Wykład 04
Witold Obłoza
22 listopada 2010
Szeregi liczbowe
DEFINICJA 28
Niech bedzie dany ciag {an}" .
n=1
"
Określamy ciag sum cześciowych {Sn}" szeregu an wzorem
n=1
n=1
n
Sn = ak.
k=1
"
Mówimy, że szereg an jest zbieżny, jeżeli jego ciag sum cześciowych
n=1
jest zbieżny do granicy właściwej.
W przeciwnym wypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.
SZEREGI LICZBOWE
PRZYKA
AD 29
"
1
Szereg jest zbieżny.
n(n + 1)
n=1
DOWÓD:
n n
1 1 1
Sn = = ( - ) =
k(k + 1) k k + 1
k=1 k=1
n n n n-1
1 1 1 1 1
- = 1 + - - =
k k + 1 k k + 1 n + 1
k=1 k=1 k=2 k=1
n-1 n-1
1 1 1 1
1 + - - = 1 - - 1
k + 1 k + 1 n + 1 n + 1
k=1 k=1
SZEREGI LICZBOWE
TWIERDZENIE 30
"
Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu an jest to aby
n=l
lim an = 0.
n"
DOWÓD:
"
Jeżeli szereg an jest zbieżny to ciag {Sn}" spełnia warunek
n=1
n=l
Cauchyego czyli "µ > 0 "n0 "n > n0 |an| = |Sn - Sn-1| < µ.
Zatem "µ > 0 "n0 "n > n0 |an| < µ,
a to oznacza, że lim an = 0.
n"
SZEREGI LICZBOWE
UWAGA 31
"
lim an = 0 warunek konieczny zbieżności szeregu an nie jest
n"
n=l
warunkiem wystarczajÄ…cym.
DOWÓD:
"
1
Szereg spełnia warunek lim an = 0, ale nie jest zbieżny.
n"
n
n=l
"
1
Ciąg sum częsciowych szeregu jest ciągiem rosnącym, ma zatem
n
n=l
granicÄ™.
Wystarczy pokazać, ze jest on nieograniczony.
SZEREGI LICZBOWE
Rozważmy podciąg {S2k}" ciągu sum częściowych.
k=1
2k k-1 2l+1
1 1 1
S2k = = 1 + + e"
m 2 m
m=1 l=1
m=2l+1
k-1 2l+1 k-1
1 1 1 1
1 + + = 1 + + 2l =
2 2l+1 2 2l+1
l=1 l=1
m=2l+1
1 1 k + 2
1 + + (k - 1) · = - ".
2 2 2
"
1
Zatem lim Sn = " czyli szereg nie jest zbieżny.
n"
n
n=l
TWIERDZENIE 32
" "
Jeżeli szeregi an, bn są zbieżne i  " R to zbieżny jest
n=1 n=1
" " " "
(an + bn) oraz an. Ponadto jeżeli an = A, bn = B to
n=1 n=1 n=1 n=1
" "
(an + bn) = A + B oraz an = A.
n=1 n=1
DOWÓD:
Wynika to natychmiast z Twierdzenia o granicach sumy i iloczynu ciągów.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 33
"
Szereg geometryczny a · qn-1 jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
n=1
|q| < 1.
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych dla q = 1 ma postać:

