6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
6. ANALIZA SPREŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻEC I
ODKSZTAACEC PRZY OBCIŻENIACH ZMIENNYCH
6. l. WYZNACZENIE NAPRŻEC I ODKSZTAACEC W PRZYPADKU
UPLASTYCZNIENIA MATERIAAU
" rozwiązania w formie skończonej - tylko dla prętów pryzmatycznych, por.
p.6.2
" geometrie złożone:
-metody numeryczne (np. metoda elementów skończonych) -
sposoby uproszczone (np. reguła Neubera, por. p.6.3)6.2
6.2 ZGINANIE SPRZYSTO-PLASTYCZNE PRTA
PRYZMATYCZNEGO O PRZEKROJU
PROSTOKTNYM PRZY OBCIŻENIACH MONO-
TONICZNYCH
Rys.6.1 Belka o przekroju prostokątnym a); przy czystym zginaniu stałym mo-
mentem b)powodującym uplastycznienie. Rozkład odkształceń c)jest li-
niowy, ale rozkład naprężeń jest nieliniowy d) lub e).
6.1
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
Założenia:
zginanie proste, tzn. Płaszczyzna obciążenia = Płaszczyzna symetrii (tzn.
płaszczyzna główna)
Konsekwencja: przekroje poprzeczne płaskie przed odkształceniem pozo-
stają płaskie po odkształceniu nawet gdy wystąpią odkształcenia plastycz-
ne. StÄ…d: por. rys. 6.1 c.
µ µ
h
=
y h
(6.1)
x g g
Wniosek: rozkład à - à w przekroju poprzecznym, à ( y), ma taki sam
µ = µ
ksztaÅ‚t, jak część krzywej à - µ miÄ™dzy punktami µ =0 i .
h
Warunek równowagi:
h h
M = t ydy = 2t ydy
g g (6.1)
+"Ã +"Ã
-h 0
Jeżeli
µ = f (Ã )
(6.3)
jest równaniem krzywej à - µ materiaÅ‚u, to po podstawieniu (6.3) do (6.1)
g
otrzymujemy rozkład à (y) w przekroju belki.
Np. materiał sprężysto-idealnie plastyczny (rys. 6. l d)
à = Eµ µ d" Re / E (µ d" µ )
dla
g 0
(µ e" µ )
à = Re µ e" Re / E
dla (6.4)
g
µ = Re / E
Niech i odkształcenia w przekroju poprzecznym przekroczą
0
Re / E
wartość dla y = yb (rys. 6.2 z prawej strony). Oznaczając
Re / E = µ , z równania (6.1) wynika:
0
µ0 µ
h
=
(6.5)
yb h
StÄ…d
µ0 Reh
yb = Å" h =
(6.6)
µ Eµ
h h
Ze względu na nieciągły przebieg naprężeń w przekroju belki, równanie
(6.2) musi być całkowane w dwóch przedziałach.
Dla materiału sprężysto-idealnie plastycznego otrzymamy podstawiając
(6.4) do (6.2)
6.2
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
yb
h
ëÅ‚ öÅ‚
M = 2tìÅ‚ Eµydy + Re ydy÷Å‚
g
+"+" (6.7)
ìÅ‚ ÷Å‚
0 yb
íÅ‚ Å‚Å‚
Stąd, uwzględniając (6.6) mamy:
2
îÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
Re Å‚Å‚
1
ïÅ‚
M = th2Re 1- ìÅ‚ ÷Å‚ śł
µ e" Re / E
g
, (6.8)
ìÅ‚ ÷Å‚
h
3 Eµ
ïÅ‚ śł
íÅ‚ h Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
µ = Re / E = µ0
Początek uplastycznienia przekroju, gdy . Wówczas:
h
2th2RE
M = Mi =
µ e" Re / E
g , (6.9)
h
3
Cały przekrój jest uplastyczniony, gdy yb = 0 . Z równania (6.7) mamy
wtedy
M = M = th2Re = 1.5M
(yb = 0)
(6.10)
g pl i
Rys. 6.2 Zależność między znormalizowanym momentem gnącym a znorm-
lizowanym odkształceniem
M - moment poczÄ…tkowego uplastycznienia przekroju
i
M - moment pełnego uplastycznienia przekroju.
pl
Z porównania (6.8) i (6.10) wynika:
M = lim M M = lim M
lub
pl g pl g
µ / µ 0 µ "
0 h h
co ilustruje rys. 6.2.
