(t) = bsin t
ół
(C) Pole obszaru płaskiego pod krzywą zadaną parametrycznie
Twierdzenie Je\
eli krzywa ma parametryzację:
x = x(t)
ńł
�ły = y(t), t " t1,t2 ,
ół
x(t), y(t)
x'(t), t " t1,t2
x'(t)
funkcje są ciągłe dla oraz ma stały znak, to
t2
+"| y(t)�" x'(t) | dt jest równa polu figury ograniczonej krzywą oraz prostymi:
t1
x = x(t1) x = x(t2 ) y = 0
, .
Przykład a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego osią OX, krzywą o parametryzacji:
ńł
x(t) = tet
, t " 0,1
�ł
óły(t) = te-t
x = x(1).
i prostą
b) Wyprowadzić wzór na pole elipsy o półosiach a i b.
(D) Krzywa płaska we współrzędnych biegunowych
Współrzędne biegunowe (r,�) :
(związek współrzędnych biegunowych i kartezjańskich)
ńł
x = r cos� r " 0,")
�ł
,
�ł
�ły = r sin� � " 0, 2Ą
ół
2
r = x2 + y2.
Przykład Zapisać równania krzywych we współrzędnych biegunowych:
x2 + y2 = R2.
a)
(x2 + y2)2 = a2(x2 - y2 ), a > 0.
b)
(E) Pole obszaru płaskiego pod krzywą zadaną we współrzędnych biegunowych
Twierdzenie Je\
eli krzywa dana jest we współrzędnych biegunowych równaniem r = r(�) ,
�
1
2
gdzie r(�) jest ciągła i nieujemna dla ą, � , a przy tym 0 < � -ą d" 2Ą , to
� "
+"r (�)d�
2
ą
jest równa polu figury ograniczonej łukiem krzywej r = r(�) oraz promieniami wodzącymi o
ą �
amplitudach i .
Przykład Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą z punktu b) z poprzedniego
przykładu (Lemniskatą Bernoulliego).
14
 (F) Długość łuku wykresu funkcji
f '(x) x " a,b
Twierdzenie Je\
eli funkcje f (x) i są ciągłe dla , to
b
1+ ( f '(x))2 dx
f (x)
jest równa długości łuku wykresu funkcji dla x " a,b .
+"
a
x2 1
f (x) = - ln x
x " 1,e
Przykład Obliczyć długość łuku wykresu funkcji dla .
4 2
(G) Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie
Twierdzenie Je\
eli krzywa ma parametryzację:
x = x(t)
ńł
, t " t1,t2 ,
�ł
óły = y(t)
y(t)
x(t), y'(t) t " t1,t2
x'(t),
funkcje są ciągłe dla i krzywa nie ma punktów
t2
(x'(t))2 + (y'(t))2 dt
wielokrotnych, to jest równa długości łuku tej krzywej
+"
t1
(x(t1), y(t1)) (x(t2), y(t2))
ograniczonego punktami i .
Przykład Obliczyć długość łuku krzywej o parametryzacji:
t
ńł
cos z
�łx(t) = z dz
+"
�ł
-2
, t " - 4,-1 .
�ł
3
sin z
�ł
y(t) = dz
+"
�ł
z
ół t
(H) Długość łuku krzywej we współrzędnych biegunowych
Twierdzenie Je\
eli krzywa dana jest we współrzędnych biegunowych równaniem r = r(�) ,
gdzie r(�) i są ciągłe oraz dla � " ą, � , a przy tym 0 < � -ą d" 2Ą , to
r'(�) r(�) e" 0
�
� "
(r(�))2 + (r'(�))2 d� jest równa długości łuku tej krzywej dla ą,�
.
+"
ą
a > 0
Przykład Obliczyć długość łuku krzywej o równaniu r(�) = a(1+ cos�), gdzie i
� " 0,2Ą.
(I) Objętość i pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu
funkcji dookoła osi OX
15
b
f (x)
f '(x) Ą f (x))2 dx
Twierdzenie Je\
eli funkcje i są ciągłe dla x " a,b , to
+"(
a
b
jest równa objętości (polu powierzchni bocznej) bryły obrotowej
(2Ą f (x) | 1+ ( f '(x))2 dx)
+"|
a
f (x)
powstałej przez obrót wykresu funkcji dla dookoła osi OX.
x " a,b
Przykład Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wykresu funkcji
1
f (x) =
x3 - 3x + 2
dookoła osi OX dla x" 3,4 .
Przykład Wyprowadzić wzór na objętość sto\
ka ściętego, powstałego przez obrót prostej
f (x) = cx dookoła osi OX dla x" a,b , gdzie stałe
a, b, c > 0.
Przykład Wyprowadzić wzór na pole powierzchni sfery o promieniu R.
(J) Objętość i pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej przez obrót krzywej
zadanej parametrycznie dookoła osi OX
Twierdzenie Je\
eli krzywa ma parametryzację:
x = x(t)
ńł
, t " t1,t2 ,
�ł
óły = y(t)
y(t)
x(t), y'(t) t " t1,t2 y(t)
x'(t),
x'(t)
funkcje są ciągłe dla oraz i mają stały
t2
2
Ą
znak (krzywa nie ma punktów wielokrotnych), to
+"(y(t)) �" | x'(t) | dt
t1
t2
(2Ą y(t) | (x'(t))2 + ( y'(t))2 dt)
jest równa objętości (polu powierzchni bocznej)
+"|
t1
bryły obrotowej powstałej przez obrót łuku tej krzywej ograniczonego punktami
(x(t2), y(t2))
(x(t1), y(t1)) i dookoła osi OX.
Przykład Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej o parametryzacji
1 1
ńłx(t) = t 2 + t
�ł
, t " 0,1
�ł 2 2
�ł
y(t) = t3
ół
dookoła osi OX.
Przykład Obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót dookoła osi OX asteroidy:
ńł
x(t) = a cos3 t
, t " 0, 2Ą ,
�ł gdzie a > 0.
y(t) = asin3 t
ół
16
 Przykład
1
f (x) =
" Obliczyć pole obszaru zawartego pomiędzy krzywą oraz
5
(x - 3)2
prostymi
x = 3, x = 4, y = 0.
f (x) = arcsin x + 1- x2 .
" Obliczyć długość łuku wykresu funkcji:
" Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej
f (x) = ln x
dla 0 d" x d" 1.
" Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej
f (x) = xe- x.
Zbiory w Rn
a " Rn � > 0 x " Rn
" Otoczeniem punktu o promieniu nazywamy zbiór punktów ,
a �
których odległość od punktu jest mniejsza od , co zapisujemy
U (a,� ) = {x " Rn : d(a, x) < �}.
a �
Powy\
szy zbiór często jest nazywany kulą otwartą o środku w punkcie i promieniu .
a " A
" Niech A będzie podzbiorem przestrzeni Rn . Punkt nazywamy punktem
U (a,� )
wewnętrznym zbioru A, gdy istnieje otoczenie tego punktu zawarte w
zbiorze A.
" Zbiór wszystkich punktów wewnętrznych zbioru A oznaczać będziemy symbolem
IntA i nazywać jego wnętrzem.
" Zbiór A nazywamy otwartym, gdy pokrywa się on ze swoim wnętrzem, a więc gdy
ka\
dy jego punkt jest punktem wewnętrznym.
" Zbiór A nazywamy domkniętym, gdy jego domkniecie Rn \ A jest zbiorem otwartym.
a
" Punkt nazywamy punktem brzegowym zbioru A, je\
eli dowolne otoczenie punktu
a
zawiera punkty ze zbioru A jak i z jego dopełnienia .
" Zbiór punktów brzegowych zbioru A nazywamy jego brzegiem.
a " Rn
" Zbiór A nazywamy ograniczonym, je\
eli istnieją punkt i M > 0 takie, \
e
a
zbiór A jest zawarty w kuli o środku w i promieniu M.
Funkcje wielu zmiennych
Definicja Funkcją skalarną dwóch (trzech) zmiennych nazywamy dowolną funkcję
f : D R , gdzie D jest podzbiorem R2 (R3) .
z = f (x, y), (x, y) " D.
( w = f (x, y, z), (x, y, z)" D.)
" Zbiór D ą" R2 (R3) nazywamy dziedziną funkcji f.
17
Wf = {z " R : z = f (x, y) '" (x, y) " D}
" Zbiór
(Wf = {w" R : w = f (x, y, z) '" (x, y, z)" D})
nazywamy zbiorem wartości funkcji
f.
Uwaga Je\
eli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór punktów płaszczyzny, dla
których wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
Przykład Wyznaczyć i narysować zbiór będący dziedziną naturalną funkcji:
1
f (x, y) = + 4 - x2 - y2 ,
a)
xy
f (x, y) = 1- x2 �" arccos y,
b)
f (x, y, z) = ln(9 - x2 - y2 - z2),
c)
f (x, y) = arcsin y - x .
d)
Definicja Wykresem funkcji f (dwóch zmiennych) nazywamy zbiór
{(x, y, f (x, y))" R3 : (x, y) " D}.
Przykład Wyznaczyć dziedzinę i narysować wykres funkcji:
f (x, y) = 9 - x2 - y2 ,
a)
f (x, y) = 1+ x2 + y2 ,
b)
1
f (x, y) = 1- x2 - y2,
c)
9
d) f (x, y) = x2.
Definicja Funkcja f : D R jest ograniczona, je\
eli istnieje liczba rzeczywista M taka, \
e
dla dowolnego punktu (x, y)" D zachodzi
((x, y, z) " D)
| f (x, y) |d" M.
(| f (x, y, z) |d" M.)
Przykład Czy funkcje z poprzedniego przykładu są funkcjami ograniczonymi?
Granica funkcji wielu zmiennych
Definicja. Ciąg punktów płaszczyzny (Pn ) = (xn, yn )
jest zbie\
ny do punktu P0 = (x0, y0),
co zapisujemy
lim Pn = P0,
n"
xn x0
wtedy i tylko wtedy, gdy i yn y0 .
Uwaga Analogicznie definiujemy zbie\
ność ciągu punktów przestrzeni.
Przykład Zbadać, czy podane ciągi są zbie\
ne:
18
2
�łlog 2, �ł,
a) Pn =
�ł �ł
n+1
n
�ł łł
n +1
�łn
b)
Pn = n, ,5�ł.
�ł �ł
n
�ł łł
Definicja. Niech P0 = (x0, y0) będzie punktem skupienia dziedziny funkcji f. g nazywamy
granicą funkcji z = f (x, y) w punkcie P0 = (x0, y0) jeśli dla ka\
dego ciągu punktów
P0
takiego, \
e , Pn `" P0 i zbie\
nego do punktu odpowiadający mu ciąg
(Pn) = (xn, yn) Pn " D
wartości funkcji ( f (Pn)) jest zbie\
ny do g. Piszemy wtedy lub
lim f (x, y) = g
(x, y)(x0 , y0 )
.
lim f (x, y) = g
xx0
y y0
Uwaga Analogicznie definiujemy granicę funkcji trzech i większej ilości zmiennych.
Uwaga
" Definicję powy\
szą nazywamy definicją Heinego granicy funkcji wielu zmiennych.
" Granica sumy, ró\
nicy, iloczynu i ilorazu funkcji wielu zmiennych jest odpowiednio
sumą, ró\
nicą, iloczynem, ilorazem granic.
Przykład Obliczyć następujące granice:
tgxy
a) lim ,
(x, y)(2,0)
y
x3 - x2 y + 2xy - 2y2
b) lim(1,1) ,
(x, y)
x - y
sin(x3 + y3)
lim ,
c)
(x, y)(0,0)
x2 + y2
x2 + y2
lim .
d)
(x, y)(0,0)
x2 + y2 +1 -1
(Qn )
Uwaga Granica funkcji f w punkcie nie istnieje, je\
eli istnieją dwa ciągi (Pn ) i
P0
P0
zbie\
ne do punktu takie, \
e
lim f (Pn ) = g, i g `" g'.
lim f (Qn ) = g'
n" n"
Przykład Wykazać, \
e następujące granice nie istnieją:
xy2
a)
lim ,
(x, y)(0,0)
x2 + y4
sin x
b)
lim .
(x, y)(Ą ,0)
sin y
Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych
19
Definicja Niech funkcja z = f (x, y) będzie określona co najmniej w otoczeniu punktu
(x0, y0).
" Pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji z = f (x, y) w punkcie (x0, y0)
względem zmiennej x nazywamy liczbę
"f f (x0 + h, y0)- f (x0, y0).
(x0 y0)= lim
h0
"x h
z = f (x, y) (x0, y0)
" Pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji w punkcie
względem zmiennej y nazywamy liczbę
"f f (x0, y0 + h)- f (x0, y0).
(x0 y0) = lim
h0
"y h
"f
= fx = zx , "f = f y = zy .
Często u\
ywa się oznaczeń
"x "y
Przykład Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji
2x
w punkcie (-1,1).
f (x, y) =
y
Przykład Wykazać, \
e nie istnieją pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji
f (x, y) = x2 + y2 w punkcie (0,0).
Uwaga Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji trzech i większej ilości zmiennych
określamy i oznaczamy analogicznie.
Definicja (pochodnych cząstkowych na zbiorze otwartym)
Je\
eli funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w ka\
dym punkcie zbioru
otwartego D ą" R2 (R3) , to funkcje :
"f "f
(x, y), (x, y),
"x "y
"f
"f "f
(x, y, z))
( (x, y, z), (x, y, z), (x, y)" D ((x, y, z)" D), nazywamy
, gdzie
"x "y "z
pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu funkcji f na zbirze D i oznaczamy odpowiednio
"f
"f
"f
, ,
"x "y "z
fy,
lub fx,
fz.
Uwaga
" Przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej, pozostałe zmienne
traktujemy jako stałe.
" Do obliczania pochodnych cząstkowych mo\
na stosować reguły ró\
niczkowania
funkcji jednej zmiennej, tj. wzory na pochodne sumy, ró\
nicy, iloczynu, ilorazu,
pochodne funkcji zło\
onej.
Przykład Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego następujących funkcji:
20
x2 - y2
f (x, y) = ,
a)
2xy + x + y
f (x, y) = xy + yx + 2,
b)
2
f (x, y) = arctg ( y x ) + sin (3x2 + xy - 4 y3),
c)
xz
f (x, y, z) = arctgz.
d)
2y
Pochodne cząstkowe rzędu drugiego
Definicja ( pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji dwóch zmiennych)
"f
"f
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego , co najmniej w otoczeniu
"x "y
punktu (x0, y0). Pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji f w punkcie (x0, y0) określamy
wzorami:
" "f "2 f " "f "2 f
�ł �ł
�ł �ł(x , y0) = (x0, y0 )
�ł �ł(x0, y0) = (x0, y0 )
�ł �ł , ,
0
�ł �ł
"x "x "x2 "x "y "x"y
�ł łł
�ł łł
�ł �ł
" "f "2 f " "f "2 f
�ł �ł(x , y0) = (x0, y0), �ł �ł(x0, y0) = (x0, y0) .
�ł �ł
0
�ł �ł
"y "x "y"x "y "y "y2
�ł łł
�ł łł
"2 f "2 f
"2 f
= fyx = fxy "2 f = f yy
Często u\
ywa się oznaczeń = fxx , , , .
"x2 "x"y "y"x
"y2
"2 f "2 f
Pochodne , nazywa się pochodnymi mieszanymi.
"x"y "y"x
Uwaga Analogicznie definiujemy i oznaczamy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
trzech i większej ilości zmiennych.
Definicja ( pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji dwóch zmiennych na zbiorze
otwartym)
Je\
eli funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu drugiego w ka\
dym punkcie zbioru otwartego
D ą" R2
, to funkcje :
"2 f "2 f
"2 f
"2 f
(x, y), (x, y),
(x, y), (x, y),
.
"x"y "y"x
"x2 "y2
gdzie (x, y)" D , nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego funkcji f na zbirze D.
Uwaga Analogicznie definiujemy i oznaczamy pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
trzech zmiennych na zbiorze otwartym D ą" R3.
Przykład Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
f (x, y) = cos xy,
a)
x2 + y2
b)
f (x, y) = ,
xy
21
c) f (x, y, z) = x3 + z4 - 3xyz.
Twierdzenie (Schwarza) Jeśli pochodne cząstkowe mieszane, ró\
niące się kolejnością
ró\
niczkowania, są ciągłe, to są sobie równe.
