Wykład 24
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
FUNKCJA UWIKA
ANA
TWIERDZENIE 356
Niech dana bedzie funkcja F : D - R, gdzie D ‚" R2 majaca ciagÅ‚e
pochodne czastkowe pierwszego rzedu.
"F
Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz (x0, y0) = 0 to istnieje U otoczenie punktu

"y
x0 i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że "a " U istnieje dokładnie
jedno b " V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U - V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodna
Fx
y = - .
Fy
FUNKCJA UWIKA
ANA
TWIERDZENIE 356
Niech dana bedzie funkcja F : D - R, gdzie D ‚" R2 majaca ciagÅ‚e
pochodne czastkowe pierwszego rzedu.
"F
Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz (x0, y0) = 0 to istnieje U otoczenie punktu

"y
x0 i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że "a " U istnieje dokładnie
jedno b " V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U - V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodna
Fx
y = - .
Fy
FUNKCJA UWIKA
ANA
TWIERDZENIE 356
Niech dana bedzie funkcja F : D - R, gdzie D ‚" R2 majaca ciagÅ‚e
pochodne czastkowe pierwszego rzedu.
"F
Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz (x0, y0) = 0 to istnieje U otoczenie punktu

"y
x0 i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że "a " U istnieje dokładnie
jedno b " V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U - V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma pochodna
Fx
y = - .
Fy
FUNKCJA UWIKA
ANA
DOWÓD:
"F
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla (x0, y0) > 0.
"y
"F "F
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci istnieje ´ > 0 taka, że (x, y) > 0 dla
"y "y
x " (x0 - 2´, x0 + 2´) y " (y0 - 2´, y0 + 2´).
Funkcja y - F (x0, y) jest rosnÄ…ca w (y0 - 2´, y0 + 2´).
Mamy zatem F (x0, y0 - ´) < 0 i F (x0, y0 + ´) > 0.
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci F istnieje ´1 " (0, ´) taka, że dla x " (x0 - ´1, x0 + ´1)
mamy F (x, y0 - ´) < 0, F (x, y0 + ´) > 0.
Zatem "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) funkcja y - F (a, y) jest rosnÄ…ca w
[y0 - ´, y0 + ´].
Mamy wiÄ™c "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) istnieje dokÅ‚adnie jedno
b " (y0 - ´, y0 + ´) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKA
ANA
DOWÓD:
"F
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla (x0, y0) > 0.
"y
"F "F
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci istnieje ´ > 0 taka, że (x, y) > 0 dla
"y "y
x " (x0 - 2´, x0 + 2´) y " (y0 - 2´, y0 + 2´).
Funkcja y - F (x0, y) jest rosnÄ…ca w (y0 - 2´, y0 + 2´).
Mamy zatem F (x0, y0 - ´) < 0 i F (x0, y0 + ´) > 0.
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci F istnieje ´1 " (0, ´) taka, że dla x " (x0 - ´1, x0 + ´1)
mamy F (x, y0 - ´) < 0, F (x, y0 + ´) > 0.
Zatem "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) funkcja y - F (a, y) jest rosnÄ…ca w
[y0 - ´, y0 + ´].
Mamy wiÄ™c "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) istnieje dokÅ‚adnie jedno
b " (y0 - ´, y0 + ´) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKA
ANA
DOWÓD:
"F
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla (x0, y0) > 0.
"y
"F "F
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci istnieje ´ > 0 taka, że (x, y) > 0 dla
"y "y
x " (x0 - 2´, x0 + 2´) y " (y0 - 2´, y0 + 2´).
Funkcja y - F (x0, y) jest rosnÄ…ca w (y0 - 2´, y0 + 2´).
Mamy zatem F (x0, y0 - ´) < 0 i F (x0, y0 + ´) > 0.
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci F istnieje ´1 " (0, ´) taka, że dla x " (x0 - ´1, x0 + ´1)
mamy F (x, y0 - ´) < 0, F (x, y0 + ´) > 0.
Zatem "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) funkcja y - F (a, y) jest rosnÄ…ca w
[y0 - ´, y0 + ´].