6.3
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
M = M
W belce statycznie wyznaczalnej moment powoduje utratÄ™ no-
g pl
śności, na skutek powstania dodatkowego przegubu w uplastycznionym
przekroju (rys.6.3).
M e" M µ
Jeżeli , to z (6.8) można wyznaczyć maksymalne odkształcenie
g i h
jako:
Re th2Re
µ =
(6.11)
h
E 3(th2Re - M )
g
lub uwzględniając (6.10):
M
Re
pl
µh =
(6.12)
E 3(M - M )
pl g
Rys. 6.3 Powstanie przegubu plastycznego przy trójpunktowym zginaniu
6.4
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
6.3. ZGINANIE SPRŻYSTO-PLASTYCZNE PRTA
PRYZMATYCZNEGO O PRZEKROJU PROSTOKTNYM PRZY
OBCIŻENIACH CYKLICZNYCH (à = const.)
a
Mmin
M
Niech zmienia się cyklicznie między Mmax i , (rys.6.4a)
g
Rys.6.4 Belka o przekroju prostokÄ…tnym przy cyklicznym zginaniu a)
powodującym uplastycznienie przy obciążeniu i odciążeniu. Rozkład
cyklicznych naprężeń b) i odkształceń c). Zmienność naprężeń w funk-
cji odkształceń we włóknach skrajnych d) oraz zależność między po-
ziomem odkształceń we włóknach skrajnych a obciążeniem cyklicznym
Mg e).
6.5
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
Równania równowagi na poziomach Mg = Mmax i Mg = Mmin (por. równania 6.2):
h h
Mmax = 2t Mmin = 2t ydy
max min (6.13)
+"Ã ydy +"Ã
0 0
h
"M = Mmax - Mmin = 2t
(6.14)
+""Ãydy
0
gdzie: "Ã = Ãmax(y) - Ãmin(y)
Ãmax( Ãmin ) rozkÅ‚ad naprężeÅ„ Ã(y) gdy Mg = Mmax (Mg= Mmin )
Na każdym poziomie momentu Mg obowiązuje prawo płaskich przekrojów
(por. rysunek 6.4c)
"µ/y = "µh/h (6.15)
Równania (6.14) i (6.15) są formalnie identyczne z (6.1) i (6.2).
Stąd naprężenia i odkształcenia przy odciążaniu od Mmax do Mmin można
obliczyć jak przy monotonicznym obciążaniu od O do Mg = "M, przy
czym:
I. Mg, Ãg, µ zastÄ™pujemy przez "M, "Ã,"µ
II. Posługujemy się dwukrotnie rozszerzoną krzywą e = f(c) (por. p. 3. l,
3.2i rys.3.1)
"µ/2 = f("Ã/2), tj. µa = f(Ãa) (6.16)
przy czym poczÄ…tek ukÅ‚adu osi "Ã,"µ (tj. ukÅ‚adu osi Ãa, µa) jest w punkcie
(Ãmax, µmax), rys.6.4d.
III. WartoÅ›ci Ãmin, µmin okreÅ›lamy jako
µmin = µmax-"µ = µmax - 2µa
Ãmin = Ãmax-"Ã = Ãmax - 2Ãa (6.17)
IV. Przy ponownym obciążeniu stosujemy tę samą procedurę, ale początek
ukÅ‚adu ("Ã,"µ) jest w punkcie (Ãmin ,µmin), por. rys.3.1b.
Gdy Mg po raz drugi osiąga poziom Mmax, wierzchołek pętli histerezy znajduje
siÄ™ ponownie w punkcie (Ãmax ,µmax), rys.6.4d.
