Egzamin z Algebry, 5 2013 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
Nr Zadanie Odp.
"
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
1 Obliczyć sumę z1 + z2 , jeżeli z1 = 2(cos + i sin ) , z2 = cos + i sin 1 + 2i
4 4 2 2
RozwiÄ…zanie:
z1 = 1 + i
z2 = i
z1 + z2 = 1 + 2i
2 Obliczyć wyznacznik macierzy C = AB , jeżeli 720
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 -8 4 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = 0 2 13 , B = 17 5 0 ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
0 0 3 -11 -4 6
RozwiÄ…zanie:
|C| = |AB| = |A| · |B|
|A| = 1 · 2 · 3 = 6 wyznacznik macierzy trójkÄ…tnej
|B| = 4 · 5 · 6 = 120 wyznacznik macierzy trójkÄ…tnej
|C| = 6 · 120 = 720
Å„Å‚
ôÅ‚ -1 + 2s - t
x =
òÅ‚
3 Wyznaczyć punkt przecięcia płaszczyzny Ą : y = 1 - s s, t " R (2, 0, 0)
ôÅ‚
ół
z = s + t
z osiÄ… Ox .
RozwiÄ…zanie:
y = 0 1 - s = 0 s = 1
=Ò! =Ò! =Ò! x = 2
z = 0 s + t = 0 t = -1
"
4 Obliczyć odległość środka elipsy: 4x2 + 9y2 - 8x - 36y + 4 = 0 od początku 5
układu współrzędnych.
RozwiÄ…zanie:
4(x2 - 2x) + 9(y2 - 4y) + 4 = 0
4(x - 1)2 + 9(y - 2)2 = 36
(x - 1)2 (y - 2)2
+ = 1
9 4
środek 2)
"elipsy S(1,"
0S = 12 + 22 = 5
Ä…1
" -1, -1]
5 Wyznaczyć wersory prostopadłe do pary wektorów u = [1, 1, 0] oraz [1,
3
v = [1, 0, 1]
RozwiÄ…zanie:
i j k
w = u × v = 1 1 0 = [1, -1, -1]
1 0 1
"
|w| = 3
1
2. Rozwiązać równanie z3 - iz2 - 2iz - 2 = 0 . (Wskazówka: jednym z pierwiastków jest
z1 = i )
RozwiÄ…zanie:
Dzielimy wielomian W (z) = z3 - iz2 - 2iz - 2 przez wielomian z - i
W (z) = (z - i)(z2 - 2i)
Rozwiązujemy równanie:
"
z2 - 2i = 0 =Ò! z2 = 2i =Ò! z = 2i
Ä„ Ä„
2i = 2(cos + i sin ) postać trygonometryczna
2 2
Ä„ Ä„
"
+ 2kĄ + 2kĄ
2 2
zk = 2 cos + i sin , k = 0, 1
2 2
" "
" "
Ä„ Ä„ 2 2
z0 = 2(cos + i sin ) = 2( + i ) = 1 + i
4 4 2 2
" "
" "
5Ä„ 5Ä„ 2 2
z1 = 2(cos + i sin ) = 2(- - i ) = -1 - i
4 4 2 2
Odpowiedz:
z1 = i , z2 = 1 + i , z3 = -1 - i
2
3. Rozwiązać nierówność:
2 2 2 2 2
1 2 1 x 2
3 3 x -1 0 > 0
x x x x2 0
2 2 2 4 2
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy wyznacznik macierzy A
2 2 2 2 2 0 2 2 2 2
1 2 1 x 2 0 2 1 x 2
{k1 = k1 - k3} {Rozw. Laplace a wzgl. k1}
|A| = 3 3 x -1 0 3 - x 3 x -1 0
= =
x x x x2 0 0 x x x2 0
2 2 2 4 2 0 2 2 4 2
2 2 2 2 0 2 2 2
2 1 x 2 {k1 = k1 - k4} 0 1 x 2 {Rozw. Laplace a wzgl. k1}
(3-x)·(-1)4 (3-x)·
x x x2 0 = x x x2 0 =
2 2 4 2 0 2 4 2
2 2 2 0 2 2
{k1 = k1 - k3} {Rozw. Laplace a wzgl. k1}
(3-x)x·(-1)4 1 x 2 (3-x)x -1 x 2
= =
2 4 2 0 4 2
2 2
(3 - x)x(-1)(-1)3 = -4(3 - x)x
4 2
Rozwiązujemy nierówność
-4(3 - x)x > 0
x(x - 3) > 0
x " (- ", 0) *" (3, ")
Odpowiedz:
x " (- ", 0) *" (3, ")
3
4. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (-3, 2, 1) i zawierającej
prostÄ…
x - y + z - 2 = 0
l :
x + 2y + 3z + 8 = 0
RozwiÄ…zanie:
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą l (pęk płaszczyzn):
Ä„ : Ä…(x - y + z - 2) + ²(x + 2y + 3z + 8) = 0
Ä…(-3 - 2 + 1 - 2) + ²(-3 + 4 + 3 + 8) = 0 P " Ä„
-6Ä… + 12² = 0
Ä… = 2²
Wybieramy dowolnÄ… niezerowÄ… wartość np. ² = 1 , wtedy mamy Ä… = 2.
