Przykładowe zadania na zaliczenie matematyki z semestru 1 z rozwiązaniami
1-3n-8n2
1. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an=
(2n-1)2
2
1 1 3
1-3n-8n2 1-3n-8n2 -3n-8n - -8 -8
n2 n2 n2 n2 n
Rozwiązanie: lim =lim =lim =lim = =-2
4 1
4n2 1
n " n " n "
4- + 4
(2n-1)2 n " 4n2-4n+1 -4n+
n n2
n2 n2 n2
Komentarz: z uwagi na postać wyrazu ogólnego ciągu (ułamek) dzielimy każdy wyraz licznika i mianownika
1
przez n w najwyższej potędze w mianowniku. Dalej korzystamy z wzoru, że lim =0
n "
an
(1-3n)(4n-5n2 )
2. Oblicz granicę ciągu an=
(2n-3)2
4n 17n2 15n3
- +
4n - 5n2 -12n2 +15n3 4n -17n2 +15n3
n2 n2 n2
lim = lim = lim =
4n2 12n 9
n " n " n "
4n2 -12n + 9 4n2 -12n + 9
- +
n2 n2 n2
Rozwiązanie:
4
-17 +15n
0 -17 + "
n
= lim = = + "
12 9
n " - + 4 - 0 + 0
4
n
n2
Komentarz: postępujemy tak jak w zadaniu 1. Można było także zauważyć, że n w liczniku jest w wyższej potędze
niż w mianowniku, stąd granicą jest nieskończoność z odpowiednim znakiem wynikającym ze znaku licznika i
mianownika.
3x
3. Oblicz granice funkcji f (x)= w punkcie x0=2
x-2
Rozwiązanie: Punkt x0=2 nie należy do dziedziny funkcji (mianownik jest zerowy), tym samym wyznaczamy
granice jednostronne.
3x "6" 3x "6"
lim = = - " lim = = + "
x2- x - 2 x2+ x - 2
"0-" "0+"
"6"
Zapis czytamy prawie 6 w liczniku i prawie zero w mianowniku, ale ze znakiem minus . Wartością
"0-"
ułamka, gdzie w liczniku jest liczba różna od zera, a mianownik bliski zera jest zawsze nieskończoność z
odpowiednim znakiem.
x2
4. Wyznacz dziedzinę funkcji f (x)= i jej granice na krańcach dziedziny
x+3
Rozwiązanie: dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby 3 (bo mianownik nie może
być równy zero). Można to zapisać tak:
D : x " R -{-} lub D : x "{(- "; - 3) *" (-3;+ ")}
3
Wyznaczamy teraz granice na krańcach dziedziny, przy czym granice w plus (minus) nieskończoności
wyznaczymy zgodnie z komentarzem do zadania 2.
x2 x2
lim = - " lim = + "
x- " x+ "
x + 3 x + 3
Granice jednostronne w punkcie 3 wyznaczamy zgodnie z rozwiązaniem zadania 3.
x2 "9" x2 "9"
lim = = - " lim = = + "
x-3- x + 3 x-3+ x + 3
"0-" "0+"
3x
5. Czy funkcja f (x)= ma asymptotę poziomą? Jeżeli tak, to proszę podać jej równanie.
x-2
Rozwiązanie: łatwo zauważyć, że granice tej funkcji w minus i plus nieskończoności są równe 3, tym samym
prosta y=3 jest asymptotą poziomą tej funkcji.
