RACHUNEK PRAWDOPODOBIEOSTWA
Elementarnym pojęciem w rachunku prawdopodobieostwa jest zdarzenie elementarne w�
tzn. możliwy wynik pewnego doświadczenia
np. rzut monetą: wyrzucenie orła lub reszki
narodziny człowieka: urodzenie się chłopca lub dziewczynki
rzut kostką: wyrzucenie ścianki z odpowiednią liczbą oczek itp.
Def. Przestrzenią zdarzeo elementarnych nazywamy zbiór W�={5��1, 5��2, & + składający się z
wszystkich możliwych zdarzeo elementarnych w danym doświadczeniu.
Zdarzeniem nazywamy dowolny podzbiór A �� W�.
s�-algebrą zdarzeo w przestrzeni W� nazywamy rodzinę (zbiór) zdarzeo S� taki, że:
1. � �� S�
2. A �� S� �� A �� S�
3. "5�V� " !: 5�4�5�V� " S� �� 5�4�5�V� = 5�4�1 *" 5�4�2 *" �" *" 5�4�5�[� *" �" " S� ( suma może byd
5�V�
skooczona lub nie)
Wniosek: Jeżeli S� jest s�-algebrą zdarzeo w przestrzeni W�, to W� �� S�.
Oznaczenia: zdarzenie Ć� nazywamy zdarzeniem niemożliwym
zdarzenie A = W� \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A
zdarzenie W� nazywamy zdarzeniem pewnym
Wniosek: Jeżeli "5�V�: 5�4�5�V� " S�, to 5�4�5�V� " S�
5�V�
Np.
1. Robotnik wyprodukował n elementów pewnego urządzenia. Niech zdarzenie 5�4�5�V� polega na
tym, że i-ty element jest wadliwy (i=1,& ,n). Zapisz zdarzenia:
a) A-żaden z elementów nie jest wadliwy: A = 5�4�12 )" 5�4�2 )" �" )" 5�4�5�[�2
2
b) B-co najmniej jeden element jest wadliwy: B = 5�4�1 *" 5�4�2 *" �" *" 5�4�5�[�
5�[�
5�[�
c) C-tylko jeden element jest wadliwy: C = ,5�4�5�V� )" 5�4�5�X�2 -
5�X�<1
5�V�<1 5�X�`"5�V�
d) D-co najwyżej jeden element nie jest wadliwy:
5�[�
5�[�
D = (5�4�1 )" 5�4�2 )" �" )" 5�4�5�[�) *" ,5�4�5�V�2 )" 5�4�5�X�-
5�X�<1
5�V�<1 5�X�`"5�V�
2. Rzucamy monetą tak długo, aż upadnie dwa razy pod rząd na tę samą stronę. Opisz przestrzeo
zdarzeo elementarnych oraz zdarzenia:
a) gra skooczy się przed piątym rzutem
b) będzie potrzebna parzysta liczba rzutów
c) moneta nigdy nie upadnie pod rząd na tę samą stronę
W� = { (5�_�1, 5�_�2, & , 5�_�5�[�): 5�[� e" 2 '" 5�_�5�V� " *5�B�, 5�E�+ '" 5�_�5�[�;1 = 5�_�5�[� '" 5�_�5�V� `" 5�_�5�V�;1, 5�Q�5�Y�5�N� 5�V� < 5�[� }
A = {(O,O),(R,R),(O,R,R),(R,O,O),(R,O,R,R),(O,R,O,O)}
B = {(5�_�1, 5�_�2, & , 5�_�5�[�): 2|5�[� '" 5�_�5�V� " *5�B�, 5�E�+ '" 5�_�5�[�;1 = 5�_�5�[� '" 5�_�5�V� `" 5�_�5�V�;1, 5�Q�5�Y�5�N� 5�V� < 5�[� }
C = {(5�_�1, 5�_�2, & , 5�_�5�[�, & ): 5�_�5�V� " *5�B�, 5�E�+ '" 5�_�5�V� `" 5�_�5�V�;1, 5�Q�5�Y�5�N� 5�V� " ! }
Def. Mówimy, że zdarzenia A i B wykluczają się �� A '� B = Ć�
Np. W doświadczeniu polegającym na wylosowaniu jednej karty z talii, zdarzenia A-wylosowanie
króla i B-wylosowanie damy wykluczają się.