Przykład Sprawdzić, czy pochodne cząstkowe mieszane funkcji z poprzedniego przykładu
spełniają zało\
enia twierdzenia Schwarza.
Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji dwóch zmiennych
"f
"f
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe , w punkcie .
(x0, y0)
"x "y
(x0, y0, f (x0, y0))
Wówczas płaszczyzna styczna do wykresu funkcji f w punkcie ma postać:
"f "f
z - f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 )(x - x0 ) + (x0 , y0 )( y - y0 ).
"x "y
Ą
Przykład Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie ,
(1,0, )
4
je\
eli:
arctgx
f (x, y) = .
1+ y2
Ró\
niczka zupełna funkcji
"f "f
"f
Definicja Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe , ( ) w punkcie (x0 , y0 )
"x "y "z
. Ró\
niczką
((x0, y0, z0 ))
df (x0, y0 )
zupełną funkcji f w punkcie (x0 , y0 ) ((x0, y0, z0 )) nazywamy funkcję
("z)
"x "y
(df (x0, y0, z0 )) zmiennych , określoną wzorem:
"f "f
df (x0, y0)("x, "y) = (x0, y0)"x + (x0, y0 )"y
"x "y
(df (x0, y0, z0 )("x,"y,"z) =
"f "f "f
(x0, y0, z0 )"x + (x0, y0, z0 )"y + (x0, y0, z0 )"z).
"x "y "z
df
Ró\
niczkę funkcji f oznaczamy krótko .
Uwaga Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w punkcie (x0 , y0 )
((x0 , y0, z0 )) . Wtedy
f (x0 + "x, y0 + "y) H"
"f "f
f (x0, y0 ) + (x0, y0 )"x + (x0, y0 )"y
"x "y
22
( f (x0 + "x, y0 + "y, z0 + "z) H" f (x0, y0, z0) +
"f "f "f
(x0, y0, z0)"x + (x0, y0, z0)"y + (x0, y0, z0)"z).
"x "y "z
Przykład Korzystając z ró\
niczki zupełnej obliczyć wartość przybli\
oną wyra\
enia:
3
(2,06)2 + (1,97)2 .
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Definicja Funkcja f ma w punkcie (x0, y0)
minimum (maksimum) lokalne, je\
eli istnieje
(x, y)
otoczenie tego punktu takie, \
e dla dowolnego z tego otoczenia zachodzi nierówność:
f (x, y) e" f (x0 , y0 )
( f (x, y) d" f (x0, y0))
.
f (x, y) = 5 + x6 + | y |
Przykład Zbadać z definicji, czy funkcja ma w punkcie (0,0)
ekstremum.
Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Załó\
my, \
e funkcja f ma pochodne
"f
"f
(x0, . Wówczas je\
eli funkcja f ma ekstremum w punkcie
cząstkowe , w punkcie y0)
"x "y
"f "f
(x0, y0) = (x0, y0) = 0.
(x0, y0), to
"x "y
Twierdzenie (Warunek dostateczny istnienia ekstremum) Niech funkcja f ma ciągłe pochodne
(x0, y0)
cząstkowe rzędu drugiego w otoczeniu punktu oraz niech
"f "f
(x0, y0) = (x0, y0) = 0
"
"x "y
"2 f "2 f
(x0 , y0 ) (x0 , y0 )
"x2 "y"x
W (x0 , y0 ) = > 0.
"
"2 f "2 f
(x0 , y0 ) (x0 , y0 )
"x"y "y2
(x0, y0)
Wtedy funkcja f ma w punkcie ekstremum lokalne właściwe i jest to:
"2 f
(x0, y0) > 0,
" minimum gdy
"x2
"2 f
(x0, y0) < 0.
" maksimum gdy
"x2
23
Uwaga Gdy wyznacznik w powy\
szym twierdzeniu jest ujemny, to funkcja f nie ma
(x0, y0)
ekstremum w punkcie . W przypadku, gdy wyznacznik ten jest równy 0, to badanie,
czy funkcja f ma ekstremum przeprowadzamy innymi metodami (np. z definicji).
Przykład Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
f (x, y) = 3x3 + 3x2 y - y3 -15x,
a)
f (x, y) = ex- y(x2 - 2y2).
b)
Ekstrema lokalne funkcji trzech zmiennych
(x0, y0, z0)
Definicja Funkcja f ma w punkcie minimum (maksimum) lokalne, je\
eli istnieje
(x, y, z)
otoczenie tego punktu takie, \
e dla dowolnego z tego otoczenia zachodzi
nierówność:
f (x, y, z) e" f (x0, y0, z0)
( f (x, y, z) d" f (x0, y0, z0))
.
Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Załó\
my, \
e funkcja f ma pochodne
"f
"f
"f
(x0, y0, z0)
cząstkowe , , w punkcie . Wówczas je\
eli funkcja f ma ekstremum
"x "y
"z
"f "f "f
(x0, y0, z0) = (x0, y0, z0) = (x0, y0, z0) = 0.
(x0, y0, z0)
w punkcie , to
"x "y "z
Twierdzenie (Warunek dostateczny istnienia ekstremum) Niech funkcja f ma ciągłe pochodne
(x0, y0, z0)
cząstkowe rzędu drugiego w otoczeniu punktu . Oznaczmy
"2 f
W1(x0, y0, z0) = (x0, y0, z0),
"x2
"2 f "2 f
(x0, y0, z0 ) (x0, y0, z0 )
"x2 "y"x
W2 (x0, y0, z0 ) = ,
"2 f "2 f
(x0, y0, z0 ) (x0, y0, z0 )
"x"y "y2
W3(x0, y0, z0) =
"2 f "2 f "2 f
(x0, y0, z0) (x0, y0, z0) (x0, y0, z0)
"x2 "y"x "z"x
"2 f "2 f "2 f
= (x0, y0, z0) (x0, y0, z0) (x0, y0, z0) .
"x"y "y2 "z"y
"2 f "2 f "2 f
(x0, y0, z0) (x0, y0, z0) (x0, y0, z0)
"x"z "y"z "z2
Wówczas, je\
eli
"f "f "f
(x0, y0, z0) = (x0, y0, z0) = (x0, y0, z0) = 0.
" )
"x "y "z
24
W1(x0 , y0 , z0 ) > 0,W2 (x0 , y0 , z0 ) > 0,W3 (x0 , y0 , z0 ) > 0
"
W1(x0, y0, z0) < 0,W2(x0, y0, z0) > 0,W3(x0, y0, z0) < 0
( )
(x0, minimum (maksimum) lokalne właściwe.
to funkcja f ma w punkcie y0, z0)
W2 (x0, y0, z0 )
Uwaga Gdy wyznacznik w powy\
szym twierdzeniu jest ujemny, to funkcja f
(x0, y0, z0)
nie ma ekstremum w punkcie .
Przykład Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 - xy + x + 2z.
Ekstrema lokalne funkcji n zmiennych
Twierdzenie Niech D ą" Rn . Je\
eli funkcja f : D R ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu
drugiego w pewnym otoczeniu punktu a " D oraz spełnione są warunki:
"f "f "f
f '(a) = [ (a), (a),K, (a)] = 0,
"
"x1 "x2 "xn
j
" ("j = 1,2,K, n)[W > 0] ( ),
("j = 1,2,K,n)[(-1) Wj > 0]
j
gdzie
2 2 2
" f " f " f
(a) (a) L (a)
2
"x1 "x2"x1 "x "x1
j
2 2 2
" f " f " f
(a) (a) L (a)
2
W =
j "x1"x2 "x2 "x "x2 ,
j
M M M M
2 2 2
" f " f " f
(a) (a) L (a)
"x1"x "x2"x "x2
j j j
to funkcja f ma minimum (maksimum) lokalne właściwe w punkcie a.
Uwaga Gdy któryś z wyznaczników , dla j parzystego, w powy\
szym twierdzeniu jest
W
j
ujemny, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie a.
Wartość najmniejsza i największa funkcji dwóch zmiennych na zbiorze domkniętym
Twierdzenie (Weierstrassa o osiąganiu kresów) Je\
eli funkcja f jest określona i ciągła na
zbiorze D domkniętym i ograniczonym, to jest ona ograniczona oraz w zbiorze D istnieją
Pm PM f (Pm ) = min f (P) f (PM ) = max f (P).
punkty i takie, \
e: i
P"D P"D
Algorytm wyznaczania wartości najmniejszej i największej funkcji na zbiorze
domkniętym:
" szukamy ewentualnych ekstremów lokalnych we wnętrzu zbioru D,
25
y = p(x)
" brzeg obszaru D dzielimy na kawałki, dające się opisać wzorami: lub
x = p(y),
a następnie wyznaczamy ewentualne wartości najmniejsze i największe
f ( p( y), y)
funkcji jednej zmiennej f (x, p(x)) lub ,
f (x, y)
" obliczamy wartości funkcji we wszystkich wcześniej wyznaczonych punktach,
a następnie wyszukujemy te, w których funkcja osiąga wartość najmniejszą i największą.
x = 0, y = 0, x + y = -4,
Przykład W trójkącie ograniczonym prostymi znalez
ć
f (x, y) = xy - x(x +1) - y( y +1).
najmniejszą i największą wartość funkcji
Przykład Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji
f (x, y) = xy - x(x +1) - y(y +1) D = {(x, y) " R2 : x2 + y2 d" 25, y e" 3}.
na zbiorze
f (x, y) = 3x + 4y
Przykład Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w
y =
obszarze mieszczącym się między krzywymi y = ln x, -ln x i prawą połową okręgu
(x - e)2 + y2 = 1.
Pochodna funkcji zło\
onej
Twierdzenie (O pochodnej funkcji zło\
onej) Niech
x = x(t), y = y(t) t0
" funkcje mają pochodne właściwe w punkcie ,
z = f (x, y)
" funkcja ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
(x(t0), y(t0)).
F(t) = f (x(t), y(t)) t0
Wtedy funkcja zło\
ona ma pochodną właściwą w punkcie
dF "f dx "f dy
= �" + �" , gdzie pochodne dx dy są obliczane w punkcie , a
, t0
oraz
dt "x dt "y dt
dt dt
"f "f
, (x(t0), y(t0)).
pochodne są obliczane w punkcie
"x "y
F(t) = f (x(t), y(t)) i
F'(t), x(t) = sin2 t
Przykład Obliczyć je\
eli oraz
y(t) = lnt.
Twierdzenie (O pochodnych cząstkowych funkcji zło\
onej) Niech
x = x(u,v), y = y(u,v)
" funkcje mają pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w
(u0,v0),
punkcie
z = f (x, y)
" funkcja ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
(x(u0,v0), y(u0,v0)).
26
F(u,v) = f (x(u,v), y(u,v)) (u0,v0)
Wtedy funkcja zło\
ona ma w punkcie pochodne
"F "f "x "f "y "F "f "x "f "y
= �" + �" , = �" + �" ,
cząstkowe pierwszego rzędu oraz
"u "x "u "y "u "v "x "v "y "v
"x "y "x "y
"f "f
, , ,
(u0,v0),
gdzie pochodne są obliczane w punkcie a pochodne , w
"u "u "v "v
"x "y
(x(u0,v0), y(u0,v0)).
punkcie
F = f (x, y),
Przykład Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji gdzie x = u cosv i
y = u sin v.
Funkcje uwikłane
F(x, y) = 0
Definicja Funkcją uwikłaną określoną przez warunek nazywamy ka\
dą funkcję
y = y(x) F(x, y(x)) = 0
spełniającą równość dla wszystkich x z pewnego przedziału I.
x = x(y).
Analogicznie definiujemy funkcję uwikłaną
y = y(x)
Przykład Naszkicować wykresy wszystkich uwikłanych funkcji ciągłych postaci
x2 + y2 = 9.
o maksymalnych dziedzinach, które są określone przez warunek:
Twierdzenie (O istnieniu i ró\
niczkowalności funkcji uwikłanej) Niech funkcja F ma ciągłe
pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w otoczeniu punktu (x0, y0) oraz niech spełnia
warunki:
F(x0, y0) = 0
" ,
"F
(x0, y0) `" 0.
"
"y
U (x0)
Wówczas na pewnym otoczeniu istnieje jednoznacznie określona funkcja uwikłana
y = y(x)
spełniająca warunki:
y0 = y(x0),
"
"F
(x, y(x))
"x
y'(x) = - dla ka\
dego x "U (x0).
"
"F
(x, y(x))
"y
Uwaga Je\
eli ponadto funkcja F ma pochodne cząstkowe rzędu drugiego w otoczeniu punktu
y = y(x)
(x0, y0), to funkcja uwikłana jest dwukrotnie ró\
niczkowalna w pewnym otoczeniu
U(x0)
i jej pochodna wyra\
a się wzorem:
Fxx(Fy )2 - 2FxyFxFy + Fyy(Fx )2
y"= - .
(Fy )3
27
LICZBY ZESPOLONE.
D. Ciałem liczb zespolonych nazywamy strukturę .
R2;(0,0),(1,0);+,�" , gdzie
(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d),
(a,b) " (c,d) = (ac-bd,ad+bc),
(a,b) - (c,d) = (a-c,b-d),
ac + bd bc - ad
�ł �ł
,
(a,b) : (c,d) = �ł �ł .
2 2 2 2
c + d c + d
�ł łł
Przykład. Niech z = (a,0), z = (c,0). Obliczyć: z+z , z" z , z-z , z:z .
Z powy\
szego przykładu wynika, \
e liczbę zespoloną (x,0) mo\
na uto\
samić z liczbą
rzeczywistą x
((x,0) = x).
2
z
Przykład. Niech z = (0,1). Obliczyć .
Liczbę zespoloną (0,1) oznaczamy przez i. Wówczas i2 = -1 .
z = (x,y) = x+yi  postać algebraiczna liczby zespolonej.
Je\
eli z = x+yi, to x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z i oznaczamy Rez. y
nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z i oznaczamy Imz.
Liczby zespolone to pary liczb rzeczywistych, a więc mo\
emy je uto\
samiać z punktami
płaszczyzny kartezjańskiej (płaszczyzny euklidesowej). Ustalmy na tej płaszczyz
nie
R2
kartezjański układ współrzędnych. Je\
eli na punkty (x,y) płaszczyzny patrzymy jak na liczby
zespolone x+yi to płaszczyznę wtedy nazywamy płaszczyzną zespoloną. Oś ox, na której le\
ą
liczby zespolone postaci (x,0) nazywamy osią rzeczywistą. Oś oy, na której le\
ą liczby
zespolone postaci (0,y) nazywamy osią urojoną.
D. Modułem liczby zespolonej z = (x,y) nazywamy odległość punktu z = (x,y) od początku
| z |= x2 + y2
układu współrzędnych i oznaczamy .
D. Argumentem liczby z = (x,y)`"0 nazywamy ka\
dą liczbę rzeczywistą Ć spełniającą warunki
y
ńłsin� =
�ł
�ł | z |
i oznaczamy argz.
�ł
x
�ł
cos� =
�ł
| z |
ół
Argument liczby z = (x,y)`"0 nie jest wyznaczony jednoznacznie. Je\
eli argz = Ć, to
argumentami liczby z sa równie\
liczby rzeczywiste Ć+2kĄ, gdzie k = 0,ą1,ą2,...
Jedyny argument liczby z = (x,y)`"0 nale\
ący do przedziału (-Ą,Ą> nazywamy argumentem
głównym liczby z i oznaczamy Argz.
Argumentem liczby (0,0) nazywamy ka\
dą liczbę rzeczywistą
Wykorzystując wprowadzone pojęcia i oznaczając argz = Ć otrzymujemy:
z = (x,y) = x+yi = |z|(cos Ć +isin Ć)  postać trygonometryczna liczby zespolonej.
T. Je\
eli z = |z|(cos Ć +isin Ć), z = |z |(cos � +isin �), to
zz = |z||z |(cos(Ć+�)+isin(Ć+�));
28
z/z = (|z|/|z |)(cos(Ć-�)+isin(Ć-�)).
W. |zz | = |z||z |, |z/z | = |z|/|z |.
n
z =| z |n (cos nĆ + i sin nĆ)
T. Je\
eli z = |z|(cos Ć +isin Ć), n " N , to .
| zn |=| z |n
W. 1) .
2) Je\
eli arg z = Ć , to arg zn = nĆ .
