Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
Wybrane zagadnienia
z Mechaniki Płynów
Wojciech Sobieski
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski
Wydział Nauk Technicznych
Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn
10-957 Olsztyn, ul. M. Oczapowskiego 11.
tel.: (89) 5-23-32-40
fax: (89) 5-23-32-55
wojciech.sobieski@uwm.edu.pl
Niniejszy dokument mo\e być dowolnie kopiowany, udostępniany
rozprowadzany w wersji oryginalnej. Autor nie zezwala na zmianę treści
dokumentu ani na jego modyfikacje.
Olsztyn 2001
1/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
S P I S T R E Ś C I
1. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O PAYNACH...................................................... 3
2. PODSTAWOWE WAAŚCIWOŚCI PAYNÓW.......................................................... 6
3. NAPÓR HYDROSTATYCZNY................................................................................. 8
4. PAYWANIE CIAA .................................................................................................... 10
5. PRAWO EULERA .................................................................................................... 11
6. PRAWO PASCALA.................................................................................................. 12
7. RÓWNANIE EULERA W HYDROSTATYCE....................................................... 13
8. KINEMATYCZNY WARUNEK CIGAOŚCI RUCHU PAYNU ŚCIŚLIWEGO W
PRZEPAYWACH NIEUSTALONYCH........................................................................... 15
9. RÓWNANIE BERNOULIEGO ................................................................................ 18
10. RÓWNANIE NAVIERA-STOCKES A ................................................................... 19
11. RUCH ELEMENTU PAYNU ................................................................................... 27
12. GRADIENT SKALARA ........................................................................................... 31
2/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
1. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O PAYNACH
Dwóm stanom materii cieczom i gazom - mo\na przypisać cechy płynności i ciągłości.
Je\eli w określonych warunkach cechy te są mo\liwe do zaakceptowania, to zarówno
ciecz jak i gaz będziemy nazywali płynami.
Z punktu widzenia molekularnej teorii budowy materii zarówno ciecz jak i gaz jest
zbiorowiskiem chaotycznie poruszających się molekuł, pomiędzy cieczą a gazem istnieją
jednak pewne ró\nice (rys. 1.).
Rys. 1. Ruch molekuł w cieczy (z lewej) i w gazie (z prawej).
Ciecz ruch molekuł jest ruchem drgającym dookoła średniego poło\enia oraz ruchem
przeskoku molekuł w coraz to nowe miejsce \ycia osiadłego 0. Przyjmijmy, \e średnia
droga przeskoku wynosi l0.
Gaz ruch molekuł jest ruchem chaotycznym, bez mo\liwości \ycia osiadłego .
W ruchu chaotycznym molekuły zderzają się, zmieniając w ten sposób swoją prędkość.
Drogi pomiędzy kolejnymi zderzeniami są ró\ne jednak średnia droga l0 pomiędzy
kolejnymi zderzeniami jest znacznie dłu\sza od średniej drogi przeskoku w stanie
ciekłym.
Charakterystyczne wymiary liniowe odnoszące się do molekuł mo\na zdefiniować
następująco:
dla stanu ciekłego dla stanu gazowego
" wymiar charakteryzujący wielkość " wymiar charakteryzujący wielkość
molekuły molekuły
" średnia odległość między molekułami " średnia odległość między molekułami
" średnia amplituda drgań " średnia droga swobodna
" średnia droga przeskoku
Inne cechy
" zachowuje kształt naczynia " nie zachowuje kształtu
" mało ściśliwy " bardzo ściśliwy
3/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
Płynność. Gdy czas działania t siły odkształcającej jest bardzo długi w porównaniu z
czasem \ycia osiadłego 0, wtedy odkształcenie jest mo\liwe dzięki wymuszonej przez tę
siłę zmianie układu molekuł w przestrzeni. Mo\na się spodziewać proporcjonalności
między działającą siłą a odkształceniem nawet mała siła odkształcająca wywołuje
skończoną prędkość odkształcenia. Je\eli czas działania siły jest porównywalny bądz te\
krótszy od \ycia osiadłego molekuł, nie zdą\ą się one dostosować do sił deformujących
(zjawisko takie zachodzi np. podczas szybkiego odkształcania smoły - 0 H" 1 s ulega
ona wówczas pękaniu, jak ciało stałe).
Proporcjonalność pomiędzy prędkością odkształcenia (płynięciem) a siłą odkształcającą
jest cechą określoną jako płynność. Z powy\szego rozumowania wynika ograniczenie tej
cechy. Je\eli
t
>>1,
0
to cieczom mo\na przypisać cechę płynności. Je\eli zaś
t
<1,
0
to mamy sytuację podobną do tej, jaka panuje w ciele stałym.
Jest rzeczą oczywistą, \e w gazach, dla których 0 = 0, cecha płynności nie ulega
ograniczeniom.
Ciągłość. Jest to cecha oznaczająca mo\liwość traktowania materii jako ośrodka
wypełniającego przestrzeń w sposób ciągły. Jest to mo\liwe tylko wtedy, gdy wymiary
liniowe L ciał opływanych cieczą lub gazem są znacznie większe od l0. Tak więc i tu
pojawia się ograniczenie tej cechy. Je\eli
L
>>1,
l0
to cieczom i gazom mo\na przypisać cechę ciągłości. Je\eli zaś
L
<1,
l0
to zało\enie ciągłości nie stanowi dobrego modelu fizycznego.
4/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
Poniewa\ wartość l0 jest znacznie większa dla gazów, mo\na oczekiwać naruszenia tej
cechy przede wszystkim w gazach. Istotnie, gazy rozrzedzone dla wymiarów ciał
porównywalnych z l0 nie mogą być rozpatrywane jako ośrodek ciągły.
Liczba Knudsena. Aby ocenić stopień zgodności przyjętego modelu płynu (ciągły -
nieciągły) wprowadzono parametr zwany liczbą Knudsena
l0
Kn = .
L
Dla liczb Knudsena < 0,01 przyjmuje się model ośrodka ciągłego.
