Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Stan naprężeń i odkształceń
Równania konstytutywne
WYKAAD 2
Literatura
Rozdz. I, str. 11, BIELEWICZ E.: Wytrzymałość materiałów. PG, Gdańsk 1992 (lub inne wydania).
str. 2, CHRÓŚCIELEWSKI J.: Materiały pomocnicze do wykładu z Wytrzymałości Materiałów.
Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02A/1
Wytrzymałość Materiałów naprężenia, stan przestrzenny
Warunki równowagi
globalny na szczeblu ciała
tutaj wypadkowe siły F i momenty T należy rozumieć
w sensie uogólnionym, jako całki po objętości
ciała B lub podciała P " B . lokalny na szczeblu punktu (przekroju)
N N
równowaga sił (1 równanie wektorowe F = fn = 0 ! 3 skalarne fi n = 0, i = x,y,z );
" "
n=1 n=1
N N
równowaga momentów (1 wektorowe T = xfn = 0 ! 3 skalarne "ij xi fjn = 0, i, j = x,y,z);
" "
n=1 n=1
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02A/2
Wytrzymałość Materiałów naprężenia, stan przestrzenny
Pojęcie naprężenia
myślowy przekroju A ciała B,
orientację płaszczyzny A określa wersor n
w przekroju A występują siły wewnętrzne,
siły wewnętrzne zastępują oddziaływanie odciętej myślowo części ciała,
siły wewnętrzne utrzymujące podzielony układ w równowadze,
wektora naprężenia w punkcie (a) przekroju ciała A o orientacji n
"P
t a" a = lim
"A0
"A
składowe wektora naprężenia w punkcie
t a" a = n a + t a ,
składowa normalna =||(a)|| cosą ,
składowa styczna =||(a)|| siną ,
gdzie ą a" ((a),n).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02A/3
Wytrzymałość Materiałów naprężenia, stan przestrzenny
Przestrzenny stan naprężenia
poziom globalny, ciało
składowe wektora naprężenia t a" a = n a + t a
np. na ściance +x1, (+X ) określonej wektorem normalnym e1 (i )
elementarnego prostopadłościanu dV =dxdy dz mają postać
t(+X)=(+X)= i + j + k = ex + ey + ez =11e1 +12e2 +13e3
x xy xz xx xy xz
interpretacja i znakowanie, ścianki: a) przednie (+), b) tylne ( )
poziom lokalny, punkt
oznaczenia równoważne
współrzędne oraz wersory: x = X = x1, y =Y = x2 , z = Z = x3 oraz i =ex =e1, j =ey =e2 , k =ez =e3;
naprężenia normalne: = = 11, = = 22, = = 33 = 13;
x xx y yy z zz xz
naprężenia styczne: = 12 , = 21, = 13, = 31, = 23, = 32;
xy yx xz zx yz zy
uwaga: 12 indeks pierwszy oznacza ściankę, drugi kierunek składowej.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02A/4
Wytrzymałość Materiałów naprężenia, stan przestrzenny
dodatnie składowe naprężeń symetryczny tensor (macierz 33) naprężenia określa całkowicie
i jednoznacznie przestrzenny stan naprężenia w każdym punkcie ciała
Ą# ń#
11 12 13
Ą#ń#
x xy xz
ó#
ó# 22 23Ą# Ą#
[ij ](33) ==
21
ó# yx y yz Ą#
ó#Ą#
Ą#
ó#31 32 33 Ą#sym ó# zx
Ł#Ś#zy z
Ł# Ś#sym
9 składowych - symetria wynika z warunków równowagi momentów
T = , ij = , ij =
ji ji
! daje tylko 6 niezależnych składowych;
naprężeń i kierunki główne
naprężenia główne Id"IId"III i kierunki główne I,II,III ,
wynikaj formalnie z rozwiązania problemu własnego
#ś#ż#vx # ż#0#
Ą#ń#
100
Ą# ń#
x xy xz
( 1) = 0
ś#ź#
ó#Ą# # # #0#;
ó# Ą#
, +
y
ś#ź##v Ź# = # Ź#
ó# xy y yz Ą#
ó#010Ą#
det( 1) = 0
# #
ś#ź##vz # #0#
ó# xz yz z Ą#
ó#001Ą#
Ł# Ś#
Ł#Ś#
# ## #
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02A/5
Wytrzymałość Materiałów naprężenia, stan przestrzenny
lokalne równania równowagi w punkcie
różniczkowe przyrosty naprężeń
otrzymuje się
z warunku równowagi sił:
ij,i+ f =0, i, j = x,y,z (=1,2,3),
j
"ij
"(.)