3x
3x 3 3
x
lim = lim = lim = =3
x
xą " xą " -2 1-2 1
xą "
x-2
x x x
Inna metoda, to pełne badanie czy istnieje asymptota ukośna y=ax+b (pozioma to szczególny przypadek
ukośnej, gdy parametr a=0 ):
3x
3x 3
f (x) 3x 3x 0
x-2 x2 x
a= lim lim = lim = lim = lim = lim = =0
x2
xą " xą " xą " xą " xą "
x x x(x-2)
x2-2x -2x xą " 1-2 1-0
x
x2 x2
ł 3x 3x
b = lim[f (x) - ax]= lim - 0 " xłł = lim = 3
ł śł
x!ą " x!ą " - 2 x
x!ą " - 2
x
ł ł
3x
Ostatecznie prosta y = 0 " x + 3 = 3 jest asymptotą (poziomą) funkcji f (x)=
x-2
x2
6. Czy funkcja f (x)= posiada asymptotę ukośną? Jeżeli tak, to podaj jej równanie.
x+3
Rozwiązanie: znajdujemy granice na parametr a i b zgodnie z komentarzem do zadania 5. Jeżeli będą to granice
skończone, to istnieje asymptota ukośna o równaniu y=ax+b
x2
x2
f (x) x2 x2 1 1
x+3 x2
a= lim lim = lim = lim = lim = lim = =1
x2 xą "
xą " xą " xą " xą " xą "
x x x(x+3)
x2+3x
+3x 1-3 1-0
x
x2 x2
ł
x2 łł x2 - x(x + 3) x2 - x2 - 3x - 3x
b = lim[f (x) - ax]= lim -1" xśł = lim = lim = lim = -3
ł
x!ą " x!ą " x!ą " x!ą " x!ą "
x + 3 x + 3 x + 3 x + 3
ł śł
ł ł
Obie granice są skończone, w takim razie prosta y=x-3 jest asymptotą poziomą tej funkcji.
2
7. Oblicz pochodną funkcji f (x)=ex +5x-6
2
Rozwiązanie: funkcja f (x)=ex +5x-6 jest złożeniem dwóch funkcji:
ńł
ez
ł
f (x) =
ł
ł
z = x2 + 5x - 6
ół
Zgodnie z zasadą wyznaczania pochodnej funkcji złożonej (pochodna funkcji zewnętrznej razy pochodna funkcji
wewnętrznej) mamy:
'
2 2 2
' '
f '(x)(ex +5x-6)=(ez)"(x2 + 5x -)= ez " (2x + 5) = ex +5x-6 " (2x + 5) = (2x + 5)ex +5x-6
= 6
8. Oblicz pochodną funkcji f (x)= cos4 x
Rozwiązanie: funkcja f (x)= cos4 x jest potrójnie złożona
ńł
z
ł
f (x) = = u4
łz
łu = cos x
ół
Zgodnie z zasadą wyznaczania pochodnej funkcji złożonej (pochodna funkcji zewnętrznej razy pochodna funkcji
wewnętrznej) mamy:
' '
1 -4sin x"cos3 x
f '(x)=ł cos4 xł'=(z)"(u4)"(cos x)'= "4u3"(-sin x)=
ł ł
ł łł
2 z
2 cos4 x
ln(2x+5)
9. Oblicz pochodną funkcji f (x)=
x+3
Rozwiązanie: korzystamy z wzoru na pochodną ilorazu dwóch funkcji:
( 2
(ln(2x + 5))' " (x + 3) - ln(2x + 5) " (x + 3)' 1 ")" (x + 3) - ln(2x + 5) 2x+6 - ln(2x + 5)
2x+5 2x+5
f '(x) = = = =
(x + 3)2 (x + 3)2 (x + 3)2
2x + 6 - (2x + 5) ln(2x + 5)
=
(2x + 5)(x + 3)2
Przy wyznaczaniu pochodnej funkcji licznika musieliśmy skorzystać z wzoru na pochodną funkcji złożonej.
10. Proszę naszkicować wykres funkcji f (x) , o której mamy następujące informacje:
D: x " R -{2} f (x) = 0 ! x = 0
lim f (x)=3 lim f (x) = - " lim f (x) = + "
xą "
x2- x2+
Z treści pytanie wiemy, że prosta x = 2 jest asymptotą pionową, a z granic jednostronnych w tym punkcie
znamy zachowanie funkcji po obu stronach asymptoty. Wiemy także, że w punkcie x = 0 wykres funkcji
przecina oś x-ów (miejsce zerowe).
