Całka nieoznaczona. Część pierwsza.
Definicja. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I,
jeżeli dla każdego x " I zachodzi równość
F (x) = f(x).
Przykład. Funkcja sin x jest funkcją pierwotną funkcji cos x w prze-
dziale (- ", + "), bo (sin x) = cos x.
Twierdzenie. Każda funkcja ciągła w przedziale I ma w tym prze-
dziale funkcję pierwotną.
Twierdzenie. Załóżmy, że F jest funkcją pierwotną funkcji f w prze-
dziale I. Wtedy
1) Funkcja G(x) = F (x) + C, gdzie C " R jest dowolną stałą, jest
funkcją pierwotną funkcji f w I;
2) Każda funkcja pierwotna funkcji f w I jest postaci F (x) + C,
dla pewnej stałej C " R.
Dowód. 1) Dla każdego x " I mamy
G (x) = (F (x) + C) = F (x) + C = f(x) + 0 = f(x).
2) Załóżmy, że G jest funkcją pierwotną f w I. Wtedy dla każdego
x " I mamy
(G(x) - F (x)) = G (x) - F (x) = f(x) - f(x) = 0.
Na mocy wniosku z twierdzenia Lagrange a (patrz wykład o pochod-
nych, część druga), G(x) - F (x) jest funkcją stałą w przedziale I. Stąd
G(x) = F (x) + C dla pewnego C " R.
Definicja. Całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale I nazywamy
zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w tym przedziale.
Całką nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez f(x)dx.
Jeżeli F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I, to
z powyższego twierdzenia wynika, że całka nieoznaczona funkcji f jest
zbiorem funkcji postaci F (x) + C, gdzie C jest dowolną stałą (zwaną
stałą całkowania):
f(x)dx = F (x) + C.
1
2
Następujące wzory łatwo sprawdzić, różniczkując funkcje po prawej
stronie:
xą+1
xądx = + C dla ą = 1, exdx = ex + C,
ą + 1
ax 1
axdx = + C, dx = ln |x| + C,
ln a x
sin x dx = - cos x + C, cos x dx = sin x + C,
1 1
dx = tg x + C, dx = -ctg x + C,
cos2 x sin2 x
1 1
dx = arctg x + C, " dx = arcsin x + C.
1 + x2
1 - x2
Twierdzenie. Załóżmy, że funkcje f i g mają w pewnym przedziale
funkcje pierwotne, a ą " R jest dowolną stałą. Wtedy zachodzą wzory
(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx,
ąf(x)dx = ą f(x)dx.
Przykład.
1 5
(x3 - 5x + 2)dx = x3dx - 5 xdx + 2 dx = x4 - x2 + 2x + C.
4 2
Twierdzenie. (Całkowanie przez części.) Załóżmy, że funkcje f i g
mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne. Wtedy zachodzi wzór
f(x)g (x)dx = f(x)g(x) - f (x)g(x)dx.
Dowód. Na mocy wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji mamy
(f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x).
Stąd
(f (x)g(x) + f(x)g (x))dx = f(x)g(x) + C,
f (x)g(x)dx + f(x)g (x) = f(x)g(x) + C.
Przenosząc pierwszą całką na prawą stronę i włączając do niej stałą
całkowania otrzymujemy wzór z twierdzenia.
3
Przykład. 1) Obliczymy całkę ln x dx.
1
Przyjmijmy f(x) = ln x, g(x) = x. Wtedy f (x) = , g (x) = 1 i na
x
mocy twierdzenia o całkowaniu przez części
1
ln x dx = x ln x - xdx = x ln x - x + C.
x
2)
xexdx = x(ex) dx = xex- (x) exdx = xex- exdx = xex-ex+C.
3)
x cos x dx = x(sin x) dx = x sin x- sin x dx = x sin x+cos x+C.
Twierdzenie. (Całkowanie przez podstawienie.) Niech f(x) będzie
funkcją ciągłą w przedziale I i niech (t) będzie funkcją określoną w
przedziale J, spełniającą w tym przedziale warunek (t) " I i mającą
ciągłą pochodną. Wtedy zachodzi wzór
f(x)dx = f((t)) (t)dt.
Dowód. Niech F (x) będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I.
Na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy
[F ((t))] = F ((t)) (t) = f((t)) (t) dla t " J.
Stąd
f((t)) (t)dt = F ((t)) + C.
Przyjmując x = (t) otrzymujemy
f((t)) (t)dt = F (x) + C = f(x)dx.
Uwaga. Twierdzenie o całkowaniu przez części wskazuje, jak prze-
kształca się całka po wprowadzeniu nowej zmiennej przez podstawienie
x = (t).
4
1
Przykład. 1) Obliczymy całkę dx, gdzie a = 0. Przyjmijmy
ax + b
t - b
ax + b = t, czyli x = .
a
1 1 t - b 1 1 1 1
dx = dt = dt = ln |t|+C = ln |ax+b|+C.
ax + b t a t a a a
" " "
1 1
2) x 1 + x2dx = 1 + x22x dx = 1 + x2(1 + x2) dx.
2 2
Po podstawieniu 1 + x2 = t otrzymujemy całkę
"
1 1 1 3 1
2 2
t dt = t + C = ( 1 + x2)3 + C.
2 3 3
(x)
3) Całka dx przekształca się po podstawieniu Ć(x) = t w całkę
(x)
1
dt = ln |t| + C. Podobnie całka [(x)]ą (x)dx, gdzie ą = -1
t
tą+1
przekształca się w tądt = + C. Stąd otrzymujemy wzory
ą + 1
(x)
dx = ln |(x)| + C,
(x)
[(x)]ą+1
[(x)]ą (x)dx = + C, dla ą = -1.
ą + 1
- sin x (cos x)
4) tg x dx = - dx = - dx = - ln | cos x| + C.
cos x cos x
Uwaga. Obliczanie całek jest na ogół trudne. Zauważmy, że gdyby-
śmy nie znali funkcji cyklometrycznych, nie potrafilibyśmy scałkować
prostych funkcji
1 1
i " .
x2 + 1
1 - x2
To pozwala zrozumieć fakt, że całki wielu prostych funkcji nie dają się
wyrazić przez funkcje elementarne. Należą do nich np. całki
"
sin x 1 2
1 + x3dx, dx, dx, e-x dx.
x ln x
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Sieci komputerowe wyklady dr FurtakWykład 05 Opadanie i fluidyzacjaWYKŁAD 1 Wprowadzenie do biotechnologii farmaceutycznejmo3 wykladyJJZARZĄDZANIE WARTOŚCIĄ PRZEDSIĘBIORSTWA Z DNIA 26 MARZEC 2011 WYKŁAD NR 3Wyklad 2 PNOP 08 9 zaoczneWyklad studport 8Kryptografia wykladBudownictwo Ogolne II zaoczne wyklad 13 ppozwyklad09Sporzadzanie rachunku przepływów pienieżnych wykład 1 i 2fcs wyklad 5Wyklad08 Zaopatrz wWodeWyklad3więcej podobnych podstron