gdzie (.),x a" , np. ij,i= ;
"x "xi
z warunku równowagi momentów wynika
symetria tensor (macierz) naprężenia,
a wiec jego składowych stycznych:
T = , ij = , ij= .
ji ji
Konwencja sumacyjna (Einsteina), np. równanie ij,i+ f =0 dla indeksów j = x, i = x,y,z rozpisujemy:
j
faza I dla pojedynczego indeksu j = x , ix,i+ fx=0,
ix
,i i= x,y,z
faza II rozwiniecie indeksów powtarzające się i = x,y,z , ,x+ ,y+ ,z + fx=0,
xx yx zx
"11 "21 "31
zapis rozwinięty + ++ f1=0,
"x1 "x2 "x3
"
" "
yx
xx zx
ostatecznie w zapisie klasycznym mamy + ++ fx=0.
"x "y "z
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02A/6
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
określenie PSN, tarcza, ściana wyróżniona płaszczyzna (np. x-y , x1-x2)
a) niezerowe składowe wektorów naprężeń ( ) i obciążenia ( f ) są do niej równoległe,
dopuszczalna jest jedynie przesuwanie się tarczy w jej płaszczyznie (np. u,v),
b) pozostałe, tj. prostopadłe do płaszczyzny wyróżnionej, składowe naprężeń i ugięcie są równe zero:
(+X) = i + j,
x xy
ij`" 0, i, j = x, y =1,2 ! , , , `" 0,
x y xy yx
np. dla wyróżnionej x-y : (+Y) = i + j,
yx y
X = fx= Rx`" 0, Y= fy= Ry`" 0 ,
f = fxi + fy j,
w każdym punkcie tarczy stan naprężenia jest całkowicie i jednoznacznie określony przez
symetryczną macierz naprężeń w wymiarze 2 2
11 12 Ą# ń#
Ą#ń#
x xy
PSN [ij ](22) == ;
ó# Ą#
ó# 22 Ą#
yx y
Ł# 21 Ś#sym
Ł# Ś#sym
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/1
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
lokalne równania równowagi PSN
różniczkowe przyrosty naprężeń
warunki równowagi muszą być spełnione
w każdym punkcie (A) tarczy,
z warunków równowagi elementu różniczkowego dxdy
otrzymuje się:
#
" M( A)=0 ! = , (dx,dy 0)
#
xy yx
#
ij = ,
" # ż#
"
ji
yx
x
" Px=0 ! + + fx = 0, !
Ź# # ,i+ f =0,, i, j = x,y .
