Kolokwium I rok 2008/2009
rð
Zadanie 1: Zbadać, czy pole wektorowe F = [ 2xze2 y +ð sin z;2x2ze2 y ; x2e2 y +ð xcos z +ð 3z2 ] speÅ‚nia warunek
wystarczający istnienia potencjału i wyznaczyć ten potencjał.
RozwiÄ…zanie:
rð rð
Warunek konieczny do istnienia potencjału pola wektorowego F : Jeżeli pole wektorowe F jest potencjalne w całej
rð rð
swojej dziedzinie D , to rotF(x, y, z) =ð 0dla każdego (x, y, z) Îð D .
1) Sprawdzamy warunek konieczny istnienia potencjału pola wektorowego.
rð
F =ð[ 2xze2 y +ð sin z;2x2ze2 y ; x2e2 y +ð xcos z +ð 3z2 ]
rð
rð rð
i j k
rð
Å›ð Å›ð Å›ð
rotF =ð =
Å›ðx Å›ðy Å›ðz
2xze2 y +ð sin z 2x2 ze2 y x2e2 y +ð x cos z +ð 3z2
rð
= [ 2x2e2 y -ð 2x2e2 y ; cos z +ð 2xe2 y -ð ( cos z +ð 2xe2 y ) ; 4xze2 y -ð 4xze2 y ] = [ 0;0;0 ] = 0 .
rð rð rð
Zatem rotF(x, y, z) =ð 0 oraz D =ð R3 - stÄ…d F jest polem potencjalnym.
2) Wyznaczamy potencjaÅ‚ f (x, y, z) taki, że grad f =ð [ fx , f , fz ] , gdzie P =ð fx;Q =ð f ; R =ð fz .
y y
2 y y
fx =ð 2xze2 y +ð sin z Þð f (x, y, z) =ð
òð(2xze +ð sin z)dx =ð x2e2 z +ð xsin z +ð C(y, z)
Obustronnie liczymy pochodnÄ… po y i otrzymujemy :
f =ð 2x2ze2 y +ð Cy (y, z) =ð Q =ð 2x2ze2 y Þð Cy (y, z) =ð 0
y
CaÅ‚kujÄ…c obustronnie po y : C(y, z) =ð 0 +ð D(z)
f (x, y, z) =ð x2e2 y z +ð xsin z +ð D(z)
liczymy pochodnÄ… po z :
fz =ð x2e2 y +ð cos z +ð D'(z) =ð R =ð x2e2 y +ð xcos z +ð 3z2 Þð D'(z) =ð 3z2
CaÅ‚kujÄ…c otrzymamy: D(z) =ð z3 +ð A
rð
PotencjaÅ‚ pola wektorowego F to: f (x, y, z) =ð x2e2 y z +ð xsin z +ð z3 +ð A.
rð
3) SprawdzajÄ…c poprawność rozwiÄ…zania liczymy czy : grad f =ð F .
rð
grad f = [ 2xze2 y +ð sin z;2x2ze2 y ; x2e2 y +ð xcos z +ð 3z2 ]= F
rð
Odpowiedz
: PotencjaÅ‚ pola wektorowego F = [ 2xze2 y +ð sin z;2x2ze2 y ; x2e2 y +ð xcos z +ð 3z2 ]
jest równy: f (x, y, z) =ð x2e2 y z +ð xsin z +ð z3 +ð A, gdzie A jest dowolnÄ… staÅ‚Ä….
Autor: Dagmara Klos grupa 2
15.10.2013


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
K1 08 09 zad3 rozwiazanie MagdalenaC gr2
K1 08 09 zad4 rozwiazanie EwaK gr2
K1 08 09 zad5 rozwiazanie AnnaB gr2 pdf
K1 07 08 zad1 rozwiazanie AnnaB gr2(1)
K1 07 08 zad3 rozwiazanie?gmaraK gr2 (2)
08 09
AOS załącznik nr 4 chemioterapia 28 08 09
08 09? I
pdm? 2016 08 09
Konstrukcje metalowe – koo poprawkowe I (08 09 09) v 2
wilson 08 09 2009
rf temat 1 08 09
III WL harmonogram 08 09

więcej podobnych podstron