Konstrukcje zbiorów liczbowych
1
Zbiór liczb wymiernych
Rozważmy zbiór
X = Z × (Z \ {0} = {(a, b); a, b " Z, b = 0}.
W zbiorze X określamy relację binarną
(a, b) (c, d) Ô! ad = bc.
Relacja jest relacją równoważności.
Definicja. Q = X/ = {[x] , x " X}.
2
Jeśli jest relacją równoważności w zbiorze X, to zbiór
[x] = {y " X : x y} = {y " X : y x}
nazywamy klasą abstrakcji (klasą równoważności) elementu x.
1
Przykład. Liczbę wymierną definiujemy jako klasę abstrakcji
2
pary (1, 2). Mamy
(1, 2) (a, b) Ô! 1 · b = 2 · a,
więc
[(1, 2)] = {(a, b) " X : b = 2a} =
= {(1, 2), (-1, -2), (2, 4), (-2, -4), (3, 6), (-3, -6), . . . }
3
Działania w zbiorze Q określamy następująco:
[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad + bc, bd)] ,
[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac, bd)] .
Definicje te są poprawne, tzn. nie zależą od wyboru reprezentan-
tów klas abstrakcji:
jeśli (a, b) (a , b ) i (c, d) (c , d ),
to (ad + bc, bd) (a d + b c , b d ) i (ac, bd) (a c , b d ).
4
Analogicznie konstruujemy zbiór liczb całkowitych mając dany
zbiór liczb naturalnych.
Rozważmy zbiór
X = N × N = {(a, b); a, b " N}.
W zbiorze X określamy relację binarną
(a, b) (c, d) Ô! a + d = b + c.
Relacja jest relacją równoważności.
Definicja. Z = X/ = {[x] , x " X}.
5
Przykład. Liczbę całkowitą -1 definiujemy jako klasę abstrakcji
pary (0, 1).
Mamy (0, 1) (a, b) Ô! 0 + b = 1 + a, wiÄ™c
[(0, 1)] = {(a, b) " X : b = a+1} = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), . . . }
Działania w zbiorze Z określamy następująco:
[(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)] ,
[(a, b)] · [(c, d)] = [(ac + bd, ad + bc)] ,
i sprawdzamy poprawność definicji: jeśli (a, b) (a , b ) i (c, d) (c , d ),
to (a+c, b+d) (a +c , b +d ) i (ac+bd, ad+bc) (a c +b d , a d +b c ).
6
Zbiór liczb naturalnych określamy aksjomatycznie, a istnienie
takiego zbioru wynika z kolei z aksjomatów teorii zbiorów.
N zbiór,
": N N, n n" funkcja następnika,
0 " N wyróżniony element (zero).
7
Aksjomaty Peana:
1) 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej:
"n"N n" = 0.
2) Funkcja następnika jest różnowartościowa:
"m,n"N m" = n" Ò! m = n.
3) Aksjomat indukcji matematycznej. Dla dowolnego podzbioru
A ‚" N mamy:
(0 " A '" "n"N (n " A Ò! n" " A)) Ò! A = N.
8
Dodawanie liczb naturalnych:
m + 0 = m dla m " N,
m + n" = (m + n)" dla m, n " N.
Mnożenie liczb naturalnych:
m · 0 = 0 dla m " N,
m · n" = m · n + m dla m, n " N.
9
Określamy: 1 = 0", 2 = 1", 3 = 2", 4 = 3", . . .
Przykład: n + 1 = n".
Przykład: 2 + 2 = 4.
PrzykÅ‚ad: 2 · 2 = 4.
10
Zbiór liczb rzeczywistych można skonstruować na dwa sposoby.
Sposób I. Rozważamy ciągi Cauchy ego liczb wymiernych, czy-
li wszystkie ciągi liczb wymiernych, które okażą się zbieżne w
zbiorze liczb rzeczywistych. Za pomocą relacji równoważności
"sklejamy" ciągi zbieżne do tej samej liczby rzeczywistej.
Sposób II. Przekroje Dedekinda. Rozważamy podziały zbioru
liczb wymiernych na dwa niepuste podzbiory A, B spełniające
warunek
"a"A"b"B a < b.
11
"
Przekrój Dedekinda (A, B) określający liczbę 2:
"
A = Q )" (- ", 2) = {x " Q : x < 0 (" x2 < 2},
"
B = Q )" ( 2, + ") = {x " Q : x > 0 '" x2 > 2}.
Jeśli w jest liczbą wymierną to mamy dwa przekroje:
A1 = {x " Q : x w}, B1 = {x " Q : x > w},
A2 = {x " Q : x < w}, B2 = {x " Q : x w},
które należy utożsamić.
12
Liczby zespolone
13
Definicja: C = R × R = {(a, b); a, b " R}.
Działania w C:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc).
Para (a, 0) odpowiada liczbie rzeczywistej a:
(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0), (a, 0) · (c, 0) = (ac, 0).
PrzyjmujÄ…c i = (0, 1) mamy:
a + bi = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b),
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (-1, 0) = -1.
14
Liczbę zespoloną z można jednoznacznie przedstawić w postaci
z = a + bi,
gdzie a, b " R.
Działania wykonujemy jak na wyrażeniach algebraicznych, pa-
miętając o tym, że
i2 = -1.
15
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
08 konstruktor kopiujacy prezkonstrukcje metalowe 08 062002 08 SzkoÅ‚a konstruktorówid!646Konstrukcje metalowe – koo poprawkowe I (08 09 09) v 21997 08 SzkoÅ‚a konstruktorów2000 08 SzkoÅ‚a konstruktorów2010 08 SzkoÅ‚a konstruktorów klasa III08 Obliczanie obciążeÅ„ konstrukcji budowlanych2000 08 SzkoÅ‚a konstruktorów klasa IIWyklad konstrukcja szczebla 081999 08 SzkoÅ‚a konstruktorów klasa II2003 08 SzkoÅ‚a konstruktorów1996 08 SzkoÅ‚a konstruktorów2003 08 SzkoÅ‚a konstruktorów klasa IIwiÄ™cej podobnych podstron