"x "y
ij j
#
#
#
" "
xy y
" Py=0 ! + + fy = 0,
#
"x "y
#
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/2
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
PSN, naprężenia Ć,Ć w dowolnym przekroju zorientowanym = (x,n)
elementarny trójkąt
zależności Ć,Ć, dla danego = (x,n) otrzymuje się na podstawie
znajomości , , z warunków równowagi elementarnego trójkąta,
x y xy
uwzględnia się dx =sin ds, dy =cos ds i rzutuje na kierunek:
normalny Ć = cos2 + sin2 + 2 sin cos
xy xy
i styczny Ć =-( - )sin cos + (cos2 - sin2) ;
x y xy
dalej uwzględnia się tożsamości trygonometryczne:
1 1
cos2 = (1+cos2), sin2 = (1-cos2), sin2 =2sin cos , cos2 =sin2 -cos2 ,
2 2
otrzymując naprężenia normalne
11
Ć= ( + ) + ( - )cos2 + sin 2 ,
x y x y xy
22
oraz naprężenia styczne
1
Ć=- ( - )sin 2 + cos2 ,
x y xy
2
w przekroju zorientowanym = (x,n).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/3
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
normalne naprężenia ekstremalne,
kierunki główne
poszukuje się przekroju 0 dla którego Ć są ekstremalne, z warunku
0
dĆ 2
xy
=- ( - )sin 20+ 2 cos20 a"0 ! tan 20= ,
x y xy
d -
x y
dwie wartości 20 "[0,2Ą ] różniące się o Ą spełniające d/d =0
! są dwa ortogonalne przekroje o ekstremalnych naprężeniach ,
1
ponieważ d/d = , ekstremalne występuje dla =0
2
! ekstremalne są naprężeniami głównymi 1=max i 2=min ,
odpowiadające kąty, wykorzystując 2 = ( - ) tan 20 , otrzymuje się z warunku
xy x y
d2
=- 2( - )cos20-4 sin 20=- 2( - )cos20 [ ]
1+tan220
x y xy x y
d2
>0
1 = Ć |max dla ( - )cos20 > 0 ! d2Ć/d2 <0,
x y
0
2 = Ć |min dla ( - )cos20 < 0 ! d2Ć/d2 >0.
x y
0
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/4
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
normalne naprężenia ekstremalne,
naprężenia główne
2
xy
uwzględniając zależność na kierunek główny tan 20= w tożsamościach trygonometrycznych:
-
x y
2
cos20 =ą (1+ tan220)-1/ 2=ą ( - )[( - )2+ 4 ]-1/ 2,
x y x y xy
2
sin 20 =ą tg20(1+ tan220)-1/ 2=ą 2 [( - )2+ 4 ]-1/ 2
xy x y xy
po podstawieniu do zależności na otrzymuje się wzór na wartości naprężeń głównych
+ -
x y x y
2
1,2 = ą ( )2+ ,
xy
22
suma 1+2 = + jest niezmiennikiem (nie zależy od kierunku = (x,n));
x y
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/5
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
koło Mohra (Otto Mohr 1835 1918, prace z roku 1882 i 1900)
interpretacja graficzna stanu naprężenia, konstrukcja wynika z przekształcenia wzorów na , ,
grupując i podnosząc obustronnie do kwadratu mamy:
11
[ - ( + )]2 = [ ( - )cos 2 + sin 2]2
x y
22 x y xy
1
[ ]2 = [- ( - )sin 2 + cos 2]2
2 x y xy
po dodaniu stronami otrzymuje się równanie okręgu o promieniu R
1
[ - ( + )]2+[ ]2 = R2 , R2=[1 ( - )]2+[ ]2 ;
x y x yxy
2 2
2
+
-
#
x y
2
x y
1,2 =ąś# +
ś#ź# xy
2
# 2 #
1
= ( + ) ą R
2 x y
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/6
