��WykBad 17
Geometria analityczna cd.
Geometria analityczna w przestrzeni R3
Podobnie jak w przypadku geometrii na pBaszczyznie bdziemy m�wi
o ukBadzie wsp�Brzdnych. UkBad taki powstaje przez obranie punktu 0 i
wybranie trzech osi wzajemnie prostopadBych 0x, 0y, 0z. Istniej dwie klasy
ukBad�w wsp�Brzdnych r�|nice si skrtno[ci.
W przestrzeni tr�jwymiarowej, ka|dy punkt P mo|e by przedstawiony za
pomoc trzech wsp�Brzdych (x, y, z). Je[li dane s dwa punkty P1(x1, y1, z1)
i P2(x2, y2, z3) to ich odlegBo[ wyra|a si nastpujco:
|P1P2| = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 + (z1 - z2)2
Wektorem nazywamy uporzdkowan par punkt�w (P1, P2) i oznaczamy go
- �!
-
przez P1P2. Punkt P1 nazywamy pocztkiem wektora, a punkt P2 koDcem.
- �!
-
OdlegBo[ P1 od P2 nazywamy dBugo[ci wektora i oznaczamy przez |P1P2|.
Podobnie jak na pBaszczyznie bdziemy m�wi o wektorach swobodnych. W
tym przypadku uto|samiamy wektory, kt�re maj ten sam kierunek, ten sam
zwrot i t sam dBugo[, a wic w przypadku wektor�w swobodnych punkt
zaczepienia nie ma znaczenia, wa|ne s tylko jego dBugo[, zwrot i kieru-
- �!
-
nek. Je[li wektor swobodny P1P2 jest okre[lony przez punkty P1(x1, y1, z1) i
P2(x2, y2, z2) to wektor ten ma wsp�Brzdne:
- �!
-
P1P2 = [x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1]
Wektory mo|emy, wic uto|samia z tr�jkami liczb rzeczywistych. Wektory
swobodne mo|na dodawa i mno|y przez liczby rzeczywiste (skalary). Do-
dawanie wektor�w zdefiniowane jest dokBadnie tak samo jak na pBaszczyznie,
podobnie definiujemy mno|enie przez skalary. DziaBania te mo|na r�wnie|
zdefiniowa dla tr�jek liczb rzeczywistych:
[x1, y1, z1] + [x2, y2, z2] = [x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2]
�[x1, y1, z1] = [�x1, �y1, �z1]
Struktura (R, +) jest grup abelow (podobnie jak struktura wektor�w swo-
bodnych wraz z dodawaniem). Mno|enie skalar�w przez wektory ma nast-
pujce wBasno[ci: dla ka|dego a, b " R3, �, � " R:
(i) �(a + b) = �a + �b,
(ii) (� + �)a = �a + �a,
(iii) (��)a = �(�a),
1
(iv) 1a = a.
DBugo[ wektora
Je[li wektor a ma wsp�Brzdne [xa, ya, za] to jego dBugo[ jest wyra|ona wzo-
rem:
2 2
|a| = x2 + ya + za
a
WBasno[ci dBugo[ci wektor�w s podobne jak wBasno[ci dBugo[ci wektor�w
na pBaszczyznie:
(i) |a + b| |a| + |b|,
(ii) |�a| = |�||a|.
Wektor a nazywa si wersorem je[li |a| = 1. Wersory, kt�ry s poBo|one
na osiach nazywamy wersorami osi i oznaczamy je i dla osi 0x, j dla osi 0y, k
dla osi 0z. Jak Batwo zauwa|y wersory osi maj wsp�Brzdne: i = [1, 0, 0], j =
[0, 1, 0], k = [0, 0, 1]. Je[li a, b, c s trzema wektorami, a �, �, � skalarami to
�a + �b + �c nazywamy liniow kombinacj wektor�w a, b, c.
Ka|dy wektor da si jednoznacznie przedstawi jako liniow kombinacj wer-
sor�w i, j, k. Je[li wektor a ma wsp�Brzdne xa, ya, za to
a = xai + yaj + zak.
Rzeczywi[cie a = [xa, ya, za] = xa[1, 0, 0] + ya[0, 1, 0] + za[0, 0, 1] = xai + yaj +
zak.
Wektory a, b, c nazywamy komplanarnymi wtedy i tylko wtedy gdy istnieje
pBaszczyzna do kt�rej te wektory s r�wnolegBe. Inaczej m�wic wektory a, b, c
s komplanarne wtedy i tylko wtedy gdy jeden z nich jest liniow kombinacj
pozostaBych wektor�w, np. a = �b + �c.
Iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym wektor�w a = [x1, y1, z1] i b = [x2, y2, z2] nazywamy
liczb rzeczywist x1x2 + y1y2 + z1z2 i oznaczamy j przez a �% b.