Płyn doskonały (idealny) płyn, który jest nieściśliwy, nielepki, nie ulega
rozszerzalności termicznej, nie poddaje się rozciąganiu, ściskaniu, ścinaniu.
Płyn rzeczywisty powy\sze zało\enia nie obowiązują.
Modele płynów. W zale\ności od związków pomiędzy prędkością deformacji a
naprę\eniami stycznymi, przyjmuje się ró\ne modele płynów rzeczywistych:
płyn Newtona płyn, w którym naprę\enie styczne jest proporcjonalne do
prędkości deformacji (woda. powietrze, olej, benzyna, itp)
płyn Binghama płyn, w którym naprę\enie styczne jest niejednorodną funkcją
deformacji (pasty, zaprawy)
płyn pseudoplastyczny płyn, w którym naprę\enie styczne maleje wraz z prędkością
deformacji (ciekły kauczuk, roztwory mydlane)
płyn tiksotropowy płyn, w którym przy stałej prędkości deformacji, naprę\enia
styczne maleją w czasie (farby, lakiery)
płyn Hooke a płyn, który ulega tylko odkształceniu objętościowemu (???)
płyn z pamięcią ??? (farma emulsyjna)
5/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
2. PODSTAWOWE WAAŚCIWOŚCI PAYNÓW
1. Ciśnienie.
"P dP N
ł ł ł łł
p = lim =
ł ł
2
łm śł
"A0
"A dA
ł łł ł ł
2. Gęstość.
m
"m dm kg
ł ł ł łł
= lim = =
ł ł
3
łm śł
"V 0
V
"V dV
ł łł ł ł
3. Cię\ar właściwy.
G
"G dG N
ł ł ł łł
ł = lim = ł = ł = " g
ł ł
3
łm śł
"V 0
V
"V dV
ł łł ł ł
4. Objętość właściwa.
ł łł
1 m3
v =
ł śł
kg
ł ł
5. Rozszerzalność objętościowa.
1
1 dV ł łł 0
ą = " T = V2 = V1(1+ą"T) "V = V1ą"T
łKśł
V dT ł ł 1 + ą"T
6. Ściśliwość.
ł łł
1 dV m2 0
B = - " = V2 = V1(1 - B"p) "V = -V1B"p
ł śł p
V dp N 1 - B"p
ł ł
7. Lepkość dynamiczna.
g
dV kg ł łł
ł łł
= - " dT = ą . dA = 1P =
łcm " sśł
łm " s śł
dn ł ł
ł ł
8. Lepkość kinematyczna.
ł łł ł łł
m2 cm2
= = 1St =
ł śł ł śł
s s
ł ł ł ł
9. Równanie stanu (tylko dla gazów idealnych).
pV = mRT lub p = RT
6/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
Oznaczenia symboli:
P siła
G - cię\ar
m - masa
V - objętość (prędkość w punkcie 7)
v - objętość właściwa
- dynamiczny współczynnik lepkości (czasami oznacza się )
- współczynnik lepkości kinematycznej
P - Poise jednostka lepkości ( jednostka mniejsza 1cP = 1P.10-2 )
St Stockes - jednostka lepkości ( jednostka mniejsza 1cSt = 1St . 10-2 )
B - współczynnik ściśliwości (B=1/E)
E - moduł Younga
R - indywidualna stała gazowa
7/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
3. NAPÓR HYDROSTATYCZNY
Siła naporu hydrostatycznego, wywieranego przez ciecz na płaską ścianę o dowolnym
konturze wynosi
P = g z "dA . ( 1 )
+"
A
Wyra\enie
z "dA
+"
A
jest momentem statycznym, zatem
z "dA = zsA,
+"
A
gdzie zs oznacza głębokość zanurzenia środka geometrycznego ściany o polu
powierzchni równym A. Wobec tego napór cieczy na dowolną figurę płaską mo\na
wyrazić następującym wzorem:
P = gzsA = łzsA. ( 2 )
Je\eli na ciecz działa dodatkowo ciśnienie p., to
P = (p + łzs)A ( 3 )
Współrzędne poło\enia środka naporu, tj. punktu C, w którym przyło\ony jest wektor
siły naporu, działającej na rozpatrywany wycinek ściany o polu powierzchni równym A,
wyznaczamy z następujących zale\ności:
I
xy
xc =
A " ys
Ix
I
x
0
yc = = ys + ( 4 )
A " ys A " ys
Ix
0
zc = zs + sin2ą
A "
z
s
ys, zs - współrzędne środka cię\kości,
Ix - moment bezwładności względem osi x,
Ixy - moment dewiacyjny względem osi x i y,
Ixo - moment bezwładności względem osi x0 przechodzącej przez środek cię\kości S.
8/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
ą
dP
P z z
zc zs
dA
s
x
c
A
Dla ściany prostopadłej do zwierciadła cieczy ą = 90
Ix
0
zc = zs + ( 5 )
A "
z
s
Ze wzorów ( 4 ) i ( 5 ) wynika, \e środek naporu znajduje się zawsze poni\ej środka
cię\kości. Punkty C i S pokrywają się tylko wówczas, gdy A jest wycinkiem ściany
płaskiej, równoległej do zwierciadła cieczy.
Wypadkowy napór hydrostatyczny cieczy na ściankę zakrzywioną
P = +
P2 P2
x z
Składowa pozioma Px równa jest parciu wywieranemu na rzut powierzchni zakrzywionej
na płaszczyznę prostopadłą do rozpatrywanego kierunku. Linia działania składowej
poziomej przechodzi przez środek naporu rzutu rozwa\anej powierzchni.
Składowa pionowa naporu Pz równowa\ona jest cię\arem bryły ciekłej ograniczonej
rozpatrywaną powierzchnią zakrzywioną i tworzącymi pionowymi, które łączą jej kontur
ze zwierciadłem cieczy. Kierunek działania naporu pionowego przechodzi przez środek
cię\kości rozpatrywanej bryły . Natę\enie składowej pionowej Pz nie zale\y przy tym
od tego, czy nad ścianą zakrzywioną wznosi się a\ do zwierciadła realny słup cieczy, czy
te\ nie.
