Zadanie 8
Twierdzenie CASTIGLIANO (omówić + wzorki)
Wyznaczyć dla belki pokazanej na rysunku, obciążonej obciążeniem ciągłym q,
przemieszczenia w punkcie B:
ż yB ugięcie w punkcie B
ż vB kąt ugięcia (kat obrotu) w punkcie B
Zaliczenie:
Opracowanie ZADANIA przesłać w formie elektronicznej (np. word, pdf) w terminie 2 tygodni po
wygłoszonym referacie na adres:
piotr.paczos@put.poznan.pl
plik zapisać w postaci:
Nazwa Grupy_Nazwisko1Pierwsza litera imienia_ Nazwisko2Pierwsza litera imienia_zadanie numer.doc, np.
M1_PaczosP_TomczykT_ZAD1.doc
TEORIA
Energię sprężystą dowolnego układu można przedstawić w postaci kwadratowej funkcji jednorodnej
sił obciążających układ.
5[ 5[
1
5I = " " 55V5X5C5V5C5X ,
2
5V=1 5X=1
gdzie: 55V5X - liczby wpływowe.
Siły zewnętrzne 5C5V , czyli 5C1 , 5C2 , & , 5C5[ przyjmujemy jako zmienne niezależne i różniczkujemy
powyższe wyrażenie cząstkowo względem dowolnej siły zewnętrznej 5C5V .
55I 1 1 1
( ) ( ) ( )
= 5C1 515V + 55V1 + 5C2 525V + 55V2 + " + 5C5V55V5V + 5C5[ 55[5V + 55V5[
55C5V 2 2 2
Ponieważ zgodnie z twierdzeniem Maxwella o wzajemności przemieszczeń jest 515V = 55V1, 525V + 55V2 ,
55[5V + 55V5[ więc wyrażenie przyjmuje postać:
55I
= 5C155V1 + 5C255V2 + " + 5C5V55V5V + " + 5C5[55V5[
55C5V
Prawa strona tego wyrażenia to przemieszczenie 5b5V punktu i układu w kierunku działania siły
zewnętrznej 5C5V .
Przyjmując kolejno 5V = 1,2, & , 5[ otrzymamy ostatecznie:
5O5}
= 5
5؊ - 5{5Ś5؊5ą5ؓ55؛5ą5Ź5؊5ą 5j55"5ؕ5؊5؈5ć5؊55Ź5ؐ
5O5w5؊
Pochodna cząstkowa energii sprężystej względem dowolnej zewnętrznej siły uogólnionej jest równa
przemieszczeniu uogólnionemu w punkcie działania tej siły.
Siła uogólniona jest to siła skupiona lub moment zewnętrzny, a odpowiadające przemieszczenia
uogólnione to przemieszczenia liniowe punktu działania siły lub momentu.
Postać ogólna twierdzenia Castigliano może być stosowana w także tych przypadkach kiedy
obciążenie jest typu złożonego i znane są podstawowe siły wewnętrzne rozważanego układu
sprężystego, jak:
M moment gnący M = M(x)
T siła tnąca, poprzeczna, ścinająca T = T(x)
N siła normalna N=N(x)
M moment skręcający M = M (x)
s s s
Energia sprężysta odkształcenia dla pojedynczego pręta o długości l wynosi:
5I = 5I5g5T5V5[ + 5I5_5\5g5P/ś5P5V5`5X + 5Iś5P5V5[ + 5I5`5X5_ę5P
5Y 5Y 5Y 5Y
1 5@25Q5e 1 5A25Q5e 1 5G25Q5e 1 5@5`25Q5e
5I = +" + +" + 5X2 +" + +"
2 585< 2 5854 2 5:54 2 5:5<0
0 0 0 0
Po wykorzystaniu powyższego wyrażenia na energię sprężystą wzór Castigliano przyjmie postać
ogólną dla pojedynczego pręta o długości 5Y :
5Y
55I 5@ 55@ 5A 55A 5G 55G 5@5` 55@5`
= 5b5V = +" [ " + " + 5X2 " " + " ] 5Q5e
55C5V 585< 55C5V 5854 55C5V 5:54 55C5V 5:5<0 55C5V
0
W przypadku gdy chcemy obliczyć kąt obrotu (kąt ugięcia) belki to obciążeniem zewnętrznym jest
5@5V. Twierdzenie Castigliano przyjmuje postać:
5Y
55I 5@ 55@ 5A 55A 5G 55G 5@5` 55@5`
= 55V = +" [ " + " + 5X2 " " + " ] 5Q5e
55@5V 585< 55@5V 5854 55@5V 5:54 55@5V 5:5<0 55@5V
0
W przypadku rozwiązywania belek, w których dominujące jest zginanie najistotniejszy jest pierwszy
składnik uwzględniający energię zginania. Pozostałe składniki można pominąć i twierdzenie
Castigliano przyjmie postać:
5Y
55I 1 55@(5e)
5b5V = = +" 5@(5e) 5Q5e - 5|5؈5؊ę5"5؊5ą
55C5V 585< 55C5V
0
5Y
55I 1 55@(5e)
55V = = +" 5@(5e) 5Q5e - 5rą5ؕ 5
5؈5؊5ą5"5؊5
55@5V 585< 55@5V
0
WAŻNE! W miejscu, w którym wyznaczamy przemieszczenie musi znajdować się siła uogólniona,
natomiast jeśli nie występuje, to dodajemy w tym miejscu dodatkową, fikcyjną, siłę, której wartość
wynosi 0.