Def. Niech W� będzie przestrzenią zdarzeo elementarnych, S� będzie s�-algebrą zdarzeo w W� .
Prawdopodobieostwem w przestrzeni W� nazywamy funkcję P: S� �� R� taką, że
1. "� A �� S�: 0 Ł� P(A) Ł� 1
2. P(W�) = 1
3. jeżeli {5�4�5�V�} jest zbiorem zdarzeo parami się wykluczających ( tzn. ią�j �� 5�4�5�V� )" 5�4�5�W� = Ć� ),
to 5�C� 5�4�5�V� = 5�C�(5�4�5�V�)
5�V� 5�V�
Wnioski: Jeżeli A,B �� S�, to
1. P(A ) = 1 - P(A)
2. Jeżeli B �� A, to P(A\B) = P(A)  P(B)
3. P(A(�B) = P(A) + P(B)  P(A'�B)
Def. Trójkę (W�,S�,P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Np. Doświadczenie polega na rzucie monetą.
W� = {O,R}, S� = {�,{O},{R},W�}, P(O) = P(R) = 1
2
Trójka (W�,S�,P) jest przestrzenią probabilistyczną dla tego doświadczenia.
Def. Mówimy, że zbiór zdarzeo {5�4�5�V�} jest niezależny ��
"5�V�1, 5�V�2, & , 5�V�5�[�: 5�C� 5�4�5�V�1 )" 5�4�5�V�2 )" �" )" 5�4�5�V�5�[� = 5�C� 5�4�5�V�1 " 5�C� 5�4�5�V�2 " �" " 5�C�(5�4�5�V�5�[�)
Np. W doświadczeniu polegającym na rzucie trzema monetami, jeżeli wiemy, że rzuty są od siebie
niezależne prawdopodobieostwo zdarzenia A-wyrzucono trzy orły wynosi
1 1
5�C� 5�4� = 5�C� 5�B�1 5�C� 5�B�2 5�C� 5�B�3 = ( )3=
2 8
gdzie 5�B�5�V� - wyrzucenie orła na i-tej monecie
PRZYKA
ADY OKREŚLANIA PRAWDOPODOBIEC
STWA
I. Prawdopodobieostwo klasyczne
Niech W� = 5�4�1 *" 5�4�2 *" �" *" 5�4�5�[�, gdzie 5�4�5�V� " S�, zbiór {5�4�5�V�} jest zbiorem zdarzeo parami
1
wykluczających się o jednakowych prawdopodobieostwach P(5�4�5�V�) = 5�[�.
5�X�
Jeżeli A = 5�4�5�V�1 *" 5�4�5�V�2 *" �" *" 5�4�5�V�5�X�, to prawdopodobieostwo A określamy jako P(A) = 5�[�.
Zdarzenia 5�4�5�V�1, 5�4�5�V�2, & , 5�4�5�V�5�X� nazywamy zdarzeniami sprzyjającymi zdarzeniu A.
Np.
1. Rzucamy kością do gry. Oblicz prawdopodobieostwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez 3.
Wszystkich zdarzeo elementarnych jest 6, zdarzeo sprzyjających A jest 2 �� P(A) = 2 = 1.
6 3
2. Z urny, w której jest mł�3 kul białych i nł�3 kul czarnych, losujemy ze zwracaniem 3 kule. Oblicz
prawdopodobieostwo wylosowania 3 kul czarnych.
I wariant rozwiązania: Zdarzenia wylosowania kuli czarnej za kolejnym razem są niezależne.
5�[� 5�[�
Prawdopodobieostwo wylosowania kuli czarnej za jednym razem wynosi 5�[�:5�Z�. P(A) = (5�[�:5�Z�)3.