9/32
y
s
y
x
c
y
x
s
x
x
0
c
y
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
4. PAYWANIE CIAA
Stateczność określa się na podstawie tzw. wysokości metacentrycznej z następujących
zale\ności:
I
x
mx = ą a - stateczność względem osi x,
Vz
I
y
my = ą a - stateczność względem osi y.
Vz
gdzie
Vz - objętość zanurzona,
Ix, Iy - momenty bezwładności pola przekroju pływania względem osi x i y,
a - odległość między środkiem cię\kości ciała i środkiem wyporu (ujemna wartość a
występuje wówczas, gdy środek cię\kości znajduje się powy\ej środka wyporu).
y
x
Do badania stateczności bierze się ten kierunek, dla którego wartość momentu
bezwładności jest mniejsza.
m > 0 - stateczność stała,
m < 0 - stateczność chwiejna,
m = 0 - stateczność obojętna.
10/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
5. PRAWO EULERA
Prawo Eulera - wartość ciśnienia nie zale\y od orientacji (poło\enia) elementu
powierzchniowego, do którego wektor ciśnienia jest prostopadły.
z
py
dz
dAy
dAx
ł P
px
ą
dx
x
dAz
dy
y
pz.
Aby układ był w stanie równowagi:
px.dAx - p.dA.cosą = 0
py.dAy - p.dA.cos = 0 (1)
pz.dAz - p.dA.cosł = 0
poniewa\
dA.cosą = dAx
dA.cos = dAy
dA.cosł = dAz
równanie (1) otrzyma postać
px.dAx - p.dAx = 0
py.dAy - p.dAy = 0 (2)
pz.dAz - p.dAz = 0
po uproszczeniu zaś
px = p
py = p (3 )
pz = p
czyli
px = py = pz = p. (4)
11/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
6. PRAWO PASCALA
Prawo Pascala - je\eli na płyn działają tylko siły powierzchniowe, to ciśnienie w ka\dym
punkcie płynu jest takie samo1.
ą1
P1
dA1
dA
P2
ą2
dA2
z
Aby układ był w stanie równowagi:
= 0
"
P
iz
czyli
p1 " " cosą1 - p2 " " cosą2 = 0 (1)
dA dA
1 2
poniewa\
"cosą1 = dA
dA
1
"cosą2 = dA
dA
2
więc
p1"dA - p2 "dA = 0
p1 - p2 = 0 (2 )
Ogólnie zaś
p1 = p2 =K= pn . (3)
1
Prawo to nie uwzględnia ciśnienia słupa cieczy.
12/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
7. RÓWNANIE EULERA W HYDROSTATYCE
Pełna postać równania Eulera:
"Vx "Vx "Vx "Vx 1 "p
+ Vx + Vy + Vz = X -
"t "x "y "z dx
"Vy "Vy "Vy "Vy 1 "p
+ Vx + Vy + Vz = Y - (1)
"t "x "y "z dy
"Vz "Vz "Vz "Vz 1 "p
+ Vx + Vy + Vz = Z -
"t "x "y "z dz
Je\eli element płynu jest w stanie spoczynku, to w równaniu Eulera nie ma członu
prędkości, przyjmie ono postać
1 "p
X - = 0
dx
1 "p
Y - = 0 (2)
dy
1 "p
Z - = 0
dz
Lub we współrzędnych cylindrycznych
1 "p
qr - = 0
"r
1 "p
qŃ - = 0 (3)
r ""Ń
1 "p
qz - = 0
"z
Zapis wektorowy równania ( 1.1 ) ma postać
r
1
F = "gradp (4)
Równanie ( 1.1 ) mo\na przekształcić do innej postaci
1 "p
X = /dx
dx
1 "p
Y = /dy
dy
13/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
1 "p
Z = /dz
dz
1 "p
Xdx = dx
dx
1 "p
Ydy = dy (5)
dy
1 "p
Zdz = dz
dz
Dodając stronami równania ( 1.4 ) otrzymamy
1 "p "p "p
Xdx + Ydy + Zdz = ( dx + dy + dz)
dx dy dz
gdzie P = f(x, y, z)
"p "p "p
dp = dx + dy + dz
dx dy dz
więc
1
Xdx + Ydy + Zdz = dp (6)
Równanie ( 1.4 ) stanowi drugą postać równania hydrodynamiki Eulera.
Dla powierzchni ekwipotencjalnej dp = 0 wówczas
Xdx + Ydy + Zdz = 0 (7)
Równanie ( 1.4 ) mo\na zapisać w układzie współrzędnych cylindrycznych
1
qrdr + qŃrdŃ + qzdz = dp (8)
Równanie powierzchni ekwipotencjalnej we współrzędnych cylindrycznych
qrdr + qŃdŃ + qzdz = 0. (9)
14/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
8. KINEMATYCZNY WARUNEK CIGAOŚCI RUCHU PAYNU
ŚCIŚLIWEGO W PRZEPAYWACH NIEUSTALONYCH
Przyjmijmy kontrolną objętość dx.dy.dz w układzie kartezjańskim, przez którą przepływa
strumień płynu ściśliwego o gęstości . W przypadku ruchu ustalonego, strumień masy
wpływający do objętości (zgodnie z warunkiem stałości ilości materii) musi być równy
strumieniowi wypływającemu, rozpatrywanemu w tej samej jednostce czasu (zerowy
przyrost masy).
W układzie nie mogą występować chwilowe lokalne zagęszczenia lub rozrzedzenia masy
(lokalne kompresje i ekspansje) zjawisko takie stanowi właściwość przepływów
nieustalonych.
z
ł ł
" "Vx
( )
ł ł
"Vx + ""x " dy " dx " dt
ł ł
"x
ł łł
"Vx " dy " dx " dt
x
y
Rys. 1. Strumienie wpływający i wypływający do objętości dx.dy.dz w kierunku x
(w celu zwiększenia czytelności rysunku strumienie na kierunkach y i z nie są opisane).