(cosĆ + i sinĆ)n = cos nĆ + i sin nĆ
3) - wzór de Moivre,a.
z =| z | (cosĆ + i sinĆ)
T. Je\
eli i z `" 0, to
Ć + 2kĄ Ć + 2kĄ
n
n
z = | z |(cos + i sin ),
k = 0,1,K, n -1.
gdzie
n n
n
z `" 0
Uwaga. W dziedzinie liczb zespolonych symbol z dla nie jest jednoznaczny,
z = 0
oznacza on dowolną z n liczb opisanych powy\
szym wzorem. Jedynie dla symbol
n
z ma dokładnie jedną wartość 0.
Ći
z =| z | e
T. Je\
eli z =| z | (cosĆ + i sinĆ) , to - postać wykładnicza liczby
zespolonej.
Równania ró\
niczkowe zwyczajne
Definicja Równaniem ró\
niczkowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci
F(x, y, y') = 0, gdzie F jest funkcją ciągłą na pewnym obszarze " ą" R3, zaś y = y(x) jest
szukaną niewiadomą funkcją.
Uwaga Je\
eli równanie F(x, y, y') = 0 mo\
na rozwiązać ze względu na y' , to otrzymujemy
y'= f (x, y), f
tzw. postać normalną równania ró\
niczkowego rzędu pierwszego: gdzie
jest funkcją ciągłą na pewnym obszarze D ą" R2.
Przykłady równań ró\
niczkowych rz. 1:
y'+2 y2 sin x = 0 ,
y'= 3x - y
,
xy'+2y(ln y - ln x) = 0
.
Definicja Rozwiązaniem rr y'= f (x, y) na przedziale I nazywamy ka\
dą funkcję y = y(x)
D,
o ciągłej pochodnej w I i wykresie zawartym w obszarze która równanie to
przeprowadza w to\
samość, tj. ("x " I )[ y'(x) a" f (x, y(x))].
Rozwiązanie rr nazywamy tak\
e całką rr.
29
Uwaga Najprostszym rr rz. 1 jest równanie: y'= f (x), gdzie f jest daną funkcją ciągłą w
przedziale I.
Rozwiązanie tego równania ma postać:
y(x) = f (x)dx = F(x) + C.
+"
" Pojedyncze rozwiązanie rr nazywamy całką szczególną (CS) rr.
y = y(x,C)
" Rodzinę wszystkich rozwiązań postaci nazywamy całką ogólną
(rozwiązaniem ogólnym) rr.
1
y'= .
Przykład
x
Definicja (Zagadnienia początkowego  Cauchy ego) Niech funkcja f = f (x, y) będzie
D. (x0, y0)" D
określona w obszarze Dla zadanego punktu wyznaczyć takie rozwiązanie
y'= f (x, y),
(CS) y = y(x) równania aby y(x0) = y0. Tak postawiony problem
y(x0) = y0
rozwiązania rr nazywamy zagadnieniem początkowym (Cauchy ego), warunek
nazywamy warunkiem początkowym.
Zagadnienie początkowe zapisujemy:
y'= f (x, y)
ńł
.
�ł
y(x0 ) = y0
ół
f (x, y)
Twierdzenie (O istnieniu i jednoznaczności rozwiązania rr) Je\
eli funkcja oraz jej
(x0, y0)" D
D
pochodna cząstkowa f (x, y) są ciągłe na obszarze oraz , to zagadnienie
y
początkowe
y'= f (x, y)
ńł
�ł
y(x0) = y0
ół
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Przykład Korzystając z powy\
szego twierdzenia uzasadnić, \
e zagadnienie początkowe
ńł
y'= ln(1+ y2)
�ł
y(0) = 0
ół
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Równania ró\
niczkowe o zmiennych rozdzielonych
Definicja Równanie ró\
niczkowe o zmiennych rozdzielonych to równanie postaci
y'= h(x) �" g( y) h(x) g( y)
, gdzie funkcje i są danymi funkcjami ciągłymi.
(a,b)
Twierdzenie Je\
eli funkcje h(x) i g( y) są ciągłe odpowiednio w przedziałach i
(c,d) g( y) `" 0 y "(c,d) x0 "(a,b) y0 "(c,d)
, przy czym dla oraz , , to
zagadnienie początkowe
30
y'= h(x)�" g(y)
ńł
�ł
y(x0) = y0
ół
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
y'= h(x) �" g( y)
Uwaga Sposób rozwiązywania rr o zmiennych rozdzielonych :
dy
= h(x) �" g(y)
dx
dy = h(x) �" g(y)dx
dy
= h(x)dx
g(y)
dy
=
+" +"h(x)dx
g(y)
Całkę ogólną otrzymujemy z ostatniej to\
samości.
y* g(y*) = 0, y(x) = y*, x "(a,b)
Uwaga Je\
eli jest taką liczbą, \
e to funkcja stała
y'= h(x) �" g( y)
jest te\
rozwiązaniem równania .
y'= 2x(y - 3).
Przykład Znalez
ć całkę ogólną równania:
cos x Ą
y'= , y( ) = -1.
Przykład Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego:
3y2 2
Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych
" Równanie jednorodne  jest to równanie postaci
y
y'= f ( ),
x
gdzie jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale.
f (u)
Równanie to sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych przez
podstawienie:
y(x)
u(x) = .
x
x3 + y3
y'= .
Przykład Znalez
ć całkę ogólną równania:
xy2
" Równanie postaci:
y'= f (ax + by + c),
a `" 0, b `" 0, i f (u)
gdzie jest funkcją ciągłą w pewnym przedziale.
31
 Równanie to sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych przez
podstawienie:
u(x) = ax + by(x) + c.
y'= (4x + y - 3)2.
Przykład Rozwiązać równanie ró\
niczkowe:
Równanie liniowe rzędu pierwszego
Równanie postaci:
y'+ p(x) y = f (x),
I,
p(x) i f (x)
gdzie są funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale nazywamy
równaniem liniowym rzędu pierwszego.
" Je\
eli f (x) a" 0, to równanie powy\
sze nazywamy równaniem liniowym
jednorodnym.
I,
" Je\
eli nie jest to\
samościowo równe 0 na przedziale to równanie powy\
sze
f (x)
nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym.
" Przykłady równań liniowych:
y'+2 y = cos x, y'+xy = ex,
y'+ y ln x = 0.
" Przykłady równań, które nie są liniowe:
y'+2x = ey ,
y'+ y2 = cos x, y'+xln y = 0.
Uwaga Równanie liniowe jednorodne jest równaniem o rozdzielonych zmiennych.
Twierdzenie (O budowie całki ogólnej równania liniowego niejednorodnego i
jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego)
Załó\
my, \
e w równaniu
y'+ p(x) y = f (x),
I.
funkcje p(x) i f (x) są funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale Wówczas:
" je\
eli y = y0 (x,C), x " I, C " R jest całką ogólną równania jednorodnego
y'+ p(x) y = 0
oraz y = ys (x), x " I jest dowolną całką szczególną równania
niejednorodnego, to całka ogólna równania niejednorodnego ma postać:
y = y0 (x,C) + ys (x), x " I, C " R.
" zagadnienie początkowe
y'+ p(x) y = f (x)
ńł
�ł
�ł
�ł ) = y0 , x0 " I
óły(x0
I.
ma dokładnie jedno rozwiązanie określone w całym przedziale Mo\
na je otrzymać z
C.
całki ogólnej poprzez odpowiedni dobór stałej
32
1
y'- y = 2x2
Przykład Znalez
ć całkę szczególną równania spełniającą warunek
x
y(-1) = 3.
początkowy
y'+ y cos x = sin x cos x.
Przykład Rozwiązać równanie:
Równania ró\
niczkowe rzędu drugiego
Są to równania postaci:
F (x, y, y', y") = 0,
F
gdzie jest funkcją ciągłą na pewnym obszarze " ą" R4, zaś y = y(x) jest szukaną
niewiadomą funkcją.
Przykłady równań ró\
niczkowych rz. 2:
y"+ y'+2 y2 sin x = 0
,
y"= ey.
Definicja Całką szczególną rr rzędu drugiego na przedziale I nazywamy ka\
dą funkcję
y = y(x)
o ciągłej drugiej pochodnej w I, która spełnia to równanie, tj.
("x " I )[F (x, y(x), y'(x), y"(x)) = 0].
Całką ogólną rr rzędu drugiego nazywamy rodzinę funkcji
y = y(x,C1,C2), x " I, C1,C2 " R,
y = y(x,C1,C2)
taką, \
e dla dowolnych wartości stałych C1,C2 funkcja jest całką
szczególną rr.
Definicja Zagadnieniem początkowym Cauchy ego dla rr rzędu drugiego nazywamy zadanie
wyznaczenia tej całki szczególnej rr, która spełnia warunki początkowe
y(x0) = y0
ńł
�ły'(x ) = y1 .
ół 0
Równania rzędu 2 sprowadzalne do równań rzędu 1
" Równanie typu
F (x, y', y") = 0.
y'= u(x).
Podstawienie:
Przykład Rozwiązać równanie:
xy"= y'.
" Równanie typu
F(y, y', y") = 0.
y'= u( y).
Podstawienie:
33
Przykład Rozwiązać zagadnienie początkowe: y"= e2 y, y(0) = 0, y'(0) = -1.
Równania ró\
niczkowe rzędu n
Są to równania postaci:
F (x, y, y',L, y(n)) = 0.
Całkę ogólną tego równania tworzy zbiór funkcji o ciągłej pochodnej rzędu n zale\
nych od n
stałych:
y = y(x,C1,C2,L,Cn), x " I, C1,C2,L,Cn " R.
W zagadnieniu początkowym dla
rr rzędu n występuje n warunków początkowych postaci:
y(x0) = y0, y'(x0) = y1,L, y(n-1)(x0) = yn-1.
Równanie ró\
niczkowe liniowe rzędu n
y(n) + pn-1(x) y(n-1) +L+ p1(x) y'+ p0(x) y = f (x),
Jest to równanie postaci: gdzie
p0 (x), p1(x),K, pn-1(x), f (x)
funkcje są ciągłe na pewnym przedziale I.
f (x) a" 0
" Je\
eli , to równanie powy\
sze nazywamy równaniem liniowym
jednorodnym.
p0(x), p1(x),K, pn-1(x)
" Je\
eli funkcje są stałe na przedziale I, to równanie
powy\
sze nazywamy równaniem liniowym o stałych współczynnikach.
Przykłady równań liniowych:
y"'+5xy"+2 y = x4,
y"+5y'+2 y = 0.
Definicja Funkcje y1(x), y2(x),K, yn (x), nazywamy liniowo zale\
nymi na przedziale I,
je\
eli istnieją stałe ą1,ą2,K,ąn
nie wszystkie równe zero takie, \
e dla ka\
dego x " I
spełniona jest równość: ą1y1(x) +ą2 y2(x) +K+ąn yn (x) = 0.
y1(x), y2(x),K, yn (x),
Funkcje nazywamy liniowo niezale\
nymi na przedziale I, je\
eli nie
("x " I)[ą1y1(x) +ą2 y2(x) +K+ąn yn (x) = 0]
są one liniowo zale\
ne, co oznacza, \
e
�! [ą1 = ą2 = Kąn = 0].
y1(x), y2(x),K, yn(x)
Fakt Je\
eli są dowolnymi, ale liniowo niezale\
nymi
rozwiązaniami równania liniowego jednorodnego rzędu n, to rozwiązanie ogólne tego
y = C1y1(x) + C2 y2 (x) +K+ Cn yn (x).
równania ma postać
y1(x), y2(x),K, yn (x)
Zbiór rozwiązań nazywamy układem fundamentalnym rozwiązań
równania liniowego jednorodnego rzędu n.
34
y1(x), y2(x),K, yn(x)
Twierdzenie Rozwiązania równania jednorodnego są liniowo
niezale\
ne na przedziale I wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik funkcyjny
y1(x) y2(x) L yn(x)
y'1 (x) y'2 (x) L y'n (x)
przynajmniej w jednym punkcie x0 " I.
W[y1,K, yn] = `" 0
M M M M
y1(n-1)(x) y2(n-1)(x) L yn(n-1)(x)
Wyznacznik powy\
szy nazywamy wrońskianem (wyznacznikiem Wrońskiego).
y = y0 (x,C1,C2,L,Cn )
Fakt Je\
eli jest całką ogólną równania liniowego
y = ys (x)
jednorodnego rzędu n oraz jest dowolną całką szczególną równania
niejednorodnego, to całka ogólna równania liniowego niejednorodnego rzędu n ma postać:
y = y0 (x,C1,C2,L,Cn ) + ys (x), x " I,
C1,C2,L,Cn " R.
Równania liniowe jednorodne o stałych współczynnikach
an y(n) + an-1y(n-1) +L+ a1y'+a0 y = 0
y(x) = erx
Zakładamy, \
e funkcja , gdzie r jest liczbą rzeczywistą lub zespoloną, jest
rozwiązaniem powy\
szego równania. Wówczas
anrn + an-1rn-1 +L+ a1r + a0 = 0.
Równanie to nazywamy równaniem charakterystycznym równania liniowego jednorodnego a
jego pierwiastki nazywamy pierwiastkami charakterystycznymi tego równania.
" Je\
eli ri , rj są dwoma ró\
nymi pierwiastkami rzeczywistymi równania
j
i
yi (x) = er x y (x) = er x
charakterystycznego, to funkcje i są dwoma liniowo
j
niezale\
nymi rozwiązaniami rrlj.
" Je\
eli r jest rzeczywistym pierwiastkiem k-krotnym równania charakterystycznego, to
y(x) = erx , y(x) = xerx ,K, y(x) = xk -1erx
funkcje są liniowo niezale\
nymi
rozwiązaniami rrlj.
r =
" Je\
eli ą + �i
jest pierwiastkiem zespolonym równania charakterystycznego (tym
r =
samym ą - �i
jest pierwiastkiem tego równania), to funkcje
y1(x) = eąx sin �x y2(x) = eąx cos �x
i są dwoma liniowo niezale\
nymi
rozwiązaniami rrlj.
r =
" Je\
eli ą + �i
jest k-krotnym pierwiastkiem zespolonym równania
r =
charakterystycznego (tym samym ą - �i
jest k-krotnym pierwiastkiem tego
y(x) = eąx sin �x, y(x) = xeąx sin �x,K,
równania), to funkcje
y(x) = xk -1eąx sin �x
i
35
y(x) = eąx cos �x, y(x) = xeąx cos �x,K,
y(x) = xk -1eąx cos �x
są liniowo niezale\
nymi rozwiązaniami rrlj.
Przykład Rozwiązać równania:
y"+ y'-2 y = 0,
a)
y"+6y'+9y = 0,
b)
y"+2y'+10 y = 0,
c)
y'''- y"= 0,
d)
e) y(5) + 8y'''+16 y'= 0.
Wyznaczanie całki szczególnej równania niejednorodnego metodą uzmienniania stałych
Rozwa\
my równanie
y"+a1y'+a0 y = f (x)
.
Wiadomo przy tym, \
e całka ogólna odpowiedniego równania jednorodnego ma postać:
y0 = C1y1(x) + C2 y2(x),
y1(x), y2(x)
C1,C2
gdzie są dowolnymi stałymi, a stanowią układ fundamentalny
rozwiązań równania jednorodnego.
Fakt Istnieje rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego postaci:
ys = C1(x)y1(x) + C2(x) y2(x),
gdzie funkcje C1(x),C2(x) spełniają układ równań:
' '
ńł
C1(x)y1(x) + C2(x) y2(x) = 0
�ł
' ' ' '
(x)y1(x) + C2(x) y2(x) = f (x)
ółC1
Przykład Rozwiązać równania:
ex
y"-2y'+ y = ,
a)
x
y"-3y'+2y = cos e- x,
b)
y"+ y = tgx,
y(0) = 1, y'(0) = 3.
c)
Wyznaczanie całki szczególnej równania niejednorodnego metodą przewidywań
f (x) = Wn (x)eąx,
" Je\
eli to
ys = Qn(x)eąx �" xk ,
Qn (x)
gdzie jest dowolnym wielomianem stopnia n, a czynnik xk pojawia się wtedy i
tylko wtedy, gdy ą jest k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.
