Całki oznaczone
Definicja 1 (podziału przedziału).
Podziałem Pn przedziału a, b na n podprzedziałów, gdzie n " N, na-
zywamy zbiór
Pn = {x0, x1, ..., xn-1, xn}
przy czym a = x0 < x1 < x2 < ... xn-1 < xn = b.
<
Długość podprzedziału xk-1, xk , k = 1, 2, ..., n, oznaczana przez "xk,
jest równa
"xk = xk - xk-1
Liczbe ´(Pn) = max "xk nazywamy Å›rednicÄ… podziaÅ‚u Pn.
¸
1 k n

"
Niech xk " xk-1, xk oznacza punkt pośredni k-tego podprzedziału, dla
k = 1, 2, ..., n.
Definicja 2 (sumy całkowej Riemanna).
Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale a, b oraz niech Pn
będzie podziałem tego przedziału. Sumą całkową Riemanna funkcji f
odpowiadającą podziałowi Pn przedziału a, b oraz punktom pośrednim
"
xk, dla k = 1, 2, ..., n, tego podziału nazywamy liczbę
n

de f
"
Ã( f, Pn) = f (xk) · "xk
k=1
Definicja 3 (ciągu normalnego podziałów).
Ciąg (Pn) nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeżeli odpowiada-
jÄ…cy mu ciÄ…g Å›rednic (´n) = (´(Pn)) dąży do zera, tj. lim ´n = 0.
n"
Każdemu ciÄ…gowi podziałów (Pn) odpowiada ciÄ…g sum caÅ‚kowych (Ãn),
którego wyraz ogólny Ãn = Ã( f, Pn) zależy od wyboru punktów po-
średnich
"(n) (n) (n)
xk "< xk-1, xk >, k = 1, 2, ..., n, n " N \ {1}
Definicja 4 (całki oznaczonej Riemanna).
Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału a, b ciąg
sum caÅ‚kowych (Ãn) jest zbieżny do tej samej granicy wÅ‚aÅ›ciwej, nieza-
"
leżnej od wyboru punktów xk, to tę granicę nazywamy całką oznaczoną
(Riemanna) funkcji f na przedziale a, b i oznaczamy symbolem
b
f (x)dx
a
tj.
b
n

de f
"
f (x)dx = lim f (xk) · "xk
´n0
k=1
a
Pod pojęciem całki oznaczonej rozumiemy całkę oznaczoną Riemanna.
Przedział a, b nazywamy przedziałem całkowania
a nazywamy dolną granicą całkowania
b nazywamy górną granicą całkowania
f (x) nazywamy funkcją podcałkową
Definicja 5.
Jeżeli istnieje całka oznaczona Riemanna dla funkcji f , to mówimy, że
funkcja f jest R-całkowalna na przedziale a, b .
Twierdzenie 1 (warunek konieczny R-całkowalności funkcji).
Jeżeli funkcja f jest R-całkowalna na przedziale a, b , to jest funkcją
ograniczonÄ… na tym przedziale.
Twierdzenie 2 (warunek wystarczający całkowalności funkcji).
Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale a, b i ma na tym prze-
dziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, to jest
na tym przedziale całkowalna.
Wniosek 1.
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym jest na tym przedziale całko-
walna.
Własności całki oznaczonej
Twierdzenie 3 (o liniowości całki oznaczonej).
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale a, b , to
b b b
1. [ f (x) " g(x)]dx = f (x)dx " g(x)dx
a a a
b b
2. A · f (x)dx = A · f (x)dx, A " R
a a
Twierdzenie 4 (o addytywności całki względem przedziału całk.).
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale a, b i c " (a, b), to
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx
a a c
Definicja 6.
Przyjmujemy
a
f (x)dx = 0
a
b a
f (x)dx = - f (x)dx
a
b
Twierdzenie 5 (całka funkcji nieparzystej i parzystej).
Jeśli funkcja f jest całkowalna na przedziale -a, a oraz
1. funkcja f jest nieparzysta, to
a
f (x)dx = 0
-a
2. funkcja f jest parzysta, to
a a
f (x)dx = 2 f (x)dx
-a
0
Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego
Twierdzenie 6 (całkowe o wartości średniej).
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale a, b , to istnieje punkt c " a, b ,
taki że
b
1
f (x)dx = f (c)
b - a
a
Definicja 7.
Niech f będzie całkowalna na a, b i ą " a, b będzie dowolnie usta-
lonÄ… liczbÄ….
Dla dowolnego x " a, b określamy funkcję
x
F(x) = f (t)dt
Ä…
nazywaną funkcją górnej granicy całkowania.
Twierdzenie 7.
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale a, b i ą " a, b to
funkcja F(x) jest funkcją ciągłą zmiennej x w tym przedziale.
Twierdzenie 8 (pierwsze twierdzenie główne rachunku całkowego).
Jeśli f jest funkcją całkowalną na przedziale a, b , ą " a, b jest
dowolnie ustalonÄ… liczbÄ…, to funkcja
x
F(x) = f (t)dt
Ä…
jest różniczkowalna i ma pochodną
F (x) = f (x)
w każdym punkcie x " a, b , w którym funkcja f jest ciągła.
Twierdzenie 9 (drugie twierdzenie główne rachunku całkowego).

Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale a, b , F jest dowolną pierwotną
funkcji f na tym przedziale, to
b

f (x)dx = F(b) - F(a)
a
Wzór powyższy nazywamy wzorem Newtona-Leibniza.
Twierdzenie 10 (o całkowaniu przez części dla całek oznacz.).
Jeżeli funkcje u i v mają ciągłe pochodne u i v na przedziale a, b , to
b b
u(x) · v (x)dx = [u(x) · v(x)]x=b - u (x) · v(x)dx
x=a
a a
Twierdzenie 11 (o całk. przez podstawienie dla całek oznacz.).
Jeżeli
1. funkcja Õ ma pierwszÄ… pochodnÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… na przedziale domkniÄ™tym T
o koÅ„cach Ä… i ²,
2. funkcja f jest ciÄ…gÅ‚a na zbiorze Õ(T),
3. Õ(Ä…) = a i Õ(²) = b
to
b ²
f (x)dx = f (Õ(t)) · Õ (t)dt
a Ä…


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wykład 9 ETI
wyklad7 1 ETI
wyklad8 ETI
wykład 8 ETI
wykład 4 ETI
wykład 5 ETI
wykład 5 ETI
wyklad18 ETI
wyklad19 ETI
wykład 7 ETI
wykład 3 ETI
wykład 12 ETI
Sieci komputerowe wyklady dr Furtak
Wykład 05 Opadanie i fluidyzacja

więcej podobnych podstron