W przypadku ruchu ustalonego całkowity przyrost masy płynu przepływającego przez
powierzchnie ograniczające objętość kontrolną dx.dy.dz mo\na zapisać jako
ńł "(Vx)dxłdydzdt +
ł ł
Vxdydzdt - ł
Vx +
ł
"x
ł łł
ł
ł
"(Vy)dyłdxdzdt + . (1)
ł+ Vydxdzdt - ł ł
ł Vy +
ł
ł ł
"y
ł łł
ł
ł
"(Vz)dz ł
ł łdxdydt = 0
ł
+ Vzdxdydt - ł
Vz +
ł
"z
ł łł
ół
Po uproszczeniu otrzymamy
"(Vy)dxdydzdt +
"(Vx)dxdydzdt + "(Vz )dxdydzdt = 0, (2)
"x "y "z
15/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
W przypadku przepływu nieustalonego, w obszarze objętości kontrolnej, w czasie dt,
mogą pojawić się zmiany gęstości wywołane ściśliwością płynu. Konsekwencją tego
będzie niezerowa wartość przyrostu masy w obszarze rozpatrywanej objętości kontrolnej.
Ustalając, \e strumień masy wypływającej z objętości ma znak dodatni (podczas
ekspansji), zaś wpływającej znak ujemny (podczas kompresji), przyrost ten będzie równy
"
- dxdydzdt. Formuła (2) przyjmie wówczas postać
"t
"(Vy)dxdydzdt +
"(Vx)dxdydzdt + "(Vz )dxdydzdt = - "
dxdydzdt . (3)
"x "y "z "t
W odniesieniu do jednostki objętości i czasu otrzymamy
"(Vy)+
"(Vx) "(Vz ) "
+ = - , (4)
"x "y "z "t
s
Lewa strona powy\szego wyra\enia stanowi dywergencję strumienia masy V ,
równanie (4) mo\na więc zapisać wektorowo
r
"
+ div(V)= 0 , (5)
"t
lub w ogólnej postaci kartezjańskiej jako
" "
+ (Vi) = 0 , gdzie i = x, y, z. (6)
"t "i
Rozwijając dalej równanie (5) otrzymamy
r r r
" "
+ div(V)= + Vgrad + divV =
"t "t
. (7)
ł
" " " " "u "v "w ł
ł
= + u + v + w + ł + + ł
ł
"t "x "y "z "x "y "z
ł łł
Wobec tego, i\
"x "y "z
u = , v = , w = , (8)
"t "t "t
pierwsze cztery człony równania stanowią pochodną zupełną (substancjonalną) gęstości
względem czasu, a suma pochodnych cząstkowych w nawiasie dywergencję wektora
prędkości, otrzymamy
r
dp
+ divV = 0. (9)
dt
Jest to inna forma równania ciągłości w najogólniejszym przypadku ruchu nieustalonego
płynu ściśliwego.
16/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
Przypadki równania ciągłości:
- ruch nieustalony płynu ściśliwego
r
"
+ div(V)= 0 ; (10)
"t
- ruch ustalony płynu ściśliwego
r
div(V)= 0; (11)
- ruch ustalony płynu nieściśliwego
r
divV = 0 . (12)
Warto zwrócić uwagę, i\ warunek (12) oznacza niezmienność objętości.
Równanie ciągłości obowiązuje zarówno dla płynów nielepkich jak i lepkich.
17/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
9. RÓWNANIE BERNOULIEGO
Rozwa\my przepływ przez kanał o zmiennym przekroju elementu płynu o stałej masie m
i objętości V. Przez c oznaczmy prędkość średnią elementu płynu.
p
c
p
h
c
h
Całkowita energia zawarta w płynie nie mo\e ulec zmianie, mamy więc
E1 = E2 = Ecakowita = const . (1)
W układzie jak na rysunku mamy trzy rodzaje energii:
mc2
- energię kinetyczną ;
2
- energię potencjalną mgh ;
- energię ciśnienia pV .
Dla poło\eń 1 i 2 mo\emy więc zapisać
mc12 mc2 2
+ mgh1 + p1V = + mgh2 + p2V . (2)
2 2
Równanie (2) mo\na przekształcić do postaci
c12 p1V c2 2 p2V
+ gh1 + = + gh2 +
2 m 2 m
a następnie
c12 p1 c2 2 p2
+ h1 + = + h2 + . (3)
m m
2g 2g
g g
V V
m
Uwzględniając, \e = a g = ł otrzymamy
V
c12 p1 c2 2 p2
+ h1 + = + h2 + (4)
2g ł 2g ł
lub ogólnie
c2 p
+ h + = const. (5)
2g ł
Wzór (5) stanowi najbardziej znaną postać równania Bernouliego.
18/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
10. RÓWNANIE NAVIERA-STOCKES A
Przyjmijmy kontrolną objętość dx.dy.dz w układzie kartezjańskim, przez którą przepływa
strumień płynu ściśliwego o gęstości i lepkości .