36
f (x) = eąx (Wn (x)sin �x + Pn (x) cos �x),
" Je\
eli to
ys = eąx (Qn (x)sin �x + Zn (x) cos �x) �" xk ,
Qn (x), Zn (x) xk
gdzie są dowolnymi wielomianami stopnia n, a czynnik pojawia się
wtedy i tylko wtedy, gdy ą + �i
jest k-krotnym pierwiastkiem zespolonym równania
charakterystycznego.
f (x)
" Je\
eli jest sumą kilku funkcji opisanych w poprzednich punktach, to dla ka\
dej
z tych funkcji oddzielnie przewidujemy i obliczamy całkę szczególną, a następnie
wszystkie otrzymane całki szczególne sumujemy.
Przykład Rozwiązać równania:
y"+2 y'= x2 -1,
a)
y"+6y'+9y = 10sin x,
b)
x
2y"+ y'- y = e2 - x.
c)
Obszar normalny na płaszczyz
nie
Definicja (Obszaru normalnego względem osi)
D ą" R2 OX ,
" Obszar domknięty nazywamy obszarem normalnym względem osi
je\
eli mo\
na go zapisać w postaci
D = {(x, y) " R2 : a d" x d" b, g(x) d" y d" h(x)}, g(x)
h(x)
gdzie funkcje i są ciągłe
dla x")#a,b*# oraz g(x) < h(x) dla x "(a,b).
D ą" R2 OY,
" Obszar domknięty nazywamy obszarem normalnym względem osi
je\
eli mo\
na go zapisać w postaci
D = {(x, y) " R2 : c d" y d" d, g(y) d" x d" h(y)},
g(y) h( y)
gdzie funkcje i są
g(y) < h(y) y "(c,d).
ciągłe dla y ")#a,b*# oraz dla
Przykład Narysować przykłady obszarów, które nie są normalne.
Definicja Obszar domknięty i ograniczony D nazywamy obszarem regularnym, je\
eli jest on
OX OY
skończoną sumą obszarów normalnych (względem osi lub ).
Całka podwójna
f = f (x, y)
Definicja Niech funkcja będzie ciągła na obszarze normalnym względem osi
OX OY
lub . Wówczas
D OX
" je\
eli jest obszarem normalnym względem osi , to całkę podwójną po
obszarze D definiujemy wzorem:
37
b h( x) b h( x)
def
f (x, y)dxdy = f (x, y)dy)dx = f (x, y)dy,
+"+" +"( +" +"dx +"
D a g ( x) a g (x)
" je\
eli jest obszarem normalnym względem osi OY , to całkę podwójną po obszarze
D
D definiujemy wzorem:
d h( y) d h( y)
def
f (x, y)dxdy = f (x, y)dx)dy = f (x, y)dx.
+"+" +"( +" +"dy +"
D c g ( y) c g ( y)
Całki
h( y)
d
h(x)
b
f (x, y)dx
f (x, y)dy,
+"dy +"
+"dx +"
a g (x) c g ( y)
nazywamy całkami iterowanymi.
Przykład Zamień całkę podwójną z funkcji f (x, y) po obszarze D na całkę iterowaną, je\
eli
D jest obszarem ograniczonym liniami:
y = 0, y = ln x, x = e;
a)
y = x, x2 + y2 = 2x dla x ")#0,1*#.
b)
Całka podwójna po prostokącie
P = )#a,b*# �)#c,d*#
Uwaga Je\
eli funkcja f (x, y) jest ciągła w prostokącie , to
b d d b
f (x, y)dxdy = f (x, y)dy = f (x, y)dx.
+"+" +"dx+" +"dy+"
P a c c a
P = )#a,b*# �)#c,d*#
f (x, y)
Uwaga Je\
eli funkcja ciągła w prostokącie ma postać
f (x, y) = f1(x) �" f2(y)
, to
b d
f (x, y)dxdy =( f1(x)dx)�"( f2(y)dy).
+"+" +" +"
P a c
Przykład Oblicz następujące całki podwójne po prostokącie:
Ą
a)
+"+"cos(3x + y)dxdy gdzie P = )#0, 3 *# � )#Ą ,2Ą *#,
P
38
Ą
2
b)
+"+"x y cos(xy2)dxdy gdzie P = )#0, 2 *# � )#0,2*#.
P
Przykład Oblicz następujące całki podwójne:
a)
+"+"dxdy gdzie D = {(x, y) : y e" x, y d" 3x - x2},
D
b)
+"+"2ydxdy gdzie D jest obszarem ograniczonym liniami y = 0, y = x, x + y = 2.
D
Podstawowe własności całki podwójnej
Zakładamy, \
e całki poni\
sze istnieją.
f (x, y)dxdy e" 0.
" Je\
eli f (x, y) e" 0 w obszarze D , to
+"+"
D
f (x, y)dxdy d"
" Je\
eli f (x, y) d" g(x, y) w obszarze D , to
+"+" +"+"g(x, y)dxdy.
D D
f (x, y)dxdy.
" Dla dowolnej stałej c " R
+"+"c�" f (x, y)dxdy = c�"+"+"
D D
f (x, y)dxdy +
"
+"+"( f (x, y) + g(x, y))dxdy =+"+" +"+"g(x, y)dxdy.
D D D
D
" Je\
eli obszar regularny jest sumą obszarów D1, D2,K, Dn o parami rozłącznych
wnętrzach, to f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy +L+ f (x, y)dxdy.
+"+" +"+" +"+" +"+"
D D1 D2 Dn
Przykład Oblicz całkę podwójną
+"+"ydxdy, je\
eli D jest obszarem ograniczonym liniami
D
y = x +1, y = -1, y =1, x =| y | .
Uwagi o istnieniu całki podwójnej
Niech D będzie obszarem regularnym.
" Funkcja ciągła na D jest całkowalna na D .
g(x, y)
" Je\
eli funkcja f (x, y) jest ciągła na D a funkcja pokrywa się z funkcją
x
f (x, y) poza skończoną liczbą krzywych, które są wykresami funkcji zmiennej lub
y , to funkcja g(x, y) jest całkowalna oraz
39
f (x, y)dxdy =
+"+" +"+"g(x, y)dxdy.
D D
Przekształcenia obszarów na płaszczyz
nie
(u,v)
Niech D0 będzie zbiorem otwartym na płaszczyz
nie zmiennych . Załó\
my, \
e na
x = x(u,v) y = y(u,v)
zbiorze określone są funkcje i , a przekształcenie
D0
(u,v) (x(u,v), y(u,v))
jest ró\
nowartościowe.
D0
D
Niech zbiór otwarty będzie obrazem zbioru przy tym przekształceniu.
Definicja (Jakobianu przekształcenia)
Jakobianem przekształcenia
(u,v) (x(u,v), y(u,v))
nazywamy funkcję określoną wzorem:
"x "x
(u,v) (u,v)
"u "v
J (u,v) = .
"y "y
(u,v) (u,v)
"u "v
"x "x "y "y
, , ,
Zakładamy przy tym, \
e pochodne cząstkowe istnieją w całym obszarze
"u "v "u "v
D0
.
Współrzędne biegunowe
(r,�)
Współrzędne biegunowe :
x = r cos�
ńł
�ł
y = r sin�
ół
r ")#0,+"*#
� ")#0,2Ą *#
r2 = x2 + y2
40
Przekształcenie biegunowe
(r,�) (x(r,�), y(r,�))
x(r,�) = r cos�
ńł
�ł
y(r,�) = r sin�
ół
Uwaga Jakobian przekształcenia biegunowego jest równy:
J (u,v) = r.
Całka podwójna we współrzędnych biegunowych
Twierdzenie Niech obszar dany we współrzędnych biegunowych będzie regularny
D0
f (x, y) D D0
oraz niech funkcja będzie ciągła na obszarze będącym obrazem w
przekształceniu biegunowym. Wówczas
f (x, y)dxdy = f (r cos�, r sin�) �" rdrd�.
+"+" +"+"
D D0
Przykład Stosując współrzędne biegunowe obliczyć całki podwójne:
ln(x2 + y2)
dxdy
D = {(x, y) :1d" x2 + y2 d" e2},
a) gdzie
+"+"
x2 + y2
D
2
b) gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywą x2 + y2 = 2x.
+"+"(x + y2)dxdy
D
Zastosowania geometryczne całki podwójnej
" Pole obszaru płaskiego:
| D |=
+"+"dxdy.
D
Przykład Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami:
a) y2 = 4 + x, x + 3y = 0;
(x2 + y2)2 = a2(x2 - y2),a > 0.
b)
" Objętość bryły:
(x, y)" D
ńł
V : ,
�ł
ółh(x, y) d" z d" g(x, y)
41
|V |=
+"+"(g(x, y) - h(x, y))dxdy.
D
Przykład Oblicz objętość brył ograniczonych powierzchniami:
z = 0, y = 1, y = x2, z = x2 + y2;
a)
z = 6 - x2 - y2, z = x2 + y2 ;
b)
z = 0, z = 3- x, y2 = 3x;
c)
z =1, z = x2, y = -2, y = 2;
d)
z = a, z = 2a, z = a x2 + y2 , a > 0.
e)
" Pole płata:
"f "f
| |= 1+ ( )2 + ( )2 dxdy.
"
+"+"
"x "y
D
Przykład Oblicz pole powierzchni walcowej z = x2 odciętej płaszczyznami
y = 2x, y = 3x, x = 2.
1
z = (x2 + y2)
Przykład Oblicz pole części powierzchni zawartej wewnątrz walca
2
x2 + y2 = 8.
Przykład Oblicz masę obszaru o podanej gęstości:
1 x
x
D = {(x, y) :1d" x2 + y2 d" 3, x e" 0, y e" },
�(x, y) = .
16 4 y5
Przykład Oblicz współrzędne środka cię\
kości obszaru jednorodnego ograniczonego krzywą:
Ą
0 d" � d" .
r = 2sin 2�
dla
2
Obszar normalny w przestrzeni
Definicja Niech D będzie obszarem regularnym na płaszczyz
nie OXY. Wówczas obszar
ograniczony i domknięty V ą" R3 postaci:
V = {(x, y, z)" R3 : (x, y)" D,
h(x, y) d" z d" g(x, y)},
42
h(x, y) (x, y)
gdzie funkcje i g(x, y) są ciągłe na D oraz h(x, y) < g(x, y) dla punktów z
wnętrza obszaru D, nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY.
(Analogicznie definiujemy obszar normalny względem płaszczyzn OXZ i OYZ).
Całka potrójna
f = f (x, y, z)
Definicja Niech funkcja będzie ograniczona i ciągła na obszarze V
normalnym względem płaszczyzny OXY. Wówczas całkę potrójną po obszarze V definiujemy
wzorem:
g ( x, y)
def
f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz.
+"+"+" +"+"dxdy +"
V D h(x, y)
Przykład Niech V oznacza czworościan ograniczony płaszczyznami układu współrzędnych
x + y + z = 4.
oraz płaszczyzną Całkę
+"+"+"(4 - x)dxdydz sprowadzić do całki pojedynczej.
V
Uwaga (o całce potrójnej w prostopadłościanie)
f = f (x, y, z)
" Je\
eli funkcja jest ograniczona i ciągła w prostopadłościanie
P = {(x, y, z) " R3 : a1 d" x d" a2,b1 d" x d" b2,c1 d" x d" c2},
to
a2 b2 c2 c2 a2 b2
f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz = f (x, y, z)dy =
+"+"+" +"dx+"dy+" +"dz+"dx+"
P a1 b1 c1 c1 a1 b1
b2 c2 a2
= f (x, y, z)dx = L
+"dy+"dz+"
b1 c1 a1
f (x, y, z) = f1(x) �" f2(y)�" f3(z),
" Je\
eli ponadto funkcja to
a2 b2 c2
f (x, y, z)dxdydz =( f1(x)dx) �" ( f2 (y)dy) �" ( f3(z)dz).
+"+"+" +" +" +"
P a1 b1 c1
x+2 y-ln z
Przykład Oblicz
+"+"+"e dxdydz , gdy
P
P = {(x, y, z)" R3 : 0 d" x d" ln 2,0 d" y d" ln3, 1 d" z d" e},
z = 0 x + z = 4
Przykład Niech V oznacza obszar ograniczony płaszczyznami i oraz
y = x y = 2 x.
powierzchniami i Oblicz:
+"+"+"4yzdxdydz.
V
Własności całki potrójnej
43
" Je\
eli funkcje i f2 są całkowalne w V, to dla dowolnych ą, � " R zachodzi
f1
f1(x, y, z)dxdydz + � f2 (x, y, z)dxdydz.
1
+"+"+"(ąf (x, y, z) + �f2 (x, y, z))dxdydz = ą+"+"+" +"+"+"
V V V
V ą" R3
" Je\
eli zbiór jest sumą skończonej ilości zbiorów normalnych względem
jednej z płaszczyzn układu o parami rozłącznych wnętrzach tj.
V = V1 *"V2 *"K*"Vn,
to
f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdydz + f (x, y, z)dxdydz + L +
+"+"+" +"+"+" +"+"+"
V V1 V2
+ f (x, y, z)dxdydz.
+"+"+"
Vn
(x, y, z)"V ,
" Je\
eli funkcja f jest całkowalna w V oraz f (x, y, z) e" 0 dla to
f (x, y, z)dxdydz e" 0.
+"+"+"
V
Objętość bryły V
|V |=
+"+"+"dxdydz.
V
Przykład Oblicz objętość bryły V ograniczonej powierzchniami:
y =1, y = x2, z = x2 + y2, z = 2x2 + 2y2,
a)
x2 + y2 =1, z = 1+ x2 + y2, z = -1.
b)
" Je\
eli funkcja f jest całkowalna w V, to
| f (x, y, z)dxdydz |d" f (x, y, z) | dxdydz d" M | V |,
gdzie
+"+"+" +"+"+"|
V V
M = max | f (x, y, z) | .
V
Współrzędne walcowe (cylindryczne)
P'
Niech P punkt o współrzędnych kartezjańskich (x,y,z) i niech rzut punktu P na
P'
płaszczyznę XOY wówczas ma współrzędne kartezjańskie (x,y,0). Oznaczmy:
" r  odległość punktu P' od początku układu, 0 d" r < +",
�
OP'
" - miara kąta zorientowanego, jaki tworzy wektor z dodatnim kierunkiem osi
OX, 0 d" � d" 2Ą (albo -Ą d" � d" Ą ),
" | z | - odległość punktu P od płaszczyzny XOY.
Definicja Trójkę (r,�, z) nazywamy współrzędnymi walcowymi (lub cylindrycznymi) punktu
P(x,y,z).
Związek między współrzędnymi walcowymi a kartezjańskimi jest następujący:
44
x = r cos�
ńł
�ł
y = r sin� .
�ł
�ł
z = z
ół
Przekształcenie
(r,�, z) (x, y, z)
nazywamy przekształceniem walcowym (cylindrycznym) a jakobian tego przekształcenia jest
J = r.
równy:
Twierdzenie Niech obszar V0 dany we współrzędnych walcowych będzie regularny oraz
niech funkcja będzie ciągła na obszarze będącym obrazem w
f (x, y, z) V V0
przekształceniu walcowym. Wówczas
f (x, y, z)dxdydz = f (r cos�, r sin�, z) �" rdrd�dz.
+"+"+" +"+"+"
V V0
Współrzędne sferyczne
Niech P punkt o współrzędnych kartezjańskich (x,y,z) i niech P' rzut punktu P na
P'
płaszczyznę XOY wówczas ma współrzędne kartezjańskie (x,y,0). Oznaczmy:
" r  odległość punktu P od początku układu, 0 d" r < +",
�
" - miara kąta zorientowanego, jaki tworzy wektor z dodatnim kierunkiem osi
OP'
OX, 0 d" � d" 2Ą ,
�
" - miara kąta zorientowanego, jaki tworzy wektor z wektorem ,
OP OP'
Ą Ą
- d"� d" .
2 2
Definicja Trójkę (r,�,� ) nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu P(x,y,z).
Związek między współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi jest następujący:
x = r cos� cos�
ńł
�ł
y = r sin� cos� .
�ł
�ł
z = r sin�
ół
Przekształcenie
(r,�,� ) (x, y, z)
nazywamy przekształceniem sferycznym a jakobian tego przekształcenia jest równy:
J = r2 cos� .