3
II wariant: W� = {(5�X�1, 5�X�2, 5�X�3): 5�X�5�V� " *1, & , 5�[� + 5�Z�++, � = 5�[� + 5�Z�
A = {(5�X�1, 5�X�2, 5�X�3): 5�X�5�V� " *1, & , 5�[�++, 5�4� = 5�[�3
5�[�
P(A) = (5�[�:5�Z�)3.
3. Z urny, w której jest mł�3 kul białych i nł�3 kul czarnych, losujemy bez zwracania 3 kule. Oblicz
prawdopodobieostwo wylosowania 3 kul czarnych.
5�[� + 5�Z�
W� = {*5�X�1, 5�X�2, 5�X�3}: 5�X�5�V� " *1, & , 5�[� + 5�Z�++, � =
3
5�[�
A = {*5�X�1, 5�X�2, 5�X�3}: 5�X�5�V� " *1, & , 5�[�++, 5�4� =
3
5�[�(5�[�;1)(5�[�;2)
P(A) =(5�[�:5�Z�)(5�[�:5�Z�;1)(5�[�:5�Z�;2).
4. Losowo rozmieszczono n kul w n komórkach. Oblicz prawdopodobieostwo, że dokładnie jedna
komórka jest pusta.
� = 5�[�5�[�
dokładnie jedna komórka jest pusta jeżeli w jednej komórce są 2 kule, a w (n-2) komórkach po
5�[�
jednej kuli �� 5�4� = 5�[�!
2
5�[�;1 5�[�!
P(A) =
25�[�5�[�-1
II. Prawdopodobieostwo geometryczne
Niech W� będzie pewnym ograniczonym podzbiorem !5�X�, zdarzeniami z S� będą podzbiory W�
mające miarę m(A) (np. dla k=1 mające długośd, dla k=2 pole, dla k=3 objętośd).
5�Z�(5�4�)
Prawdopodobieostwo zdarzenia A określamy wzorem P(A) = 5�Z�(�) .
Np.
1. Na odcinku [0,1] umieszczamy losowo, tzn. zgodnie z prawdopodobieostwem geometrycznym
oraz niezależnie, dwa punkty x i y, które dzielą ten odcinek na trzy odcinki. Oblicz
prawdopodobieostwo, że można z tych odcinków zbudowad trójkąt.
Punkty x,y można traktowad jako współrzędne x i y punktu w� należącego do kwadratu o
wierzchołkach (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
Kwadrat ten będzie teraz przestrzenią W�.
m(W�)=1.
Aby z odcinków można było zbudowad trójkąt,
każdy z nich musi byd krótszy od 1.
2
Dla x2 2 2
m(A)=2��1 �� P(A) = 1
8 4
2. Losowo wybrano dwie dodatnie liczby x i y nie większe od 1. Oblicz prawdopodobieostwo, że
ich suma jest nie większa niż 1, a iloczyn nie mniejszy niż 0,09.
W� = [0,1]��[0,1], m(W�)=1
Zdarzenie A jest figurą zawartą pomiędzy wykresami
0,09
5�f� = 1 - 5�e� oraz 5�f� = .
5�e�
0,09
5�e� + - 1 = 0 �� x = 0,1 /� x = 0,9
5�e�
0,9 0,09
m(A) = (1 - 5�e� - )dx=0,4 - 0,095�Y�5�[�9
+"0,1
5�e�
P(A) = 0,4 - 0,095�Y�5�[�9
Def. Prawdopodobieostwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem zdarzenia B dane jest wzorem
5�C�(5�4� )" 5�5�)
5�C� 5�4� 5�5� = , dla 5�C� 5�5� > 0
5�C�(5�5�)
Prawdopodobieostwo warunkowe zdarzenia A jest prawdopodobieostwem tego zdarzenia,
w sytuacji, gdy zależy ono od dodatkowych warunków (zajścia zdarzenia B).