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
normalne naprężenia ekstremalne
problem własny dla naprężeń głównych
naprężenia główne i kierunki główne można także otrzymać z definicji poprzez rozwiązanie problemu własnego
-
Ą#ń# ż# # 0
ż# #
xxy x
1) = 0 <"
# Ź#=#0Ź#
ó#Ą#
-
xy y
# #
Ł# Ś## y #
rozwiązanie nietrywialnie ma miejsce jeśli
-
Ą#ń#
xxy
2
det 1) = 0 <" det = ( - )( - ) - = 0
ó#Ą# xy xy
-
xy y
Ł# Ś#
stąd rozwiązując równanie charakterystyczne (kwadratowe)
22
- ( + ) + ( - ) = 0
x y x y xy
otrzymuje się pierwiastki i zestawia się je w dwie pary własne (wartość własną, stowarzyszony wektor własny):
(1,1) i (2,2).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/7
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
styczne naprężenia ekstremalne
poszukuje się przekroju 0 dla którego są ekstremalne; z warunku
0
d ( - )
x y
=- ( - )cos20 - 2 sin 20 a"0 ! tan 20=-
x y xy
d 2
xy
zachodzi tan 20=- tan-120 ! 0= 0+Ą /4
! płaszczyzny naprężeń głównych tworzą kąt 45o z płaszczyznami ekstremalnych naprężeń stycznych,
przekształcając analogicznie jak dla otrzymuje się
-2 2 1-2
#ś# +
x y x y
3 =ą + = ą '" = ,
ś#ź# xy
0
2
2
# 2 #
z rozważań PSN jak stanu przestrzennego (3D) wynika, że ekstremalne naprężenia styczne w PSN
nie zawsze leżą w płaszczyznie obciążenia, lecz pod kątem 45o do niej i wynoszą
2 1
1 =ą , 2 =ą ;
2 2
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/8
Wytrzymałość Materiałów płaski stan naprężenia (PSN)
koło Mohra, interpretacja graficzna 3D
ekstremalnych naprężeń stycznych
dla 3 typów stanów wytężenia w PSN
1
ext =2 =ą 1, jedno i dwuosiowe rozciąganie,
2
(oba naprężenia główne dodatnie);
1
ext =3 = (1-2) dwuosiowe rozciąganie-ściskanie
2
(naprężenia główne różnych znaków);
1
ext =1 =ą 2 jedno i dwuosiowe ściskanie
2
(oba naprężenia główne ujemne).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02B/9
Wytrzymałość Materiałów płaski stan odkształcenia (PSO)
określenie PSO, nieskończenie długa konstrukcja dana jest stała płaszczyzna (np. x-y , x1-x2)
a) niezerowe składowe odkształceń ( ) występują tylko w płaszczyznach równoległych
do danej stałej płaszczyzny (np. x-y ! ij , i, j = x, y xa"xx, ya" , ł = ł a" 2xy ),
yy xy yx
obciążenia ( f ) w kierunku poprzecznym są stałe,
dopuszczalna jest jedynie równoległe przesuwanie się konstrukcji w kierunku danej płaszczy (np. u,v),
b) pozostałe, tj. prostopadłe do danej stałej płaszczyzny, składowe są równe zero zj= =0, j = x, y,
jz
a więc kierunek poprzeczny jest nieistotny.
w każdym punkcie nieskończenie długiej konstrukcji (PSO) stan odkształceń jest całkowicie i jednoznacznie
określony przez symetryczną macierz odkształceń o wymiarze 2 2
x 1 łxy
11 12 Ą# ń#
Ą#ń#
2
PSO [ij ](22) == ;
ó#
ó# 22 Ą#
1
łyx y Ą#
Ł# 21 Ś#sym 2
Ł# Ś#sym
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02C/1
Wytrzymałość Materiałów płaski stan odkształcenia (PSO)
2 2 2 2