Twierdzenie Niech obszar V0 dany we współrzędnych sferycznych będzie regularny oraz
niech funkcja f (x, y, z) będzie ciągła na obszarze V będącym obrazem w przekształceniu
V0
walcowym. Wówczas
2
f (x, y, z)dxdydz = f (r cos� cos� , r sin � cos� , r sin� ) �" r cos�drd�d� .
+"+"+" +"+"+"
V V0
45
Przykład Oblicz objętość bryły V ograniczonej sferą x2 + y2 + z2 = 2 i górną częścią sto\
ka
x2 + y2 = z2.
z =1 x2 + y2 = z2,
Przykład Oblicz masę bryły V ograniczonej powierzchniami: i Je\
eli
jej gęstość w ka\
dym punkcie (x,y,z) wyra\
a się wzorem �(x, y, z) = x2 + y2 .
Przykład Korzystając z całki potrójnej obliczyć moment bezwładności jednorodnej bryły
ograniczonej powierzchniami: x2 + y2 - 2z = 0 i z = 2 względem osi OZ.
Uwaga Bryła jednorodna to bryła o stałej gęstości rozkładu masy, tj. przyjmiemy, \
e
�(x, y, z) = �0 > 0.
Pochodna kierunkowa
Definicja Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu
r
(x0, y0) oraz niech v = [vx,vy] będzie wersorem. Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie
r
v
(x0, y0) w kierunku określamy wzorem
f (x0 + tvx, y0 + tvy ) - f (x0, y0)
"f
(x0, y0) = lim .
r
t0+
"v t
Uwaga Analogicznie określa się pochodną kierunkową funkcji trzech i większej ilości
zmiennych.
r
r
v = [1,0] u = [0,1]
Wniosek Je\
eli , , to
"f "f
"f "f
= ,
= .
r r
"v "x "u "y
+
+
Twierdzenie Je\
eli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu (x0, y0) pochodne cząstkowe
r
v = [vx,vy] jest wersorem , to
pierwszego rzędu ciągłe i
"f "f "f
(x0, y0) = (x0, y0)vx + (x0, y0)vy =
r
"v "x "y
"f "f
= [ (x0, y0), (x0, y0)]�"[vx,vy ].
"x "y
"f
(x0, y0),
r
Przykład Obliczyć gdy
"v
r 3 4
v = [ ,- ].
f (x, y) = x2 + y2 , (x0, y0) = (0,0),
a)
5 5
r 1 3
f (x, y) = xy, (x0, y0) = (1,2), v = [ ,- ].
b)
2 2
Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej
46
ą
Niech oznacza kąt nachylenia do płaszczyzny XOY półstycznej do krzywej
otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji f półpłaszczyzną przechodzącą przez
prostą
x = x0
ńł
�ły = y0
ół
r
oraz równoległą do wersora v . Wtedy
"f
(x0, y0) = tgą.
r
"v
r
v
Uwaga Pochodna kierunkowa określa szybkość zmiany wartości funkcji f w kierunku .
Elementy teorii pola
Pole skalarne
Definicja Je\
eli ka\
demu punktowi M (x, y, z) pewnego obszaru przestrzennego V
przyporządkowujemy dokładnie jeden skalar F (F : V R) , to mówimy, \
e zostało określone
pole skalarne w tym obszarze.
Pole wektorowe
Definicja Je\
eli ka\
demu punktowi M (x, y, z) pewnego obszaru przestrzennego V
przyporządkowujemy dokładnie jeden wektor F (F :V R3) , to mówimy, \
e zostało
określone pole wektorowe w tym obszarze, a wektor F nazywamy wektorem pola. Punkty
obszaru V nazywamy punktami pola wektorowego.
Uwaga Analogicznie określamy pola w obszarach płaskich oraz w obszarach
dowolnego wymiaru.
Ka\
dy wektor jest określony jednoznacznie przez swoje składowe skalarne
(współrzędne wektora). Gdy pole wektorowe jest określone w obszarze płaskim, to
jest ono wyznaczone przez dwie współrzędne
Fx = P(x, y), Fy = Q(x, y), co zapisujemy w postaci F[P,Q] (F(x, y) = [P(x, y),Q(x, y)]).
Je\
eli zaś pole wektorowe jest określone w obszarze przestrzennym, to jest ono
wyznaczone przez trzy współrzędne
Fx = P(x, y, z), Fy = Q(x, y, z), Fz = R(x, y, z), co zapisujemy w postaci
F[P,Q, R].
Gradint pola skalarnego
Definicja Niech V obszar przestrzenny i niech F :V R . Gradientem funkcji F nazywamy
"F "F "F
funkcję wektorową gradF :V R3 określoną wzorem gradF = [ , , ].
"x "y "z
Uwaga Analogicznie definiujemy gradient funkcji skalarnej określonej w obszarze
płaskim oraz w obszarze dowolnego wymiaru.
47
Definicja Je\
eli funkcja skalarna F wyznacza pole skalarne w obszarze V, to gradientem tego
pola skalarnego jest pole wektorowe wyznaczone w obszarze V przez funkcję wektorową
gradF.
Przykład Obliczyć gradient funkcji f (x, y) = sin(Ą x2 + y2 ) w punkcie (x0, y0) = (3,4).
P0
Twierdzenie Je\
eli funkcja skalarna f ma w pewnym otoczeniu punktu pochodne
r
v
cząstkowe pierwszego rzędu ciągłe i jest wersorem , to
"f r
(P0) = gradf (P0) �"v.
r
"v
"f
(x0, y0),
Przykład Obliczyć gdy
r
"v
r 2 2
f (x, y) = ex+ y, (x0, y0) = (1,-1), v = [ , ].
a)
2 2
Interpretacja geometryczna gradientu
Twierdzenie
" Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w
tym punkcie.
" Gradient funkcji (określonej w obszarze płaskim) w punkcie jest prostopadły
do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten punkt.
V = {(x, y, z) : 0 d" x, y, z d" Ą}
Przykład Temperatura w zbiorze
jest określona wzorem:
T (x, y, z) =10 cos(x - y) + 20sin(x + z).
Ą Ą Ą
( , , ).
Znalez
ć kierunek najszybszego wzrostu temperatury w punkcie
2 2 2
Potencjał pola wektorowego, dywergencja i rotacja
F[P,Q, R]
Niech w obszarze przestrzennym V funkcja wektorowa
(F :V R3)
określa pole wektorowe.
Linie pola wektorowego
Definicja Linią pola wektorowego nazywamy ka\
dą linię ciągłą w obszarze V , która
w ka\
dym swoim punkcie jest styczna do odpowiedniego wektora pola F.
Potencjał pola wektorowego
Definicja Je\
eli istnieje funkcja skalarna Ś taka, \
e dla ka\
dego punktu pola wyznaczonego
przez funkcję wektorową F zachodzi równość
F = gradŚ,
to mówimy, \
e pole jest potencjalne, a funkcję Ś nazywamy potencjałem pola.
48
Powierzchnie ekwipotencjalne
Definicja Powierzchnię o równaniu
Ś(x, y, z) = C,
Ś
gdzie jest potencjałem pola, a C jest stałą, nazywamy powierzchnią ekwipotencjalną.
gradŚ
Uwaga w danym punkcie jest prostopadły do powierzchni ekwipotencjalne
przechodzącej przez ten punkt, gradient ma ten sam kierunek co linie pola wektorowego. Tak
więc linie pola wektorowego są ortogonalne do powierzchni ekwipotencjalnych.
Nie ka\
de pole wektorowe ma potencjał.
Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczający potencjalności pola)
" Pole określone w obszarze przestrzennym, jednospójnym powierzchniowo,
F[P,Q, R]
przez funkcję jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka\
dego
punktu tego obszaru zachodzą równości:
"P "Q "R "Q "P "R
= , = , = .
"y "x "y "z "z "x
" Pole określone w obszarze płaskim jednospójnym przez funkcję F[P,Q] jest
potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka\
dego punktu tego obszaru zachodzi
równość:
"P "Q
= .
"y "x
Przykład Sprawdzić czy pole określone w R3 przez funkcję F[P,Q, R]
taką, \
e
P(x, y, z) = x3 - 5yz, Q(x, y, z) = y3 - 5xz, R(x, y, z) = z3 - 5xy,
jest potencjalne.
Przykład W R2 dane jest pole potencjalne przez funkcję F[P,Q]
taką, \
e
P(x, y) = 4x3 + 6xy3, Q(x, y) = 9x2 y2 + 3. Ś
Wyznaczyć potencjał tego pola
Ś(0,0) = 2.
wiedząc, \
e
Dywergencja i rotacja
Definicja Niech funkcja F[P,Q, R]
określa pole wektorowe w obszarze V i niech
funkcje P,Q, R mają ciągłe pochodne cząstkowe w tym obszarze. Wówczas:
" Dywergencją (rozbie\
nością) pola nazywamy funkcję skalarną określoną w ka\
dym
punkcie tego pola wzorem:
"P "Q "R
divF = + + .
"x "y "z
49
" Rotacją (wirowością) pola nazywamy funkcję wektorową oznaczaną przez rotF
"R "Q
określoną w ka\
dym punkcie tego pola wzorami: rotxF = - ,
"y "z
"P "R "Q "P
rotyF = - , rotzF = - .
"z "x "x "y
Uwaga
" Je\
eli pole ma potencjał Ś , to
"2Ś "2Ś "2Ś
divF = div(gradŚ) = + + = "Ś - laplasjan funkcji .
Ś
"x2 "y2 "z2
divF = 0
" Je\
eli w ka\
dym punkcie pola, to pole nazywamy bezz
ródłowym.
rotF = 0
" Je\
eli w ka\
dym punkcie pola, to pole nazywamy niewirowym.
" Pole potencjalne jest zawsze niewirowe.
" Pole niewirowe w obszarze jednospójnym powierzchniowo jest zawsze
potencjalne.
rot(F1 + F2) = rot(F1) + rot(F2).
"
rot(CF ) = Crot(F),
" gdzie C jest stałą.
div(rotF) = 0,
" przy zało\
eniu, \
e funkcje P,Q, R mają ciągłe pochodne cząstkowe
drugiego rzędu.
Uwaga U\
ywając operatora nabla oznaczanego symbolicznie
" " "
" = [ , , ]
"x "y "z
niektóre wzory mo\
na zapisać krócej:
divF = " �" F.
"
rotF = " � F.
"
Całki krzywoliniowe
A
uk gładki
Definicja
" A
ukiem gładkim w przestrzeni nazywamy zbiór
R3
L = {(x, y, z) : x = x(t), y = y(t), z = z(t) '"ą d" t d" �},
gdzie:
- ró\
nym wartościom parametru t odpowiadają ró\
ne punkty łuku L,
x = x(t), y = y(t), z = z(t) C1
- funkcje są klasy na przedziale )#ą, �*#,
t ")#ą, �*#
- dla ka\
dego (x'(t))2 + ( y'(t))2 + (z'(t))2 > 0.
" A
uk nazywamy kawałkami gładkim, je\
eli mo\
na go podzielić na skończoną liczbę
łuków gładkich, tj.
L = L1 *" L2 *"L*" Ln.
r r
r = r(t),
" Równanie gdzie t ")#ą, �*# nazywamy równaniem wektorowym łuku L, przy
czym je\
eli:
50
r
r (t) = [x(t), y(t), z(t)];
L �" R3 , to
r
L �" R2 r(t) = [x(t), y(t)].
, to
r r
" Je\
eli r(ą) = r(� ),
to łuk L jest łukiem zamkniętym (krzywą zamkniętą).
Całka krzywoliniowa niezorientowana
r r
Definicja Całkę krzywoliniową z funkcji f = f (P) ciągłej na łuku gładkim L: r = r(t),
gdzie t ")#ą, �*# , oznaczamy symbolem
f (x, y, z)dl ( f (x, y)dl)
lub
f (P)dl
+" +"
+"
L L L
i określamy wzorem:
�
r r
f (P)dl = f (r(t))�"| r '(t) | dt.
+" +"
L ą
Przypadki szczególne:
r
" Je\
eli łuk gładki L jest opisany równaniem wektorowym r (t) = [x(t), y(t), z(t)],
�
t ")#ą, � *#
, to f (x, y, z)dl = f (x(t), y(t), z(t))�" (x'(t))2 + ( y'(t))2 + (z'(t))2 dt.
+" +"
L ą
r
" Je\
eli łuk gładki L jest opisany równaniem wektorowym r(t) = [x(t), y(t)],
�
t ")#ą, � *#
, to f (x, y)dl = f (x(t), y(t))�" (x'(t))2 + (y'(t))2 dt.
+" +"
L ą
)#a,b*#,
" Je\
eli łuk gładki L jest wykresem funkcji klasy C1 na przedziale danej
y = y(x), x ")#a,b*#,
wzorem to
b
f (x, y)dl = f (x, y(x)) 1+ ( f '(x))2 dx.
+" +"
L a
Przykład Obliczyć
2
+"(x + y2 )dl,
L
gdzie L jest krzywą zadaną parametrycznie równaniami
x = a(cost + t sin t)
ńł
, t " 0,2Ą ,a > 0.
�ł
óły = a(sin t - t cost)
Przykład Obliczyć
y2 1+ xdl,
+"
L
2
y = x x
0 d" x d" 3.
gdzie L jest łukiem dla
3
Własności całki krzywoliniowej niezorientowanej
Twierdzenie Załó\
my, \
e istnieją całki
51
g(P)dl.
f (P)dl i
+"
+"
L L
Wówczas:
f (P)dl + g(P)dl.
"
+"( f (P) + g(P))dl =+" +"
L L L
c" R
" Dla
f (P)dl.
+"cf (P)dl = c+"
L L
" Je\
eli łuk L jest kawałkami gładki i L = L1 *" L2 *"L*" Ln, to
f (P)dl = f (P)dl + f (P)dl +L+ f (P)dl.
+" +" +" +"
L L1 L2 L3
" Je\
eli funkcja f jest ciągła na łuku gładkim L i M = max | f (P) |, to
P"L
| f (P)dl |d" f (P) | dl d" M �" przy czym całka
+" +"| +"dl,
L L L
+"dl =| L |
L
jest długością łuku L.
Przykład a) Obliczyć długość łuku krzywej
x = t
ńł
, t " 0,2 .
�ł
2
óły = 4 - t
b) Obliczyć
xydl,
+"
L
| x | + | y |= a a > 0.
gdy L jest obwodem kwadratu dla
Zastosowania całki krzywoliniowej w mechanice
� = �(x, y)
Niech będzie daną ciągłą gęstością liniową masy łuku gładkiego L �" R2.
" Masa łuku L:
ś = �(x, y)dl.
+"
L
" Momenty statyczne łuku L względem osi układu:
śX = y�(x, y)dl,
+"
L
śY = x�(x, y)dl.
+"
L
" Współrzędne środka cię\
kości:
śY 1
xc = = x�(x, y)dl,
+"
M M
L
śX 1
yc = = y�(x, y)dl.
+"
M M
L
" Momenty bezwładności łuku L względem osi układu:
52
IX = y2�(x, y)dl,
+"
L
IY = x2�(x, y)dl.
+"
L
" Moment bezwładności łuku L względem początku układu:
2
IO = + y2)�(x, y)dl.
+"(x
L
� = �(x, y, z)
Niech będzie daną ciągłą gęstością liniową masy łuku gładkiego L �" R3.
" Masa łuku L:
ś = �(x, y, z)dl.
+"
L
" Momenty statyczne łuku L względem płaszczyzn układu:
ś = z�(x, y, z)dl,
XY
+"
L
śXZ = y�(x, y, z)dl,
+"
L
śYZ = x�(x, y, z)dl.
+"
L
" Współrzędne środka cię\
kości:
śYZ 1
xc = = x�(x, y, z)dl,
+"
M M
L
śXZ 1
yc = = y�(x, y, z)dl,
+"
M M
L
śXY 1
zc = = z�(x, y, z)dl.
+"
M M
L
" Momenty bezwładności łuku L względem osi układu:
2
IX = + z2)�(x, y, z)dl,
+"(y
L
2
IY = + z2)�(x, y, z)dl,
+"(x
L
2
IZ = + y2)�(x, y, z)dl.
+"(x
L
" Moment bezwładności łuku L względem początku układu:
2
IO = + y2 + z2)�(x, y, z)dl.
+"(x
L
53
Przykład Obliczyć masę odcinka o końcach A(1,2,3) i B(0,2,2) , je\
eli gęstość liniowa masy
(x, y, z)
w punkcie tego odcinka jest równa xyz.