Mamy wiÄ™c "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) istnieje dokÅ‚adnie jedno
b " (y0 - ´, y0 + ´) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKA
ANA
DOWÓD:
"F
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla (x0, y0) > 0.
"y
"F "F
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci istnieje ´ > 0 taka, że (x, y) > 0 dla
"y "y
x " (x0 - 2´, x0 + 2´) y " (y0 - 2´, y0 + 2´).
Funkcja y - F (x0, y) jest rosnÄ…ca w (y0 - 2´, y0 + 2´).
Mamy zatem F (x0, y0 - ´) < 0 i F (x0, y0 + ´) > 0.
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci F istnieje ´1 " (0, ´) taka, że dla x " (x0 - ´1, x0 + ´1)
mamy F (x, y0 - ´) < 0, F (x, y0 + ´) > 0.
Zatem "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) funkcja y - F (a, y) jest rosnÄ…ca w
[y0 - ´, y0 + ´].
Mamy wiÄ™c "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) istnieje dokÅ‚adnie jedno
b " (y0 - ´, y0 + ´) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKA
ANA
DOWÓD:
"F
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla (x0, y0) > 0.
"y
"F "F
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci istnieje ´ > 0 taka, że (x, y) > 0 dla
"y "y
x " (x0 - 2´, x0 + 2´) y " (y0 - 2´, y0 + 2´).
Funkcja y - F (x0, y) jest rosnÄ…ca w (y0 - 2´, y0 + 2´).
Mamy zatem F (x0, y0 - ´) < 0 i F (x0, y0 + ´) > 0.
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci F istnieje ´1 " (0, ´) taka, że dla x " (x0 - ´1, x0 + ´1)
mamy F (x, y0 - ´) < 0, F (x, y0 + ´) > 0.
Zatem "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) funkcja y - F (a, y) jest rosnÄ…ca w
[y0 - ´, y0 + ´].
Mamy wiÄ™c "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) istnieje dokÅ‚adnie jedno
b " (y0 - ´, y0 + ´) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKA
ANA
DOWÓD:
"F
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla (x0, y0) > 0.
"y
"F "F
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci istnieje ´ > 0 taka, że (x, y) > 0 dla
"y "y
x " (x0 - 2´, x0 + 2´) y " (y0 - 2´, y0 + 2´).
Funkcja y - F (x0, y) jest rosnÄ…ca w (y0 - 2´, y0 + 2´).
Mamy zatem F (x0, y0 - ´) < 0 i F (x0, y0 + ´) > 0.
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci F istnieje ´1 " (0, ´) taka, że dla x " (x0 - ´1, x0 + ´1)
mamy F (x, y0 - ´) < 0, F (x, y0 + ´) > 0.
Zatem "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) funkcja y - F (a, y) jest rosnÄ…ca w
[y0 - ´, y0 + ´].
Mamy wiÄ™c "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) istnieje dokÅ‚adnie jedno
b " (y0 - ´, y0 + ´) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKA
ANA
DOWÓD:
"F
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że dla (x0, y0) > 0.
"y
"F "F
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci istnieje ´ > 0 taka, że (x, y) > 0 dla
"y "y
x " (x0 - 2´, x0 + 2´) y " (y0 - 2´, y0 + 2´).
Funkcja y - F (x0, y) jest rosnÄ…ca w (y0 - 2´, y0 + 2´).
Mamy zatem F (x0, y0 - ´) < 0 i F (x0, y0 + ´) > 0.
Z ciÄ…gÅ‚oÅ›ci F istnieje ´1 " (0, ´) taka, że dla x " (x0 - ´1, x0 + ´1)
mamy F (x, y0 - ´) < 0, F (x, y0 + ´) > 0.
Zatem "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) funkcja y - F (a, y) jest rosnÄ…ca w
[y0 - ´, y0 + ´].
Mamy wiÄ™c "a " (x0 - ´1, x0 + ´1) istnieje dokÅ‚adnie jedno
b " (y0 - ´, y0 + ´) takie, że F (a, b) = 0.
