Wydział WiLiŚ, Budownictwo, sem.2
dr Jolanta Dymkowska
Funkcje wielu zmiennych - dziedzina, wykres, granice i ciągłość funkcji
Zad.1 Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji:
"
1.1 f(x, y) = x + 1 + y 1.2 f(x, y) = ln(y2 - 4x + 8)
y-1
1.3 f(x, y) = arcsin 1.4 f(x, y) = arctg (x - ln y)
x
"
x
1.5 f(x, y) = 9 - x2 + 4 - y2 1.6 f(x, y) = arcsin + arccos (1 - y)
y2
x2+y2-x
1.7 f(x, y) = ( x2 + y2 - 1 )( 4 - x2 - y2 ) 1.8 f(x, y) =
2x-x2-y2
1
"
1.9 f(x, y) = ln |xy| 1.10 f(x, y) = + ln(3 - |y|)
x2-4x+y2
"
y2+z2
1.11 f(x, y, z) = 1 - x2 - y2 - z2 1.12 f(x, y, z) = arcsin
x
2
"
1.13 f(x, y, z) = ln x + ln y + 1 - |z| 1.14 f(x, y, z) = ln(z2 - x2 - y2) +
|z|-1
Zad.2 Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji oraz narysować wykres funkcji:
2.1 f(x, y) = 9 - 4x2 - y2 2.2 f(x, y) = 8 + x2 + y2
2.3 f(x, y) = y2 - 1 2.4 f(x, y) = 1 - y2
Zad.3 Obliczyć granice:
sin xy tg xy3
3.1 lim 3.2 lim
2x y3
(x,y)(0,3) (x,y)(2,0)
x3+3y3 x3+sin 2xy
"
3.3 lim 3.4 lim
x
x3+3y3+1-1
(x,y)(0,0) (x,y)(0,0)
1-cos xy
1
3.5 lim 3.6 lim (x2 + y2) sin
x2y2 xy
(x,y)(0,0) (x,y)(0,0)
2
x3-y3
x2+y2
3.7 lim 3.8 lim (1 + x2 + y2)
y-x
(x,y)(1,1) (x,y)(0,0)
Zad.4 Zbadać istnienie granic:
3xy
x
4.1 lim 4.2 lim
2x+y x2+y2
(x,y)(0,0) (x,y)(0,0)
x4 xy2
4.3 lim 4.4 lim
y2-1 2x2+y4
(x,y)(0,1) (x,y)(0,0)
Zad.5 Zbadać ciągłość funkcji:
Å„Å‚ Å„Å‚
sin 2xy
òÅ‚ òÅ‚
5 - x - y (x, y) = (1, 2) x = 0, y " R
x
5.1 f(x, y) = 5.2 f(x, y) =
ół ół
1 (x, y) = (1, 2) 1 x = 0, y " R
Å„Å‚ Å„Å‚
y2
x4-y4
òÅ‚ òÅ‚
"
(x, y) = (0, 0)
(x, y) = (0, 0)
x4+y4
x2+y2
5.3 f(x, y) = 5.4 f(x, y) =
ół ół
0 (x, y) = (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
Å„Å‚ Å„Å‚
òÅ‚ òÅ‚
1 - x2 + y2 x2 + y2 < 1 x + y x > 0, y " R
5.5 f(x, y) = 5.6 f(x, y) =
ół ół
x2 + y2 - 1 x2 + y2 1 x2 + y2 x 0, y " R
Zad.6 Wykazać, że funkcja
Å„Å‚
òÅ‚ xy 2
(x, y) = (0, 0)
x2+y4
f(x, y) =
ół
0 (x, y) = (0, 0)
jest nieciągła w punkcie (0, 0).
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
fwzm ciagl (2)fwzm Taylorwięcej podobnych podstron