I Całka nieoznaczona
Funkcja pierwotna.
Jeżeli funkcja f (x) jest określona i ciągłą w przedziale otwartym (a,b) to każdą funkcję
'
F(x) taką, że F (x) = f (x) dla x (a,b) nazywamy funkcją pierwotną dla funkcji f (x) .
3
x x3 x3 x3
np. jeżeli f (x) = x2 to F(x) = , F(x) = + 1, F(x) = - 10, F(x) = + C gdyż pochodna
3 3 3 3
każdej z tych funkcji jest równa x2 .
Funkcje pierwotne danej funkcji f (x) .
Jeżeli funkcje F(x) i G(x) są funkcjami pierwotnymi dla danej funkcji f (x) to istnieje ta-
ka stała C, że G(x) = F(x) + C .
Całka nieoznaczona funkcji f (x) .
Zbiór wszystkich funkcji postaci F(x) + C , gdzie F(x) jest pewną funkcją pierwotną dla
funkcji f (x) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f (x) i oznaczamy symbolem f (x)dx zatem
f (x)dx = F(x) + C gdzie F(x) jest pewną funkcją pierwotną funkcji f (x)
Dwa podstawowe wzory rachunku całkowego.
(1) ( f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx
(2) cf (x)dx = c f (x)dx
Tablica całek podstawowych.
xr+1 1
(1) xrdx = + C, r ą -1 (2) dx = ln x + C
r +1 x
(3) xdx = - cos x + C (4) cos xdx = sin x + C
sin
1 1
(5) dx = -ctg x + C (6) dx = tg x + C
2
sin x cos2 x
1
ax
x x
(7) dx = + C (8) dx = ex + C
a e
ln a
1 1
(9) dx = arcsin x + C (10)
1+ x2 dx = arctg x + C
1- x2
Blok ćwiczeniowy 1. Podaj po trzy funkcje pierwotne dla funkcji:
a) f (x) = 3
b) f (x) = x
c) f (x) = 10x
d) f (x) = x3
1
e) f (x) =
x2
f) f (x) = x
Blok ćwiczeniowy 2.Oblicz całki nieoznaczone na podstawie tabeli całek
5
a) - x3 +1)dx
(2x
b) x4 3 xdx
x2 + x +1
c) dx
x
x4 -1
d) dx
x +1
2
e) dx
x2
1
f) dx
2x
g) 2xdx
cos
2
x2 + x + 3
h) (tg2 x +1)dx i)
x2 +1
Metoda całkowania przez części
Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w pewnym przedziale to
'
f (x) g'(x)dx = f (x) g(x) - f (x) g(x)
PRZYKAAD
'
f = x
f = 1
xcos xdx = = xsin x - sin xdx = xsin x + cos x + C
1
g' = cos x g = sin x
Metoda całkowania przez podstawienie
Jeżeli funkcja x = h(t) jest różniczkowalna to
f (x)dx = f (h(t))h'(t)dt
PRZYKAAD
1 1
(3 x -1)5dx podstawiamy t = x -1obliczamy x = 3t + 3, dx = (3t + 3)'dt = 3dt po podstawieniu
3
1 t6 1 1 1
5 5
mamy x -1)5dx = 3dt = 3 dt = 3 + C = t6 + C = ( x -1)6 + C
(3 t t
6 2 2 3
Blok ćwiczeniowy 3.Obliczyć całki metodą całkowania przez części:
a) xsin xdx
b) xexdx
c) xdx
ln
d)
arcsinxdx
e) x2 cos xdx
3
ln x
f) dx
x
2
h) xdx
sin
Blok ćwiczeniowy 4. Obliczyć całki metodą podstawiania stosując podane podstawienie
a) x(2x + 5)4dx, t = 2x + 5
b)
cos3xdx, t = 3x
3
c) xdx, t = cos x
sin
1 x
d) dx, t =
4 + x2 2
1 bx
e) dx, t =
a
a2 - b2x2
f) 1- x2 dx, x = sin t
4
II Całka oznaczona
1.Pomysł Archimedesa
Już Archimedes wiedział, że pole obszaru
1,2
ograniczonego przez parabolę y = x2 dla
1
1
x 0,1 i oś Ox jest równe .Obliczył to
3
0,8
pole przybliżając je polami prostokątów o
2
0,6
1 k
ć
podstawie i wysokości gdzie k= 1,
n n
Ł ł
0,4
2, 3, ...,n (patrz rys.1 dla n = 10 ). Pole poje-
0,2
1
dyńczego prostokąta o podstawie i wyso-
n
0
2 2
k 1 k k2
ć
kości wynosi: ć = , suma pól
Rys. 1 n n n n3
Ł ł Ł ł
12 + 22 + 32 +...+ n2
wszystkich takich prostokątów, dla k = 1, 2, 3, ... , n jest równa: .