z
Bz
Fz
P
"P
P + " dz
"z
Bx
"P
P + "dx
P "x
"P
Fx
P + " dy
"y
P
x
Fy
y
By
Na element płynu działają następujące siły:
1. Siły wywołane ciśnieniem
"p "p
Px = ł p - p - dxłdydz = - dxdydz
ł ł
"x "x
ł łł
ł "p ł "p
ł ł
Py = ł p - p - dyłdxdz = - dxdydz (1)
"y "y
ł łł
"p "p
łdxdy
Pz = ł p - p - dz = - dxdydz
ł ł
"z "z
ł łł
2. Siły masowe
Fx = Xdm = Xdxdydz
Fy = Ydm = Ydxdydz (2)
Fz = Zdm = Zdxdydz
3. Siły bezwładności przy zało\eniu, \e element porusza się zgodnie z kierunkami osi
układu, wartość sił bezwładności będą miały znak ujemny
dVx dVx
Bx = - dm = - dxdydz
dt dt
dVy dVy
By = - dm = - dxdydz (3)
dt dt
dVz dVz
Bz = - dm = - dxdydz
dt dt
19/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
4. Siły styczne w znakowaniu pierwszy symbol oznacza oś, do której jest prostopadły
dany element powierzchni, drugi zaś kierunek składowej naprę\eń
"
ł ł
"pxx "
ł ł-
yx
zx
ł-
ł
pxx
ł - pxx - dxłdydz + + + dy + + + dzłdxdy
ł
yx yx
ł łdxdz ł zx zx "z ł
"x "y
ł łł ł łł
ł łł
" "pyy "
ł ł ł ł ł ł
xy zy
ł- + + dxłdydz + pyy - pyy - dyłdxdz + + + dz (4)
ł ł ł ł-
ł
xy xy zy zy
ł ł ł łdxdy
"x "y "z
ł łł ł łł ł łł
ł
"
ł- + + xz dxłdydz + ł + + " dyłdxdz + ł- pzz - pzz - "pzz
yz
ł- dzłdxdy
ł
ł ł ł ł
xz xz yz yz
ł
"x "y "z
ł łł ł łł
ł łł
po uproszczeniu
ł ł
"pxx " yx "
zx
ł- + +
ł
ł łdxdydz
"x "y "z
ł łł
" "pyy "
ł ł
xy zy
ł - + (5)
ł
ł łdxdydz
"x "y "z
ł łł
"
ł ł
" "pzz
yz
xz
ł
+ - ł
ł łdxdydz
"x "y "z
ł łł
Aby element płynu był w równowadze
= Px + Fx + Bx = 0
"
P
ix
= Py + Fy + By = 0 (6)
"
P
iy
= Pz + Fz + Bz = 0
"
P
iz
więc
ł ł
"p dVx "pxx " yx "
zx
ł ł
- dxdydz + Xdxdydz - dxdydz +ł- + + = 0
łdxdydz
"x dt "x "y "z
ł łł
" "pyy "
ł ł
"p dVy
zy
ł ł
- dxdydz +Ydxdydz - dxdydz +ł xy - + = 0 (7)
łdxdydz
"y dt "x "y "z
ł łł
"
ł ł
"p dVz " "pzz
yz
ł
- dxdydz + Zdxdydz - dxdydz +ł xz + - ł
= 0
łdxdydz
"z dt "x "y "z
ł łł
r r r
Poniewa\ wektor V = V(x, y, z,t), to ka\da ze składowych wektora V te\ jest funkcją tych
samych zmiennych:
r r r r r r
Vx = Vx(x, y, z,t), Vy = Vy(x, y, z,t), Vz = Vz (x, y, z,t) (8)
20/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
Funkcje te są ciągłe i ró\niczkowalne, mo\na więc ró\niczkę zupełną przedstawić w
postaci sumy ró\niczek cząstkowych:
"Vx "Vx "Vx "Vx
dVx = dt + dx + dy + dz
"t "x "y "z
"Vy "Vy "Vy "Vy
dVy = dt + dx + dy + dz (9)
"t "x "y "z
"Vz "Vz "Vz "Vz
dVz = dt + dx + dy + dz
"t "x "y "z
lub (po podzieleniu przez dt)
dVx "Vx "Vx "Vx "Vx
dx dy dz
= + + +
dt "t "x dt "y dt "z dt
dVy "Vy "Vy dx "Vy dy "Vy dz
= + + + (9)
dt "t "x dt "y dt "z dt
dVz "Vz "Vz "Vz "Vz
dx dy dz
= + + +
dt "t "x dt "y dt "z dt
Poniewa\
dx dy dz
= Vx , = Vy , = Vz (10)
dt dt dt
więc
dVx "Vx "Vx "Vx "Vx
= + Vx + Vy + Vz
dt "t "x "y "z
dVy "Vy "Vy "Vy "Vy
= + Vx + Vy + Vz (11)
dt "t "x "y "z
dVz "Vz "Vz "Vz "Vz
= + Vx + Vy + Vz
dt "t "x "y "z
Wzór (11) przedstawia tzw. pochodne zupełne (substancjonalne) eulerowskiej metody
analizy lokalnej, składające się z dwu części: pochodnej lokalnej reprezentującej zmiany,
jakie zachodzą z upływem czasu dt w danym punkcie pola prędkości (w przepływach
ustalonych pochodna ta jest równa zeru) oraz pochodnej konwekcyjnej, obrazującej
zmiany, jakie zachodzą przy przesunięciu w czasie dt elementu płynu z punktu x, y, z do
nieskończenie blisko poło\onego punktu x+dx, y+dy, z+dz.