dxdy ( ABDC A B D C )
deformacja elementu różniczkowego
2
np. przesunięcie wierzchołków: AA =u=uxi +uy j
"uy
"u "u "ux "ux "uy
2
DD =u + dx + dy = (ux+ dx + dy)i + (uy+ dx + dy) j ,
"x "y "x "y "x"y
przekątna: AD = ds0 =dxi +dyj ,
wynikająca z rozwinięcia pola translacji
u=u(x, y) w szereg Taylora, obcięty do
"uy
"ux "ux "uy
2 2
A D = ds =(dx + dx + dy)i +(dy+ dx + dy) j ,
wyrazów 1. rzędu (małe odkształcenia);
"x "y "x "y
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02C/2
Wytrzymałość Materiałów płaski stan odkształcenia (PSO)
odkształcenia wydłużenie jednostkowe przekątnej jako miara deformacji
jednostkowe (jednoosiowe) odkształcenie podłużne:
jest to stosunek wydłużenia (ds - ds0 )
ds - ds0 ds
== -1,
odcinka do długości początkowej (ds0),
ds0 ds0
zauważmy, że dla małych odkształceń ( 1) zachodzi
(ds)2-(ds0)2 ds -ds0 ds +ds0 ds 1 (ds)2-(ds0)2
== ( +1) = ( + 2) H" 2 ! H" ;
(ds0)2 ds0 ds0 2 (ds0)2
ds0
"ux "ux
przybliżenie różnicy kwadratów przekątnej (pomija się iloczyny typu jako małe drugiego rzędu)
"x "y
"uy
"ux "ux "uy
(ds)2-(ds0)2H"2[ (dx)2+ (dy)2+ ( + )dxdy];
"x "x"y "x
pozwala zapisać
"uy dy
1 (ds)2-(ds0)2 "ux dx "ux "uy dx dy
H"= ( )2 + ( )2 + ( + ) ,
2 (ds0)2 "x ds0 "y "x ds0 ds0
"x ds0
oznaczając:
"uy
"ux "ux "uy dx dy
x = , = , ł = 2xy = ( + ) oraz uwzględniając =cos , =sin
y xy
"x "y "y "x ds0 ds0
otrzymuje się wzór na jednostkowe odkształcenie podłużne w kierunku :
= x cos2 + y sin2 + ł sin cos ;
xy
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02C/3
Wytrzymałość Materiałów płaski stan odkształcenia (PSO)
odkształcenia główne w PSO
są analogiem do naprężeń głównych w PSN
"! , "! x , "! , 2 "! ł ,
x yy xyxy
wynika z podobieństwa wzorów
= x cos2 + sin2 + ł sin cos = cos2 + sin2 + 2 sin cos
y xy xy xy
co pozwala natychmiast wypisać zależności dla odkształceń
x+ x- ł ł
y y xy xy
1,2 =ą ( )2+( )2 , tan 20= ;
22 2 x-y
koło Mohra
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02C/4
Wytrzymałość Materiałów płaski stan odkształcenia (PSO)
interpretacja składowych odkształceń
interpretacja x interpretacja y interpretacja ł =2xy
xy
- odkształcenie jednostkowe
- odkształcenie jednostkowe - kąt odkształcenia postaciowego
krawędzi AB
krawędzi AC (spaczenie), zmiana kąta
między ściankami
def def
2 2 2 2
AB - AB AC - AC
ł =xy+ =2xy
x = =
xy yx
y
AB AC
"ux
"uy
"ux "uy
dy
dx
ux + dx - ux "ux
uy + dy - uy
"ux "uy
"y
"x
"x "uy
=+= +
"y
==
==
dx dy "y "x
dx "x
dy "y
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02C/5
Wytrzymałość Materiałów przestrzenny stan odkształcenia (3D)
symetryczny tensor (macierz 33) odkształceń
Ą# ń#
11 12 13 x 1łxy 1łxz
Ą#ń#
2 2
ó#1ł y 1łyz Ą#
określa całkowicie i jednoznacznie przestrzenny
ó#
[ij ](33) = 22 23Ą# = ;
21 22
ó# Ą#
stan odkształceń w każdym punkcie ciała ó#Ą#yx
ó#31 32 33 Ą#sym ó# 1łzx 1łzy z Ą#
Ł#Ś# 2 2
Ł# Ś#sym
składowe
11
ij = (ui, +uj,i ) = , i, j =1,2,3;