ńł
x = cos3 t
,
Przykład Obliczyć masę asteroidy
�ł
y = sin3 t
ół
której gestość w ka\
dym punkcie jest równa kwadratowi jego odległości od środka obszaru
ograniczonego przez asteroidę.
Przykład Obliczyć moment bezwładności względem osi OZ łuku L o gęstości liniowej
�(x, y, z) = z,
je\
eli łuk jest opisany równaniami
x = t cost
ńł
�ł
y = t sin t, 0 d" t d" 4Ą.
�ł
�ł
z = t
ół
Szeregi
Definicja Przez szereg liczbowy nieskończony oznaczony symbolem
"
u1 + u2 + K + un +K lub
(1)
"u
n
n=1
rozumiemy ciąg sum:
s1 = u1 ,
s2 = u1 + u2 ,
(2) ...................
sn = u1 + u2 + u3 +K+ un ,
.....................................
un
Liczby u1,u2,K nazywamy wyrazami szeregu, a symbol nazywamy wyrazem ogólnym
"
sn
szeregu. Wyrazy ciągu { } nazywamy sumami częściowymi szeregu .
"un
n=1
Jeśli ciąg sum częściowych (2) jest zbie\
ny, czyli ma skończoną granicę s, to mówimy, \
e
szereg (1) jest zbie\
ny, a liczbę s nazywamy sumą szeregu nieskończonego (1). Szereg, który
nie jest zbie\
ny, nazywamy szeregiem rozbie\
nym.
Je\
eli szereg (1) jest zbie\
ny, to na oznaczenie jego sumy s u\
ywa się tych samych
symboli (1), co na oznaczenie samego szeregu, mianowicie:
"
u1 + u2 +K+ un +K = s lub = s
.
"un
n=1
Przykład Zbadać z definicji zbie\
ność szeregu:
"
"
"
1
+1
2
,
a) b) c)
,
"
"ln n n .
"
7n n=1 n(n +1)
n=1 n=1
"
"
Uwaga Szereg jest zbie\
ny, wtedy i tylko wtedy, gdy szereg jest zbie\
ny dla
"un
"un
n=1 n=n0
dowolnego
n0 " N.
54
Twierdzenie (Warunek konieczny zbie\
ności szeregu)
"
lim un = 0
Je\
eli szereg jest zbie\
ny, to .
"un
n"
n=1
"
lim un `" 0
Uwaga Je\
eli (w szczególności, jeśli granica ta nie istnieje), to szereg jest
"un
n"
n=1
rozbie\
ny.
Przykład Zbadać zbie\
ność szeregu:
"
"
n2
a)
,
"cos(nĄ ), b) n(n +1)
"
n=1 n=1
"
c)
"(1+ 2)n.
n
n=1
" "
Definicja Ciąg { rk }, gdzie = , nazywa się ciągiem k-tych reszt szeregu .
rk "un "un
n=k +1 n=1
Twierdzenie (Warunek konieczny i wystarczający zbie\
ności szeregu)
"
"u
Szereg n jest zbie\
ny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg jego k-tych reszt jest zbie\
ny do
n=1
zera.
"
Twierdzenie Je\
eli szereg jest zbie\
ny i jego suma równa się s, a c jest liczbą stałą, to
"un
n=1
"
"
szereg jest zbie\
ny i jego suma jest równa cs; je\
eli szereg jest rozbie\
ny, to
"cu "un
n
n=1 n=1
"
przy c `"0 szereg jest te\
rozbie\
ny.
"cun
n=1
"
n-1
Definicja Szereg
"aq , gdzie a `" 0 nazywamy szeregiem geometrycznym.
n=1
"
n-1
Twierdzenie Szereg geometryczny jest zbie\
ny gdy |q|<1 i wówczas suma jego
"aq
n=1
wynosi
"
a
n-1
= .
"aq 1- q
n=1
Szereg geometryczny jest natomiast rozbie\
ny gdy |q|e"1.
Zbie\
ność szeregów o wyrazach nieujemnych.
Twierdzenie (Kryterium całkowe)
55
 Niech n0 " N. Je\
eli funkcja f, określona w przedziale )#n0,"), jest nieujemna, ciągła i
"
"
f (n)
nierosnąca, to całka f (x)dx oraz szereg są jednocześnie zbie\
ne lub rozbie\
ne.
"
+"
n=n0
n0
"
1
Definicja Szereg , gdzie ą>0 nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu ą.
"
ną
n=1
Uwaga Szereg harmoniczny rzędu 1 nazywamy szeregiem harmonicznym.
Przykład Zbadać zbie\
ność szeregu harmonicznego rzędu ą.
"
1
Wniosek Szereg harmoniczny jest zbie\
ny gdy ą>1.
"
ną
n=1
Szereg harmoniczny jest natomiast rozbie\
ny gdy 0<ąd"1.
Twierdzenie (Kryterium porównawcze zbie\
ności szeregów)
"
un ,vn e" 0
Je\
eli i ("n0 " N )("n e" n0 )[un d" vn ], to ze zbie\
ności szeregu wynika
"vn
n=1
"
"
zbie\
ność szeregu , a z rozbie\
ności szeregu wynika rozbie\
ność szeregu
"un "un
n=1 n=1
"
"v
n
n=1
Przykład Zbadać zbie\
ność szeregu:
"
"
1 1
sin2 ,
a) b)
"
"sin Ą ,
n
n n
n=1 n=1
" "
1 n + 2 n
, ,
c) " d)
"
n4 + 2
n(2n +1)
n=1 n=1
"
"
2n + 3
3n2 + 1
,
,
"
e) "
(n + 2)2en f) n=1 ( 2)n
n=1
"
"
n!
n!+ sin(n!)
,
,
g) " "
2n + (-1)n h) n=1 (2n)!2n
n=1
"
i) "(- arctgn)n.
n
Ą + en
n=1
Twierdzenie (Kryterium ilorazowe)
" "
("n0 " N)("n e" n0)[un,vn > 0]
Je\
eli dane są szeregi , takie, \
e oraz
"un "vn
n=1 n=1
istnieje granica
56
un
lim = g
, gdzie 0n"
vn
rozbie\
ne.
Przykład Zbadać zbie\
ność szeregu:
"
2
"
5n
a) b) "arcsin 1,
"3n -+n2 ++1,
n
n5 7
n=1 n=1
Ą
"
sin
"
5n -1
3n .
c) "8 -1, d)
n "
Ą
n=1 n=1
tg
2n
Zbie\
ność szeregów o wyrazach
Dowolnych.
Twierdzenie (Kryterium bezwzględnej zbie\
ności szeregów)
"
Je\
eli szereg
"| un | jest zbie\
ny, to i
n=1
"
szereg "un jest zbie\
ny.
n=1
"
Definicja Szereg nazywamy szeregiem
"un
n=1
bezwzględnie zbie\
nym, je\
eli szereg
"
"| un | jest zbie\
ny.
n=1
Definicja Szereg zbie\
ny, który nie jest
bezwzględnie zbie\
ny, nazywamy
szeregiem warunkowo zbie\
nym.
Uwaga
" Je\
eli szereg jest bezwzględnie zbie\
ny, to dowolna zmiana kolejności wyrazów lub
łączenie wyrazów w grupy, nie narusza zbie\
ności szeregu ani nie zmienia jego sumy.
" Je\
eli szereg jest warunkowo zbie\
ny, to zmieniając kolejność jego wyrazów mo\
na
uzyskiwać zeń szeregi o dowolnie pomyślanych sumach a tak\
e szeregi rozbie\
ne.
Przykład Czy następujący szereg jest bezwzględnie zbie\
ny?
"
2
.
"
(-7)n
n=1
57
Twierdzenie (Iloczyn Cauchy ego szeregów)
" "
" " "
( ) �" ( ) = ,
"un "vn
Je\
eli szeregi i są bezwzględnie zbie\
ne, to gdzie
"un "vn "cn
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
cn = unv1 + un-1v2 + K+ u1vn.
Twierdzenie (Kryterium Cauchy ego)
"
Niech dany będzie szereg o wyrazach dowolnych.
"vn
n=1
Je\
eli istnieje
"
n
lim | vn | = g
granica , to szereg jest bezwzględnie
"vn
n"
n=1
zbie\
ny, gdy g<1, a rozbie\
ny , gdy
g>1.
Twierdzenie (Kryterium d Alemberta)
"
"v
Niech dany będzie szereg n o wyrazach dowolnych.
n=1
Je\
eli istnieje
"
| vn+1 |
lim = g
granica , to szereg jest bezwzględnie
"vn
n"
| vn |
n=1
zbie\
ny, gdy g<1, a rozbie\
ny , gdy
g>1.
Przykład Zbadać zbie\
ność szeregu:
1
(5 + )n
"
"
n
n
,
a) "(2n++2 )n, b)
"
1 n53n
n=1 n=1
"
n
"
-
nĄ
,
c) d) "(1n n)n,
"
2
n!
n=1 n=1
"
(-1)n nn
.
e) "
2n n!
n=1
Szeregi naprzemienne
Definicja Szereg nazywamy naprzemiennym,
jeśli wyrazy jego są naprzemian
dodatnie i ujemne.
Twierdzenie (Kryterium Leibniza)
("n0 " N )("n e" n0)[| un+1 |d"| un |]
Je\
eli i
58
"
lim un = 0
, to szereg naprzemienny
"un
n"
n=1
jest zbie\
ny.
"
n
an > 0 (an )
Wniosek Je\
eli w szeregu "(-1) an , gdzie ciąg jest ciągiem malejącym,
n=1
"
n
zbie\
nym do zera, to szereg jest zbie\
ny.
"(-1) an
n=1
"
n
Twierdzenie Je\
eli szereg naprzemienny
"(-1) an (an > 0) jest zbie\
ny, to
n=1
("n " N)[| sn - s |< an+1],
gdzie s oznacza sumę szeregu.
"
(-1)n
Przykład Zbadać zbie\
ność szeregu oraz oszacować wartość sumy
"
n
n=1
"
(-1)n
.
"
n
n=1000
"
(-1)n
Uwaga Szereg , nazywany szeregiem anharmonicznym, jest zbie\
ny
"
n
n=1
warunkowo.
"
"
(-1)n + 2
cos(nĄ )
,
,
Przykład Zbadać zbie\
ność szeregu: a) " b) "
2n + n2
3n + 1
n=1 n=1
"
n
c)
"(-1) (1 + 1 )n,
n
n=1
"
(-1)n + 2 Ą
sin ,
d)
"
3 3
n + 1 n
n=1
Szeregi potęgowe
Definicja Szereg, w którym wyrazy są
funkcjami zmiennej x tzn. szereg
"
(x)
n = 0,1,K
postaci "un
, gdzie un " R dla , nosi nazwę szeregu
n=0
funkcyjnego.
59
Definicja Szereg funkcyjny postaci
"
(x - x0)n = u0 + u1(x - x0) + u2(x - x0)2 +L
"un nazywamy szeregiem
n=0
x0 " R
potęgowym o środku .
Uwaga Tu przyjmujemy, \
e
(x - x0)0 = 1 x = x0.
dla
x = x1
Definicja Mówimy, \
e szereg potęgowy jest zbie\
ny w punkcie , je\
eli zbie\
ny jest
"
szereg liczbowy
"u (x1 - x0)n.
n
n=0
"
(x - x0)n x = x0
Uwaga Szereg potęgowy jest zbie\
ny w punkcie a jego suma w tym
"un
n=0
punkcie jest równa .
u0
Przykład Zbadać zbie\
ność szeregu:
"
(-4)n x2n+1
.
"
2n +1
n=0
"
(x)
Twierdzenie (Abela) Je\
eli "un
jest zbie\
ny w punkcie x1 `" 0, to jest zbie\
ny
n=0
bezwzględnie w ka\
dym punkcie x " (- | x1 |,| x1 |).
"
(x)
Wniosek Je\
eli jest rozbie\
ny w punkcie x1 `" 0, to jest rozbie\
ny w ka\
dym
"un
n=0
x " (-",- | x1 |) *" (| x1 |, ").
punkcie
Definicja (Promienia zbie\
ności)
"
R > 0
" Liczbę nazywamy promieniem zbie\
ności szeregu (x - x0)n , je\
eli
"un
n=0
(x0
szereg ten jest zbie\
ny w przedziale - R, x0 + R)
i rozbie\
ny w przedziałach
(-", x0 - R) *" (x0 + R,")
.
"
" Je\
eli szereg jest zbie\
ny dla wszystkich x rzeczywistych, to
"u (x - x0)n
n
n=0
R = ".
przyjmujemy, \
e
"
x = x0
" Je\
eli szereg jest zbie\
ny tylko dla , to przyjmujemy, \
e
"u (x - x0)n
n
n=0
R = 0.
Twierdzenie (Cauchy ego  Hadamarda o promieniu zbie\
ności) Je\
eli dla szeregu
"
potęgowego (x - x0)n istnieje granica
"un
n=0
60
un+1
n
(lim | |= )
(skończona lub nieskończona) lim | un | =  lub , to promień zbie\
ności
n" n"
un
tego szeregu wynosi:
ńł
�ł
1
�ł
, gdy 0 <  < "
�ł
�ł0 gdy  = " .
R =
�ł
�ł
�ł
" gdy  = 0
�ł
�ł
ół
Przykład Wyznaczyć promień zbie\
ności szeregu potęgowego, przedział zbie\
ności, oraz
zbadać zbie\
ność na końcach przedziału zbie\
ności:
"
(-x)n " - 5)n
(x
, ,
a) b)
" "
7n(n2 + 7)
3n-1 n
n=1 n=1
"
x2n " (3n)!(2x - 3)3n
, .
c) d)
" "
(2n)! (n)!
n=1 n=1
Własności szeregów potęgowych
"
xn.
Twierdzenie Je\
eli szereg potęgowy ma niezerowy promień zbie\
ności R ,
"un
n=0
0 < R d" ", to jego suma s(x) jest funkcją ciągłą na przedziale
(-R, R). Ponadto je\
eli szereg jest zbie\
ny na krańcach przedziału zbie\
ności, to suma jest w
nich jednostronnie ciągła.
Wniosek Je\
eli dla funkcji f mamy dane jej rozwinięcie w szereg potęgowy tylko w
przedziale otwartym (-R, R), postaci
"
f (x) = xn,
"un
n=0
a funkcja f jest ciągła w tym przedziale i szereg jest zbie\
ny w dowolnym końcu tego
przedziału, to rozwinięcie jest słuszne równie\
w tym punkcie.
"
xn.
Twierdzenie (O ró\
niczkowaniu szeregu potęgowego) Je\
eli szereg potęgowy ma
"un
n=0
niezerowy promień zbie\
ności R , 0 < R d" ", to jego suma s(x) jest funkcją ró\
niczkowalną
oraz
" "
s'(x) = xn)' = xn-1.
"(un "nun
n=0 n=1
Uwaga
" W wyniku ró\
niczkowania otrzymaliśmy ponownie szereg potęgowy o tym samym
promieniu zbie\
ności.
61
" Powy\
sze twierdzenie mo\
na stosować dowolną ilość razy, zatem suma s(x) ma
pochodne ka\
dego rzędu w przedziale (-R, R).
Przykład Obliczyć sumę podanego szeregu potęgowego wewnątrz przedziału zbie\
ności:
"
3n
xn.
"
n +1
n=0
"
Twierdzenie (O całkowaniu szeregu potęgowego) Je\
eli szereg potęgowy ma
"u xn.
n
n=0
niezerowy promień zbie\
ności R , 0 < R d" ", to jego suma s(x) jest funkcją całkowalną oraz
dla ka\
dego x " (-R, R)
x x
" "
un
s(t)dt = xn+1.
"( tndt) ="
n
+" +"u
n +1
n=0 n=0
0 0
)#0, x*#
Uwaga Przedział całkowania w powy\
szym twierdzeniu mo\
na zastąpić
dowolnym przedziałem )#a,b*# �" (-R, R). Wówczas
b b
" " "
un
"u "( n " a
n
+"( xn)dx = +"u xndx) = n +1 xn+1 |b.
n=0 n=0 n=0
a a
Przykład Oblicz sumę podanego szeregu potęgowego wewnątrz przedziału zbie\
ności, a
następnie oblicz sumy podanych szeregów liczbowych:
"
1
xn,
"
n(n +1)
n=1
"
(-1)n " 1
, .