21/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
Zale\ność (11) podstawiamy do równania (7)
"p ł "Vx "Vx "Vx "Vx ł
- dxdydz + Xdxdydz +ł- - Vx - Vy - Vz ł dxdydz +
ł ł
"x "t "x "y "z
ł łł
ł ł
"pxx " yx "
zx
ł- + + =0
ł
ł łdxdydz
"x "y "z
ł łł
"Vy "Vy "Vy "Vy
ł ł
"p
ł ł
- dxdydz +Ydxdydz +ł- - Vx - Vy - Vz ł dxdydz +
"y "t "x "y "z
ł łł
" "pyy "
ł ł
xy zy
ł - + = 0
ł
ł łdxdydz
"x "y "z
ł łł
"p ł "Vz "Vz "Vz "Vz ł
- dxdydz + Zdxdydz +ł- - Vx - Vy - Vz ł dxdydz +
ł ł
"z "t "x "y "z
ł łł
"
ł ł
" "pzz
yz
xz
ł
+ - ł
= 0
ł łdxdydz
"x "y "z
ł łł
Po odniesieniu do jednostki objętości (dzieląc przez dxdydz) otrzymamy
ł
"p "Vx "Vx "Vx "Vx "pxx " yx " ł
zx
ł ł
- + X - - Vx - Vy - Vz +ł- + + = 0
ł
"x "t "x "y "z "x "y "z
ł łł
"Vy "Vy "Vy "Vy " "pyy "
ł ł
"p
zy
ł ł
- +Y - - Vx - Vy - Vz +ł xy - + = 0
ł
"y "t "x "y "z "x "y "z
ł łł
(13)
"
ł ł
"p "Vz "Vz "Vz "Vz " "pzz
yz
ł
- + Z - - Vx - Vy - Vz +ł xz + - ł
= 0
ł
"z "t "x "y "z "x "y "z
ł łł
lub przekształcając (przenosząc i dzieląc przez ( 1))
"Vx "Vx "Vx "Vx "pxx " yx "
"p
zx
+ Vx + Vy + Vz + = - + + + X
"t "x "y "z "x "x "y "z
"Vy "Vy "Vy "Vy " "pyy "
"p
xy zy
+ Vx + Vy + Vz + = - + + Y
"t "x "y "z "y "x "y "z
(14)
"
"Vz "Vz "Vz "Vz " "pzz
"p
yz
xz
+ Vx + Vy + Vz + = + - + Z
"t "x "y "z "z "x "y "z
Dla płynu ściśliwego gęstość nie jest stałe, musi więc wejść pod znak ró\niczki
"( VxVy)+
"pxx " yx "
"(Vx) "(VxVx) "( VxVz) "p
zx
+ + + = - + + + X
"t "x "y "z "x "x "y "z
22/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
"(Vy )+ "(VyVx)+ "( VyVy )+ "( VyVz ) " "pyy "
"p
xy zy
+ = - + + Y
"t "x "y "z "y "x "y "z
(15)
"( VzVy )+ "
"
"( Vz ) "( VzVx ) "( VzVz ) "p "pzz
yz
xz
+ + + = + - + Z
"t "x "y "z "z "x "y "z
Przyjmując odpowiednio, \e
X = bx, Y = by, Z = bz (16)
oraz
pxx = xx, pyy = yy, pzz = zz (17)
powy\sze równania mo\na zapisać symbolicznie w postaci skróconej
" " "
c
(Vi ) + (ViV + p ) = ( ) + bi (18)
j ij ij
"t "j "j
gdzie i, j = x, y, z (dla jednego równania i jest stałe, zaś j przyjmuje wartości x, y, z).
W postaci wektorowej równanie (16) przyjmie postać
r r r t r
" t
cakowite
(V ) + div(V " V + pI) = div( ) + b . (19)
"t
Mo\na wykazać, \e w istocie stan napięcia w ka\dym punkcie przestrzeni wypełnionej
płynem lepkim określony jest liczbową wartością, nie dziewięciu, a sześciu naprę\eń.
Równanie momentów względem osi x ma następującą postać (kierunek dodatni od osi y
do z)
"
ł ł "
1 1 1 ł xz 1
xy
dydz dz - ł ł
ł
xy
ł xy + "x dxłdydz 2 dz - xzdydz 2 dy + ł xz + "x dxłdydz 2 dy +
2
ł łł
ł łł
"pyy "
ł ł ł ł
1 1
yz
ł ł ł
+ pyy + dyłdxdz dz - pyydxdz dz + + dyłdxdzdy - (20)
ł ł yz "y ł
"y 2 2
ł łł ł łł
"
ł ł
"pzz 1 1
ł
zy
- ł ł
pzz + dzłdxdy dy + pzzdxdy dy - ł
ł zy + "z dz ł
łdxdydz = 0
"z 2 2
ł łł
ł łł
Po uproszczeniu i pominięciu małych czwartego rzędu
( - )dxdydz = 0
yz zy
skąd
- = 0. (21)
yz zy
23/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
Podobnie
- = 0 ,
zx xz
- = 0 .
xy yx
Tak więc naprę\enia styczne zbie\ne na tej samej krawędzi są sobie równe (istnieje
symetria naprę\eń stycznych).
Podstawowym zało\eniem, pozwalającym związać ilościowo stan naprę\eń
powierzchniowych z polem prędkości, jest zało\enie proporcjonalności tych naprę\eń do
odkształceń. Wzór podany przez Newtona na naprę\enie styczne w przypadku przepływu
płaskiego stanowi najprostsze sformułowanie tego zało\enia
"V
= . (22)
"n
Współczynnik proporcjonalności wskazuje, jak du\y będzie przyrost prędkości na
kierunku n, w jednostce czasu dt, w warstwach płynu oddalonych od siebie o odległość
"V
dn (rys. 1.).
dndt
"n "V
n
V + dn
"n
"V
dt
d
"n
V
s
ds
Rys. 1. Odkształcenie kątowe elementu płynu.
"V
Wartość stanowi prędkość odkształcenia kątowego elementu dnds. Naprę\enia
"n
powierzchniowe styczne mogą wystąpić tylko w przypadku odkształceń kątowych
elementu płynu.
24/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
y
"Vy
dą + d "Vx
yx+dy
"Vx
= +
d = dt
dt "x "y
"y
x
xy+dx
x
"Vy
y
dą = dt
"x
Rys. 2. Odkształcenia elementu płynu w układzie kartezjańskim na ściance dxdy.