Z zapisu lim f (x)=3 wynika, że prosta y=3 jest asymptotą poziomą (zobacz zadanie 5). To są
xą "
wystarczające informacje dla naszkicowania wykresu tej funkcji.
x2
11. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f (x)=
x+3
Rozwiązanie: zaczynamy od wyznaczenia pochodnej naszej funkcji:
2x " (x + 3) - x2 "1 2x2 + 6x - x2 x2 + 6x x(x + 6)
f '(x) = = = =
(x + 3)2 (x + 3)2 (x + 3)2 (x + 3)2
Badamy, kiedy pochodna jest większa od zera, a kiedy mniejsza od zera.
f '(x) > 0 ! x(x + 6) > 0 ! x < -6 lub x > 0
f '(x) < 0 ! x(x + 6) < 0 ! -6 < x < 0
Przy rozwiązywaniu tych dwóch nierówności korzystamy z wykresu funkcji kwadratowej o miejscach zerowych
6 i 0 oraz gałęziach paraboli skierowanych do góry.
x2
Ostatecznie funkcja f (x)= jest rosnąca dla x<-6 lub x>0 , a malejącą dla x "{(-6,-3) *" (-3,0}) . Z
x+3
uwagi na dziedzinę funkcji musieliśmy przedział -6 < x < 0 przekształcić na sumę dwóch przedziałów.
12. W wyniku prowadzonego badania przebiegu zmienności funkcji uzyskano następującą tabelkę:
x - " ... -1 ... 0 ... 1 ... + "
- - 0 - -
f '(x)
- + 0 - +
f ''(x)
0 Nie + " Nie + "
f (x)
istnieje 0 istnieje 0
- " - "
Proszę naszkicować wykres tej funkcji.
Analizując informacje zawarte w podanej tabeli widzimy, że badana funkcja ma asymptoty pionowe w punktach
x=-1 oraz x=1 . Widzimy także, że w punkcie x = 0 wartość funkcji jest zerowa.
Widzimy także, że granice tej funkcji w minus (plus) nieskończoności są skończone i równe 0, co jak wiemy
oznacza, że funkcja posiada asymptotę poziomą o równaniu y=0 (zobacz zadanie 5).
Z analizy pierwszej pochodnej wynika, że w całej dziedzinie badana funkcja maleje (pierwsza pochodna
ujemna), z uwagi na różny znak drugiej pochodnej funkcja będzie miała albo kształt wypukły, albo wklęsły.
Słownie jej przebieg można opisać następującą (wartości x-ów rosną od minus do plus nieskończoności):
Wartości funkcji maleją od prawie zera do minus nieskończoności po lewej stronie asymptoty x=-1, przy czym
wykres funkcji jest wypukły (druga pochodna ujemna). Po drugiej stronie asymptoty funkcja maleje od plus
nieskończoności do zera, którą przyjmuje w x = 0 , po przekroczeniu zera dalej maleje aż do minus
nieskończoności po lewej stronie asymptoty x=1 . W przedziale (-1; 1) funkcja najpierw ma kształt wklęsły, a
pózniej wypukły (druga pochodna jest dodatnia dla x " (-1; 0) - kształt wklęsły i ujemna dla x"(0; 1) - kształt
wypukły. Po drugiej stronie asymptoty x=1 funkcja maleje od plus nieskończoności do zera kształtem wklęsłym.
Niezdarny szkic wykresu pokazany jest niżej.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
1696 przykladowe zadania na,rok 12przykladowe zadania na kolokwium nr 1? di 09Przyklad I zadania na kolokwiumPrzykładowe zadania na I kolokwiumzadania na zaliczenie 1zadania na zaliczenieUKŁADY PRZESTRZENNE PRZYKŁADOWE ZADANIA NA KOLOKWIUMPrzykladowe zadania na kolosa listopad 2010zadanie na zaliczenie przedmiotuWytrzymałość materiałów przykładowe zadania na kolokwium3zadania na zaliczenie 2Przykładowe zadania na egzamin 2015na egzamin przykladowe zadaniawięcej podobnych podstron