5C59 = 0
ROZWIZANIE:
W tym zadaniu wprowadziliśmy dodatkową siłę i moment w punkcie C. Dzięki temu pojawiły się one
w równaniu momentów i możliwe jest wykorzystanie tego równania w celu obliczenia ugięcia i kąta
skręcenia w tym punkcie w sposób analogiczny do przedstawionego przez nas rozwiązania dla punktu
B.
( )
5@ 5e1 = -5C59555e1 - 5@5955
5e2 - 5N
( ) ( ) ( )
5@ 5e2 = -5C59555e2 - 5C5956 5e2 - 5N - 5^ 5e2 - 5N - 5@5955 - 5@5956
2
55@(5e1) 55@(5e1)
= -5e1 = -1
55C5955 55@5955
55@(5e2) 55@(5e2)
= -5e2 = -1
55C5955 55@5955
5N 25N
55I 55I1 55I2 1 55@(5e1) 1 55@(5e2)
( ) ( )
5f55 = = + = +" 5@ 5e1 5Q5e1 + +" 5@ 5e2 5Q5e2
55C5955 55C5955 55C5955 585< 55C5955 585< 55C5955
0 5N
5N 25N
55I 55I1 55I2 1 55@(5e1) 1 55@(5e2)
( ) ( )
5I55 = = + = +" 5@ 5e1 5Q5e1 + +" 5@ 5e2 5Q5e2
55@5955 55@5955 55@5955 585< 55@5955 585< 55@5955
{
0 5N
0 0
5N 0 0 25N
1 1 (5e2 - 5N)2
(-5e1 ( )
)
5f55 = +" (-5C59555e1 - 5@5955) 5Q5e1 + +" (-5C59555e2 - 5C5956 5e2 - 5N - 5^
585< 585< 2
0 5N
-5@5955 - 5@5956)(-5e2)5Q5e2
0
0
25N
1 ( - 5N
5e2 )2
5f55 = +" (-5^ ) (-5e2)5Q5e2
585< 2
5N
25N
1 5^
2
5f55 = +" (5e2 - 25e25N + 5N2)5e25Q5e2
585< 2
5N
25N
1 5^
3 2
5f55 = +" (5e2 - 25e25N + 5e25N2)5Q5e2
585< 2
5N
4 3 2
1 5^ 5e2 25e25N 5e25N2 25N
5f55 = [( - + )| ]
585< 2 4 3 2 5N
1 5^ 165N4 5N4 25N4 5N4
5f55 = (45N2 - + 25N4 - + - )
585< 2 3 4 3 2
75^5N4
5f55 =
24585<
0
0 0
5N 0 25N
1 1 (5e2 - 5N)2
(-1 ( )
)
5I55 = +" (-5C59555e1 - 5@5955) 5Q5e1 + +" (-5C59555e2 - 5C5956 5e2 - 5N - 5^
585< 585< 2
0 5N
-5@5955 - 5@5956)(-1)5Q5e2
0 0
25N
1 (5e2 - 5N)2
5I55 = +" (-5^ ) (-1)5Q5e2
585< 2
5N
25N
1 5^
5I55 = +" (5e2 - 5N)25Q5e2
585< 2
5N
1 5^ (5e2 - 5N)3 25N
5I55 = [( )| ]
585< 2 3 5N
1 5^ 5N3
5I55 = ( )
585< 2 3
5^5N3
5I55 =
6585<
WARIANT II
( )
5@ 5e1 = -5C59555e1 - 5@5955
2
5^5e2
( )
5@ 5e2 = -5C5955(5e2 + 5N) - 5C59565e2 - - 5@5955 - 5@5956
2
5N 5N
55I 55I1 55I2 1 55@(5e1) 1 55@(5e2)
( ) ( )
5f55 = = + = +" 5@ 5e1 5Q5e1 + +" 5@ 5e2 5Q5e2
55C5955 55C5955 55C5955 585< 55C5955 585< 55C5955
0 0
5N 5N
55I 55I1 55I2 1 55@(5e1) 1 55@(5e2)
( ) ( )
5I55 = = + = +" 5@ 5e1 5Q5e1 + +" 5@ 5e2 5Q5e2
55@5955 55@5955 55@5955 585< 55@5955 585< 55@5955
{ 0 0
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
szklarnia 2id 491M3 4 2zad8 1M3 3 9instrukcja bhp przy szklarskich robotach budowlanychhamann m3 eFm3M3 5 2M3 4 4więcej podobnych podstron