W układzie kartezjańskim zale\ności te przyjmą następującą formę (rys. 2):
ńł "Vy "Vx
ł ł
ł
ł = = ł "x + "y ł
xy yx
ł
ł łł
ł
ł
ł "Vz ł
ł = zy = ł + "Vy ł
ł , (23)
ł
yz
ł
"y "z
ł łł
ł
ł
"Vx "Vz
ł
ł
zx = xz = ł +
ł ł
"z "x
ł ł łł
ół
według której mo\na obliczyć pochodne cząstkowe poszczególnych składowych
naprę\eń
ńł" xy "2Vy "2Vx ńł" yx "2Vx "2Vy
ł ł ł ł
ł ł
= ł + = ł +
ł ł
ł ł ł ł
"x "x"x "y"x "y "y"y "x"y
ł ł
ł łł ł łł
ł ł
"2Vz ł "2Vz "2Vy ł
ł" ł "2Vy ł" ł
zy yz
ł ł
= ł + , = ł + . (24)
ł ł
ł ł ł ł
"z "z"z "y"z "y "y"y "z"y
ł ł łł ł ł łł
ł ł
ł ł
xz zx
ł" = ł "2Vz + "2Vx ł ł" = ł "2Vx + "2Vz ł
ł ł ł ł
ł ł
ł ł
"x "x"x "z"x "z "z"z "x"z
ł łł ł łł
ół ół
Do dalszych rozwa\ań wykorzystane będzie równanie (14) z uwzględnieniem warunku
(17)
25/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
ńł "Vx "p "pxx " yx "
"Vx "Vx "Vx
zx
+ Vx + Vy + Vz + = - + + + X
ł
"t "x "y "z "x "x "y "z
ł
ł
"Vy "p " "pyy "
ł"V "Vy "Vy xy zy
y
+ Vx + Vy + Vz + = - + + Y (25)
ł
"t "x "y "z "y "x "y "z
ł
ł"Vz "Vz
"
"Vz "Vz "p " "pzz
yz
xz
ł + Vx + Vy + Vz + = + - + Z
ł "t "x "y "z "z "x "y "z
ół
lub krócej jako
ńł "pxx " yx "
dVx "p
zx
+ = X - + +
ł
dt "x "x "y "z
ł
ł
" "pyy "
"p
łdV xy zy
y
+ = Y + - + (26)
ł
dt "y "x "y "z
ł
łdVz "p
"
" "pzz
yz
xz
ł + = Z + + -
ł dt "z "x "y "z
ół
Po podstawieniu odpowiednich ró\niczek cząstkowych wg zale\ności (24) otrzymamy
ńłdVx "p
ł ł
"pxx ł "2Vx "2Vy ł ł "2Vx "2Vz ł
ł
ł + = X - + ł + + ł +
ł
ł ł
dt "x "x "y"y "x"y "z"z "x"z
ł
ł łł
ł łł
ł
ł ł ł ł
"2Vy "2Vx ł "pyy "2Vy "2Vz ł
łdV "p
y
+ = Y + ł + - + ł +
ł
ł ł ł ł
dt "y "x"x "y"x "y "z"z "y"z
ł
ł łł ł łł
ł
ł
ł
łdV + "p = Z + ł "2Vz + "2Vx ł + ł "2Vz + "2Vy ł - "pzz
z
ł
ł ł
ł
ł
ł ł
dt "z "x"x "z"x "y"y "z"y "z
ł łł
ł łł
ół
Po przekształceniach
ńłdVx "p
"pxx ł "2Vx "2Vy "2Vx "2Vz ł
ł
ł + = X - + ł + + +
ł ł
dt "x "x "y"y "x"y "z"z "x"z
ł
ł łł
ł
ł ł
"pyy "2Vy "2Vx "2Vy "2Vz ł
łdV "p
y
+ = Y - + ł + + +
ł
ł ł
dt "y "y "x"x "y"x "z"z "y"z
ł
ł łł
ł
ł
łdV + "p = Z - "pzz + ł "2Vz + "2Vx + "2Vz + "2Vy ł
z
ł
ł
ł ł
dt "z "z "x"x "z"x "y"y "z"y
ł łł
ół
26/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
11. RUCH ELEMENTU PAYNU
Rozpatrzmy element płynu pozostający w ruchu, jak poglądowo pokazuje to rysunek.
Sytuacja pokazana jest w chwili ustalonej t0. Stąd wewnątrz elementu odległości od
punktu 0 (dowolnie obrany punkt) oznaczone będą symbolem "r . Punkt 0 nazwiemy
biegunem. Punkt A jest dowolnym punktem wewnątrz elementu, ró\nym od bieguna.
uA "u
y
A u0
t0 0
"r u0
rA
r0
x
z
Mamy więc relację:
rA = r0 + "r . (1)
Je\eli powy\szy związek zró\niczkujemy względem czasu, to otrzymamy
drA dr0 d("r) (2)
= +
dt dt dt
Relację tę mo\na zapisać
d("r)
uA = u0 + (3)
dt
Z drugiej strony, wektor prędkości w punkcie A mo\e być zapisany jako
uA = u0 + "u . (4)
Stąd wynika, i\
d("r)
= "u . (5)
dt
Związek między wektorami "u i "r mo\na zapisać jako
"u
"u = "r . (6)
"r
Podstawiając powy\szą zale\ność do wzoru (4) otrzymamy
"u
uA = u0 + "r (7)
"r
27/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
Tensor "u/"r mo\na przedstawić w postaci dwóch tensorów symetrycznego D
i niesymetrycznego A - poprzez następujące przekształcenie:
"u 1 "u 1 "u
ł ł ł ł
= - gradu + + gradu (8)
ł ł ł ł
"r 2 "r 2 "r
ł łł ł łł
lub
"u
= A + D (9)
"r
gdzie
1 "u
ł ł
A = - gradu (10)
ł ł
2 "r
ł łł
1 "u
ł ł
D = + gradu (11)
ł ł
2 "r
ł łł
Poniewa\
"u = "ui + "uj + "uk , (12)
"r = "xi + "yj + "zk .
mamy więc
"ux "ux "ux
ł łł
ł śł
"x "y "z
ł śł
"u
ł"uy "uy "uy śł
= (13)
ł śł
"r "x "y "z
ł"u "uz "uz śł
z
ł śł
"x "y "z
ł śł
ł ł
Gradient u mo\na otrzymać jako wynik iloczynu diadycznego gradientu i wektora u:
ł " " " ł
gradu = ł i + j + k ł(uxi + uy j + uzk), (14)
ł ł
"x "y "z
ł łł
skąd po wykonaniu działań otrzymamy
ł łł
"ux "uy "uz
ł śł
"x "x "x
ł śł
x
ł"u "uy "uz śł
gradu = . (15)
ł śł
"y "y "y
ł"u "uy "uz śł
x
ł śł
ł śł
"z "z "z
ł ł
28/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
Na podstawie wzorów (12) i (15) mo\na obliczyć składowe tensorów A i D:
ł "uy "ux 1 ł "ux "uz łłł
ł ł
1
0 - ł - ł
ł - łśł
ł
ł ł
2 "x "y 2 "z "x
ł łłśł
ł łł
ł
ł
"uy "ux
ł ł ł łśł
1 1 "uz "uy
ł - ł
A = 0 - ł - łśł
(16)
ł
ł ł ł ł
2 "x "y 2 "y "z
ł ł łł ł łłśł
ł śł
ł ł
"ux "uz
1 ł ł 1 "uz "uy
ł - ł
0
ł- ł - ł śł
ł ł
2 "z "x 2 "y "z
ł ł łł śł
ł łł
ł ł
ł
ł ł
"ux 1 "ux "uy ł "ux "uz
1 ł łłł
ł
+ +
ł łśł
ł
ł ł
"x 2 "y "x 2 "z "x
ł łłśł
ł łł
ł
ł1 ł "ux ł
"uy "uy "uy "uz
ł łśł
1
ł ł ł łśł
D = + + (17)
ł
ł ł ł ł
"y "x "y 2 "z "y
ł2 ł łł ł łłśł
ł1 ł "ux "uz ł 1 ł "uz ł
"uy
"uz śł
ł ł
+ +
ł ł ł śł
ł ł
2 "z "x 2 "z "y "z
ł ł łł śł
ł łł
ł ł
Po uwzględnieniu rozbicia tensora "u/"r wzór (7) otrzyma ostateczną postać
uA = u0 + A0"r + D0"r (18)
gdzie wszystkie pochodne w tensorach A i D są wyznaczane dla punktu 0, co zostało
oznaczone indeksami A0 i D0.