" "
n(n +1) 3n n(n +1)
n=1 n=1
Jednowymiarowa zmienna losowa
Przykład Doświadczenie losowe  rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych
oczek.
(&!,S, P)
" Teoretyczny model eksperymentu losowego  przestrzeń probabilistyczna ,
gdzie
�i jest zdarzeniem
&! = {�1,�2,K,�6},
1. przestrzeń zdarzeń elementarnych
elementarnym polegającym na wyrzuceniu i oczek;
&!
2. ciało zdarzeń określamy jako rodzinę wszystkich podzbiorów przestrzeni ,
tj.
S = {",{�1},{�2},K,{�1,�2},K,&!}
(Rodzina S składa się z 26 elementów);
62
{�i}
3. zakładamy, \
e zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, tj.
1
P({�i}) = ,
i =1,2,K,6.
gdzie Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia
6
A" S
określamy wzorem:
| A |
P(A) = ,
| &! |
gdzie oznacza moc (ilość elementów) zbioru Y.
| Y |
Jest to klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
" Rozwa\
my funkcję określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych &! i przyjmująca
wartości rzeczywiste
X :&! R
taką, \
e
X (�i ) = i,
i =1,2,K,6.
Funkcję X nazywamy zmienną losową na przestrzeni &! .
Ogólnie na przestrzeni &! mo\
emy określić wiele zmiennych losowych, np.
Y : &! R
taką, \
e
Y (�i) = -1 i =1,2,K,5
dla oraz
Y (�6) =10.
(Funkcja Y mo\
e być opisem gry: wyrzucisz 6  wygrywasz 10 zł, nie wyrzucisz 6 
przegrywasz 1 zł).
Uwaga Je\
eli &! jest zbiorem przeliczalnym a S jest rodziną wszystkich podzbiorów
&!
przestrzeni , to ka\
dą funkcję X : &! R mo\
na nazwać zmienną losową. W ogólności
gdy &! jest zbiorem nieprzeliczalnym, tak nie jest.
Definicja (Zmiennej losowej)
(&!, S, P)
Jednowymiarową zmienna losową w przestrzeni probabilistycznej nazywamy
X : &! R
ka\
dą funkcję taką, \
e dla ka\
dego x " R zbiór
{� " &! : X (�) < x}
jest zdarzeniem losowym tzn. jest elementem rodziny S.
X (�1) = x1, X (�2) = x2,K, �i " &!,
Liczby rzeczywiste gdzie nazywamy
realizacjami zmiennej losowej X.
X : &! R
Fakt Je\
eli A jest zbiorem borelowskim na R i jest zmienną losową w p.p.
(&!, S, P)
, to zbiór
{� " &! : X (�) " A}
jest zdarzeniem losowym.
Zatem zdarzeniami losowymi są zbiory:
{� "&! : X (�) = x}, {� " &! : X (�) `" x}, {� "&! : X (�) < x},
{� "&! : X (�) > x}, {� " &! : X (�) d" x}, {� "&! : X (�) e" x},
63
{� "&! : X (�)"(a,b)}, {� " &! : X (�) " (a,b*#}, {� " &! : X (�) " )#a,b)},
{� " &! : X (�) " )#a,b*#}.
Uwaga Stosować będziemy następujący zapis skrócony:
ozn.
{� "&! : X (�)"(a,b)} = (a < X < b),
ozn.
P({� "&! : X (�)"(a,b)}) = P(a < X < b).
(&!, S, P)
Twierdzenie Je\
eli X : &! R jest zmienną losową w p.p. a h(x) jest funkcją
Y (�) = h(X (�))
przedziałami ciągłą, której dziedzina zawiera zbiór wartości X (�), to
(&!,S, P)
jest te\
zmienną losową w p.p. .
(&!, S, P)
Przykład Je\
eli X : &! R jest zmienną losową w p.p. , to
Y = aX + b,
2
Z = X ,
W = cos X ,
W '= ex,
(&!,S, P)
są zmiennymi losowymi w p.p. .
Zmienna losowa skokowa
(&!,S, P)
Definicja Zmienna losowa X określona w p.p. nazywa się zmienną losową
WX = {x1, x2,K}
skokową (dyskretną) je\
eli istnieje co najwy\
ej przeliczalny zbiór jej
mo\
liwych wartości taki, \
e
P(X = xi ) = pi > 0 dla wszystkich xi "WX
ńł
�ł
.
�ł
pi = 1
"
�ł
i:xi"WX
ół
" xi - punkt skokowy zmiennej losowej X,
" pi - skok zmiennej losowej X w punkcie xi .
Uwaga P(X = x) = 0, gdy x "WX .
Definicja Funkcją prawdopodobieństwa skokowej zmiennej losowej X nazywamy
xi pi
przyporządkowanie dla xi "WX , określone wzorem:
P(X = xi ) = pi
dla xi "WX .
Uwaga Funkcję prawdopodobieństwa często określamy tabelką:
X:
K
xi x1 x2
K
pi
p1 p2
(&!,S, P)
Twierdzenie Niech X będzie skokową zm. los. w p.p. o funkcji
prawdopodobieństwa P(X = xi) = pi dla xi "WX . Wówczas prawdopodobieństwo
przyjęcia przez zm. los. X wartości ze zbioru borelowskiego A �" R wyra\
a się wzorem:
P(X " A) = pi.
"
i:xi"A
64
Przykład Niech
X:
xi
-1 1
3
pi 0,2
0,5
0,3
3
P(X > 2), P(-1d" X d" ).
Obliczyć:
2
Definicja (Wartości oczekiwanej (przeciętnej))
Wartością oczekiwaną skokowej zm. los. X o zbiorze punktów skokowych
WX = {x1, x2,K} P(X = xi) = pi
i skokach nazywamy liczbę
EX = pi ,
"xi
i:xi"WX
o ile, w przypadku nieskończonej liczby punktów skokowych, szereg jest bezwzględnie
zbie\
ny.
Przykład Oblicz wartość oczekiwaną dla zmiennej losowej z poprzedniego przykładu.
1
Przykład Czy zmienna losowa X o funkcji prawdopodobieństwa gdzie
P(X = xi) = ( )i,
3
(-3)i-1
xi = ,
i =1,2,K
posiada wartość oczekiwaną?
i
Uwaga
" Nie ka\
da zmienna losowa posiada wartość oczekiwaną.
" Je\
eli skokowa zm. los. ma skończony zbiór punktów skokowych, to posiada
wartość oczekiwaną.
Przykład Dokonujemy niezale\
nych prób wyprodukowanych przedmiotów dla du\
ej
partii. Wiadomo, \
e prawdopodobieństwo pomyślnego przejścia przez próbę ka\
dego
przedmiotu wynosi 0,9. Doświadczenie kończy się, gdy dojdziemy do pierwszego
przedmiotu, który nie wytrzyma próby. Obliczyć:
a) prawdopodobieństwo, \
e liczba prób będzie większa ni\
3;
b) wartość oczekiwaną EX, gdzie zm. los. X opisuje liczbę prób.
Definicja (Wartości oczekiwanej funkcji zmiennej losowej)
X : P(X = xi) = pi > 0
Je\
eli dana jest funkcja prawdopodobieństwa skokowej zm. los.
xi "WX . Y = h(X ),
dla oraz określona jest zm. los. to wartość oczekiwaną zm. los. Y
określamy wzorem:
EY = ) pi,
"h(xi
i:xi"WX
o ile, w przypadku nieskończonej liczby punktów skokowych, szereg jest bezwzględnie
zbie\
ny.
Przykład
a) Niech
X:
1 4
xi
0,3 0,7
pi
65
2
Y = 3X -1 Z = X
oraz niech i . Oblicz EY+EZ.
b) Niech
X:
0 1 2
xi
0,3 0,4 0,3
pi
oraz niech Y = -3X +1. Oblicz EY.
Dystrybuanta zmiennej losowej
(&!, S, P)
Definicja Dystrybuantą jednowymiarowej zm. los. X w p.p. nazywamy funkcję
F : R )#0,1*#
określoną wzorem:
F(x) = P({� " &! : X (�) < x}) = P(X < x).
P(X = xi ) = pi
Fakt Dystrybuanta skokowej zm. los. X o funkcji prawdopodobieństwa
wyra\
a się wzorem:
F(x) = P(X < x) = pi.
"P(X = xi) = "
xi < x xi < x
Przykład
a) Niech
X:
-1 3
xi
0,6 0,4
pi
Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X.
b) Niech
X:
-2 1 2
xi
1 1 1
pi
3 3 3
Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X.
Uwaga Dystrybuanta skokowej zm. los. X jest funkcją przedziałami stałą i w punktach
nieciągłości xi ma skoki P(X = xi ) = pi , których suma wynosi 1.
Twierdzenie (Podstawowe własności dystrybuanty zm. los. dowolnego typu)
F : R )#0,1*#
Funkcja jest dystrybuantą pewnej zm. los. wtedy i tylko wtedy, gdy
" F jest funkcją niemalejącą:
("x1, x2 " R)[x1 < x2 �! F(x1) d" F(x2)].
" F jest funkcją ciągłą lub co najmniej lewostronnie ciągłą:
("x0 " R)[ lim F (x) = F (x0 )].
-
x x0
ozn.
ozn.
" lim F (x) = F(") = 1, lim F(x) = F(-") = 0.
x" x-"
66
Przykład
a) Funkcja F(x) = sin x, x" R nie jest dystrybuantą \
adnej zmiennej losowej, bo nie
spełnia warunków 1 i 3 twierdzenia.
b) Niech
ńł
0 dla x d" 0
�ł
�ł
Ą
�łsin
F(x) = x dla 0 < x d" .
�ł
2
�ł
Ą
�ł
1 dla x >
�ł
2
ół
Powy\
sza funkcja jest dystrybuantą pewnej zm. los., gdy\
spełnia wszystkie zało\
enia
twierdzenia, ale nie jest to dystrybuanta zm. los skokowej.
c) Rozwa\
my funkcję F o danym wykresie. Czy F jest dystrybuantą pewnej zm. los., czy
jest dystrybuantą zm. los. skokowej?
Twierdzenie (Obliczanie prawdopodobieństwa gdy dana jest dystrybuanta)
(&!, S, P)
Je\
eli F jest dystrybuantą zm. los. X dowolnego typu w p.p. , to
P(a d" X < b) = F(b) - F(a)
oraz
P(X = a) = F(a+) - F(a),
gdzie
F(a+) = lim F(x).
xa+
Wniosek Je\
eli dystrybuanta jest funkcją ciągłą w punkcie x = a, to
P(X = a) = F(a+) - F(a) = 0.
Przykład
a) Dana jest dystrybuanta zm. los. X typu skokowego:
0 dla x d" -1
ńł
�ł
�ł0,2 dla -1 < x d" 1
�ł
F(x) = .
�ł
0,3 dla 1 < x d" 3
�ł
�ł
1 dla x > 3
�ł
ół
P(X e" 2).
Wyznacz funkcję prawdopodobieństwa zm. los. X oraz oblicz
b) Dana jest dystrybuanta zm. los. X typu skokowego:
ńł
0 dla x d" -2
�ł
�ł0,5
F(x) = dla - 2 < x d" 1.
�ł
�ł
1 dla x > 1
�ł
ół
P(X = 1), P(X = 0,5), P(-3 d" X < 0,5).
Obliczyć
67
Przykład Za pomocą dystrybuanty F zm. los. X wyrazić prawdopodobieństwa:
P(a d" X d" b).
a)
P(a < X < b) P(a < X d" b), P(X e" a), P(X d" a).
b) oraz
Zmienna losowa typu ciągłego
Wstęp
Zmiennej losowej typu skokowego odpowiada w mechanice rozkład masy
( pi =1).
jednostkowej na odosobnione, poszczególne punkty zbioru przeliczalnego WX "
i:xi "WX
Zmiennej losowej typu ciągłego odpowiada w mechanice rozkład ciągły masy
jednostkowej w przedziale.
| P |= 1,
b
m = f (x)dx = 1,
+"
a
f (x) - gęstość masy.
Definicja Zmienną losową X o dystrybuancie F nazywamy zm. los. typu ciągłego, je\
eli
( f (x) e" 0)
istnieje taka funkcja f(x) nieujemna i całkowalna na R (tzn. dla dowolnego x" R
x
f (t)dt
x " R
zbie\
na jest całka ), \
e dystrybuantę F mo\
na dla dowolnego przedstawić w
+"
-"
postaci:
x
F(x) = f (t)dt.
+"
-"
Funkcję podcałkową f nazywamy wówczas gęstością rozkładu prawdopodobieństwa zm. los.
X.
Uwaga Wzór powy\
szy pozwala wyznaczyć dystrybuantę, gdy dana jest gęstość rozkładu
prawdopodobieństwa.
Przykład
a) Wyznaczyć dystrybuantę zm. los. X o gęstości:
1
ńł
dla x e" 1
�ł
x2
f (x) = .
�ł
0 dla x < 1
�ł
ół
b) Wyznaczyć dystrybuantę zm. los. X o gęstości:
1
ńł
�ł2 dla 0 d" x d" 2.
f (x) =
�ł
�ł0 dla x " )#0,2*#
ół
68
Twierdzenie Je\
eli X jest zmienną losową typu ciągłego, to jej dystrybuanta jest funkcją
ciągłą na całym zbiorze R.
Twierdzenie (O rozpoznawaniu gęstości prawdopodobieństwa)
Je\
eli funkcja f : R R spełnia warunki:
("x" R)[ f (x) e" 0],
"
x
f (t)dt
"x " R
" całka jest zbie\
na,
+"
-"
"
f (t)dt =1,
"
+"
-"
to f jest gęstością pewnej zm. los. X typu ciągłego.
Przykład Czy funkcję o podanym poni\
ej wykresie mo\
na interpretować jako gęstość
rozkładu prawdopodobieństwa?
Przykład
a) Dobrać stałe a, b > 0 tak, aby funkcja
a cos x dla x " )#0,b*#
ńł
�ł
f (x) =
�ł
0 dla x " )#0,b*#
�ł
ół
była gęstością pewnej zm. los..
b) Dobrać stałą c tak, aby funkcja
Ą
ńłcsin x dla x " )#0, *#
�ł
�ł
3
f (x) =
�ł
Ą
�ł
0 dla x " )#0, *#
�ł
3
ół
była gęstością pewnej zm. los..
Twierdzenie (O wyznaczaniu gęstości prawdopodobieństwa, gdy dana jest dystrybuanta)
Je\
eli F jest dystrybuantą zm. los. typu ciągłego, to jej gęstością jest funkcja
ńłF'(x) dla x " D,
�ł
f (x) =
�ł
�ł
0 dla x " D
ół
gdzie D jest zbiorem punktów, w których F jest ró\
niczkowalna.
Przykład
a) Dana jest dystrybuanta zm. los. X typu ciągłego:
ńł
�ł 0 dla x d" 0
F(x) = .
�ł
�ł
ół1- e-x dla x > 0
Podać wzór na gęstość zm. los. X.
b) Dana jest dystrybuanta zm. los. X typu ciągłego:
69
x t2
-
1
2
F(x) =
.
+"e dt, x " R
2Ą
-"
Podać wzór na gęstość zm. los. X.
Twierdzenie (O wyznaczaniu prawdopodobieństwa, gdy dana jest gęstość)
Je\
eli X jest zm. los. typu ciągłego o danej gęstości f, to
b
P(X " )#a,b*#) = P(X " (a,b*#) = P(X " )#a,b)) = P(X " (a,b)) = f (x)dx.
+"
a
Uwaga Ogólnie, je\
eli I oznacza dowolny przedział (ograniczony lub nieograniczony), to
P(X " I) = f (x)dx.
+"
I
Przykład
a) Dana jest gęstość zm. los. X:
3
ńł
�ł4 (2x - x2) dla x " )#0,2*#.
f (x) =
�ł
�ł
0 dla x " )#0,2*#
ół
1
2
P(0 d" X d" ),
P(0 d" X d"1),
Obliczyć P(1- X e" 0).
2
b) Dana jest gęstość zm. los. X:
2
ńł
dla x e" 1
�ł
x3
f (x) = .
�ł
�ł
0 dla x < 1
ół
2
2
P(4
Obliczyć - X e" 0), P(X > 4X ).