6.6
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
Przy wyidealizowanym założeniu, że własności materiału nie ulegają zmianie
przy obciążeniach cyklicznych (por. p.3.3), punkt (Ã,µ) poruszaÅ‚by siÄ™ caÅ‚y
czas po jednej i tej samej zamkniętej pętli histerezy.
Jeżeli operujemy amplitudami, a nie zakresami to, równania monotonicznej i
cyklicznej krzywej odkształcenia są formalnie identyczne:
µmax = f(Ãmax), µa = f(Ãa) (6.18)
StÄ…d zależnoÅ›ci miÄ™dzy µh, i Mmax oraz miÄ™dzy µa h i Ma sÄ… też formalnie identycz-
ne
µh = g(Mmax), µa h = g(Ma), (6.19)
Przykład: materiał sprężysto-idealnie plastyczny.
W przypadku uplastycznienia przekroju przy Mmax i Mmin dostajemy z równań
(6.4b) i (6.12) następujące wartości naprężeń i odkształceń w warstwie skraj-
nej:
M
R
pl
e
à h max = Re , µh max =
E 3(Mpl - M )
max
Mpl
R
e
Ãa h = Re, Ãa h = (6.20)
E 3(M - Ma )
pl
à h min = à h max - 2Ãa h = -Re
µh min = µh max - 2µa h
6.7
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
6.4 PRZYBLIŻONE WYZNACZANIE NAPRŻEC I ODKSZTAACEC W
STREFIE PLASTYCZNEJ KARBU - REGUAA NEUBERA
Rys.6.5 Ilustracja zastosowania reguły Neubera: a) element z kar-
bem i krzywa odkształcenia wraz z hiperbolą Neubera; b) zmien-
ność współczynnika koncentracji naprężeń ka i odkształceń ks w
karbie; c) i d) zmienność odpowiednio odkształceń i naprężeń w
karbie w funkcji naprężenia nominalnego (linia przerywana -
rozwiązanie liniowo-sprężyste).
Jeżeli materiał w strefie karbu uplastycznia się, to lokalne odkształcenia są
większe, niż ktS/E (rys.6.5c), a lokalne naprężenia niższe, niż ktS (rys.6.5d).
Należy, więc zdefiniować oddzielnie współczynniki koncentracji dla naprężeń
i odkształceń:
kà = Ã/S, kµ = µ/e (6.21)
6.8
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
gdzie: e - odkształcenia nominalne związane z naprężeniem nominalnym S w
myśl równania krzywej odkształcenia materiału S = f(e).
Jeżeli Sd" Re (co zazwyczaj ma miejsce), to
e = S/E (6.22)
Reguła Neubera
kÃk = k (6.23)
µ t
Jeżeli przy osiowym rozciąganiu nastąpiłoby pełne uplastycznienie przekroju,
(S = Re), to kë l, a wiÄ™c w myÅ›l (6.23), kµ « kt2, co ukazuje rys.6.5b.
Uwzględniając w (6.23) zależności (6.21) oraz (6.22) mamy:
õ = (ktS)2/E
Jeżeli µ = f(Ã) ma postać krzywej Ramberga - Osgooda (por. równ. (2.12))
1
à Ã
n
µ = + ( ) (6.25.)
E H
to po podstawieniu za µ w (6.24) prawej strony (6.25) dostajemy:
1
+1
E
n
Ã2 + ( )Ã - (k S) = 0 (6.26)
t
1
n
H
Uwaga: w praktyce w celu wyznaczenia lokalnych odkształceń i naprężeń przy
użyciu reguły Neubera najwygodniej jest korzystać z układu równań (6.24) i
(6.26). W celu wyznaczenia amplitud, zastÄ™pujemy w (6.24) i (6.26) Ã, µ i S
przez odpowiednio Ãa, µa i Sa.
Przybliżone rozwiązania (6.26) metoda Newtona
Jeżeli x0 jest przybliżoną wartością pierwiastka równania f(x) = 0, to lepsze przybli-
żenie daje wartość
f (x )
0
x1 = x -
0
2
f (x0 )
6.9
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
Zastępując x0 przez x1 otrzymujemy kolejne przybliżone rozwiązania
f (x1)
x = x1 -
2
2
f (x1)
Proces kontynuujemy, póki xi+1 xi nie spadnie poniżej pewnej ustalonej przez
nas wartości.