Wzór (18) stanowi zapis pierwszego twierdzeniu Helmholtza, które mówi, \e prędkość
dowolnego punktu elementu płynu składa się z trzech prędkości:
- prędkości postępowej punktu obranego za biegun u0;
- prędkości obrotowej dookoła osi przechodzącej przez biegun z prędkością kątową
0, której wektor wyznacza oś obrotu;
- prędkości deformacji elementu płynu D0"r.
29/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
Składowe tensora A stanowią wartości prędkości kątowych względem osi x, y, z
ł - łł
0
z y
ł śł
A = 0 -
z x
ł śł
ł- y x 0 śł
ł ł
Tensor deformacji D mo\na rozło\yć na dwa tensory tensor deformacji liniowych oraz
tensor deformacji kątowych:
ł
ł ł
1 "ux "uy ł "ux "uz
1 ł łłł
"ux
ł łł
ł
0 + +
ł łśł
ł
0 0 ł ł
ł śł 2 "y "x 2 "z "x
ł łłśł
ł łł
ł
"x
ł
ł1 ł
"uy śł "ux "uy "uy "uz
ł ł łśł
1
ł śł
ł ł ł łśł
D = 0 0 + + 0 +
ł
ł ł ł ł
ł "y śł "y "x 2 "z "y
ł2 ł łł ł łłśł
ł
"uz śł ł1 ł "ux "uz ł 1 ł "uy "uz ł
śł
0 0
ł śł
ł ł
+ + 0
ł ł ł śł
"z ł ł
ł ł
2 "z "x 2 "z "y
ł ł łł śł
ł łł
ł ł
30/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
12. GRADIENT SKALARA
W polu skalarnym L = F(x,y,z,t), w zało\eniu, \e funkcja F jest ciągła i mająca pochodną
we wszystkich punktach pola, istnieją zawsze pewne powierzchnie (dla pola ustalonego
zawsze te same, dla pola nieustalonego w danej chwili t) określone równaniem L =
F(x,y,z) = const, na których wartość danego skalara jest stała. Mogą to być powierzchnie
równych ciśnień, temperatur, gęstości, itd.
Istnieje pewna wielkość stanowiąca nowe pole, zale\ne od danego pola skalarnego,
charakteryzująca zmienność skalara przy przejściu od jednej powierzchni stałej jego
wartości L = C1 do sąsiedniej L = C2.
B
C
L = C2 dn
L = C1 A ds
Najkrótszą drogą przejścia od pewnego punktu A powierzchni L = C1 do powierzchni L
r
= C2 jest odcinek normalnej n , poprowadzonej w punkcie A, zawarty między tymi
dwiema powierzchniami. Wyra\enie
C2 - C1
dL
= (1)
lim
AB dn
AB)
określa wielkość zwaną gradientem skalara. Gradient skalara jest wektorem, którego
kierunek w ka\dym punkcie określa orientację elementu powierzchni L = const
obejmującego dany punkt. Wektor ten jest skierowany zgodnie z normalną
odpowiedniego elementu powierzchni L = const. Dodatni zwrot gradientu skalara
przyjmuje się zazwyczaj w stronę rosnących wartości skalara.
31/32
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
Nowy wektor oznaczmy literą G
r
dL r dF r
G = gradL = n = gradF(x, y, z) = n (2)
dn dn
dL dF
Wartość pochodnej = stanowi tutaj moduł gradientu G.
dn dn
W polu ustalonym lub w danej chwili t w polu nieustalonym
"F "F "F
dL = dF = dx + dy + dz . (3)
"x "y "z
Je\eli dx, dy, dz oznaczają składowe dowolnego przesunięcia ds z danej powierzchni
L = C1 do powierzchni L = C2 (na przykład od punktu A do C, je\eli AC 0), to
dL dL
G = = (4)
dn ds cos
skąd
dL
= G cos , (5)
ds
dL = Gds cos . (6)
Wzory (4-6) dowodzą, \e ró\nica wartości pomiędzy dwiema powierzchniami o stałej
wartości pola L, nie zale\y od poło\enia punktów na tych powierzchniach, a tylko od
odległości tych powierzchni.
32/32
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
MES METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W WYBRANYCH ZAGADNIENIACH MECHANIKI KONSTRUKCJI INŻYNIERSKICHMES w wybranych zagadnieniach mechaniki konstrukcji inżynierskich Łodygowski, Kąkolmechanika plynow zagadnienia do egzaminumechanika plynow opracowanie zagadnienMechanika płynów dzienne energetyka0h Wyklad 6I Wybrane zagadnienia Internetu SLAJDY [tryb zgodności]3 Standardy urbanistyczne dla terenow mieszkaniowych wybrane zagadnieniaAnalizowanie wybranych zagadnień prawa materialnegoEneida wybrane zagadnieniaWykład 2 Wybrane zagadnienia dotyczące powierzchnii elementów maszynwięcej podobnych podstron