n3
Na lekcjach z indukcji matematycznej sprawdzaliście z pewnością wzór na sumę kwadratów n ko-
1
lejnych liczb naturalnych, wynosi ona mianowicie: 12 + 22 + 32 + ...+ n2 = n(n +1)(2n +1) . Po
6
podstawieniu do wyrażenia na sumę pól prostokątów i wymnożeniu nawiasów otrzymamy:
2n3 + 3n2 + n
. Archimedes zaobserwował, że dla dużych wartości n wartość tego wyrażenia nie-
6n3
1
wiele różni się od , wystarczy więc obliczyć jego granicę, gdy n Ą . Wynosi ona:
3
3 1
2 + +
2n3 + 3n2 + n
n n2 2 + 0 + 0 1
lim = lim = =
nĄ nĄ
6n3 6 6 3
5
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
3 Blok ćwiczeniowy 5. Korzystając z pomysłu Archimedesa obliczyć pola obszarów ograniczo-
nych przez oś Ox i wykres fynkcji:
a) y = x3 dla x 0,2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
, , , , , , , ,
2 4 6 8 2 4 6 8
Ry&
1
b) y = dla x 1,2
x2
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Rys. 3
6
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
.2. Podejście Newtona Leibniza
Aby obliczyć pole P obszaru ograniczonego
przez wykres funkcji y = f (x) dla x a,b i oś
Ox Newton rozpatrywał funkcję P(x) dla
x a.b równą polu obszaru ograniczonego
przez wykres funkcji y = f (t) dla t a, x i oś
Ox (patrz rys. 4). Funkcja ta oprócz oczywistych
własności takich jak: P(a) = 0 i P(b) = P posia-
da bardzo ważną własność znaną jako Twierdze-
nie Newtona-Leibniza.
Twierdzenie Newtona Leibniza. Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła i nieujemna w przedziale do-
mkniętym a,b to funkcja P(x) jest różniczkowalna w tym przedziale i jest funkcją pierwotną
funkcji f (x) w przedziale a,b tzn. P' (x) = f (x).
"
x a,b
Niech F(x) będzie dowolną funkcją pierwotna funkcji f (x) z poprzedniego rozdziału wiemy, że
dwie funkcje pierwotne tej samej funkcji f (x) różnią się o pewną stałą liczbową C tzn.
P(x) = F(x) + C . Obliczmy więc tę stałą. Wiemy, że P(a) = 0 , po podstawieniu otrzymamy:
0 = F(a) + C , stąd C = -F(a) , po podstawieniu: P(x) = F(x) - F(a) . Możemy teraz łatwo obli-
czyć pole P naszego obszaru: P= P(b) = F(b) - F(a) gdzie F(x) jest dowolną funkcją pierwotną
funkcji f (x) .