2
Szereg {xi} jest zbieżny do pierwiastka równania, o ile f (xi ) `" 0
1
E
n+1
Ãi 2 + Ãi - (k S)2
t
1
n
H
Ãi+1 = Ãi -
1
1 E
n
2Ãi + ( +1) Ãi
1
n
n
H
6.10
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
6.5. UOGÓLNIONA PROCEDURA WYZNACZANIA SPRŻYSTO - PLA-
STYCZNYCH NAPRŻEC I ODKSZTAACEC
6.5.1. Obciążenia stałoamplitudowe
Założenia:
a) Funkcja µ = f(Ã) pozostaje przez caÅ‚y czas niezmienna (zazwyczaj
funkcjÄ™ f przyjmujemy tak, że µa = f(Ãa) - ustabilizowana cykliczna
krzywa odkształcenia)
b) GaÅ‚Ä™zie pÄ™tli histerezy można opisać równaniem µa = f(Ãa), lub
"µ/2 = f("Ã/2), przy czym poczÄ…tek ukÅ‚adu (µa , Ãa) lub ("µ,"Ã)
każdorazowo leży w punkcie nawrotu obciążenia, na początku danej
gałęzi (patrz rozdział 3).
µ - odksztaÅ‚cenie uogólnione (liniowe lub kÄ…towe w próbce gÅ‚adkiej lub w
karbie)
S - siła uogólniona (siła, moment, ciśnienie, naprężenie nominalne w prób-
ce z karbem)
Jeżeli przy obciążeniu monotonicznym
µ = g(S)
(6.28)
"
µ = f(Ã) (6.29)
to przy spełnieniu założeń a) i b) mamy dla obciążeń cyklicznie zmiennych
µmax=g(Smax), µmax=f(Ãmax),
µa=g(Sa), µa=f(Ãa)
(6.30)
µmin=µmax-2µa , Ãmin=Ãmax-2Ãa
Uwaga: Dla elementów z karbami równania (6.28) i (6.29) najkorzystniej jest
przekształcić do postaci (6.24) i (6.26).
Przykład.
Płytka z karbem o współczynniku kształtu kt = 2.8 ze stali AISI 4340 obciążana
jest cyklicznie zmieniającą się siłą osiową. Wynikające stąd naprężenia nomina-
ne wynoszą Smax = 750 MPa i Smin = 50 MPa. Zakładając, że cykliczną krzywą
odkształcenia można opisać równaniem (3.5), przy czym E = 207000 MPa,
H' = 1655 MPa, n' = 0.131, wyznaczyć lokalne naprężenia i odkształcenia w
karbie.
6.11
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
RozwiÄ…zanie.
Stosujemy procedurę wg równań (6.28) do (6.30), przy czym (6.28) i (6.29)
przedstawiamy w formie (6.24) i (6.26).
Ãmax wyznaczamy z równania (6.26):
Ãmax 2 + (E / H1/ n2 )Ãmax1/ n2 +1 - (k Smax )2 = 0
t
Po podstawieniu wartości liczbowych:
Ãmax 2+ ( 207000 / 16551/ 0.131) Ãmax 1/ 0 l31 +1 - ( 2.8 " 750 )2 = O
Z przybliżonego rozwiązania metodą Newtona (patrz równanie (6.27)) do-
staniemy Ãmax = 972 MPa
µmax wyznaczamy z (6.24):
µmax = (ktSmax)2/(ÃmaxE) - (2.8 " 750)2/(972 " 207000) = 0.02192
W analogiczny sposób wyznaczamy Ãa i µa , kÅ‚adÄ…c w (6.24) i (6.26) Ãa , µa i Sa
za, odpowiednio. Ã, µ i S przy czym
Sa = (Smax - Smin)/2 = 350 MPa
Ãa 2 + (E / H1/ n2 )Ãa 1 / n2 +1 - (k Sa )2 = 0
t
Ãa 2+ ( 207000 / 16551/ 0..131) Ãa 1/ 0.131 +1 - ( 2.8 " 350 )2 = O
StÄ…d Ãa = 755 MPa
µa = (kt Sa)2/(ÃaE) = (2.8 " 350)2/(755 " 207000) = 0.00615
Ãmin = Ãmax - 2Ãa = - 538MPa
µmin = µmax - 2µa = 0.00962
6.12
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
6.4.2 Obciążenia zmiennoamplitudowe
Obowiązują założenia z p.6.4. l
Przykład:
element z karbem (rys.6.6a);
materiał: stop aluminium 2024 - T4A1.