2(x - y + z - 2) + (x + 2y + 3z + 8) = 0
3x + 5z + 4 = 0
Odpowiedz:
Równanie płaszczyzny Ą : 3x + 5z + 4 = 0
4
5. Przez punkt P (1, 2, 1) poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do rzutu prostej
x - 1 y - 3 z
l : = = na płaszczyznę Ą : x + y + z + 1 = 0
2 -1 3
RozwiÄ…zanie:
-
v = [2, -1, 3] wektor kierunkowy prostej l
-
n = [1, 1, 1] wektor normalny płaszczyzny Ą
Oznaczmy l - rzut prostej l na płaszczyznę Ą.
- - -
Wektor w = n × v jest prostopadÅ‚y do prostej l i równolegÅ‚y do pÅ‚aszczyzny Ä„.
Jest więc również prostopadły do prostej l .
- - -
Wektor v = n × w jest wiÄ™c wektorem kierunkowym prostej l i jednoczeÅ›nie wek-
torem normalnym szukanej płaszczyzny Ą1.
Obliczamy
i j k
-
w = 1 1 1 = [4, -1, -3]
2 -1 3
i j k
-
v = 1 1 1 = [-2, 7, -5]
4 -1 -3
Ä„1 : -2x + 7y - 5z + D = 0
P " Ä„1 =Ò! -2 + 14 - 5 + D = 0 =Ò! D = -7
Ä„1 : -2x + 7y - 5z - 7 = 0
Odpowiedz:
Równanie szukanej płaszczyzny
Ä„1 : -2x + 7y - 5z - 7 = 0
5
6. Wyznaczyć współrzędne punktu styczności płaszczyzny 2x - 6y + 3z - 49 = 0 i sfery
x2 + y2 + z2 = 49 .
RozwiÄ…zanie:
Åšrodek sfery jest w punkcie O(0, 0, 0) .
-
Wektor normalny płaszczyzny: n = [2, -6, 3]
Prosta l przechodząca przez środek sfery i prostopadła do płaszczyzny ma równanie
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 2t
òÅ‚
l : y = -6t
ôÅ‚
ół
z = 3t
Szukany punkt styczności P jest punktem przecięcia prostej l i płaszczyzny.
4t + 36t + 9t - 49 = 0
t = 1
P (2, -6, 3)
Uwaga. Należy jeszcze sprawdzić, czy dana płaszczyzna jest rzeczywiście styczna do
sfery.
"
Promień sfery R = 49 = 7
|2 · 0 - 6 · 0 + 3 · 0 - 49|
Odległość środka sfery od płaszczyzny: d = = 7
22 + (-6)2 + 32
Ponieważ d = R więc płaszczyzna jest styczna do sfery.
Odpowiedz:
Szukany punkt styczności: P (2, -6, 3)
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SIMR ALG1 EGZ 2013 02 05a rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2013 02 11b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 11b rozwSIMR ALG1 EGZ 2013 02 11a rozw 1SIMR AN1 EGZ 2013 02 04b rozwSIMR ALG1 EGZ 2008 02 07a rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 10b rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 12b rozwSIMR ALG1 EGZ 2014 02 07a rozw 1SIMR ALG1 EGZ 2012 02 03b rozwSIMR ALG1 EGZ 2007 02 08b rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 10a rozwSIMR ALG1 EGZ 2012 02 03a rozwSIMR ALG1 EGZ 2014 02 07b rozw 1SIMR AN1 EGZ 2013 02 12a rozwSIMR AN1 EGZ 2013 02 04a rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 02 08a rozwSIMR MAT1 EGZ 2006 02 01b rozwSIMR AN1 EGZ 2013 09 05 rozwwięcej podobnych podstron