Wartość oczekiwana zmiennej losowej typu ciągłego
Definicja Wartością oczekiwaną zmiennej losowej typu ciągłego o gęstości f nazywamy
liczbę
"
def
EX = x �" f (x)dx,
+"
-"
przy zało\
eniu, \
e zbie\
na jest całka
"
+"| x | �" f (x)dx.
-"
W przeciwnym razie wartość oczekiwana nie istnieje.
1 1
F(x) = arctgx + ,
Przykład Rozwa\
my zm. los. X o dystrybuancie x " R . Sprawdzić,
Ą 2
czy zm. los. X posiada wartość oczekiwaną.
Definicja (Wartości oczekiwanej funkcji zm. los.)
70
Je\
eli X jest zm. los. typu ciągłego o gęstości f oraz gdzie g jest funkcją
Y = g(X ),
przedziałami ciągłą, to
"
def
EY = E(g(X )) = g(x)�" f (x)dx,
+"
-"
przy zało\
eniu, \
e zbie\
na jest całka
"
+"| g(x) | �" f (x)dx.
-"
Przykład
a) Dana jest zm. los. X o gęstości:
1
ńł
�ł2 ex dla x " )#0,ln 3*#.
f (x) =
�ł
�ł
0 dla x " )#0,ln 3*#
ół
2
Obliczyć E(X ) = m2 (moment zwykły rzędu drugiego).
b) Dana jest zm. los. X o gęstości:
3
ńł
dla x e" 1
�ł
x4
f (x) = .
�ł
�ł
0 dla x < 1
ół
E(ln X ).
Obliczyć
Uwaga
" Je\
eli zm. los. X ma gęstość f, która jest równa 0 poza pewnym zbiorem ograniczonym
na prostej oraz jeśli funkcja g jest ograniczona, to istnieje E(g(X )).
" Je\
eli zm. los. X jest typu skokowego i przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości, to
E(g(X ))
wartość oczekiwana istnieje.
Definicja Zmienne losowe X i Y (dowolnego typu) nazywamy niezale\
nymi w p.p.
(&!,S, P) {� " &! : X (�) < x}
, jeśli dla dowolnych liczb x, y " R zdarzenia i
{� " &! :Y (�) < y}
są niezale\
ne, tj.
("x1y " R)[P(X < x,Y < y) = P(X < x) �" P(Y < y)].
Własności wartości oczekiwanej
P(X = c) =1, EX = c.
E1. Je\
eli to
E2. Je\
eli istnieje EX, to dla dowolnych liczb a,b " R
E(aX + b) = aEX + b.
EX1,K, EXn,
c1,K,cn
E3. Je\
eli istnieją to dla dowolnych stałych mamy
E(c1X1 +K+ cn Xn) = c1EX1 +K + cnEXn. EX
W szczególności jeśli istnieją i
EY , E(X ą Y ) = EX ą EY.
to
EX
E4. Je\
eli zm. los. X i Y są niezale\
ne i istnieją i EY, to istnieje E(X �"Y ) oraz
E(X �"Y ) = EX �" EY.
71
E5. (Interpretacja probabilistycznej wartości oczekiwanej)
Je\
eli istnieje EX oraz krzywa gęstości zm. los. typu ciągłego lub wykres funkcji
prawdopodobieństwa skokowej zm. los. są symetryczne względem prostej x = x0, to
EX = x0.
Wariancja zmiennej losowej
Przykład Rozwa\
my dwie zm. los. o rozkładach:
X:
xi -2 2
0,25 0,75
pi
Y:
yi -20 15
0,4 0,6
pi
Zauwa\
my, \
e EX = EY. Zatem wartości oczekiwane zm. los. X i Y są równe, ale same
x = 1.
zm. los. ró\
nią się rozrzutem swych wartości względem punktu Wprowadzimy
pewną miarę tego rozrzutu.
Definicja Wariancją zm. los. X dowolnego typu nazywamy wartość oczekiwaną kwadratu
X EX
odchylenia - EX od wartości oczekiwanej tj.
ozn.
E(X - EX )2 = E(X - m)2 = D2X ,
m = EX .
gdzie
P(X = xi) = pi, xi "WX :
" Dla rozkładu skokowego:
D2X = - m)2 �" pi,
"(xi
i:xi "WX
o ile szereg jest zbie\
ny.
" Dla rozkładu ciągłego o gęstości f:
"
D2 X = - m)2 �" f (x)dx,
+"(x
-"
o ile całka jest zbie\
na.
Definicja Odchyleniem standardowym (lub dyspersją) zm. los. X nazywamy liczbę
def
ozn.
DX = � = D2X .
Własności wariancji zmiennej losowej
D1. D2X e" 0, co więcej D2X = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zm. los. X ma rozkład
jednopunktowy.
72
D2X , a " R
D2. Je\
eli istnieje to dla dowolnego
D2(aX ) = a2D2X
i
D2(X + a) = D2X .
D3. Je\
eli zm. los. X i Y są niezale\
ne i posiadają wariancję, to
D2(X ą Y ) = D2X ą D2Y.
D4.
2
D2X = E(X ) - (EX )2,
2
o ile istnieje E(X ).
Wzór powy\
szy jest wygodny do obliczania wariancji.
EX = 2, D2X =1, EY = 1,
Przykład Niech zm. los. X i Y są niezale\
ne oraz niech
D2Y = 4. � , Z = X - 2Y.
Obliczyć EZ, D2X oraz jeśli
Z
Przykład Dana jest zmienna losowa o gęstości:
3
ńł
�ł2 (x -1)2 dla 0 d" x d" 2.
f (x) =
�ł
�ł
0 dla x " )#0,2*#
ół
D2X
Obliczyć .
Funkcja Gamma
p > 0
Rozwa\
my całkę niewłaściwą z parametrem (jest to tzw. całka Eulera 2-go
rodzaju):
"
def
�( p) = xp-1 �"e- xdx.
+"
0
Własności funkcji Gamma:
" Przedział całkowania jest nieograniczony. Ponadto dla 0 < p <1 funkcja
(0,")
podcałkowa jest nieograniczona dla x 0+. Mo\
na jednak wykazać, \
e całka �( p) jest
p > 0
zbie\
na dla ka\
dego .
�(n) = (n -1)!. �(1) = 1
" oraz mo\
na wykazać następujący wzór rekurencyjny:
�( p +1) = p�( p).
" Zatem dla naturalnych wartości parametru p mamy:
1
" Wartości funkcji są stablicowane. Przydatny jest wzór �( ) = Ą .
�( p)
2
73
Przykład Dana jest zm. los X o gęstości:
ńłae-ax dla x e" 0.
�ł
f (x) =
�ł
�ł
0 dla x < 0
ół
D2X
Obliczyć .
Standaryzowanie zmiennej losowej
Definicja Zmienną losową X (dowolnego typu) nazywamy zmienną losową standaryzowaną,
je\
eli EX = 0 D2X =1
i .
2
EX = m D2X = � > 0,
Fakt Je\
eli i to funkcja zmiennej losowej
def
~ X - m
XS =
�
jest standaryzowaną zmienną losową.
Przykład Dokonać standaryzacji zm. los. Y, je\
eli:
a)
Y:
-1 0 3
yi
1 2 1
pi
6 3 6
Y = X1 + X +K+ X180 (k = 1,2,K,180)
b) , gdzie zm. los. Xk , są niezale\
ne i mają
2
jednakowe gęstości prawdopodobieństwa
ńł2x dla 0 d" x d" 1.
�ł
Xk : f (x) =
�ł
�ł
0 dla x " )#0,1*#
ół
Rozkład dwupunktowy
Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy, je\
eli mo\
e przybierać tylko dwie
x1 x2
wartości i z prawdopodobieństwami:
P(X = x1) = p,
P(X = x2) =1- p.
x1 = 0,
Je\
eli x2 =1
, to rozkład nazywamy zero-jedynkowym.
EX D2X
Przykład Wyznaczyć dystrybuantę oraz i dla rozkładu zero-jedynkowego.
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
74
 Niech p oznacza daną liczbę z przedziału (0,1), n ustaloną liczbę naturalną. Mówimy,
X : &! R
\
e zmienna losowa skokowa ma rozkład (B) z parametrami (n,p), je\
eli jej
punkty skokowe tworzą zbiór postaci W = {0,1,2,K, n} i skoki określone są wzorem:
n
�ł �ł
P(X = k) = �ł �ł pk �" qn-k , k "W , q =1- p.
�ł �ł
k
�ł łł
n
�ł �ł
�ł �ł pk �" qn-k mo\
na interpretować jako prawdopodobieństwo
Uwaga Prawdopodobieństwo
�ł �ł
k
�ł łł
uzyskania k  sukcesów w serii n - powtórzeń tego samego doświadczenia, je\
eli
prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi p.
Ilustracja Wykonujemy n = 10 prób Bernoulliego. Wiadomo, \
e w ka\
dej z nich odnosimy
sukces z prawdopodobieństwem p = 0,99. Jakie jest prawdopodobieństwo, \
e w 10%
wszystkich prób odniesiemy sukces.
Fakt Dla rozkładu dwumianowego z parametrami (n,p) mamy:
" EX = n �" p,
" D2X = n �" p �" q.
Przykład Wadliwość pewnej masowej produkcji wynosi 0,3. Z bie\
ącej produkcji
X (�)
wylosowano 7 sztuk towaru. Niech oznacza liczbę sztuk wadliwych wśród
wylosowanych.
a) Znale\
ć funkcję prawdopodobieństwa zm. los. X.
EX D2X .
b) Podać i
c) Napisać wzór na prawdopodobieństwo, \
e liczba sztuk wadliwych będzie nie większa ni\

2.
d) Podać wzór na dystrybuantę F(x) zm. los. X.
e) Obliczyć F(0) i F(1).
Rozkład Poissona
Mówimy, \
e zmienna losowa X ma rozkład Poissona (P) z parametrem ,

( > 0), X : &! W , W ={0,1,2,K}
je\
eli gdzie jest nieskończonym zbiorem punktów
skoku i
k
P(X = k) = e- �" , k "W.
k!
P(X = k) > 0
Uwaga Definicja powy\
sza jest poprawna, poniewa\
oraz
" "
-
"P(X = k) = "e �" k =1.
k!
k =0 k =0
Fakt Wartość oczekiwana i wariancja zm. los. X o rozkładzie Poissona wyra\
a się wzorami:
EX = ,
"
D2X = .
"
75
Twierdzenie graniczne (lokalne Poissona)
(X )
Niech p zmienia się wraz z n, tzn. niech p = pn. Je\
eli jest ciągiem zmiennych
n
losowych majacych rozkłady Bernoulliego:
n
�ł �ł
k n-k
P(Xn = k) = �ł �ł pn �" qn , k = 0,1,2,K, n,
�łk �ł
�ł łł
oraz
0 < pn <1, qn =1- pn
lim n �" pn =  > 0,
n"
to
k
lim P(Xn = k) = e- �" , k = 0,1,2,K.
n"
k!
Z powy\
szego twierdzenia wynika następujące przybli\
enie Poissona rozkładu Bernoulliego:
n
�ł �ł k
�ł �ł pk �" qn-k H" e- �"
�łk �ł
k!
�ł łł
dla
 = n �" p k = 0,1,2,K, n.
i
p d" 0,1,
n e" 50, n �" p =  d"10.
Przybli\
enie to jest wystarczająco dokładne, gdy
Przykład Obliczyć prawdopodobieństwo, \
e wśród 200 nadesłanych szyb będą co najmniej 4
szyby uszkodzone, je\
eli wiadomo, \
e co setna nadesłana szyba jest uszkodzona.
Rozkład jednostajny
" Dyskretny
Rozkład prawdopodobieństwa, w którym jednakowe prawdopodobieństwo przypisane jest
do ka\
dej z n ró\
nych liczb rzeczywistych k1,K, kn a inne liczby mają przypisane
prawdopodobieństwo zero.
Uwaga Niektórzy autorzy zakładają, \
e liczby k1,K, kn są wszystkimi liczbami
całkowitymi z pewnego przedziału.
" Ciągły
(a,b)
Zmienna losowa ciągła ma rozkład jednostajny, je\
eli w przedziale gęstość
prawdopodobieństwa ma wartość stałą ró\
na od zera, a poza tym przedziałem równą zeru.
Funkcję gęstości prawdopodobieństwa określamy :
ńł 1
�łb dla a d" x d" b.
f (x) = - a
�ł
�ł
0 dla x " )#a,b*#
ół
Rozkład wykładniczy
76
" Dyskretny zwany te\
geometrycznym
Jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa opisującym prawdopodobieństwo
zdarzenia, \
e proces Bernoulliego odniesie pierwszy sukces dokładnie w k-tej próbie. k
musi być liczbą naturalną dodatnią.
" Ciągły
Rozkład wykładniczy ciągły to rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w której
obiekt mo\
e przyjmować stany A i B, przy czym obiekt w stanie A mo\
e ze stałym
prawdopodobieństwem przejść w stan B w jednostce czasu. Prawdopodobieństwo
wyznaczone przez ten rozkład to prawdopodobieństwo przejścia ze stanu A w stan B w
�t.
czasie
Gęstość tego rozkładu ma postać:
ńłe dla 0 d" x < ".
-x
�ł
f (x) =
�ł
�ł
0 dla x < 0
ół
Rozkład normalny Gaussa
Mówimy, \
e zmienna losowa X typu ciągłego ma rozkład normalny z parametrami
m" R � > 0, X : N(m,� ),
i co zapisujemy gdy jej gęstość jest postaci:
( x-m)2
-
1
2
2�
f (x) = e , x " R.
� 2Ą
Własności rozkładu normalnego
2
EX = m D2X = � ,
1. i
2. krzywa gęstości, zwana te\
krzywą Gaussa, jest symetryczna względem prostej x = m,
m" R � > 0
3. wpływ parametrów i na kształt i poło\
enie krzywej Gaussa ilustrują
rysunki:
1 0,4
max f (x) = f (m) = H" ,
4.
x"R
�
� 2Ą
x1 = m -� x2 = m +� ,
5. odcięte punktów przegięcia wynoszą i
x ą".
6. oś OX jest asymptotą poziomą krzywej gęstości dla
Twierdzenie Je\
eli X i Y są niezale\
nymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych, to
zmienne losowe:
" Z = aX + b, gdzie a `" 0,b - stałe,
" Z = X + Y,
" Z = aX + bY, gdzie |a| + |b| > 0,
te\
mają rozkłady normalne.
77
X1, X ,K, X
Twierdzenie Je\
eli są niezale\
nymi zmiennymi losowymi o rozkładach
2 n
N(mk ,� ),
normalnych k = 0,1,2,K,n , to tak\
e zmienna losowa
k
N(m,� ),
X = X1 + X +K+ X ma rozkład normalny gdzie
2 n
m = m1 + m2 +K+ mn
oraz
2 2 2
� = �1 +� +K+� .
2 n
Rozkład normalny N(0,1)
Zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną m = 0 i
� =1
odchyleniem standartowym nazywamy zmienną losową o standaryzowanym
rozkładzie normalnym N(0,1).
Jej gęstość dana jest wzorem:
x2
-
1
2
f (x) = e , x " R.
2Ą
Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1):
2
x t
-
1
2
Ś(x) =
+"e dt, x " R
2Ą
-"
nie jest funkcją elementarną. Jej przybli\
one wartości odczytujemy z tablic. Tablice wartości
x e" 0.
dystrybuanty rozkładu normalnego N(0,1) są sporządzone dla Zauwa\
my jednak, \
e
Ś(-x) =1- Ś(x).
X : N(2;0,2).
Ilustracja Niech Za pomocą tablic obliczyć przybli\
oną wartość
P(X >1,7).
prawdopodobieństwa
78


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Sieci komputerowe wyklady dr Furtak
Wykład 05 Opadanie i fluidyzacja
WYKŁAD 1 Wprowadzenie do biotechnologii farmaceutycznej
mo3 wykladyJJ
ZARZĄDZANIE WARTOŚCIĄ PRZEDSIĘBIORSTWA Z DNIA 26 MARZEC 2011 WYKŁAD NR 3
Wyklad 2 PNOP 08 9 zaoczne
Wyklad studport 8
Kryptografia wyklad
Budownictwo Ogolne II zaoczne wyklad 13 ppoz
wyklad09
Sporzadzanie rachunku przepływów pienieżnych wykład 1 i 2
fcs wyklad 5

więcej podobnych podstron