FUNKCJA UWIKA
ANA
Dla wybranego ´ > 0 możemy wybrać ´1 > 0 takie, że dla
"x " (x0 - ´1, x0 + ´1) mamy |y(x) - y0| < ´ czyli y jest ciÄ…gÅ‚a w x0.
0 = F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y(x0 + h)) + F (x0, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
= Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))h+
+Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))(y(x0 + h) - y(x0)).
Mamy stÄ…d
y(x0 + h) - y(x0) Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))
= - .
h Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))
Z ciągłości Fx, Fy, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
Fx(x0, y0)
y (x0) = .
Fy(x0, y0)
FUNKCJA UWIKA
ANA
Dla wybranego ´ > 0 możemy wybrać ´1 > 0 takie, że dla
"x " (x0 - ´1, x0 + ´1) mamy |y(x) - y0| < ´ czyli y jest ciÄ…gÅ‚a w x0.
0 = F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y(x0 + h)) + F (x0, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
= Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))h+
+Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))(y(x0 + h) - y(x0)).
Mamy stÄ…d
y(x0 + h) - y(x0) Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))
= - .
h Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))
Z ciągłości Fx, Fy, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
Fx(x0, y0)
y (x0) = .
Fy(x0, y0)
FUNKCJA UWIKA
ANA
Dla wybranego ´ > 0 możemy wybrać ´1 > 0 takie, że dla
"x " (x0 - ´1, x0 + ´1) mamy |y(x) - y0| < ´ czyli y jest ciÄ…gÅ‚a w x0.
0 = F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y(x0 + h)) + F (x0, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
= Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))h+
+Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))(y(x0 + h) - y(x0)).
Mamy stÄ…d
y(x0 + h) - y(x0) Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))
= - .
h Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))
Z ciągłości Fx, Fy, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
Fx(x0, y0)
y (x0) = .
Fy(x0, y0)
FUNKCJA UWIKA
ANA
Dla wybranego ´ > 0 możemy wybrać ´1 > 0 takie, że dla
"x " (x0 - ´1, x0 + ´1) mamy |y(x) - y0| < ´ czyli y jest ciÄ…gÅ‚a w x0.
0 = F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y(x0 + h)) + F (x0, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
= Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))h+
+Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))(y(x0 + h) - y(x0)).
Mamy stÄ…d
y(x0 + h) - y(x0) Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))
= - .
h Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))
Z ciągłości Fx, Fy, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
Fx(x0, y0)
y (x0) = .
Fy(x0, y0)
FUNKCJA UWIKA
ANA
Dla wybranego ´ > 0 możemy wybrać ´1 > 0 takie, że dla
"x " (x0 - ´1, x0 + ´1) mamy |y(x) - y0| < ´ czyli y jest ciÄ…gÅ‚a w x0.
0 = F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
F (x0 + h, y(x0 + h)) - F (x0, y(x0 + h)) + F (x0, y(x0 + h)) - F (x0, y0) =
= Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))h+
+Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))(y(x0 + h) - y(x0)).
Mamy stÄ…d
y(x0 + h) - y(x0) Fx(x0 + ¸h, y(x0 + h))
= - .
h Fy(x0, b + ·(y(x0 + h) - y(x0)))
Z ciągłości Fx, Fy, oraz y mamy istnienie granicy prawej strony więc
Fx(x0, y0)
y (x0) = .
Fy(x0, y0)
FUNKCJA UWIKA
ANA
TWIERDZENIE 357
Niech dana bedzie funkcja F : D - R, gdzie D ‚" R2 majaca ciagÅ‚e
pochodne czastkowe drugiego rzedu.
"F
Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz (x0, y0) = 0 to istnieje U otoczenie punktu

"y
x0 i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że "a " U istnieje dokładnie
jedno b " V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U - V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma druga pochodna
Fxx(Fy)2 - 2FxyFxFy + Fyy(Fx)2
y = - .
(Fx)3
FUNKCJA UWIKA
ANA
TWIERDZENIE 357
Niech dana bedzie funkcja F : D - R, gdzie D ‚" R2 majaca ciagÅ‚e
pochodne czastkowe drugiego rzedu.