WBasno[ci iloczynu skalarnego
Niech a, b, c bd trzema wektorami, i niech � bdzie skalarem, wtedy
iloczyn skalarny ma nastpujce wBasno[ci:
(i) (a + b) �% c = a �% c + b �% c,
(ii) (�a) �% b = �(a �% b) = a �% (�b),
(iii) a �% b = b �% a,
(iv) a �% a 0 i a �% a = 0 �!�! a = 0.
"
Ponadto mo|na zauwa|y, |e |a| = a �% a.
Ktem midzy wektorami a i b nazywamy mniejszy z kt�w, wyznaczonych
przez przecinajce si proste wyznaczone przez te wektory. Kt midzy wek-
torami a i b wyznaczony jest wzorem:
a �% b
cos( (a, b)) =
|a||b|
2
Wektory a, b nazywamy ortogonalnymi wtedy i tylko wtedy gdy a �% b = 0
�
(inaczej m�wic wektory s ortogonalne gdy kt midzy nimi jest r�wny ).
2
Zadanie Wyznaczy kt midzy wektorami = [2, 0, -1] i b = [1, 0].
"a " "3,
Rozwizanie Obliczamy: a �% b = 2, |a| = 22 + 12 = 5, |b| = 12 + 32 =
"
10 i otrzymujemy:
a �% b 2
" "
cos( (a, b)) = =
|a||b|
5 10
Iloczyn wektorowy
Iloczynem wektorowym wektor�w a = [xa, ya, za] i b = [xb, yb, zb] nazywamy
wektor, kt�ry ma nastpujce wsp�Brzdne:
[yazb - ybza, xbza - xazb, xayb - xbya]
i oznaczamy go przez a � b.
Spos�b obliczania iloczynu wektorowego. Iloczyn wektorowy wektor�w a =
[xa, ya, za] i b = [xb, yb, zb] mo|na wyrazi przez wyznacznik:
i j k
a � b = xa ya za
xb yb zb
gdzie i, j, k s wersorami osi. Wyznacznik ten formalnie nie ma sensu (pierw-
szy wiersz skBada si z wektor�w) ale pozwala Batwo zapamita spos�b ob-
liczania iloczynu wektorowego.
Mo|na zauwa|y, |e:
(i) |a � b| = |a||b| sin( (a, b)),
(ii) wektor a � b jest ortogonalny do wektora a i b,
(iii) zwrot wektora a � b jest okre[lony przez tzw. reguB [ruby prawoskrtnej
lub trzech palc�w lewej dBoni.
(iv) a � b = 0 wtedy i tylko wtedy gdy a i b s wektorami kolinearnymi,
(v) a � b = -b � a,
(vi) (a + b) � c = a � c + b � c,
(vii) (�a) � b = �(a � b).
Z punktu (iv) Batwo wynika, |e wektory a = [xa, ya, za] i b = [xb, yb, zb] s
kolinearne wtedy i tylko wtedy gdy:
xa ya za
= =
xb yb zb
Zadanie Obliczy pole tr�jkta o wierzchoBkach w punktach P1(1, 2, 3), P2(0, -1, -1),
P3(1, 0, 1).
3
- �! - �!
- -
Rozwizanie Je[li wyznaczymy wektory P1P2 i P1P3 to pole tr�jkta jest
- �! - �! - �! - �!
- - - -
1 1
r�wne P = |P1P2||P1P3| sin( (P1P2, P1P3)), zatem P = |P1P2 � P1P3|.
2 2
Obliczmy
i j k
- �! - �!
- -
P1P2 � P1P3 = -1 -3 -4 = [-2, -2, 2]
0 -2 -2
i
" "
- �! - �!
- -
|P1P2 � P1P3| = (-2)2 + (-2)2 + 22 = 12 = 2 3
wic
" "
1
P = 2 3 = 3.
2
Iloczyn mieszany
Niech a = [xa, ya, za], b = [xb, yb, zb], c = [xc, yc, zc] bd trzema wektora-
mi, wtedy liczb (a � b) �% c nazywamy iloczynem mieszanym wektor�w a, b i
c. Iloczyn mieszany mo|na wyznaczy w nastpujcy spos�b:
xa ya za
(a � b) �% c = xb yb zb
xc yc zc
ModuB iloczynu mieszanego wektor�w a, b i c wyra|a objto[ r�wnolegBo-
[cianu zbudowanego na tych wektorach.
Powy|sze stwierdzenie oznacza r�wnie|, |e wektory a, b i c s komplanarne
wtedy i tylko wtedy gdy r�wnolegBo[cian zbudowany na tych wektorach ma
objto[ r�wn zero. Zatem wektory a, b i c s komplanarne wtedy i tylko
wtedy gdy (a � b) �% c = 0.
4
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
W18 Ekstrema fkcji wielu zmiennychw18 przeladowanie operatory wyjatkowew18w18 cialo stalewięcej podobnych podstron