Definicja całki oznaczonej. Całką oznaczoną funkcji f (x) w przedziale a,b nazywamy różnicę
b
F(b) - F(a) i oznaczamy symbolem f (x)dx . Mamy więc równość:
a
b
(2.1) f (x)dx = F(b) - F(a)
a
7
f (x) nazywamy funkcją podcałkową, a.b - przedział całkowania, a dolna granica całkowania,
b górna granica całkowania. Różnicę F(b) - F(a) zapisujemy często przy użyciu symbolu:
b
F(x) .
a
Blok ćwiczeniowy 6.
1. Obliczyć całki oznaczone:
1
1
1 1 1 1
a) x2dx = x3 = 13 - 03 =
3 3 3 3
0 0
e
e
1 1
b) dx = ln x = ln e - ln = 1- (-1) = 2
1
x e
e
1
e
4
c) xdx =
1
2
1
ć dx =
d) x2 +
x4
Ł ł
1
1
dx
e) =
4 - 4x2
0
3 x
3
f) dx =
e
0
3
x3 - 3x2 + 6
g) dx =
x2
1
p
4
h) 4xdx =
sin
0
e
i) x ln xdx =
1
Pole obszaru
8
Jeżeli funkcja f (x) jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale a,b to jak wynika z defi-
b
nicji, całka f (x)dx jest polem P obszaru będącego zbiorem punktów (x, y) płaszczyzny, których
a
współrzędne spełniają nierówności: a Ł x Ł b i 0 Ł y Ł f (x) .(patrz rys. 4)
b
(2.2) P = f (x)dx
a
Jeżeli funkcja f (x) jest funkcją ciągłą i niedo-
datnia w przedziale a,b to pole P obszaru bę-
dącego zbiorem punktów (x, y) płaszczyzny,
których współrzędne spełniają nierówności:
a Ł x Ł b i f (x) Ł y Ł 0 .(patrz rys. 5) jest rów-
b b
ne: f (x))dx = - f (x)dx tzn.
(-
a a
b
(2.3) P = - f (x)dx
a
Rys.5
Ze wzorów (2.2) i (2.3) wynika, że jeżeli g(x) i f (x) są ciągłe w przedziale a,b i g(x) Ł f (x)
dla każdego x a,b to pole P obszaru będącego zbiorem punktów (x, y) płaszczyzny, których
współrzędne spełniają nierówności: a Ł x Ł b i g(x) Ł y Ł f (x) .(patrz rys. 6) jest równe
b
( f (x) - g(x))dx , tzn.
a
b
(2.4) P = f (x) - g(x))dx
(
a
Przykład. Obliczyć pole obszaru ograniczonego
2
liniami y = sin x i y = x . Przyjmujemy za
p
9
p 2
a = 0 , b = , f (x) = sin x i g(x) = x dla x a,b mamy g(x) Ł f (x) . Korzystając ze wzoru
2 p
(2.4) obliczamy pole P:
p p p
2 2 2
2 2
ć
P= x - xdx = xdx - xdx =
sin sin p
p
Ł ł
0 0 0
korzystając z tablicy całek podstawowych obliczamy dalej:
2
ć 2
p
ć
p
p
ć
2
p
2 x2 2 p 2 2 02 2 p p
Ł ł
4
2
P = - cos x - = -cos - (- cos0) - - = 0 +1 - = 1- = 1-
0
p 2 2 p 2 2 p 2 4p 4
0
Ł ł
Ł ł
4 -p
Ostatecznie pole P = .
4
Blok ćwiczeniowy7.
Obliczyć pole obszaru ograniczone liniami:
a) y = 4 - x2, y = 0
b) xy = 4, x = 1, x = 4, y = 0
c) y = x2, y = 2 - x2
d) y = ln x, x = e, y = 0
e) y = x2 + 4x, y = x + 4
1
f) y = x ln x, x = , x = e, y = 0
e
1
g) y = 2, y = x2, y = 4
4
10
3. Podejście Riemanna
Aby obliczyć pole obszaru ograniczonego
przez wykres funkcji y = f (x) dla x a,b i
oś Ox . Riemann uogólnił pomysł Archimedesa
nadając mu przy tym ścisły sens matematyczny.