"F
Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz (x0, y0) = 0 to istnieje U otoczenie punktu

"y
x0 i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że "a " U istnieje dokładnie
jedno b " V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U - V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma druga pochodna
Fxx(Fy)2 - 2FxyFxFy + Fyy(Fx)2
y = - .
(Fx)3
FUNKCJA UWIKA
ANA
TWIERDZENIE 357
Niech dana bedzie funkcja F : D - R, gdzie D ‚" R2 majaca ciagÅ‚e
pochodne czastkowe drugiego rzedu.
"F
Jeżeli F (x0, y0) = 0 oraz (x0, y0) = 0 to istnieje U otoczenie punktu

"y
x0 i istnieje V otoczenie punktu y0 takie, że "a " U istnieje dokładnie
jedno b " V takie, że F (a, b) = 0.
Ponadto funkcja y : U - V określona przez równanie F (x, y(x)) = 0
ma druga pochodna
Fxx(Fy)2 - 2FxyFxFy + Fyy(Fx)2
y = - .
(Fx)3
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 358
Podziałem przedziału zamknietego [a, b] nazywamy dowolny ciag
" = {xi}n taki, że
i=0
xi < xj jeśli i < j
x0 = a, xn = b.
DEFINICJA 359
Średnica podziału " = {xi}n przedziału zamknietego [a, b] nazywamy
i=0
´(") = max{|xi - xi-1| : i " {1, 2, 3, . . . , n}}.
DEFINICJA 360
Ciag {"n}" podziałów przedziału zamknietego [a, b] nazywamy
n=1
normalnym ciagiem podziałów jeżeli ´n Å›rednica podziaÅ‚u "n zmierza do
zera, gdy n zmierza do nieskończoności.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 358
Podziałem przedziału zamknietego [a, b] nazywamy dowolny ciag
" = {xi}n taki, że
i=0
xi < xj jeśli i < j
x0 = a, xn = b.
DEFINICJA 359
Średnica podziału " = {xi}n przedziału zamknietego [a, b] nazywamy
i=0
´(") = max{|xi - xi-1| : i " {1, 2, 3, . . . , n}}.
DEFINICJA 360
Ciag {"n}" podziałów przedziału zamknietego [a, b] nazywamy
n=1
normalnym ciagiem podziałów jeżeli ´n Å›rednica podziaÅ‚u "n zmierza do
zera, gdy n zmierza do nieskończoności.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 358
Podziałem przedziału zamknietego [a, b] nazywamy dowolny ciag
" = {xi}n taki, że
i=0
xi < xj jeśli i < j
x0 = a, xn = b.
DEFINICJA 359
Średnica podziału " = {xi}n przedziału zamknietego [a, b] nazywamy
i=0
´(") = max{|xi - xi-1| : i " {1, 2, 3, . . . , n}}.
DEFINICJA 360
Ciag {"n}" podziałów przedziału zamknietego [a, b] nazywamy
n=1
normalnym ciagiem podziałów jeżeli ´n Å›rednica podziaÅ‚u "n zmierza do
zera, gdy n zmierza do nieskończoności.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale zamknietym [a, b] i niech
" = {xi}n bedzie podziałem przedziału zamknietego [a, b] zaś
i=0
¾ = {¾i}n bedzie ciagiem punktów poÅ›rednich tj. ¾i " [xi-1, xi].
i=1
n
Wyrażenie S(f, ", ¾) = f(¾i)(xi - xi-1) nazywamy suma
i=1
aproksymacyjna całki Riemanna funkcji f przy podziale " i punktach
poÅ›rednich ¾.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
(n)
n
zamknietego [a, b] i niech ¾(n) = {¾j }p bedzie ciagiem punktów
j=1
pośrednich dla "n.
Niech ponadto Sn bedzie suma aproksymacyjna całki funkcji f przy
podziale "n i punktach poÅ›rednich ¾(n).