Wnioski:
1. Zdarzenia A i B są niezależne �� P(A) = P(A|B), gdy P(B)>0.
2. Jeżeli (W�,S�,P) jest przestrzenią probabilistyczną, B �� S� i P(B)>0, to (W�,S�,P( . |B)) jest
przestrzenią probabilistyczną (tzn. prawdopodobieostwo warunkowe spełnia aksjomaty
prawdopodobieostwa)
Np. Dane są dwie urny, w pierwszej są 2 czarne i 1 biała kula, a w drugiej 2 białe i 1 czarna.
Z pierwszej urny losujemy z prawdopodobieostwem 1, a z drugiej z prawdopodobieostwem 3.
4 4
Oblicz prawdopodobieostwo, że wyciągniemy czarną kulę z drugiej urny.
Niech A-wylosowanie kuli czarnej, B-wylosowanie urny drugiej.
P(B) = 3, P(A|B) = 1 �� P(A'�B) = P(A|B)P(B) = 1
4 3 4
Tw. wzór na prawdopodobieostwo całkowite
Jeżeli zbiór {5�4�5�V�}, 5�4�5�V� " S� jest zbiorem zdarzeo parami wykluczających się i 5�C�(5�4�5�V�) = 1, to
5�V�
5�C� 5�5� = 5�C� 5�5� 5�4�5�V� 5�C�(5�4�5�V�) , dla 5�5� " S�
5�V�
Tw. wzór Bayesa
Jeżeli zbiór {5�4�5�V�}, 5�4�5�V� " S� jest zbiorem zdarzeo parami wykluczających się i 5�C�(5�4�5�V�) = 1 oraz
5�V�
5�C� 5�5� 5�4�5�V� 5�C�(5�4�5�V�)
P(B)>0, to 5�C� 5�4�5�V� 5�5� = .
5�C�(5�5�)
Np.
1. Na taśmę trafiają wyroby wytwarzane przez dwa automaty. Stosunek ilościowy produkcji
pierwszego automatu do produkcji drugiego wynosi 3:2. Pierwszy automat wytwarza 65%
produktów pierwszej jakości, a drugi 85%. Z taśmy wybieramy jeden produkt. Oblicz
prawdopodobieostwo, że będzie to produkt pierwszej jakości.
5�4�5�V�-wybrany produkt jest wyprodukowany przez i-ty automat, A-wybrany produkt jest pierwszej
jakości
P(5�4�1) + P(5�4�2) = 1 i P(5�4�1) = 3 �� P(5�4�1) = 3 i P(5�4�2) = 2
P(5�4�2) 2 5 5
65 2 85 73
P(A) = P(5�4�1) P(A|5�4�1) + P(5�4�2) P(A|5�4�2) = 3 " + " = 100
5 100 5 100
2. Jeżeli produkt ma defekt, to automat wykrywa go w 90% przypadków, jeżeli nie ma defektu, to
mimo to automat informuje o defekcie w 1% przypadków. W partii jest 2% produktów mających
defekt. Oblicz prawdopodobieostwo, że losowo wybrany produkt wykryty jako uszkodzony, jest
rzeczywiście uszkodzony.
A-produkt jest uszkodzony, B-automat wykrył uszkodzenie
P(A) = 0,02; P(B|A) = 0,9; P(B|A ) = 0,01
0,9"0,02 0,018
P(A|B) = 5�C� 5�5� 5�4� 5�C�(5�4�) = = 0,018:0,01"0,98 = 0,6474
5�C�(5�5�) 5�C� 5�5� 5�4� 5�C� 5�4� :5�C� 5�5� 5�4�2 5�C�(5�4�2 )


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
IS3 wyklad7
IS3 wyklad9
IS3 wyklad10
IS3 wyklad4
IS3 wyklad5
IS3 wyklad8
IS3 wyklad6
Sieci komputerowe wyklady dr Furtak
Wykład 05 Opadanie i fluidyzacja
WYKŁAD 1 Wprowadzenie do biotechnologii farmaceutycznej
mo3 wykladyJJ
ZARZĄDZANIE WARTOŚCIĄ PRZEDSIĘBIORSTWA Z DNIA 26 MARZEC 2011 WYKŁAD NR 3
Wyklad 2 PNOP 08 9 zaoczne

więcej podobnych podstron