6.13
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
Rys.6. 6 Analiza naprężeń i odkształceń w elemencie z karbem poddanym
zmiennoamplitudowej historii obciążenia, objaśnienia w tekście
Dane:
funkcja (6.28) µ = g(S) , rys.6.6b
funkcja (6.29) µ = f(Ã) , rys.6.6b
przebieg naprężenia nominalnego w czasie S(t)., rys 6.6c
RozwiÄ…zanie:
(6.28) i (6.29) przekształcamy do postaci (6.24) i (6.26).
I. Przestawiamy funkcję S(t) tak, by zaczynała się i kończyła na najwyż-
szym co do modułu ekstremum SA (rys.6.6c)
II. Wyznaczamy naprężenia i odksztaÅ‚cenia w karbie ÃA i µA z (6.24) i
(6.26) kÅ‚adÄ…c à = ÃA, µ = µA, S = SA
III.Uwzględniając IV b, c wyznaczamy amplitudy lokalnych naprężeń i
odksztaÅ‚ceÅ„ Ãa i µa (lub zakresy "Ã, "µ), gdzie "Ã, "µ i "S sÄ… mierzone od
6.14
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
punktów odnoszÄ…cych siÄ™ do kolejnych ekstremów w S(t). Ãa i µa
("Ã,"µ) wyznaczamy z ukÅ‚adu równaÅ„ (6.24) i (6.26) kÅ‚adÄ…c à = Ãa (lub
"Ã/2), µ = µa (lub "µ/2) i S = SA (lub "S/2).
IV. W punktach X - Y - Z, gdzie naliczany jest cykl metodÄ… Rainflow (por.
schemat poniżej):
(a) zapamiÄ™tać cykl od (Sx, Ãx, µx) do (Sy, Ãy, µy)
(b) przy kontynuacji analizy usunąć wydarzenie X-Y-X' z S(t), tzn. gdy
Sx = Sx to Ãx = Ãx, µx = µx
(c) cofnąć się do ekstremum poprzedzającego X i kontynuować
zgodnie z III.
(Punkt IV można wykonać na początku, ponieważ wiadomo że przy kreśleniu
toru punktu (Ã,µ) z C do D trzeba przejść przez B itd.)
Z IV (a) do (c) wynika, że każda zamknięta pętla histerezy koresponduje z cy-
klem zliczanym metodÄ… Rainfiow, co ilustruje rys.6.6d.
Dokumentacja zastosowania procedury III i IV do przykładu z rys 6.6
Zakres Naliczany cykl Wyznaczony Zapomniane wy-
wierzchołek pętli darzenie wg (4b)
histerezy (poczÄ…-
tek ukÅ‚adu "Ã,"µ)
"SA-B - B (A) -
6.15
6. ANALIZA SPRŻYSTO-PLASTYCZNYCH STANÓW NAPRŻC I ODKSZTAACEC
"SB-C - C (B) -
- B-C B a"B B-C-B
"SA-D - D (A) -
"SD-E - E (D) -
"SE-F - F (E) -
"SF-G - G (F) -
- F-G F a"F F-G-F
"SE-H - H (H) -
- E-H E a"E E-H-E
- A-D A a"A A-D-A
6.16
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Tech tech chem11[31] Z5 06 usrodki ochrony 06[1]06 (184)0606 (35)Plakat WEGLINIEC Odjazdy wazny od 14 04 27 do 14 06 14Mechanika Techniczna I Opracowanie 0606 11 09 (28)06 efekt mpemby06 Zadania z rozwiązaniamiidd47więcej podobnych podstron