("u "xj + "u "xi)
i
j
22j
odkształcenia normalne (rozciągnięcia, wydłużenia):
"uy
"ux "uz
x = , = , z = ;
y
"x "y "z
odkształcenia postaciowe (zmiany kształtu):
"uy "uz
#ś# #ś#
1 "ux "uy 1 1
"ux "uz
#ś#,
xy = = + xz = zx= = zy= +
+
ś#ź#
yz ś#ź#, yz ś#ź#;
2 "y "x 2 2 "z "y
"z "x
# #
# # # #
lub alternatywnie kąty odkształceń postaciowych:
"uy "uz
"ux "uy "ux "uz
ł = ł = 2xy= 2 = + , ł = ł = 2xz= 2zx= + , ł = ł = 2 = 2zy= + ;
xy yx yx xz zx yz zy yz
"y "x "z "x "z "y
z symetria deformacji postaciowej wynika, że z 9 składowych ij , i, j = x,y,z (=1,2,3) tylko jest 6 niezależnych
T = , ij =ji , łij =łji ;
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/1
Wytrzymałość Materiałów przestrzenny stan odkształcenia (3D)
interpretacja składowych odkształceń przestrzennych
rozciągnięcia
odkształcenia postaciowe
energetyczne sprzężenie tensorów odkształceń i naprężeń poprzez pracę
11
gęstość pracy wewnętrznej = T = ijij ,
22
11
ij = (ui, +uj,i ) = , i, j =1,2,3.
("u "xj + "u "xi)
i
j
22j
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/2
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Związki fizyczne (relacje, równania konstytutywne)
prawa szczególne definiujące własności materiału (tyle jest różnych praw ile zdefiniujemy typów materiałów),
mają postać relacje np. typu "! między stanami odkształcenia i naprężenia;
zakładamy = F , x,n) materiał sprężysty (tj. taki który nie zależy od historii obciążenia jakiej podlegał),
jeśli funkcja: F `"F() materiał liniowo-sprężysty (naprężeń),
F `"F(x) materiał jednorodny (położenia),
F `"F(n) materiał izotropowy (kierunku).
sprężystość liniowa relacja jednorodność izotropowość
(deformacja odwracalna naprężenia odkształcenia F `"F (x) F `"F (n)
niezależna od historii F `"F()
(własności symetrii materiału)
obciążenia materiału)
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/1
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
jednorodny izotropowy materiał liniowo sprężysty
funkcja materiałowa F jest stała i całkowicie określona przez tylko dwie stałe materiałowe,
najbardziej popularnymi stałymi materiałowymi są:
a) moduł sprężystości E (moduł Younga) [ N/m2] (Young Thomas 1773 1829)
charakteryzuje opór materiału jaki stawia on przy rozciąganiu,
b) liczba Poissona [-] (Poisson Simeon Deni 1781 1840)
charakteryzuje stosunek odkształceń poprzecznych do podłużnych,
E
c) moduł odkształcenia postaciowego (ścinania) G = [ N /m2]
2(1+ )
wyraża się przez dwie poprzednie stałe E i (tak jak wszystkie inne stałe);
uogólnione prawo Hooke'a (Hooke Robert 1635 1703)
- związek fizyczny
dla jednorodnego izotropowego materiał liniowo-sprężystego:
6 równań skalarnych wiążących 6 składowych przestrzennego stanu naprężeń
z 6-cioma składowymi przestrzennego stanu odkształceń, albo
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/2