1 - qn a a a
Sn = a = · (1 - qn). = - · qn.
1 - q 1 - q 1 - q 1 - q
a
Wyrażenie jest stałe,
1 - q
istnienie granicy właściwej ciągu Sn zależy wyłącznie od zbieżności ciągu
qn.
Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 34
"
Jeżeli "n an e" 0 to warunkiem wystarczajacym zbieżności szeregu an
n=l
jest to, aby ciag {Sn}" był ograniczony z góry.
n=1
DOWÓD:
Ciąg sum częściowych jest niemalejący,
jeżeli jest również ograniczony z góry to ma granicę właściwą
czyli szereg jest zbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 35 ( Kryterium dwa do k-tej )
"
Załóżmy, że "n an > 0 oraz an e" an+1 wówczas szereg an jest
n=1
"
n
zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny szereg 2na2 .
n=1
DOWÓD:
k k
n
Niech Sk = an i Sk = 2na2 .
n=1 n=1
Wystarczy pokazać, że ciagi {Sk}, {Sk} sa równocześnie ograniczone
lub jednocześnie niograniczone.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Mamy:
k-1 2m+1 k-1 2m+1
2 · S2k = 2a1 + 2a2 + 2 an e" 2a2 + 2 a2m+1 =
m=1 n=2m+1 m=1 n=2m+1
k-1
= 2a2 + 2 2ma2m+1 = Sk.
m=1
Z kolei dla n d" 2k - 1 mamy:
k-1 2m+1-1 k-1
m
Sn d" S2k = a1 + an d" a1 + 2ma2 = a1 + Sk-1.
-1
m=1 n=2m m=1
Zatem dwa ciągi {Sn} oraz {Sn} są jednocześnie zbieżne lub
jednocześnie rozbieżne.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 36
"
1
Szereg jest zbieżny dla ą > 1 i rozbieżny dla ą d" 1.
nÄ…
n=1
DOWÓD:
Z kryterium dwa do k-tej wystarczy zbadać zbieżność szeregu
"
2n "
= 2n(1-Ä…).
(2n)Ä… n=1
n=1
Jest to szereg geometryczny o ilorazie 21-Ä….
Zbieżny jest on gdy 21-ą < 1 czyli, gdy ą > 1 zaś dla ą d" 1 jest
rozbieżny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DEFINICJA 37 (Majoranty i minoranty)
Jeżeli istnieje n0 takie, że dla n większych od n0 an e" bn e" 0
" "
to mówimy, że szereg an jest majorantą szeregu bn
n=1 n=1
" "
zaÅ› szereg bn jest minorantÄ… szeregu an.
n=1 n=1
TWIERDZENIE 38 (KLASYCZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
" "
Jeżeli szereg an jest majorantą szeregu bn to
n=1 n=1
ze zbieżności majoranty wynika zbieżnośc minoranty
zaś z rozbieżności minoranty wynika rozbieżność majoranty.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
Dla n e" n0 ciągi sum częściowych obu szeregów są rosnące.
n
Wystarczy pokazać, że z ograniczoności {Sn = ak}" wynika
n=1
k=1
n
ograniczoność {Tn = bk}"
n=1
k=1
n
zaś z nieograniczoności {Tn = bk}" wynika nieograniczoność
n=1
k=1
n
{Sn = ak}" .
n=1
k=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
Dla n e" n0 Sn - Sn e" Tn - Tn .
0 0
n n
(Sn - Sn = an e" bn = Tn - Tn .)
0 0
k=n0+1 k=n0+1
StÄ…d dla n e" n0 mamy
Tn d" Sn + (Tn - Sn ) oraz Sn e" Tn + (Sn - Tn ).
0 0 0 0
Z ograniczoności Sn wynika ograniczoność Tn
oraz z nieograniczoności Tn wynika nieograniczoność Sn.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 39 (GRANICZNE KRYTERIUM PORÓWNAWCZE)
" "
Niech beda dane dwa szeregi an bn takie, że "n an e" 0 oraz
n=1 n=1
an
bn > 0 i niech istnieje granica lim = g " (0, ") wtedy szeregi
n"
bn
" "
an oraz bn sa jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.
n=1 n=1
DOWÓD:
an 3g
Dla n > n0 g d" d" .
2 bn 2
g 3g
Mamy stad bn d" an d" bn.
2 2
" "
g
Jeżeli an jest zbiezny to bn jest zbieżny na mocy klasycznego
2
n=1 n=1
kryterium porównawczego.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
" "
g
bn jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy jest zbieżny bn.
2
n=1 n=1
" "
3g
Jeżeli bn jest zbieżny to jest zbieżny bn
2
n=1 n=1
i na mocy klasycznego kryterium porównawczego zbieżny jest zbiezny
"
an.
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 40 ( KRYTERIUM Cauchy ego)
"
n
Załóżmy, że "n an e" 0 i istnieje granica lim an = g.
n"
"
Jeżeli g < 1 to szereg an jest zbieżny.
n=1
"
Jeżeli g > 1 to szereg an jest rozbieżny.
n=1
"
Jeżeli g = 1 to szereg an może być zbieżny lub rozbiezny.
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
"
1+g
n
Niech g < 1 wówczas "n0 takie, że "n > n0 an < < 1.
2
n
1+g
Stąd "n0 takie, że "n > n0 an d" .
2
"
Oznacza to, że szereg an ma majorantę zbieżną, więc jest zbieżny.
n=1
Dowód dla g > 1 jest analogiczny.
"
1 n 1
Dla szergu zbieżnego lim = 1,
n2 n" n2
n=1
"
1 n 1
ale i dla szeregu rozbieżnego lim = 1.
n n
n"
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 41(KRYTERIUM d Alemberta)
"
Niech bedzie dany szereg an taki, że "n an > 0 i niech istnieje
n=1
"
an+1
granica lim = g. Jeżeli q < 1 to szereg an jest zbieżny,
n"
an
n=1
"
a gdy q > 1 to szereg an jest rozbieżny.
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
an+1 1+g
Niech g > 1 wówczas "n0 takie, że "n > n0 > > 1.
an 2
1+g
0-1
Zatem "n > n0 an e" · an-n ,
n0+1
2
"
Szereg an ma minorantę rozbieżną
n=1
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
"
an+1
1
Dla szergu zbieżnego lim == 1,
n2 n"
an
n=1
"
an+1
1
ale i dla szeregu rozbieżnego lim = 1.
n
n"
an
n=1


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2010 11 WIL Wyklad 01
2010 11 WIL Wyklad 08
2010 11 WIL Wyklad 02
2010 11 04 WIL Wyklad 04id 174
2010 11 06 WIL Wyklad 06
2010 11 07 WIL Wyklad 07
2010 11 08 WIL Wyklad 08id 175
2010 11 05 WIL Wyklad 05
Analiza Wykład 5 (04 11 10) ogarnijtemat com
2011 04 04 WIL Wyklad 26
Materiały do wykładu 6 (04 11 2011)
2011 02 21 WIL Wyklad 19id 523
Kolokwium 1 2010 11
wyklad 04
wyklad 04
Podstawy Systemów Okrętowych wykład 04 Przeciw Pożarnicze
E2G 2010 11 zad 3

więcej podobnych podstron