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale zamknietym [a, b] i niech
" = {xi}n bedzie podziałem przedziału zamknietego [a, b] zaś
i=0
¾ = {¾i}n bedzie ciagiem punktów poÅ›rednich tj. ¾i " [xi-1, xi].
i=1
n
Wyrażenie S(f, ", ¾) = f(¾i)(xi - xi-1) nazywamy suma
i=1
aproksymacyjna całki Riemanna funkcji f przy podziale " i punktach
poÅ›rednich ¾.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
(n)
n
zamknietego [a, b] i niech ¾(n) = {¾j }p bedzie ciagiem punktów
j=1
pośrednich dla "n.
Niech ponadto Sn bedzie suma aproksymacyjna całki funkcji f przy
podziale "n i punktach poÅ›rednich ¾(n).
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale zamknietym [a, b] i niech
" = {xi}n bedzie podziałem przedziału zamknietego [a, b] zaś
i=0
¾ = {¾i}n bedzie ciagiem punktów poÅ›rednich tj. ¾i " [xi-1, xi].
i=1
n
Wyrażenie S(f, ", ¾) = f(¾i)(xi - xi-1) nazywamy suma
i=1
aproksymacyjna całki Riemanna funkcji f przy podziale " i punktach
poÅ›rednich ¾.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
(n)
n
zamknietego [a, b] i niech ¾(n) = {¾j }p bedzie ciagiem punktów
j=1
pośrednich dla "n.
Niech ponadto Sn bedzie suma aproksymacyjna całki funkcji f przy
podziale "n i punktach poÅ›rednich ¾(n).
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 361
Niech funkcja f bedzie określona na przedziale zamknietym [a, b] i niech
" = {xi}n bedzie podziałem przedziału zamknietego [a, b] zaś
i=0
¾ = {¾i}n bedzie ciagiem punktów poÅ›rednich tj. ¾i " [xi-1, xi].
i=1
n
Wyrażenie S(f, ", ¾) = f(¾i)(xi - xi-1) nazywamy suma
i=1
aproksymacyjna całki Riemanna funkcji f przy podziale " i punktach
poÅ›rednich ¾.
DEFINICJA 362
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
(n)
n
zamknietego [a, b] i niech ¾(n) = {¾j }p bedzie ciagiem punktów
j=1
pośrednich dla "n.
Niech ponadto Sn bedzie suma aproksymacyjna całki funkcji f przy
podziale "n i punktach poÅ›rednich ¾(n).
CAA
KA OZNACZONA
Jeżeli istnieje granica lim Sn niezależna od wyboru normalnego ciagu
n"
podziałów i ciagu punktów pośrednich to granice te nazywamy całka
b
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy f(x) dx.
a
DEFINICJA 363
FunkcjÄ™ f : Rn ƒ" D - R nazywamy jednostajnie ciÄ…gÅ‚Ä… w D wtedy i
tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 takie, że nierówność x1 - x2 < ´
implikuje nierówność |f(x1) - f(x2)| < µ.
TWIERDZENIE 364
Jeżeli G jest zbiorem zwartym i f : Rn ƒ" G - R jest ciÄ…gÅ‚a to f jest
jednostajnie ciągła na G.
UWAGA 365
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła.
CAA
KA OZNACZONA
Jeżeli istnieje granica lim Sn niezależna od wyboru normalnego ciagu
n"
podziałów i ciagu punktów pośrednich to granice te nazywamy całka
b
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy f(x) dx.
a
DEFINICJA 363
FunkcjÄ™ f : Rn ƒ" D - R nazywamy jednostajnie ciÄ…gÅ‚Ä… w D wtedy i
tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 takie, że nierówność x1 - x2 < ´
implikuje nierówność |f(x1) - f(x2)| < µ.
TWIERDZENIE 364
Jeżeli G jest zbiorem zwartym i f : Rn ƒ" G - R jest ciÄ…gÅ‚a to f jest
jednostajnie ciągła na G.
UWAGA 365
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła.
CAA
KA OZNACZONA
Jeżeli istnieje granica lim Sn niezależna od wyboru normalnego ciagu
n"
podziałów i ciagu punktów pośrednich to granice te nazywamy całka
b
Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy f(x) dx.
a
DEFINICJA 363
FunkcjÄ™ f : Rn ƒ" D - R nazywamy jednostajnie ciÄ…gÅ‚Ä… w D wtedy i
tylko wtedy, gdy "µ > 0 "´ > 0 takie, że nierówność x1 - x2 < ´
implikuje nierówność |f(x1) - f(x2)| < µ.