Zasadnicze wyniki podejścia Riemana można
streścić jak w poniższych punktach:
punkty a = c0 < c1 < ...ck -1 < ck < ...cn = b
wyznaczają podział przedziału a.b na n
niekoniecznie równych części, takich jed-
nak aby długość najdłuższego z tych przedziałów była zbieżna do 0 gdy n Ą
w każdym przedziale ck -1,ck wybieramy dowolne xk i wyznaczamy wartość f (xk ) , ozna-
czając dodatkowo długość przedziału ck -1,ck przez Dxk tworzymy sumę:
sn = f (x1) Dx1 + f (x2 ) Dx2 + ... + f (xn ) Dxn =
n
= f (xk ) Dxk zwaną n-tą sumą całkową funkcji w a.b .
k =1
Jeżeli dla każdego ciągu podziałów przedziału a.b ciąg sum całkowych sn jest zbieżny do tej
samej granicy skończonej niezależnie od wyboru punktów xk to granicę tę nazywamy całką
b
Riemanna funkcji f(x) w przedziale a.b i oznaczamy symbolem R f (x)dx mamy zatem:
a
b
R f (x)dx = lim sn
nĄ
a
Twierdzenie Riemanna Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym a,b , to istnieje
całka Riemanna funkcji f(x) w tym przedziale i jest ona równa całce oznaczonej funkcji f(x) w prze-
dziale a.b .
b b
R f (x)dx = f (x)dx
a a
11
Zastosowanie całki Riemanna
1). Objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu figury ograniczonej przez wykres funkcji
y = f (x) dla x a,b i oś Ox .
Dla podziału odcinka a,b wyznaczonego przez punkty x1, x2 ,..., xn (n=5 na rys. 8) przybliżamy
objętość bryły obrotowej objętościami walców o promieniu f (xi ) i wysokości Dxi tworząc sumę
2 2
całkową Sn = pf (x1 )Dx1 + ... + pf (xn )Dxn
granica tej sumy gdy n Ą jest równa całce
2
oznaczonej funkcji pf (x) w przedziale a,b
Z drugiej strony granica ta jest równa objętości
opisanej bryły obrotowej. Mamy więc wzór:
b
2
V = p f (x)dx
a
Przykład. Obliczyć objętość stożka obrotowego o promieniu r i wysokości h. Tworząca stożka mo-
r
że być zawarta w wykresie funkcji liniowej f (x) = x dla x 0, h . Należy obliczyć więc całkę
h
h
2
h
2 2
ć
r r2 h r x3 r h3 1
ć
2
V = p x dx = p x2dx = p = p = pr h
h 2 2
h h 3 h2 3 3
Ł ł
0 0
0
Ł ł
Blok ćwiczeniowy 8.
a) Oblicz objętość walca o promieniu r i wysokości h powstałego w wyniku obrotu tworzącej za-
wartej w wykresie funkcji f (x) = r dla x (0,h) dokoła osi Ox
12
b) Obliczyć objętość stożka ściętego o promieniu r1 , r2 gdzie r1 > r2 i wysokości h powstałego
r1 r2h
w wyniku obrotu tworzącej zawartej w wykresie funkcji f (x) = x dla x ( ,h) dokoła
h r1
osi Ox .
c) Obliczyć objętość kuli o promieniu r powstałej w wyniku obrotu wykresu funkcji
f (x) = r2 - x2 dla x (-r,r)
d) Obliczyć bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu figury zawartej pomiędzy parabolami
y = x2 i y = x
13
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
niweleta obliczenia rzednych luku pionowego teoria zadania1calki teoria zadaniaTeoria mnogosci zadania [Part 01 dvi]zadania teoria atomuTeoria sygnałów w zadaniach(1)Teoria Dystrybucji Glowacki Zadania p7teoria geochemia i zadaniaZadania Logika i teoria mnogosciwięcej podobnych podstron