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Notacja wektorowo/macierzowa:
symetria macierzy (tensorów) odkształcenia i naprężenia pozwala na wprowadzenie bardziej zwartego
zapisu wektorowego wygodnego w obliczeniach (np. kodach programów):
11 ż# # 11 ż# #
ż# #x ż# # x
# #
# # # #
22 # y #
y
22
# # # #
# # # #
11 12 13 11 12 13
Ą#ń# Ą#ń#
# z #
# 33 #
# #, ó# 22 23Ą# !Ż#Ż# $ = #33 # # #
# #
z
ó# Voigt Voigt
[ij ]= 22 23Ą# !Ż#Ż# {a} & = = =
#2 Ź# #ł Ź# # Ź# # Ź#
21 21
ó#Ą# ó#Ą#
xy xy
12
# # # # #12 # # #
ó#31 32 33 Ą#sym ó#31 32 33 Ą#sym
Ł#Ś# Ł#Ś#
#213 # # # #13 # # #
ł
xz xz
# # # # # # # #
#ł # # #
yz yz
#223# #23 #
# # # #
relację współczynników: ij (macierz, tensor) !Ż# (wektor) określa tzw. indeksacja Voigt a
a
indeksy pojedyńcze a , (wektor) 1 2 3 4 5 6
indeksy podwójne ij , (macierz, tensor) 11 22 33 12 13 23
prawo materiałowe w postaci 6 równań skalarnych (lub 3 dla PSN/PSO) wiążących:
6 składowych przestrzennego stanu (przyrostów, prędkości) naprężeń (3 dla PSN/PSO) z
6-cioma składowymi przestrzennego stanu (przyrostów, prędkości) odkształceń (3 dla PSN/PSO), jest
& = E-1$ macierzową relacją odkształcenia-naprężenia, albo odwrotną
$ a" E & macierzową relacją naprężenia-odkształcenia,
gdzie E jest macierzą konstytutywną, materiałową wymiaru 66 dla stanu przestrzennego (33 dla PSN i PSO).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/3
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Uogólnione prawo Hooke'a
stan przestrzenny 3D
postać skalarna i odwrotna:
1 E
x= ( - ( + )), = [(1- )x+ ( +z )]
xy z x y
E (1+ )(1-2 )
1 E
= ( - ( + )), = [(1- ) + (x+z )]
yy x z yy
E (1+ )(1-2 )
1 E
z = ( - ( + )), = [(1- )z+ (x+ )]
zx y z y
E (1+ )(1-2 )
xy yz
xz
ł = , ł = , ł = , =Gł , =Gł , =Gł .
xy xz yz xyxy xzxz yz yz
G G G
1
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/4
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Uogólnione prawo Hooke'a
stan przestrzenny 3D
postać macierzowa & = E-1$ i odwrotna $ = E &:
x x
1- 0 0
0
ż# # 1 - - 000 ż# # ż# #ż# #
Ą#ń#
Ą#ń#
x x
# # # # # ## #
ó#Ą#
ó#Ą#
1- 0 0
0
yy y y
# # # # # ## #
ó#Ą#
ó#- 1 - 000 Ą#
# z # # # # ## z #
ó#Ą#
ó#- - 1 000 Ą# 1- 0 0 0
1 2G
# # # #, # ## #
z z
#ł Ź#= 0 0 0 2(1+) 0 0 # Ź# # Ź#= ó#Ą# #ł Ź#
ó#Ą#
1
0 0 0 (1-2) 0 0
E 1-2
xyxy xy xy
2
# # # # # ## #
ó#Ą#
ó#Ą#
1
# # # # # ## #
ó#Ą#
ł ó#Ą# ł
0 0 0 0 2(1+) 0 0 0 0 0 (1-2) 0
xzxz xz xz
2
# # # # # ## #
ó#Ą#
ó#Ą#
1
0 0 0 0 0 (1-2)Ś# #ł yz #
0 0 0 0 0 2(1+)Ś# # yz # # ## #
#ł # yz
yz
Ł#
Ł# 2
# # # # # #
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/5
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Uogólnione prawo Hooke'a
PSN
tarcza w płaszczyznie x - y
= = =0
z zx zy
postać skalarna i odwrotna:
z =- (x+ y ) =- ( + ), ! =0 (założenie),
x y z
E
1 E
x= ( - ), = (x+ ),
x y x y
2
E 1-
1 E
y= ( - ), = (y+x),
y x y
2
E 1-
xy
ł = , =Gł ,
xy xyxy
G
postać macierzowa & = E-1$ i odwrotna $ = E &:
ż# # ż# # ż# # ż# #
x 1 - 0x 1 0x
Ą#ń# Ą#ń#
x
1 E
# # # #, # # # #.
ó#Ą# ó# Ą#
# Ź#= ó#- 1 0 Ą# # Ź# # Ź#= 2 ó# 1 0 Ą# # Ź#
yy yy
E 1-
#ł # # # # # 1
ó# 0 0 2(1+)Ą# ó#Ą#
(1-)Ś# #ł xy #
xy Ł#Ś# xy xy
Ł#0 0 2
# # # # # # # #
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/6
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Uogólnione prawo Hooke'a
nieskończenie długa
PSO
konstrukcja w kierunku z
z=ł =ł =0
zx zy
postać skalarna i odwrotna:
2G
z=0 (założenie), ! = ( + ) = (x+ ),
z x y y
1-2
1 2G
x= [(1- ) - ], = [(1- )x+ ],
x y x y
2G 1-2
1 2G
y= [(1- ) - ], = [(1- ) +x],
y x yy
2G 1-2
xy
=Gł , ł = ,
xyxy xy
G
postać macierzowa & = E-1$ i odwrotna $ = E &:
ż# # ż# # ż# # ż# #
x 1- - 0 1- 0 x
Ą#ń# Ą#ń#
x x
1 2G
# # # #, # # # #.
ó#Ą# ó#Ą#
=- 1- 0 = 1- 0
# Ź# # Ź# # Ź# # Ź#
yy yy
ó#Ą# ó#Ą#
#ł #2G ó# 0 0 2Ą# # # # #1-2 ó#Ą#
1
0 0 (1-2 )Ś# #ł xy #
xy Ł#Ś# xy xy Ł# 2
# # # # # # # #
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/7
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Uwaga a) wykazać zależność pomiędzy G a E i
czyste ścinanie
z koła Mohra naprężenia główne:
w PSN:
1= , =- , 0 = 45o ,
2
= =0
x y
z prawa Hooke a odkształcenie
= `" 0
xy
główne:
11
= Gł
1= (1- )= (1+ )
2
EE
wydłużenie przekątnej ds= 2dx, dy=dx
z definicji: "ds =1ds = 21dx,
z geometrii: "ds = (1 ł dx)2+(1 ł dx)2=ł dx/ 2
22
ł
porównanie stronami: 1a"
2
1+ ł E
stąd ! 1= a" = ! G = ;
E 2 2G 2(1+ )
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/8
Wytrzymałość Materiałów związki fizyczne
Uwaga b) wykazać ograniczenie na liczbę Poissona ,
PSN, przyrost objętości jednostkowego
sześcianu w wyniku rozciągania
, > 0, =0
x y xy
(z odkształceń wydłużenie odcinka ds = ds0 + "ds0 = (1+ )ds0)
"V = (1+x)(1+ )(1+z ) -1 H" x+ +z
y y
11
= ( - ) + ( - ) - ( + )! 1-2 e" 0 ! d"1/ 2.
x yy xx y
EEE
+
x y
= (1-2 ) e" 0
E
>0
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W02D/9
Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Dziękuję za uwagę
cdn.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
WYKŁAD 9 naprężenia i odkształceniaSTAN NAPRĘŻENIA ODKSZTAŁCENIAWM wyklad Elementy plastycznoscAnaliza stanu naprezenia i odksztalcenia (IMiR)Przestrzenny stan naprężenia i odkształceniaStan naprężenia i odkształcenia04 Elementy plaskiego stanu naprezen i odksztalcenNaprężenia i odkształcenia spawalniczeWM wyklad! Reologia03 Plaski stan naprezenia i odksztalcenia07 Z Teoria stanu naprężenia i odkształceniaWM wyklad Zginanie ze scinaniemwięcej podobnych podstron