TWIERDZENIE 364
Jeżeli G jest zbiorem zwartym i f : Rn ƒ" G - R jest ciÄ…gÅ‚a to f jest
jednostajnie ciągła na G.
UWAGA 365
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
n
zamknietego [a, b], gdzie "n = {x(n)}p i niech
j j=0
(n)
Mi = sup{f(x) : x " [x(n) , x(n)]} mi = inf{f(x) : x " [x(n) , x(n)]}
i-1 i i-1 i
pn
(n)
Niech ponadto Sn = Mj (x(n) - x(n) ),
j j-1
j=1
pn
Sn = m(n)(x(n) - x(n) ).
j j j-1
j=1
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn, zaś całką
n"
dolnÄ… funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn.
n"
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
n
zamknietego [a, b], gdzie "n = {x(n)}p i niech
j j=0
(n)
Mi = sup{f(x) : x " [x(n) , x(n)]} mi = inf{f(x) : x " [x(n) , x(n)]}
i-1 i i-1 i
pn
(n)
Niech ponadto Sn = Mj (x(n) - x(n) ),
j j-1
j=1
pn
Sn = m(n)(x(n) - x(n) ).
j j j-1
j=1
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn, zaś całką
n"
dolnÄ… funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn.
n"
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
n
zamknietego [a, b], gdzie "n = {x(n)}p i niech
j j=0
(n)
Mi = sup{f(x) : x " [x(n) , x(n)]} mi = inf{f(x) : x " [x(n) , x(n)]}
i-1 i i-1 i
pn
(n)
Niech ponadto Sn = Mj (x(n) - x(n) ),
j j-1
j=1
pn
Sn = m(n)(x(n) - x(n) ).
j j j-1
j=1
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn, zaś całką
n"
dolnÄ… funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn.
n"
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.
CAA
KA OZNACZONA
DEFINICJA 366
Niech funkcja f bedzie określona i ograniczona na przedziale zamknietym
[a, b], niech {"n}" bedzie normalnym ciagiem podziałów przedziału
n=1
n
zamknietego [a, b], gdzie "n = {x(n)}p i niech
j j=0
(n)
Mi = sup{f(x) : x " [x(n) , x(n)]} mi = inf{f(x) : x " [x(n) , x(n)]}
i-1 i i-1 i
pn
(n)
Niech ponadto Sn = Mj (x(n) - x(n) ),
j j-1
j=1
pn
Sn = m(n)(x(n) - x(n) ).
j j j-1
j=1
Całką górną funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn, zaś całką
n"
dolnÄ… funkcji f na przedziale [a, b] nazywamy lim Sn.
n"
UWAGA 367
Dla funkcji ograniczonej określonej na przedziale ograniczonym istnieją
całka górna i dolna. Ponadto są one skończone.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2011 02 21 WIL Wyklad 19id 523
2011 02 21 WIL Wyklad 20(1)
2011 04 04 WIL Wyklad 26
2011 01 09 WIL Wyklad 17(1)
Komisarze kłócą się o klimat Nasz Dziennik, 2011 03 08
2011 02 21 WIL Wyklad 18
Katastrofa w jednym stenogramie Nasz Dziennik, 2011 03 08
Dzień Wojny Płci Nasz Dziennik, 2011 03 08
2011 06 08 12 54 24
SLD przeciw Kościołowi, czyli jak okraść po raz drugi Nasz Dziennik, 2011 03 08
2010 11 08 WIL Wyklad 08id 175
2011 01 09 WIL Wyklad 17id 521
2011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)
2011 01 09 WIL Wyklad 16
Fiasko polityki półśrodków Nasz Dziennik, 2011 03 08
Zabito go strzałem w potylicę Nasz Dziennik, 2011 03 08
2011 02 21 WIL Wyklad 19(1)
Śmierć w mediach Nasz Dziennik, 2011 03 08

więcej podobnych podstron